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专题5 三角形的形状问题
【典例1-1】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）
1．在中，，，所对的边分别为，，，则下列判断中正确的是（ ）
A．，，无解 B．，，有一解
C．，，有两解 D．，，有一解
【典例1-2】（22-23高一下·河北石家庄·期中）
2．设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 .
【题后反思】常用结论：已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示．
（ⅰ）A为钝角或直角时解的情况如下：
（ⅱ）A为锐角时，解的情况如下：
【举一反三】
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
3．在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·江西宜春·阶段练习）
4．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【典例2-1】（23-24高一下·河南·阶段练习）
5．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【典例2-2】（23-24高一下·安徽·阶段练习）
6．点O为所在平面内一点，则（ ）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
【题后反思】牢记三角形五心的含义，进而可以推到其一些性质：
1.三角形的重心：三角形各边中线的交点
2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点
3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点
4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点
5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心
【举一反三】
（22-23高一下·山东·阶段练习）
7．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
（22-23高一下·河南南阳·期中）
8．为所在平面内一点，且满足
|则点为的 心.若,，，则
【典例3-1】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）
9．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【典例3-2】（22-23高一下·湖南长沙·阶段练习）
10．点是所在平面内的一点，当且时，的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【题后反思】此类题目常常通过数量积的运算律将向量关系转化为数量关系，通过边的数量关系的情况判断形状.
【举一反三】
（23-24高一下·重庆·阶段练习）
11．在中，，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形
（22-23高一·全国·随堂练习）
12．先根据下列条件画图，观察并判断以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后进行证明．
(1)已知，，；
(2)已知，，；
(3)已知，，．
【典例3-1】（22-23高一下·江苏镇江·期中）
13．在中，分别是内角所对的边，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形
C．等边三角形 D．以上结论均不正确
【典例3-2】（22-23高一下·海南海口·期中）
14．在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上答案都不对
【题后反思】转化为三角形的边来判断：
（1）△ABC为直角三角形或或；
（2）△ABC为锐角三角形且且；
（3）△ABC为钝角三角形或或；
（4）按等腰或等边三角形的定义判断.
【举一反三】
（20-21高一下·吉林白城·阶段练习）
15．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
（22-23高二下·山西大同·阶段练习）
16．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
【典例4-1】（22-23高一下·广东湛江·期中）
17．在中，内角、、的对边分别为、、，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【典例4-2】（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）
18．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【题后反思】
转化为角的三角函数（值）来判断：
（1）若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；
（2）若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；
（3）若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；
（4）若，则C=90°，△ABC为直角角形；
（5）若sinA=sinB或sin（A-B）=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；
（6）若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【举一反三】
（22-23高一下·江苏宿迁·期中）
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
（22-23高一下·江苏宿迁·期中）
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BD
【分析】A选项由余弦定理进行判断，B、C、D选项由正弦定理判断即可.
【详解】对于A，由余弦定理得，
即，故，，能构成三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理，即，解得，又，故，所以只有一解，故B正确；
对于C，由正弦定理，即，解得，所以不存在，故C错误；
对于D，由正弦定理，即，解得，所以，只有一解，故D正确.
故选：BD.
2．
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理可知，即，所以，
因为有两个解，即有两解，又，则，
由正弦函数的性质，可得且，
所以，即，解得，
即的取值范围是.
故答案为：
3．A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
4．(1);
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，利用两角和差公式可得，即可得解；
（2）由及正弦定理可得，因为角的解有两个，所以角的解也有两个，从而有，，求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）解：将代入正弦定理，得，
所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，
所以，
即，
又，
所以，
解得.
所以的范围为.
5．A
【分析】利用向量的加减法法则计算化简，再运用向量垂直的充要条件进行判断即得.
【详解】由题意可得，则，故点是的垂心.
故选：A.
6．ABD
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得，
则以为邻边作平行四边形，可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确.
对于C中，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D中，由,
因为，可得，
即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故选：ABD.
7．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误．

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，
D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
8． 垂
【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，
则，即，
即，
即，
即，
所以，，同理可得，，
故点为的垂心，
因为
，即，
因为，解得，
因此，，
解得，
因此，.
故答案为：垂；.
9．B
【分析】根据向量的加减运算可得，两边平方后结合数量积的性质，即可推得答案.
【详解】由，可得，
即，即，
将等式两边平方，化简得，∴，
即，因此，是直角三角形，
故选：B．
10．A
【分析】利用三角形中向量运算，先后判断出点是三角形重心，垂直平分，进而即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以是的重心，
又，
所以垂直平分，所以为等腰三角形.
故选：A
11．D
【分析】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状.
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以为等腰非等边三角形.
故选：D
12．(1)图见解析，直角三角形；
(2)图见解析，锐角三角形；
(3)图见解析，直角三角形.
【分析】由平面向量数量积的坐标运算一一判定即可.
【详解】（1）

如图所示，易知：，
显然，
即是直角三角形；
（2）

如图所示，易得：，
显然，故是锐角三角形；
（3）如图所示，易得：，
显然，即是直角三角形.

13．C
【分析】利用余弦定理化简已知条件，由此确定正确答案.
【详解】由于，所以为锐角，
由余弦定理得，则为锐角.
由以及余弦定理得，
，由于，所以，即，
所以，所以三角形是等边三角形.
故选：C
14．B
【分析】利用余弦定理判断的符号，根据三角形内角性质即可判断的形状.
【详解】由，而，
所以，即为钝角，故为钝角三角形.
故选：B
15．B
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，
故选：B
16．A
【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果.
【详解】因为三角形三条边上的高之比为，
所以三角形三条边之比为，即，
不妨设，
则最大角的余弦值为，
因此角为钝角，三角形为钝角三角形.
故选：A.
17．D
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得出，求出、，利用正弦型函数的基本性质可得出、的关系，即可得出结论.
【详解】因为，则，
因为中至少有两个锐角，则、中至少一个为锐角，
不妨设为锐角，则，从而可知为锐角，
由正弦定理可得，即，
因为、，则、，
所以，或，即或，
因此，为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
18．B
【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解.
【详解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即为等边三角形.
故选：B
19．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案.
【详解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因为，所以，故，
因为，所以，
的形状为直角三角形.
故选：B
20．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案.
【详解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因为，所以，故，
因为，所以，
的形状为直角三角形.
故选：B
答案第1页，共2页
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