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第四节 线段中点的应用
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
线段的中点 会用线段的中点解决简单问题 ★★
中位线 掌握三角形中位线定理，会用三角形中位线解决相关问题
二、核心纲要
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么 常见的联想路径有以下几种.
1.倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形与平行线
2.作直角三角形斜边中线
3.构造中位线
4.构造等腰三角形三线合一
5.三角形的中线可以等分三角形的面积
若 D 是 BC 边上的中点,则
6.中点四边形
(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形.
(2)常见的中点四边形
①任意四边形的中点四边形是平行四边形；
②平行四边形的中点四边形是平行四边形；
③矩形的中点四边形是菱形；
④菱形的中点四边形是矩形；
⑤正方形的的中点四边形是正方形；
⑥等腰梯形的中点四边形是菱形.
本节重点讲解：一个应用(中点的应用)，一个四边形(中点四边形).
三、全能突破
基础演练
1.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( ).
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
2.如图 18-4-1 所示,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中点,MN⊥AC于点 N,则 MN 的长为( ).
A. B.
c.
3.如图18-4-2 所示,在△ABC中,D为AC 边的中点,E 为BD 中点,F 为CE 中点,若△ABD的面积为 4,则△BFC的面积为( ).
A.2 B.1
C.1.5 D.0.5
4.如图18-4-3 所示,E、F、G、H 分别是BD、BC、AC、AD 的中点,且AB=CD.下列结论:①EG⊥FH,②四边形 EFGH 是矩形,③HF平分∠EHG,④EG= ⑤四边形 EFGH 是菱形.其中正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图18-4-4 所示,在四边形 ABCD 中,. ,M 为 BD 中点,N 为 AC 中点,求证:MN⊥AC.
6.如图18-4-5 所示,在等边△ABC中,P为AB 的中点,Q为AC 的中点,R 为BC 的中点,M 为RC 上任意一点,△PMS 为等边三角形.求证:RM=QS.
7.如图18-4-6 所示,在△ABC中,AC>AB,D点在AC 上,AB=CD,E、F 分别是BC、AD的中点,连接 EF 并延长,与 BA 的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD 的形状并证明.
能力提升
8.如图18-4-7 所示,已知△ABC 周长为1,连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第 2013个三角形的周长为 .
9.如图18-4-8 所示,在矩形ABCD中,AB=24,BC=26.先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，以此类推，…，第10次连接的图形的面积是 .
10.如图 18-4-9 所示, 中, ,点 D 在 BC上,点 E、F分别是 AD、AB的中点,AD=BD.求证:CF是 的平分线.
11.如图18-4-10 所示,在四边形 ABCD中,CD>AB,AB与CD 不平行,E、F 分别是AC、BD 的中点.求证:
12.如图18-4-11所示,在△ABC中,AD 是三角形的高,D 为垂足,点 E、F、G 分别是BC、AB、AC 的中点,求证:四边形 EFGD是等腰梯形.
13.如图18-4-12(a)所示,在△ACB 和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点 E 在AB 上,F 是线段BD 的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE 之间的数量关系(直接写出结果，不需说明理由)；
(2)将图18-4-12(a)中的△AED绕点 A 顺时针旋转,使△AED 的一边 AE 恰好与△ACB 的边 AC在同一条直线上(如图18-4-12(b)所示)，连接 BD，取 BD 的中点F，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)将图18-4-12(a)中的△AED绕点A 顺时针旋转任意的角度(如图18-4-12(c)所示),连接BD,取BD 的中点F，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.
14.如图 18-4-13(a)所示,在矩形ABCD 中,BC=2AB,M为AD 的中点,连接 BM.
(1)请你判断并写出∠BMD是∠ABM的几倍;
(2)如图18-4-13(b)所示,在平行四边形 ABCD中,BC=2AB,M 为AD 的中点,CE⊥AB 于点E,连接 EM、CM,请问:∠AEM与∠DME 是否也具有(1)中的倍数关系 若有,请证明;若没有,请说明理由.
。
15.如图 18-4-14所示,正方形 ABCD 和正方形 CGEF(CG>BC),连接AE,取线段 AE的中点M.
求证:FM⊥MD,且 FM=MD.
16.小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形(即原四边形的中点四边形)一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图 18-4-15(a)所示，点 P 是线段AB 的中点，分别以 AP和BP 为边在线段AB 的同侧作等边三角形APC 和等边三角形BPD，连接AD 和 BC，他想到了四边形 ABDC的中点四边形一定是菱形.于是，他又进一步探究：
如图 18-4-15(b)所示,若 P 是线段AB 上任一点,在 AB 的同侧作△APC 和△BPD,使 PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,设点 E、F、G、H 分别是AC、AB、BD、CD 的中点,顺次连接 E、F、G、H.请你接着往下解决三个问题：
(1)猜想四边形 ABDC的中点四边形EFGH 的形状，直接回答 ，不必说明理由；
(2)当点 P 在线段AB 的上方时,如图 18-4-15(c)所示,在△APB 的外部作△APC 和△BPD,其他条件不变，(1)中结论还成立吗 说明理由；
(3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90°,其他条件不变,先补全图18-4-15(d)所示,再判断四边形 EF-GH 的形状，并说明理由.
17.已知:在△ABC中,以 AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD 和BCE,M为CD 中点,N为CE中点,P为AB 中点.
(1)如图 18-4-16(a)所示,当∠ACB=120°时,∠MPN 的度数为 ;
(2)如图 18-4-16(b)所示,当∠ACB=α(0°<α<180°)时,∠MPN 的度数是否变化 给出你的证明.
基础演练
1. C;2. C;3. B;4. C
5.如下图所示,连接CM,AM,
∵∠DAB=∠BCD=90°,M为BD中点,
为等腰三角形.
∵N为AC 中点,∴MN⊥AC.
6.如下图所示,连接PR、PQ,∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60°.
∵△MPS是等边三角形。
∴PS=PM,∠MPS=60°.
∵P为AB的中点,Q为AC 的中点,R为BC 的中点,
∴∠APQ=∠BPR=60°,∴∠RPQ=180°-2×60°=60°.
又∵∠QPS=∠MPS-∠MPQ=60°-∠MPQ.
∠RPM=∠RPQ-∠MPQ=60°-∠MPQ,
∴∠QPS=∠RPM.∴△PRM≌△PQS.
∴RM=QS.
7.△AGD是直角三角形
如下图所示..连结 BD.取 BD的中点 H.连接 HF、HE.
∵F是AD 的中点,
同理，
∵AB=CD.∴HF=HE.
∴∠1=∠2.∵∠EFC=60°.
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°.
∴△AGF是等边三角形.
∴AF=GF.∴GF=FD.∴∠FGD=∠FDG=30°.
∴∠AGD=90°.即△AGD 是直角三角形.
能力提升
8.22012 9.39/64
10.∵点 E、F分别是AD、AB的中点,
在△ABC中,∠ACB=90°.
∵E是AD的中点,
∵AD=BD,∴EF=CE.∴∠ECF=∠CFE.
∴∠FCD=∠ECF.即CF是∠ECB的平分线.
11.如下图所示,取AD中点G,连接 EG、FG,
∵E是AC 的中点,∴EG是△ACD 的中位线.
同理可证：
在△EFG中.
12.∵点 E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
∵FE∥AC,DG与AC 是相交的,
∴DG与EF 不平行.∴四边形 EFGD是梯形.
∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形.
∵DG 是斜边上的中线，
∴DG=EF.∴梯形 EFGD是等腰梯形.
13.(1)如图(a)所示,连接CF,线段CE与FE 之间的数量关系是
(2)(1)中的结论仍然成立.
如图(b)所示,连接CF,延长 EF交 CB于点G.
∵∠ACB=∠DEC=90°.∴DE∥BC.
∴∠EDF=∠GBF.
又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,
∴△EDF≌△GBF.
∴EF=GF,BG=DE=AE.
∵AC=BC,∴CE=CG.
∴∠EFC=90°. CF=EF.
∴△CEF 为等腰直角三角形。
∴∠CEF=45°,∴CE=/2FE;
(3)(1)中的结论仍然成立.
如图(c)所示,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,
∵DF=BF,
∴FM∥AB,且
∵AE=DE,∠AED=90°,
∴AM=EM,∠AME=90°,
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴MF∥AN,FM=AN=CN,
∴四边形 MFNA为平行四边形.
∴FN=AM=EM.∠AMF=∠FNA.
∴∠EMF=∠FNC,∴△EMF≌△FNC.
∴FE=CF,∠EFM=∠FCN.
由 MF∥AN,∠ANC=90°,可得∠CPF=90°,
∴∠FCN+∠PFC=90°,
∴∠EFM+∠PFC=90°.∴∠EFC=90°.
∴△CEF 为等腰直角三角形。
∴∠CEF=45°.∴CE= FE.
14.(1)∠BMD=3∠ABM.
(2)如下图所示,延长 EM、CD交于点 F.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠AEM=∠DFM.
又∵AM=DM,∠AME=∠DMF,
∴△AEM≌△DFM.
∴∠AEM=∠F. EM=FM.
∵AB∥CD,∴∠BEC=∠ECD.
∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°.∴∠ECD=90°.
∴MC=MF.∴∠MCF=∠F,
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM.
又
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM.
∴∠EMD=∠EMC+DMC=∠3∠AEM.
15.如下图所示,过点 E 作AD 的平行线分别交DM、DC的延长线于 N、H,连接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN,∴DM=NM,AD=EN.
∵四边形ABCD 和CGEF 是正方形,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.∠5=∠6=90°-∠8=∠NEF,DC=AD=NE.
又∵∠H=90°,∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°.
∴∠DCF=∠5=∠NEF.
∵FC=FE,∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°.即△DFN为等腰直角三角形.
又 DM=MN,∴FM⊥MD,MF=MD.
16.(1)四边形 EFGH 是菱形.
(2)答:成立.
理由：如下图所示，连接AD、BC.
∵∠APC=∠BPD,∴∠APD=∠CPB.
∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB.
∴AD=CB.
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,
∴EF、FG、GH、EH 分 别△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形 EFGH是菱形.
(3)判断四边形 EFGH 是正方形。
理由:连接AD、BC.
∵(2)中已证△APD≌△CPB,
∴∠PAD=∠PCB.
∵∠APC=90°.∴∠PAD+∠1=90°.
∵∠1=∠2,∴∠PCB+∠2=90°.
∴∠3=90°.
∵(2)中已证GH、EH 分别是△BCD、△ACD的中位线,
∴GH∥BC. EH∥AD.∴∠EHG=90°.
∵(2)中已证四边 EFGH 是菱形.
∴菱形 EFGH 是正方形.
17.(1)∠MPN的度数为60°;
(2)∠MPN的度数不变,仍是60°,理由如下:证明：如下图所示.取AC、BC的中点分别为F，G.连接MF、FP、PG、GN.
∵MF 是等边三角形ACD 的中位线。
∵PG是△ABC的中位线。
∴PG= AC. PG∥AC.∴MF=PG.
同理:FP=NG,
∵PG∥CF,PG=CF,
∴四边形 CFPG是平行四边形，
∴∠CFP=∠CGP.
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP.
即∠MFP=∠PGN.
∴△MFP≌△PGN.∴∠FMP=∠GPN.
∵PG∥AC,∴∠1=∠2,
在△MFP中,∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°.
又∵∠MFC=60°.
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°.
∵∠CFP=∠1+∠3.
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°.
∵∠1=∠2,∠FMP=∠GPN.
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°.
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°.
∴∠MPN=60°.
18.(1)NP=MN,∠ABD+∠MNP=180°
(2)点 M是线段EF 的中点.
证明：如下图所示.分别连接 BE、CF.
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB.
∴∠ABD=∠BDC.
∵∠A=∠DBC.∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC.①
∵∠EDF=∠ABD.∴∠EDF=∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.
即∠BDE=∠CDF.②又 DE=DF.③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴EB=FC,∠1=∠2.
∵N、P分别为EC、BC的中点。
同理可得
∴NP=NM.
∵NP∥EB.∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=
∴∠ABD+∠MNP=180°.
19.(1)DE=2AM; (2)DE=2AM
(3)DE=2AM;
理由如下:如下图所示,延长BA至 F,使 BA=AF,
则 AM是△BCF的中位线,CF=2AM.
∵∠BAE=∠EAF=∠CAD=90°.
又∵AE=AF=AB,AD=AC.
∴△AED≌△AFC.∴DE=CF.故 DE=2AM.
(4)DE=2AM,解法和(3)完全相同.
中考链接
22.(1)平行四边形.
(2)证明：如下图所示.连接AC.
∵E是AB的中点,F是BC的中点.
同理
综上可得:EF∥HG,EF=HG.
∴四边形 EFGH是平行四边形。
巅峰突破
23.连接 BE.取中点 R.连接 MR、RN、PR、PN、NQ、RQ.
∵点M是AB的中点,R是BE 的中点。
∵R、N、P、Q分别为BE、CD、BC、DE的中点,
连接CE,
∴PR∥NQ. PR=NQ.
∴四边形 PNQR 是平行四边形。
∴RN与PQ互相平分.
∵点L是PQ的中点,∴点L是RN的中点.
∵点K是MN的中点。
24.如下图所示,分别取 AP、BP的中点 M、N,并连接EM、DM、FN、DN.
=AM,
∴∠AMD=∠APB=∠BND.
∵M、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，
∴EM=AM=DN,FN=BN=DM,
∵DE=DF.∴△DEM≌△FDN(SSS).
∴∠EMD=∠FND.∴∠AME=∠BNF.
∴△AME、△BNF为顶角相等的等腰三角形,
∴∠PAE=∠PBF.

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