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专题6 导数在不等式中的应用
【必备知识】1.求函数y＝f（x）的极值的方法
解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．
2．函数在区间[a，b]上最值的求法
一般地，求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值；
（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【必备技能】不等式成立问题常用的转化规则
1、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立
（1），
（2），
（3），
（4），
2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
【考向总览】
考向一 不等式恒成立求参数 （★★★★）
考向二 不等式能成立求参数 （★★★）
【考向归类】
考向一 不等式恒成立求参数
【典例1-1】
（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
1．已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）
2．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，.
【举一反三】
（22-23高二下·河南·期中）
3．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
（22-23高二下·河南·期中）
4．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，证明：（其中e是自然对数的底数）
考向二 不等式能成立求参数
【典例2-1】
（22-23高二下·福建福州·期中）
5．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ．
【典例2-2】
（22-23高二下·四川绵阳·期中）
6．已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数，对，，使得成立，求实数的取值范围．
【举一反三】
（23-24高二上·陕西西安·期末）
7．已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
（22-23高二下·山东烟台·期末）
8．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，，使得．
【必备知识】不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f（x）>g（x），但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
5、双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
【必备技能】利用导数证明不等式的常用方法
1、直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
2、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
3、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【考向总览】
考向一 单变量不等式证明（★★★★）
考向二 双变量不等式证明（★★★★）
考向三 含三角函数的不等式证明 （★★★）
考向四 同时含指对函数不等式证明（★★★★★）
【考向归类】
考向一 单变量不等式证明
【典例1-1】
（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）
9．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高二上·湖北·期末）
10．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
【举一反三】
（23-24高二上·湖南衡阳·期末）
11．已知函数，.
(1)若的极大值为1，求实数a的值；
(2)若，求证：.
（22-23高二下·福建福州·期末）
12．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明: ．
考向二 双变量不等式证明
【典例2-1】
（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
13．已知，函数．
(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
(2)当时，若，求证：
【典例2-2】
（22-23高二下·吉林长春·阶段练习）
14．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.
【举一反三】
（21-22高二下·江苏南通·期中）
15．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个极值点，证明
（22-23高二下·河北·期中）
16．已知函数；
(1)若无零点，求a的取值范围；
(2)若有两个相异零点，证明：．
考向三 含三角函数的不等式证明
【典例3-1】
（22-23高二下·内蒙古呼伦贝尔·期中）
17．已知函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)求证时，.
【典例3-2】
（22-23高二下·陕西西安·期末）
18．已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)证明：在上单调递减；
(3)求证：当时，方程有且仅有2个实数根.
【举一反三】
（2022下·北京·高二北理工附中校考期末）
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：.
（2023下·河北邯郸·高二校联考期中）
20．已知函数.
(1)当时，证明：.
(2)讨论的单调性.
考向四 同时含指对函数不等式证明
【典例4-1】
（22-23高二下·广西河池·期末）
21．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求证：．
【典例4-2】
（22-23高二下·辽宁大连·期末）
22．已知函数（R，为自然对数的底数），．
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
【举一反三】
23．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
（23-24高二上·湖南衡阳·期末）
24．已知函数，.
(1)若的极大值为1，求实数a的值；
(2)若，求证：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由题意可得，由函数有两个极值点，，可得方程在上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得的取值范围，由，令，利用导数研究其范围即可．
【详解】函数的定义域为，且，
因为函数有两个极值点，，
所以方程在上有两个不相等的正实数根，
则，解得．
因为
，
设，
，易知在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求，，关于a的表达式及的范围，再将题设不等式转化为恒成立，最后利用导数研究范围可得答案.
2．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；
（2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证.
【详解】（1）因为的定义域为，
所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
令，则，
令，则，
因为，所以，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即.
【点睛】结论点睛：恒成立问题：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
3．
【分析】将不等式化为，即得，讨论的取值范围，当时，构造函数，利用函数单调性可得，化为，继而再构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
所以，即,
①若，则，而，符合题意；
②若，令，则在恒成立，
∴在单调递增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，则可化为，
令，，
当时，；当时，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．综上：，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合的结构特点，合理变形为，即而化为，从而可采用构造函数的方法，利用导数即可求解问题.
4．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，对于二次方程，有，分、、讨论，可得答案；
（2）即证，只需证，即证，令，利用导数可得，令，利用导数可得，从而得到答案.
【详解】（1）的定义域为，
对于二次方程，有，
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，方程有两根，
若，则，
因为在上，所以在上单调递增；
因为在上，所以在上单调递减；
若，则，
因为在与上，
所以在与上单调递减，
因为在上，
所以在上单调递增；
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在与上单调递减，
在上单调递增；
（2）证明，即证，
因为，所以，
当时，不等式显然成立，
当时，因为，
所以只需证，即证，
令，则，
由得；由，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，令，则，
易知在上为减函数，在上为增函数，
所以，
所以恒成立，即.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为证，然后构造函数，，利用导数证得，从而得到答案.
5．
【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．
【详解】，则，
函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
又，则，
所以在区间上有解，
所以，，令，，
则，
令，则在区间恒成立，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
6．(1)1
(2)
【分析】（1）由单调性知在上恒成立，采用分离变量法知，由此可求得结果；
（2）将问题等价于，根据二次函数性质可求得，利用导数可求得，由此构造不等式可求得结果.
【详解】（1），
在上单调递增，在上恒成立，
，
当时，，，
实数的最小值为.
（2）对“，，使成立”等价于“当时，”，
在上单调递增，，
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，解得：，即实数的取值范围为.
7．##
【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.
【详解】因则，
由知时，，即函数在上单调递增.
由可得：且,故得：，
则，不妨设，则，
故当时，，递增，当时，，递减，
即，故的最大值为.
故答案为：.
8．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论与两种情况即可得解；
（2）结合（1）中结论，将问题转化为恒成立，从而构造函数，利用导数求得即可得证.
【详解】（1）因为，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，
当时，单调递减，时，单调递增；
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，
只需，即恒成立即可，
令，则，
当时，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，，
所以，使得.
9．B
【分析】由题意可构造函数，然后求出函数的单调性即可求解.
【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，
所以在上是减函数，
对A：因为，所以，即，得，故A错误；
对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；
因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确.
故选：B.
10．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，
（2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证.
【详解】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
（2），
由可得，或，，单调递增；
，，单调递减．
又因为，，
所以恒成立．
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）当时，，故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
12．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，进而求得函数的单调区间；
（2）由（1），根据题意，得到，即，当时，结合，，，，将不等式累加后，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，可得的定义域为，
且
若，可得，在上单调递减；
若，令，因为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上可得：当时， 在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为.
（2）证明：由（1）知，当时，的递增区间为，递减区间为，
所以，所以，即，
当时，可得：，
将不等式累加后，
可得
，
即.
13．(1)
(2)见解析
【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.
（2）首先将函数零点代入函数，变形为，不等式转化为，再利用换元，构造函数，，利用导数证明不等式成立，即可证明.
【详解】（1），定义域均为，
，
当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；
当时，令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
又，
当时：，在单调递减，无极值，与题不符；
当时：令，解得：，
所以在单调递减，在单调递增，
在取极小值，且；
依题意，
解得：，
（2）当时，，
由题意可知，，两式相减得，
整理为，
要证明，即证明，
不妨设，即证明，即，
设，即证明，
设，
，
所以函数在区间单调递减，且，
即在区间恒成立，即,
即，得证.
14．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数定义域为，.
当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；
当时，由得，由得.
此时函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）解：由，即.
令，
因为，则，所以，函数在上单调递增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，
只需，
设，，在单调递增，所以.
综上所述，实数的取值范围为.
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出，对a分类讨论得出函数的单调性即可；
（2）化简进而即证：对任意的恒成立，通过求导进而得证.
【详解】（1）解：
当时，
当时，，则
令，则，或，，则，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）有两个极值
是方程的两个不等实根，则
要证：，即证：
不妨设，即证：
即证：对任意的恒成立
令，，则
从而在上单调递减，故，所以
16．(1)
(2)见解析
【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足时即可求的取值范围.
（2）根据（1）中求导结果得出零点的取值范围，根据零点性质可知，据此利用函数单调性定义得出和的大小关系，从而证明出.
【详解】（1），，，得，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，所以函数的最小值是，
因为函数无零点，，得，
所以的取值范围是；
（2）证明：不妨设，
由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，
，故，
，
，
设，，
因为，，所以函数在区间单调递增，且，
所以在区间上恒成立，
故，即，
又在上单调递减，，
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的形状，以及双变量问题，综合性较强，本题第二问的关键是利用，结合函数的单调性，判断的正负.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义即得；
（2）根据三角函数的性质可得时，构造函数，利用导数研究函数的性质可得时，进而可得函数的单调性，即得；
【详解】（1）因为函数，
所以，
而，，
由，得，
所以在处的切线方程为；
（2）由（1）知，
当时，，，
令，则，
当时，，，单调递增，
所以，
综上，时，，即，且当时取等号，
所以在上单调递减，
.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令，利用导数研究函数的单调性，即可得证；
（2）对求导，可得时，，即可得证；
（3）设，对求导，则，借助（2）的结论，结合零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）令，
的定义域为，，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，，
即当时，.
（2），
，
当时，，则在上单调递减.
（3）设，
，由（2）知在上单调递减，
∵，，
根据零点存在性定理可得；
存在唯一实数使得，
当时，，即则在上单调递增，
当时，，即则在上单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，
∵，，，
∴在和上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有2个实数根.
19．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可
【详解】（1）依题意知，，
令得，
当时，在上，单调递减，在单调递增；
当时，在上，单调递增，在单调递减.
（2）依题意，要证，
①当时，，，故原不等式成立，
②当时，要证：，即证：，
令，则，，
∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，
故原不等式成立.
20．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数求出的最小值，与的最大值比较可证不等式成立；
（2）求导后，分类讨论，解导函数的不等式可得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，当且仅当时，等号成立，
而当时，，当且时，，
所以.
（2）的定义域为，
，
当时，，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
当时，令，得或，
若，即时，令，得或；令，得，
所以在和上为减函数，在上为增函数；
若，即时，在上恒成立，所以在上为减函数；
若，即时，令，得或，令，得，所以在和上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数；
当时，在上为减函数；
当时，在和上为减函数，在上为增函数.
21．(1)1
(2)证明见解析
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；
分析要证，只需证，
令，利用导数求得即可.
【详解】（1），
，
设
在上为单调递增函数，
，当时，，
当时，，在上单调递减；在上单调递增，
则；
（2）证明：，
只需证，即，
令，则，
当时，令，
则在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，
所以存在，使得，
由，
得，即，即，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
即．
22．(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）求导数，对分类讨论，即可讨论的单调性；
（2）由已知可得证明，当时，，令，分为和两种情况分别证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，则，
①当时，，所以在定义域R上为单调递增函数；
②当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）要证当时，，
即证，
令，则，
易知在 上为单调递增函数，所以，
若时，则，在上单调递增，
所以，
若，则，，
，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以
设，
则，所以在上单调递减，
所以，
因为，所以，
综上所述，当，时，.
【点睛】若函数在区间内单调，且满足，则在区间上有唯一的零点，这里的无法得到具体的值，如果讨论的问题不得不使用到零点的值，那么就可以使用到零点代换的技巧，即对零点满足的关系式进行相关代换.
23．(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性，即可得证.
【详解】（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）当时，，故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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