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第二节 勾股定理的逆定理
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课标内容 课标要求 目标层次
勾股定理的逆定理 理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系 ★
掌握勾股定理的逆定理 ★
会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形
二、核心纲要
1.互逆命题和互逆定理
(1)互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，则这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
(2)互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称做原定理的逆定理，称这两个定理互为逆定理.
注：每个命题都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理.
2.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足. 那么这个三角形是直角三角形.
注：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
①确定最大边(不妨设为c)；
②若 ，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形；
若 则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)；
若 则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边).
(2)定理中的a、b、c及( 只是一种表现形式，不能认为是唯一的.若三角形三边长a，b，c满足 那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
3.勾股数
满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数.
注:①常见的勾股数有:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(9,40,41);(9,12,15);(12,16,20)等;
②如果(a,b,c)是一组勾股数,那么(ak, bk, ck)也是一组勾股数(k为正整数).
4.证明垂直的方法
(1)根据垂直的定义，只需证明一个角是直角.
(2)根据勾股定理的逆定理证明.
本节重点讲解：一个定理，一个方法.
三、全能突破
基础演练
1.下列命题中，没有逆定理的是( ).
A.内错角相等，两直线平行 B.相反数的绝对值相等
C.直角三角形中两锐角互余 D.同位角相等，两直线平行
2.下列线段不能组成直角三角形的是( ).
A. a=6,b=8,c=10
3.五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将他们摆成两个直角三角形如图 17-2-1 所示，其中正确的是( ).
4.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式( ，则此三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.判断以下命题：
(1)在△ABC中,∠A=∠C--∠B,则△ABC为直角三角形. ( )
(2)在△ABC中, ，则△ABC是以∠A为直角的直角三角形. ( )
(3)在△ABC中,a:b:c=1:3: ，则△ABC为直角三角形. ( )
(4)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC为直角三角形. ( )
(5)在△ABC 中,. ，则△ABC为直角三角形. ( )
6.若△ABC中,(b-a)(b+a)=c ,则∠B= .
7.在△ABC中,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm,则 S△ABC为 .
8.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若 已知c=5，则最大边上的高为 .
9.如图17-2-2 所示,在四边形 ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形 ABCD 的面积.
。
10.如图 17-2-3所示,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求∠DAB的度数.
能力提升
11.如图17-2-4 所示,在△ABC中,D 是 BC 的中点,若AB=5,AC=13,AD=6,则 BC的长为( ).
C.13 D.12
12.若△ABC的三边长a、b、c满足条件( ,则△ABC 的面积为( ).
A. B.30 C.32.5 D.78
13.如图17-2-5 所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,且满足( ,则∠ACB=( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
14.已知 与z -10z+25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是 三角形.
15.如图 17-2-6 所示,P是正三角形ABC 内的一点,且 PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A 逆时针旋转后,得到△PAB,则点 P 与点P'之间的距离为 ,∠APB= °.
16.(1)若△ABC 的三边长为a、b、c,且满足 则△ABC的形状是 .
(2)阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足 试判断△ABC 的形状.
解: a
b
c
∴△ABC是直角三角形. d
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的 请写出该步的代号 ；
②错误的原因是 ；
③写出正确的解答过程.
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17.如图17-2-7 所示，南北向 MN为我国的领海线，即 MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9 时50分，我国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13 海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意，A 和C 两艇的距离是13 海里，A 和B 两艇的距离是5 海里，反走私艇 B 测得距离C 艇是 12 海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海
18.图17-2-8(a)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图17-2-8(b)所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.
(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度 这样的线段可画几条
(2)试比较立体图中∠BAC 与平面展开图中. 的大小关系
19.如图17-2-9 所示,四边形 ABCD 的三边 AB、BC、CD 和BD 都是5cm,动点 P 从点A 出发(A→B→D)到点 D,速度为2cm/s,动点 Q从点 D 出发(D→C→B→A)到点 A,速度为2.8cm/s,5 秒后,点 P、Q 相距3cm,求 AD的长.
20.如图 17-2-10 所示,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,F 为 CD 上一点,且 求证：△AEF 是直角三角形.
21.已知,在 Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点 D,设 BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,求证:
(1)以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形.
(2)c+h>a+b.
中考链接
22.(四川巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系 则△ABC的形状为 .
23.(江西南昌)如图17-2-11.所示,把矩形纸片 ABCD 沿EF 折叠,使点B 落在边AD 上的点B'处,点 A落在点 A'处;
(1)求证:B'E=BF.
(2)设 AE=a,AB=b,BF=c,i试猜想a、b、c 之间的一种关系，并给予证明.
巅峰突破
24.在锐角△ABC中,已知某两边a=1,b=3,那么第三边 c的变化范围是( ).
A.225.如图 17-2-12 所示,在 四 边 形 ABCD 中,∠ADC+∠ABC=90°, 求 BD的长.
基础演练
1. B;2. D;3. C;4. B
5.(1) ;(2)×;(3) ;(4) ;(5) .
6.90°;7.96cm ;8.
9.连接AC.
∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
在Rt△ABC中,AC =AB +BC ,AB=1,BC=2,
∴AC =AB +BC =5.∴AC= .
∵CD=2,AD=3.
∴AC +CD =5+4=9=AD .∴∠ACD=90°.
10.连接AC,
在 Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,
∴∠BAC=45°.
∴AC =AB +BC =16+16=32.
∵CD=6,DA=2,
在△ADC中,AD +AC =4+32=36=CD ,
∴△ADC 是直角三角形.∠DAC=90°.
∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°.
能力提升
11. B;12. B;13. D;14.直角;15.6.150
16.(1)等腰三角形或直角三角形
(2)①c;
②等式两边不能同时除以 因为 可能等于0；
或
∴a=b或
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形。
17.设 MN与AC 相交于E,则∠BEC=90°.
∴△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°.
由于 MN⊥CE，所以走私艇C进入我领海的最短的距离是CE.
解得：
9时50分+51分=10时41分
即走私艇C最早在10时41分进入我领海。
18.(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为 /10.如图(a)中的 A'C',在 Rt△A'C'D'中,
由勾股定理得：
答：这样的线段可画4条(另三条用虚线标出).
(2)∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴∠BAC=45°.
在平面展开图中，连接线段 BC'.由勾股定理可得：
又‘
由勾股定理的逆定理，可得△A'B'C'为直角三角形.
又
∴△A'B'C'为等腰直角三角形.
∴∠BAC与∠B'A'C'相等.
19.如下图所示,运动5s后点 P 运动了:2×5=10(cm).点 Q运动了:2.8×5=14(cm).
∵AB=BD=CD=BC=5,
∴点 P到达点D,BQ=4,AQ=1.
在△BDQ中,PQ=3,BD=5,BQ=4.
∴∠BQD=90°.
在 Rt△AQD中,AD =AQ +QD =1 +3 =10.
20.如下图所示，延长 FE交AB 的延长线于点G，
∵∠C=∠GBE=90°. CE=BE.∠1=∠2.
∴△CEF≌△BEG.∴EF=EG,CF=BG.
设正方形 ABCD的边长为a，则
在 Rt△ADF 中,根据勾股定理,得.
∵EF=EG,∴AE⊥FG.
∴∠AEF=90°.∴△AEF 是直角三角形.
在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得
∴以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形.
(2)由(1)可得:
∵c+h>0. a+b>0.∴c+h>a+b.
中考链接
22.等腰直角三角形
23.(1)如下图所示,由题意得 BF=BF,∠BFE=∠BFE,在矩形ABCD 中,AD∥BC.
(2)答：a. b. c三者关系不唯一.有两种可能情况：
(i)a. b. c三者存在的关系是(
如图所示，连结 BE，则.
由(1)知B'E=BF=c,∴BE=c.
在△ABE中..
∵AE=a,AB=b,∴a +b =c .
a、b、c三者存在的关系是:a+b>c.
如下图所示，连结 BE，则.
由(1)知B'E=BF=c.∴BE=c.
在△ABE中,AE+AB>BE,∴a+b>c.
巅峰突破
24. D
25.如下图所示.作∠CDE=∠ADB,且DE=DB,连接BE,延长 DC交 BE 于点F.
∵AD=CD,∴△ADB≌△CDE.
∴AB=CE.∠DAB=∠DCE.
∵AB=BC=3,∴BC=CE=3.
∵DE=DB,∴DC垂直平分BE.
∴∠DFE=90°.
∵∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC=360°.
∠ADC+∠ABC=90°,
∴∠DAB+∠DCB=270°.
∴∠DCE+∠DCB=270°.∴∠BCE=90°.
∴△BCE是等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.
∵∠DFE=90°,
∴∠CEF=∠ECF=45°.∴CF=EF.
在 Rt△CEF 中,根据勾股定理,得
在 Rt△DEF 中,根据勾股定理,得

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