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8.31动能定理解析版
目录
一、 【动能定理概念梳理】
二、 【动能定理和平抛结合知识点梳理】
三、 【动能定理和圆周运动结合知识梳理】
四、 【动能定理和摩擦力做功结合知识点梳理】
五、 【动能定理和机车启动结合知识点梳理】
六、 【动能定理和数学结合求最值知识点梳理】
七、 【动能定理和传送带结合知识点梳理】
【动能定理概念梳理】
动能的表达式
1．表达式：Ek＝mv2.
2．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.
3．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向，没有负值，与物体的速度方向无关.
4．动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应.
5．动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系.
动能变化量ΔEk
ΔEk＝mv22－mv12，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少.
动能定理
6．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.
7．表达式：W合＝ΔEk W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12.
(1)Ek2＝mv22表示这个过程的末动能；Ek1＝mv12表示这个过程的初动能.
(2)W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和.
8．适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到变力作用，并且做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，也能得到动能定理.
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
9．对“外力”的两点理解
(1)“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用．
(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力．
10．公式W合＝ΔEk中“＝”体现的三个关系
11．物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即若合外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少.
12．实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果.
13．应用动能定理解题的一般步骤：
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程.
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和.
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算.
【动能定理概念举一反三练习】
1．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（重力加速度大小为g）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为由动能定理可得联立可得物体克服弹簧弹力所做的功为故选A。
2．在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（　 　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【详解】物块在空中运动时，只有重力和空气阻力做功，由动能定理得解得物块克服空气阻力所做的功故选C。
3．一小球在竖直向上的拉力F作用下向上做匀减速运动，某时刻撒去拉力，小球继续上升一段距离后下落，不计空气阻力。下列关于小球上升过程中的动能E随上升高度的变化图像正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】小球在拉力F下向上做匀减速直线运动过程中根据动能定理可知则图像的斜率为，斜率为负数；当撤去F后，在上升过程利用动能定理得则斜率为-mg，撤去F后图像的斜率变大，故A正确。故选A。
4．如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R，bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为（ ）
A．2mgR
B．4mgR
C．5mgR
D．6mgR
【答案】C【详解】设小球运动到c点的速度大小为vc，则对小球由a到c的过程，由动能定理得F·3R-mgR=mvc2又F=mg解得vc2=4gR小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为小球在水平方向的加速度a=g在水平方向的位移为x=at2=2R由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量△E=F·5R=5mgR故选C。
【动能定理和平抛结合知识点梳理】
平抛和动能定理结合主要体现在求动能定理初末动能中的速度：
由于小球是恰好沿三角形斜面下滑，或者恰好沿切线飞进入圆轨道，所以各个速度V2（H）和V1、V合及夹角α通过三角函数间的关系可以相互转换，从而求出所需的物理量。
【动能定理和平抛结合举一反三练习】
5．如图所示，一个质量为的小球悬挂在长的细线下端。左侧有一竖直放置的圆管轨道，轨道半径，为其竖直直径，，B点到D点的竖直距离。现让小球从与竖直方向成角的A点由静止释放，小球运动到悬挂点正下方B点时绳子刚好断开，接着小球从B点飞出后刚好由D点切线进入圆管轨道，而且小球运动到圆管轨道的最高点F时和管道内外壁均无弹力作用。g取10，，，不计空气阻力，求：
（1）小球在B点速度大小；
（2）细线与竖直方向的夹角；
（3）在圆管轨道间运动时，小球克服摩擦力所做的功。
【答案】（1）；（2）；（3）0.4J【详解】（1）小球从B点到D点做平抛运动，运动轨迹如图所示设落到D点时其竖直方向分速度为，则解得而水平分速度和大小相等，解得（2）小球从A点运动B点，由动能定理有
代入数据解得故（3）小球在F点和轨道间无弹力，有解得因，故所以小球从D点到F点由动能定理得代入数据解得因此，小球克服摩擦力所做的功为0.4J。
6．如图所示，一小物体自平台边缘上以的速度水平抛出，能恰好沿倾角为的固定斜面从顶端A点下滑，斜面放置在水平地面上，在B点与水平地面平滑连接，小物体最终停在水平地面上的C点。已知小物体与斜面及水平地面间的动摩擦因数均为 C点距B点的水平距离为，重力加速度，，。求：
（1）小物体下落到斜面顶端A点时的速度 大小；
（2）斜面顶端高度 H。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）小物体抛出后能恰好沿斜面从顶端A点下滑，说明在A点速度沿斜面向下，根据运动的合成与分解，有解得（2）小物体从A点到C点，根据动能定理，有解得
7．如图所示为游乐场内一水上娱乐设施的模型。AB为与水平方向成夹角的倾斜滑道，滑道斜面与滑水者间的动摩擦因数，BC为一段末端水平、半径为R的光滑圆弧恰好与滑道底端B处与连接，C为圆弧的末端。质量为m的滑水者从A点静止出发，滑至C端时，速度传感器测得滑水者的速度为，最终落入水面的D点。已知重力加速度为g，C端与水面高度差h=R，，，求：
（1）滑水者经过C点时对圆弧轨道的压力大小；
（2）滑水者落入水中面D点瞬间的速度大小以及D点与C点的水平距离L；
（3）斜面上AB两点的距离l。
【答案】（1）3mg；（2），L=2R；（3）4R【详解】（1）在C点，有根据牛顿第三定律，可知解得（2）滑水者离开C点做平抛运动，有解得L=2R滑水者从C点到D点，有解得（3）滑水者从A点到C点，有解得4R
【动能定理和圆周运动结合知识梳理】
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．轻绳和轻杆模型涉及的临界问题
3.竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v临＝对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
四　圆周运动中的临界问题
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态．
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【动能定理和圆周运动结合举一反三练习】
8．如图所示，将一个质量m=2kg的小球以速度v0=3m/s从P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿其切线方向进入光滑圆弧轨道并沿圆弧轨道向下运动。已知圆弧轨道的半径R=2.5m，圆心为O，B为圆弧轨道的最低点，∠AOB=53°，重力加速度取g=10m/s2，cos53°=0.6。小球运动到圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小为（　　）
A．38N B．44N C．50N D．56N
【答案】D【详解】小球恰好从A点沿其切线方向进入光滑圆弧轨道，则小球在A点的速度方向与水平方向的夹角为，小球从P点到A点做平抛运动，平抛运动水平方向为匀速直线运动，则小球在A点时的速度大小为设小球到达B点时的速度为，对小球从A点到B点的过程中，根据动能定理设小球到圆弧轨道的最低点B时轨道对小球的弹力为，小球经过B点时根据牛顿第二定律有解得根据牛顿第三定律得，小球运动到轨道最低点B时对轨道的压力为故选D。
9．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高顶部水平高台，接着以水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径为，人和车的总质量为，特技表演的全过程中，阻力忽略不计。（计算中取。）求：
（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
（2）从平台飞出到A点时速度大小及圆弧对应圆心角；
（3）人和车运动到圆弧轨道最低点O速度，此时对轨道的压力大小。
【答案】（1）；（2），；（3）【详解】（1）从平台飞出到A点的过程，人和车做平抛运动，根据平抛运动规律，有解得从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离为（2）从平台飞出到A点，根据动能定理，有解得如图
可知（3）在最低点，有解得根据牛顿第三定律可知人和车对轨道的压力大小为
10．如图，一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的直径大得多），在圆管中有一个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为5.5mg。此后小球便做圆周运动，求：
（1）小球在最低点时具有的动能；
（2）小球经过半个圆周到达最高点时的速度大小；
（3）若管内壁粗糙，小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，则小球此过程中克服摩擦力所做的功。
【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）小球在最低点时，根据牛顿第二定律小球在最低点时具有的动能（2）小球经过半个圆周到达最高点，根据动能定理有小球经过半个圆周到达最高点时的速度大小为（3）若管内壁粗糙，小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，根据动能定理有解得小球此过程中克服摩擦力所做的功为
11．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（　　）

A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2=c时，轻质绳的拉力大小为－a
D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为5a
【答案】C【详解】AB．由，可得得由，可得解得故AB错误；C．当v2=c时有解得故C正确；D．从最高点到最低点由动能定理可得在最最高点和最低点分别有 ，则故D错误。故选C。
12．如图所示，光滑倾斜轨道AB和水平轨道BC平滑连接（小球经过时速度大小不变），轨道AB距地面高h的A点有一个质量m＝1kg的小球无初速释放，小球从C点向右进入半径R＝1m的光滑圆形轨道，圆形轨道底部C处前后错开，小球可以从C点向右离开圆形轨道，在水平轨道上继续前进。已知小球与水平轨道间的动摩擦因数，水平轨道BC长L＝1m，不计其它阻力，重力加速度。
（1）若释放点A高度h＝3m，求小球到达B点的速度大小；
（2）要使小球完成圆周运动，则释放点A的高度h需要满足什么条件；
（3）若小球恰好不脱离轨道，求小球最后静止的位置到圆轨道最低点C的距离。
【答案】（1）；（2）不小于2.9m；（3）C点的左侧0.5m处或在C点右侧6.25m处【详解】（1）从A到B，根据动能定理有解得（2）要使小球完成圆周运动，则小球在最高点时最小速度需重力提供向心力，则有根据动能定理有解得则可知要使小球完成圆周运动，则释放点A的高度h需要不小于2.9m；（3）若小球恰好不脱离轨道，第一种情况是，即小球从2.9m高处滑下，过圆最高点后，从C点向右离开圆形轨道，小球最后静止的位置到圆轨道最低点C的距离为x，根据动能定理解得即小球最后静止的位置在C点的右侧，距圆轨道最低点C的距离为6.25m；若小球恰好不脱轨道，第二情况是，小球从斜面滑下后最高点只刚好到与圆心等高处，然后滑回来过C点向左滑，根据动能定理有解得即小球最后静止的位置在C点的左侧，因BC长L＝1m，所以小球
最后停在BC中点处、距圆轨道最低点点C的距离为0.5m。综上所述，小球最后静止的位置可能在C点的左侧0.5m处或在C点右侧6.25m处。
13．如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘L处放着一质量为的小铁球（可看作质点），现用水平向右推力F作用于铁球，作用一段时间后撤去，铁球继续运动，到达水平桌面边缘A点飞出，恰好落到竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道，且铁球恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知，A、B、C、D四点在同一竖直平面内，水平桌面离B端的竖直高度，圆弧轨道半径，C点为圆弧轨道的最低点，求：（取，，）
（1）铁球运动到圆弧轨道最高点D点时的速度大小；
（2）铁球运动到B点时的速度大小以及此时轨道对铁球的支持力大小；
（3）铁球从B运动到D的过程中圆弧轨道BCD的对铁球所做的功。
【答案】（1）;（2）, ;（3）【详解】（1）小球恰好通过D点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律可得可得（2）小球从A点到B点的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律有解得小球沿切线进入圆弧轨道，则小球在B点的向心力由支持力和重力在半径方向的分力的合力提供，则有（3）设铁球从B运动到D的过程中圆弧轨道BCD的对铁球所做的功为，由动能定理得解得
【动能定理和摩擦力做功结合知识点梳理】
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移．
3.摩擦力做功的分析方法
(1)无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都是用力与对地位移的乘积．
(2)摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程．
4.判断在斜面上的物体是否能静止
μ大于等于tanθ 物体可以静止在斜面
μ小于tanθ 物体在斜面上下滑
【动能定理和摩擦力做功结合举一反三练习】
14．如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度，轨道CD足够长且倾角，A、D两点离轨道BC的高度分别为，。现让质量为的小滑块自点由静止释放。已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求：
（1）小滑块第一次到达D点时的速度大小；
（2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；
（3）小滑块最终停止的位置距B点的距离。
【答案】（1）3m/s；（2）2s；（3）1.4m【详解】（1）小滑块从A点到第一次到达D点过程中，由动能定理得代入数据解得（2）小滑块从A点到第一次到达C点过程中，由动能定理得代入数据解得小滑块沿CD段上滑的加速度大小为小滑块沿CD段上滑到最高点的时间为由对称性可知小滑块从最高点滑回C点的时间为故小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔为（3）设小滑块在水平轨道上运动的总路程为，对小滑块运动全过程应用动能定理有代入数据解得故小滑块最终停止的位置距B点的距离为
15．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h=1.6m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2。求：
（1）小物体第一次通过C点时对轨道的压力；
（2）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长；
（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从斜面又返回到圆轨道，多次反复，在整个运动过程中，物体对C点处轨道的最小压力；
（4）在（3）中，物体在斜面上运动的总路程。
【答案】（1），方向竖直向下；（2）；（3），方向竖直向下；（4）【详解】（1）小物体从E点到C点，由机械能守恒定律得在C点，由牛顿第二定律得解得根据牛顿第三定律可知，小物体对C点处轨道的压力大小为，方向竖直向下。（2）从过程，由动能定理得解得（3）因为可知小物体不会停在斜面上。小物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动，从过程，由动能定理得在C点，由牛顿第二定律得解得根据牛顿第三定律可知，物体对C点处轨道的最小压力为，方向竖直向下。（4）根据能量守恒解得物体在斜面上运动的总路程为
16．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来，如图是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m。一运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回，已知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度为h和H，且，，g取。求：
（1）运动员从A运动到达B点时的速度大小；
（2）轨道CD段的动摩擦因数；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
【答案】（1）6m/s；（2）0.125；（3）第一次返回时，运动员不能回到B点，最后停在距离D点左侧6.4m处【详解】（1）由题意可知m/s（2）由B点到E点，由动能定理可得代入数据可得=0.125（3）运动员能到达左侧的最大高度为，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有解得=1.8m17．如图所示，一粗糙斜面AB与光滑圆弧轨道BCD相切，C为圆弧轨道的最低点，圆弧BC所对圆心角θ=37°。已知圆弧轨道半径为R＝0.5m，斜面AB的长度为L＝2.875m。质量为m＝1kg的小物块（可视为质点）从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，从B点进入圆弧轨道运动恰能通过最高点D。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
(1)物块经C点时对圆弧轨道的压力Fc；
(2)物块与斜面间的动摩擦因数μ。
【答案】(1) (2)【详解】(1)由题意知小物块沿光滑轨道从C到D且恰能通过最高点，由牛顿第二定律有mg＝ ① 从D到C由动能定理可得
－mg·2R＝ ②由牛顿第二定律可得 FC′－mg＝m ③由牛顿第三定律得 FC＝FC′④联解①②③④并代入数据得FC＝60 N⑤(2)对小物块从A经B到C过程，由动能定理有mg[Lsin θ＋R（1－cos θ）]－μmgcos θ·L＝－0⑥联解①②⑥并代入数据得μ＝0.25
18．如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块（可看作质点），恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道。圆弧轨道CDM的半径，O为圆弧的圆心，D为圆弧的最低点，C、M在同一水平高度，OC与CM的夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与CM的夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78N，与斜面MN之间的动摩擦因数，小物块第一次通过C点后立刻装一与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度大小，，，不计空气阻力，求：
（1）小物块平抛运动到C点时的速度大小；
（2）A点到C点的竖直距离；
（3）小物块在斜面MN上滑行的总路程。
【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）小物块在D点，支持力和重力的合力提供向心力，则有解得小物块从C点运动到D点，由动能定理得解得。（2）小物块做平抛运动到C点的竖直分速度A点到C点的竖直距离解得（3）最后小物块在CM之间来回滑动，且到达M点时速度为零，根据动能定理可得解得
19．如图所示，在距水平地面高h1=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存的弹性势能Ep=2J。现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B点距水平地面的高h2=0.6m，圆弧轨道BC的圆心为O，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.1m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s2，空气阻力忽略不计。试求：
(1)小物块运动到B的瞬时速度vB大小；
(2)小物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力Nc大小（保留一位小数）；
(3)若小物块与墙壁只发生一次弹性碰撞，且不会从B点飞出，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件。
【答案】(1)4m/s；(2)33.3N；(3)【详解】（1）打开锁扣K，物块与弹簧分离后将获得速度v0，由机械能守恒得解得 小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，由机械能守恒得解得 （2）根据图中几何关系可知解得根据能的转化与守恒可知
解得对小球在圆弧轨道C点应用牛顿运动定律解得(3)依据题意知，①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度趋于零，根据能量关系有代入数据解得②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，设物块碰前在D处的速度为v2，由能量关系有第一次碰墙后返回至C处的动能为可知即使有小物块不可能返滑至B点，故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，因此有联立解得综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值
【动能定理和机车启动结合知识点梳理】
(1)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(2)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
在匀加速启动过程中，小车先做匀加速运动（牵引力F不变，功率变大）再做加速度减小的加速运动（牵引力F变小，功率不变）所以整个过程中动能定理：
【动能定理和机车启动结合举一反三练习】
20．一辆汽车在水平平直公路上由静止开始启动，汽车的输出功率与速度的关系如图所示，当汽车速度达到后保持功率不变，汽车能达到的最大速度为。已知汽车的质量为，运动过程中所受阻力恒为，速度从达到所用时间为，下列说法正确的是（　　）
A．汽车的最大功率为 B．汽车速度为时，加速度为
C．汽车速度从0到的过程中，位移为 D．汽车速度从到的过程中，位移为
【答案】C【详解】AB．汽车速度为v0时，牵引力为 ，汽车速度为 时，牵引力为，从到汽车功率恒定，则有解得根据牛顿第二定律可知，汽车速度为v0时，加速度为汽车的最大功率为A B错误；C． 阶段汽车做匀加速直线运动，位移为故C正确；D．阶段汽车的位移为，对汽车运用动能定理可得解得故D错误。故选C。
21．一种氢气燃料的汽车，质量为，发动机的额定输出功率为，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍。若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为。达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了，直到获得最大速度后才匀速行驶。试求∶
（1）汽车的最大行驶速度；
（2）当速度为时，汽车牵引力的瞬时功率；
（3）汽车从静止到获得最大行驶速度所用的总时间。
【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）当汽车以额定功率行驶，牵引力等于阻力时，汽车的行驶速度最大，则汽车的最大行驶速度（2）设汽车匀加速启动阶段结束时的速度为，由得F4103N由得当速度为时，处于匀加速阶段，牵引力的瞬时功率为（3）匀加速阶段的时间为恒定功率启动阶段的时间设为，由动能定理得所以，总的时间为
22．电动平衡车作为一种电力驱动的运输载具，被广泛应用在娱乐、代步、安保巡逻等领域。某人站在平衡车上以初速度在水平地面上沿直线做加速运动，经历时间t达到最大速度，此过程电动机的输出功率恒为额定功率P。已知人与车整体的质量为m，所受阻力的大小恒为f。则（　　）
A．
B．车速为时的加速度大小为
C．人与车在时间t内的位移大小等于
D．在时间t内阻力做的功为
【答案】D【详解】A．根据题意可知，当牵引力等于阻力时，平衡车的速度达到最大值，由公式P=Fv可得，最大速度为故A错误；B．车速为时的牵引力为由牛顿第二定律可得解得故B错误；D．平衡车从到最大速度，由动能定理得解得在时间t内阻力做的功为故D正确；C．在时间t内阻力做的功解得人与车在时间t内的位移大小为故C错误。故选D。
【动能定理和数学结合求最值知识点梳理】
动能定理题型中涉及到求最值问题的一般思路：
①找出题中的变量，设未知数。
②通过动能定理和其他的物理知识列多过程的方程。
③最终可以得到所求的最值和未知数的函数关系式，（一般的关系式常为二次函数，对钩函数）
【动能定理和数学结合求最值举一反三练习】
23．如图所示，光滑半圆形轨道处于暨直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出).已知A、C间的距离为L，重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN的大小；
(2)为使小球能站动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
(3)轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大 最大距离是多少
【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】(1)设小球到B点速度为v，从C到B根据动能定理有解得在B点，由牛顿第二定律有：解得:根据牛顿第三定律可知:(2)小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有解得：(3)设小球平抛运动的时间为t，有解得：水平位移
当时，水平位移最大，解得D到A的最大距离.
24．如图，轻绳一端固定在O点，另一端系着一小球。将小球拉到与O点同一水平高度的A点，此时轻绳处于伸直状态。小球从A点由静止释放，当摆到O点正下方的B点时，轻绳突然断裂，小球开始做平抛运动，落在水平面上的C点。已知O点离地的高度H=5m，轻绳长度L=1.8m。取重力加速度，不计一切阻力。
（1）小球摆到B点时的速度大小vB为多少？
（2）小球由B点运动到C点的时间t为多少？
（3）若保持O点离地的高度H不变，改变该轻绳长度，则小球水平最大射程sm为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）小球下摆的过程中根据动能定理可知解得（2）根据平抛运动规律可知解得（3）根据题意可知平抛水平射程可知当时小球水平射程最大，最大射程为
【动能定理和传送带结合知识点梳理】
1．模型条件
(1)传送带匀速或加速运动．
(2)物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力．
(3)物体与传送带之间有相对滑动．
2．模型特点
(1)若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力．
(2)若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动．
(3)若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用．
3．功能关系
(1) 对功WF和Q的理解：
①传送带做的功：WF＝Fx传；
②产生的内能Q＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移．
(2)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
4.传送带模型问题的分析流程
【动能定理和传送带结合举一反三练习】
25．倾斜传送带广泛应用于矿山、港口、电厂、物流等领域。模型简化如图所示，与水平面成角的倾斜传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的，将的货物轻放在传送带上的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度v随时间t变化图像如图乙所示，已知重力加速度，由图可知（　　）
A．货物与传送带间的动摩擦因数为0.25
B．货物从A运动到B过程中，传送带对货物做功为112J
C．货物从A运动到B过程中，货物对传送带做功64J
D．货物从A运动到B过程中，货物与传送带摩擦产生的热量为128J
【答案】C【详解】A．根据牛顿运动定律可得，货物的加速度为货物的加速度为根据动力学公式有代入数据计算可得，故A错误；B．货物的位移为末货物的速度为货物的位移为货物从A运动到B过程中，根据动能定理有传送带对物块做的功为故B错误；C．货物从A运动到B过程中，
皮带运动的距离为皮带运动的距离为货物对传送带做功为故C正确；D．货物从A运动到B过程中，货物与传送带的相对位移为货物与传送带摩擦产生的热量为故D错误。故选C。
26．如图所示，倾角的传送带以大小为的速度顺时针匀速运行。质量为的某工件（视为质点）以大小为的初速度从传送带的底端A冲上传送带，恰好能到达传送带的顶端B，随即被取走。工件与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小。则（　　）
A．工件沿传送带上滑的时间为
B．工件在传送带上运动时，摩擦力对其做功为
C．传动带A、B两端的距离为
D．工件在传送带上运动时，因摩擦产生的热量为
【答案】A【详解】A．工件所受重力沿传送带向下的分力大小为滑动摩擦力大小为当工件的速度大于传送带的速度时，工件受到沿传送带向下的滑动摩擦力，因此工件向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律可得，上滑的加速度大小为工件从A端上滑至与传送带速度相同的时间此后工件继续向上做匀减速运动，上滑的加速度大小为从工件与传送带达到共同速度至工件到达B端的时间为因此工件沿传送带上滑的时间为故A正确；BC．A、B两端的距离为设工件返回A端时的速度大小为，则有解得根据动能定理可知，工件在传送带上滑行的过程中，摩擦力对工件做的功故BC错误；D．工件从B端下滑至A端的时间为工件在传送带上滑行的过程中，因摩擦产生的热量为故D错误。故选A。
27．如图所示，两个皮带轮在电机的带动下顺时针转动，带动水平传送带以不变的速率运行。将质量为的物体A（可视为质点）轻轻放在传送带左端，经时间后，A的速度变为v，再经过相同时间后，到达传送带右端。则下列说法正确的是（　　）
A．物体A由传送带左端到右端的平均速度为4m/s
B．传送带对物体做功为32J
C．系统因摩擦而产生的热量为16J
D．因传送物块，电机额外输出的能量为48J
【答案】C【详解】A．物体A由传送带左端到右端通过的位移为平均速度为 故A错误；B．物体从静止释放后经时间t速度变为v，对此过程，应用动能定理可得传送带对物体A做的功为故B错误；C．根据牛顿第二定律有系统因摩擦而产生的热量为解得故C正确；D．因传送物块，电机额外输出的能量为故D错误。故选C。8.31动能定理原卷版
目录
一、 【动能定理概念梳理】
二、 【动能定理和平抛结合知识点梳理】
三、 【动能定理和圆周运动结合知识梳理】
四、 【动能定理和摩擦力做功结合知识点梳理】
五、 【动能定理和机车启动结合知识点梳理】
六、 【动能定理和数学结合求最值知识点梳理】
七、 【动能定理和传送带结合知识点梳理】
【动能定理概念梳理】
动能的表达式
1．表达式：Ek＝mv2.
2．单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，符号为J.
3．标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向，没有负值，与物体的速度方向无关.
4．动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应.
5．动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系.
动能变化量ΔEk
ΔEk＝mv22－mv12，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少.
动能定理
6．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.
7．表达式：W合＝ΔEk W＝Ek2－Ek1＝mv22－mv12.
(1)Ek2＝mv22表示这个过程的末动能；Ek1＝mv12表示这个过程的初动能.
(2)W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和.
8．适用范围：动能定理是物体在恒力作用下，并且做直线运动的情况下得到的，当物体受到变力作用，并且做曲线运动时，可以采用把整个过程分成许多小段，也能得到动能定理.
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
9．对“外力”的两点理解
(1)“外力”指的是合外力，可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用．
(2)“外力”既可以是恒力，也可以是变力．
10．公式W合＝ΔEk中“＝”体现的三个关系
11．物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即若合外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少.
12．实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果.
13．应用动能定理解题的一般步骤：
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程.
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和.
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算.
【动能定理概念举一反三练习】
1．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为（重力加速度大小为g）（　　）
A． B．
C． D．
2．在离地面高为h处竖直上抛一质量为m的物块，抛出时的速度为v0，当它落到地面时速度为v，用g表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于（　 　）
A． B． C． D．
3．一小球在竖直向上的拉力F作用下向上做匀减速运动，某时刻撒去拉力，小球继续上升一段距离后下落，不计空气阻力。下列关于小球上升过程中的动能E随上升高度的变化图像正确的是（　　）
A． B． C．D．
4．如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R，bc是半径为R的四分之一的圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的
小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为（ ）
A．2mgR
B．4mgR
C．5mgR
D．6mgR
【动能定理和平抛结合知识点梳理】
平抛和动能定理结合主要体现在求动能定理初末动能中的速度：
由于小球是恰好沿三角形斜面下滑，或者恰好沿切线飞进入圆轨道，所以各个速度V2（H）和V1、V合及夹角α通过三角函数间的关系可以相互转换，从而求出所需的物理量。
【动能定理和平抛结合举一反三练习】
5．如图所示，一个质量为的小球悬挂在长的细线下端。左侧有一竖直放置的圆管轨道，轨道半径，为其竖直直径，，B点到D点的竖直距离。现让小球从与竖直方向成角的A点由静止释放，小球运动到悬挂点正下方B点时绳子刚好断开，接着小球从B点飞出后刚好由D点切线进入圆管轨道，而且小球运动到圆管轨道的最高点F时和管道内外壁均无弹力作用。g取10，，，不计空气阻力，求：
（1）小球在B点速度大小；
（2）细线与竖直方向的夹角；
（3）在圆管轨道间运动时，小球克服摩擦力所做的功。
6．如图所示，一小物体自平台边缘上以的速度水平抛出，能恰好沿倾角为的固定斜面从顶端A点下滑，斜面放置在水平地面上，在B点与水平地面平滑连接，小物体最终停在水平地面上的C点。已知小物体与斜面及水平地面间的动摩擦因数均为 C点距B点的水平距离为，重力加速度，，。求：
（1）小物体下落到斜面顶端A点时的速度 大小；
（2）斜面顶端高度 H。

7．如图所示为游乐场内一水上娱乐设施的模型。AB为与水平方向成夹角的倾斜滑道，滑道斜面与滑水者间的动摩擦因数，BC为一段末端水平、半径为R的光滑圆弧恰好与滑道底端B处与连接，C为圆弧的末端。质量为m的滑水者从A点静止出发，滑至C端时，速度传感器测得滑水者的速度为，最终落入水面的D点。已知重力加速度为g，C端与水面高度差h=R，，，求：
（1）滑水者经过C点时对圆弧轨道的压力大小；
（2）滑水者落入水中面D点瞬间的速度大小以及D点与C点的水平距离L；
（3）斜面上AB两点的距离l。
【动能定理和圆周运动结合知识梳理】
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．轻绳和轻杆模型涉及的临界问题
3.竖直面内圆周运动的求解思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体．
(2)确定临界点：v临＝对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
四　圆周运动中的临界问题
临界问题广泛地存在于中学物理中，解答临界问题的关键是准确判断临界状态，再选择相应的规律灵活求解，其解题步骤为：
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态．
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【动能定理和圆周运动结合举一反三练习】
8．如图所示，将一个质量m=2kg的小球以速度v0=3m/s从P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿其切线方向进入光滑圆弧轨道并沿圆弧轨道向下运动。已知圆弧轨道的半径R=2.5m，圆心为O，B为圆弧轨道的最低点，∠AOB=53°，重力加速度取g=10m/s2，cos53°=0.6。小球运动到圆弧轨道最低点B时对轨道的压力大小为（　　）
A．38N B．44N C．50N D．56N
9．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高顶部水平高台，接着以水平速度离开平台，落至地面时，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径为，人和车的总质量为，特技表演的全过程中，阻力忽略不计。（计算中取。）求：
（1）从平台飞出到A点，人和车运动的水平距离s；
（2）从平台飞出到A点时速度大小及圆弧对应圆心角；
（3）人和车运动到圆弧轨道最低点O速度，此时对轨道的压力大小。
10．如图，一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的直径大得多），在圆管中有一个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为5.5mg。此后小球便做圆周运动，求：
（1）小球在最低点时具有的动能；
（2）小球经过半个圆周到达最高点时的速度大小；
（3）若管内壁粗糙，小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，则小球此过程中克服摩擦力所做的功。
11．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（　　）

A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2=c时，轻质绳的拉力大小为－a
D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为5a
12．如图所示，光滑倾斜轨道AB和水平轨道BC平滑连接（小球经过时速度大小不变），轨道AB距地面高h的A点有一个质量m＝1kg的小球无初速释放，小球从C点向右进入半径R＝1m的光滑圆形轨道，圆形轨道底部C处前后错开，小球可以从C点向右离开圆形轨道，在水平轨道上继续前进。已知小球与水平轨道间的动摩擦因数，水平轨道BC长L＝1m，不计其它阻力，重力加速度
。
（1）若释放点A高度h＝3m，求小球到达B点的速度大小；
（2）要使小球完成圆周运动，则释放点A的高度h需要满足什么条件；
（3）若小球恰好不脱离轨道，求小球最后静止的位置到圆轨道最低点C的距离。
13．如图所示，在水平桌面上离桌面右边缘L处放着一质量为的小铁球（可看作质点），现用水平向右推力F作用于铁球，作用一段时间后撤去，铁球继续运动，到达水平桌面边缘A点飞出，恰好落到竖直圆弧轨道BCD的B端沿切线进入圆弧轨道，且铁球恰好能通过圆弧轨道的最高点D。已知，A、B、C、D四点在同一竖直平面内，水平桌面离B端的竖直高度，圆弧轨道半径，C点为圆弧轨道的最低点，求：（取，，）
（1）铁球运动到圆弧轨道最高点D点时的速度大小；
（2）铁球运动到B点时的速度大小以及此时轨道对铁球的支持力大小；
（3）铁球从B运动到D的过程中圆弧轨道BCD的对铁球所做的功。
【动能定理和摩擦力做功结合知识点梳理】
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移．
3.摩擦力做功的分析方法
(1)无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都是用力与对地位移的乘积．
(2)摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程．
4.判断在斜面上的物体是否能静止
μ大于等于tanθ 物体可以静止在斜面
μ小于tanθ 物体在斜面上下滑
【动能定理和摩擦力做功结合举一反三练习】
14．如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度，轨道CD足够长且倾角，A、D两点离轨道BC的高度分别为，。现让质量为的小滑块自点由静止释放。已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求：
（1）小滑块第一次到达D点时的速度大小；
（2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；
（3）小滑块最终停止的位置距B点的距离。
15．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E距离h=1.6m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2。求：
（1）小物体第一次通过C点时对轨道的压力；
（2）要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面至少要多长；
（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从斜面又返回到圆轨道，多次反复，在整个运动过程中，物体对C点处轨道的最小压力；
（4）在（3）中，物体在斜面上运动的总路程。
16．滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来，如图是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m。一运动员从轨道上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回，已
知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度为h和H，且，，g取。求：
（1）运动员从A运动到达B点时的速度大小；
（2）轨道CD段的动摩擦因数；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
17．如图所示，一粗糙斜面AB与光滑圆弧轨道BCD相切，C为圆弧轨道的最低点，圆弧BC所对圆心角θ=37°。已知圆弧轨道半径为R＝0.5m，斜面AB的长度为L＝2.875m。质量为m＝1kg的小物块（可视为质点）从斜面顶端A点处由静止开始沿斜面下滑，从B点进入圆弧轨道运动恰能通过最高点D。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g=10m/s2。求：
(1)物块经C点时对圆弧轨道的压力Fc；
(2)物块与斜面间的动摩擦因数μ。
18．如图所示，从高台边A点以某速度水平飞出的小物块（可看作质点），恰能从固定在某位置的光滑圆弧轨道CDM的左端C点沿圆弧切线方向进入轨道。圆弧轨道CDM的半径，O为圆弧的圆心，D为圆弧的最低点，C、M在同一水平高度，OC与CM的夹角为37°，斜面MN与圆弧轨道CDM相切于M点，MN与CM的夹角为53°，斜面MN足够长，已知小物块的质量，第一次到达D点时对轨道的压力大小为78N，与斜面MN之间的动摩擦因数，小物块第一次通过C点后立刻装一与C点相切且与斜面MN关于OD对称的固定光滑斜面，取重力加速度大小，，，不计空气阻力，求：
（1）小物块平抛运动到C点时的速度大小；
（2）A点到C点的竖直距离；
（3）小物块在斜面MN上滑行的总路程。
19．如图所示，在距水平地面高h1=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存的弹性势能Ep=2J。现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC。已知B点距水平地面的高h2=0.6m，圆弧轨道BC的圆心为O，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.1m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s2，空气阻力忽略不计。试求：
(1)小物块运动到B的瞬时速度vB大小；
(2)小物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力Nc大小（保留一位小数）；
(3)若小物块与墙壁只发生一次弹性碰撞，且不会从B点飞出，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件。
【动能定理和机车启动结合知识点梳理】
(1)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(2)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
在匀加速启动过程中，小车先做匀加速运动（牵引力F不变，功率变大）再做加速度减小的加速运动（牵引力F变小，功率不变）所以整个过程中动能定理：
【动能定理和机车启动结合举一反三练习】
20．一辆汽车在水平平直公路上由静止开始启动，汽车的输出功率与速度的关系如图所示，当汽车速度达到后保持功率不变，汽车能达到的最大速度为。已知汽车的质量为，运动过程中所受阻力恒为，速度从达到所用时间为，下列说法正确的是（　　）
A．汽车的最大功率为 B．汽车速度为时，加速度为
C．汽车速度从0到的过程中，位移为 D．汽车速度从到的过程中，位移为
21．一种氢气燃料的汽车，质量为，发动机的额定输出功率为，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍。若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为。达到额定输出功率后，汽车保持功率不变又加速行驶了，直到获得最大速度后才匀速行驶。试求∶
（1）汽车的最大行驶速度；
（2）当速度为时，汽车牵引力的瞬时功率；
（3）汽车从静止到获得最大行驶速度所用的总时间。
22．电动平衡车作为一种电力驱动的运输载具，被广泛应用在娱乐、代步、安保巡逻等领域。某人站在平衡车上以初速度在水平地面上沿直线做加速运动，经历时间t达到最大速度，此过程电动机的输出功率恒为额定功率P。已知人与车整体的质量为m，所受阻力的大小恒为f。则（　　）
A．
B．车速为时的加速度大小为
C．人与车在时间t内的位移大小等于
D．在时间t内阻力做的功为
【动能定理和数学结合求最值知识点梳理】
动能定理题型中涉及到求最值问题的一般思路：
①找出题中的变量，设未知数。
②通过动能定理和其他的物理知识列多过程的方程。
③最终可以得到所求的最值和未知数的函数关系式，（一般的关系式常为二次函数，对钩函数）
【动能定理和数学结合求最值举一反三练习】
23．如图所示，光滑半圆形轨道处于暨直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A.一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点(图中未画出).已知A、C间的距离为L，重力加速度为g.
(1)若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力FN的大小；
(2)为使小球能站动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值；
(3)轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大 最大距离是多少
24．如图，轻绳一端固定在O点，另一端系着一小球。将小球拉到与O点同一水平高度的A点，此时轻绳处于伸直状态。小球从A点由静止释放，当摆到O点正下方的B点时，轻绳突然断裂，小球开始做平抛运动，落在水平面上的C点。已知O点离地的高度H=5m，轻绳长度L=1.8m。取重力加速度，不计一切阻力。
（1）小球摆到B点时的速度大小vB为多少？
（2）小球由B点运动到C点的时间t为多少？
（3）若保持O点离地的高度H不变，改变该轻绳长度，则小球水平最大射程sm为多少？
【动能定理和传送带结合知识点梳理】
1．模型条件
(1)传送带匀速或加速运动．
(2)物体以初速度v0滑上传送带或轻轻放于传送带上，物体与传送带间有摩擦力．
(3)物体与传送带之间有相对滑动．
2．模型特点
(1)若物体轻轻放在匀速运动的传送带上，物体一定和传送带之间产生相对滑动，物体一定受到沿传送带前进方向的摩擦力．
(2)若物体静止在传送带上，与传送带一起由静止开始加速，如果动摩擦因数较大，则物体随传送带一起加速；如果动摩擦因数较小，则物体将跟不上传送带的运动，相对传送带向后滑动．
(3)若物体与水平传送带一起匀速运动，则物体与传送带之间没有摩擦力；若传送带是倾斜的，则物体受到沿传送带向上的静摩擦力作用．
3．功能关系
(1) 对功WF和Q的理解：
①传送带做的功：WF＝Fx传；
②产生的内能Q＝Ff x相对，其中x相对为相互摩擦的物体与传送带间的相对位移．
(2)功能关系分析：WF＝ΔEk＋ΔEp＋Q.
4.传送带模型问题的分析流程
【动能定理和传送带结合举一反三练习】
25．倾斜传送带广泛应用于矿山、港口、电厂、物流等领域。模型简化如图所示，与水平面成角的倾斜传送带以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的，将的货物轻放在传送带上的A端，经过1.2s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度v随时间t变化图像如图乙所示，已知重力加速度，由图可知（　　）
A．货物与传送带间的动摩擦因数为0.25
B．货物从A运动到B过程中，传送带对货物做功为112J
C．货物从A运动到B过程中，货物对传送带做功64J
D．货物从A运动到B过程中，货物与传送带摩擦产生的热量为128J
26．如图所示，倾角的传送带以大小为的速度顺时针匀速运行。质量为的某工件（视为质点）以大小为的初速度从传送带的底端A冲上传送带，恰好能到达传送带的顶端B，随即被取走。工件与传送带间的动摩擦因数为，取重力加速度大小。则（　　）
A．工件沿传送带上滑的时间为
B．工件在传送带上运动时，摩擦力对其做功为
C．传动带A、B两端的距离为
D．工件在传送带上运动时，因摩擦产生的热量为
27．如图所示，两个皮带轮在电机的带动下顺时针转动，带动水平传送带以不变的速率运行。将质量为的物体A（可视为质点）轻轻放在传送带左端，经时间后，A的速度变为v，再经过相同时间后，到达传送带右端。则下列说法正确的是（　　）
A．物体A由传送带左端到右端的平均速度为4m/s
B．传送带对物体做功为32J
C．系统因摩擦而产生的热量为16J
D．因传送物块，电机额外输出的能量为48J

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