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第八章：第4节
机械能守恒定律
追寻守恒量
A
B
h
h'
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现:无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
证明小球能到等高的位置
小球在光滑的斜面Ａ上从高为h处由静止滚下，滚上另一光滑的斜面Ｂ，速度变为零时的高度为h'，
试证明：h=h'
A
B
h
h'
如果减小斜面B的倾角呢？
证明过程：若无阻力
A斜面上：
a＝gsinα
x＝ v2/2a
h ＝ x sinα＝v2/2g
在B斜面上：
a'＝－gsinβ
x'＝（0－v2）/2a'
h' ＝ x'sinβ = v2/2g
结论：h'＝h，且与β角的大小无关。
A
B
h
h'
α
β
能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要事例。
后来的物理学家把这一事实说成是“某个量是守恒的”,并且把这个量叫做能量或能。
【总结】
重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能（mechanical energy）。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。
一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落。它们都由高度为 h1 的地方下落到高度为 h2 的地方。
在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？
情景1
我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下，物体受到重力和曲面支持力的作用，因为支持力方向与运动方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。
情景2：动能和势能的相互转化是否存在某种定量关系？
举例推导
动能定理：
功能关系：
光滑曲面
联立变形：
【结论】只有重力做功的系统内，动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。
x
原长 2 1
光滑平面
举例推导
动能定理：
功能关系：
联立变形：
【结论】只有弹力做功的系统内，动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。
情景3：同样可以证明只有弹力做功的系统内，机械能不变
1.内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.表达式：
需要设定零势能面
E1=E2
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
机械能守恒定律
（1）研究对象—— 系统
x
原长 2 1
物体+地球
物体+地球+弹簧
拓展知识：机械能守恒条件：
v
v0
G
G
v0
G
自由落体运动
竖直上抛运动
平抛运动
（2）物体系统只受重力和系统内弹力，不受其他力。
小球和弹簧组成的系统在竖直方向上做往返运动。
（3）物体受重力或弹簧弹力，还受其他力，但其他力不做功。
乙
甲
A
B
C
A
光滑斜面上运动的物体
v0
判断机械能是否守恒的方法
（1）用做功来判断：分析系统受力，只有重力或者弹力做功，没有其它力做功或者其它力做功代数和为零，则系统机械能守恒。
（2）用能量转化来判定：系统只有动能和势能的相互转化，没有机械能与其它形式的能的转化，则系统机械能守恒。
微判断
1.物体的机械能一定是正值。(　　)
2.只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(　　)
3.合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
×
√
×
1.图甲中，各接触面光滑，A从B上端自由下滑的过程中，对A而言机械能守恒吗？对A、B组成的系统机械能守恒吗？
甲
提示:对A来说不守恒。B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒。对A、B组成的系统机械能守恒。只有重力和A、B间的弹力做功，A、B间的弹力是系统的内力，故A、B组成的系统机械能守恒。
2.图乙中，不计空气阻力，球在下落过程中，对小球而言机械能守恒吗？对球与弹簧组成的系统机械能守恒吗？
乙
提示:对球来说，在空中下落接触弹簧前，只有重力做功机械能守恒，在随弹簧一起下落至最低点过程中，弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹力对小球而言是外力，所以小球机械能不守恒。但对弹簧和小球组成的系统，只有重力和弹力做功，弹力属于系统内力，故机械能守恒。
【例1】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为 l，最大偏角为 θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？
解:设最低点的重力势能为0，在最高点的动能Ek1=0，重力势能是：
Ep=mg(l-l cosθ)
在最低点的重力势能 Ep2 =0，动能为: Ek2 = mv2
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
把数据代入，得 mv =mg(l-lcosθ)
解得： v =
小结：
第二课时 习题课
机械能守恒定律的应用
类别 表达式 物理意义
从不同状态看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或 E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或 ΔEk= -ΔEp 动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 或ΔEA=-ΔEB 两个物体组成的系统，A物体增加的机械能等于B 物体减少的机械能
运用机械能守恒定律的基本思路。
机械能守恒定律和动能定理的比较。
项目 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合力对物体做的功是动能变化的量度
应用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制
关注角度 守恒的条件和初末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合力做功情况
【例1】 下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的。图A、B中的F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(　 )
答案:C
2.(多选)如图所示，一轻质弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物从A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.重物的重力势能减小
B.重物的动能增大
C.重物的机械能不变
D.重物的机械能减小
答案:ABD
4.如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，（小球被弹出桌面前已恢复原长）小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，g取10 m/s2，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(　　)
A.10 J B.15 J
C.20 J D.25 J
答案:A
【例3】如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8 m，g取10 m/s2。求:
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度;
(2)B物体着地后A物体还能上升的高度。
答案:(1)2 m/s　(2)0.2 m
答案:B
3.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，A落地时立即烧断细线，则B上升的最大高度是(　　)
6.一滑雪跳台的示意图如图所示。假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2)
答案:8.9 m/s　16.7 m/s
【例2】如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧轨道AB和抛物线轨道BC组成，圆弧半径OA水平，B点为抛物线顶点。已知h=2 m，s= m。重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)一小环套在轨道上从A点由静止滑下，当其在BC段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径。
(2)若环从B点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达C点时速度的水平分量的大小。

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