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第三节 勾股定理及逆定理的综合
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勾股定理及逆定理 利用勾股定理及逆定理解决有关问题
二、核心纲要
1.勾股定理与逆定理
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法.综合应用勾股定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形(或添加辅助线后的图形)中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题.
2.直角三角形的性质
(1)角的关系：两锐角互余.
(2)边的关系：勾股定理.
(3)边角关系：30°角所对的直角边等于斜边的一半.
这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛的应用.
3.勾股定理及逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.
掌握一些常见的基本图形：
本节重点讲解：勾股定理及逆定理的应用
三、全能突破
基础演练
1.下面的判断：
①在△ABC中,( ,则△ABC 不是直角三角形;②△ABC 是直角三角形,∠C=90°,则.
③若△ABC中, ,则△ABC是直角三角形;④若△ABC是直角三角形,则(c-a)(a+c)=b ;以上判断正确的有( ).
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.图17-3-1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( ).
A.2m B.3m
C.6m D.9m
3.如图17-3-2 所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交 BC 于点D,垂足为 E,BD=4cm.则CD 的长为 .
4.如图17-3-3 所示，在一棵树的10米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶 D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米.
5.一张直角三角形的纸片，按图 17-3-4 所示折叠，使两个锐角的顶点 A、B 重合，若 则 DC 的长为 .
6.如图17-3-5 所示,折叠长方形的一边 AD,使点 D 落 在 BC 边的点 F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求△EFC的面积.
7.如图 17-3-6 所示,在. 中, 求 S△ABC的面积. 。
能力提升
8.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7 所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中. 米,AC=30米.已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 元.
9.如图17-3-8 所示,长方形 ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿 AC折叠,点 D 落在 D'处,则重叠部分△AFC的面积是 .
10.如图17-3-9 所示,把长方形 ABCD 纸片折叠,使点 B 落在点D 处,点C 落在C'处,折痕EF 与BD 交于点O,已知AB=16,AD=12,则折痕 EF的长为 .
11.如图17-3-10所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC内的一点,且 PB=1,PC=2,PA=3,将△PBC绕点C 旋转后,与△AP'C 重合,连接 PP',则. 的度数为 .
12.等腰三角形的一边长是 12，另一边长是10，则其面积为 .
13.如图 17-3-11所示,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且∠QPN=30°,点 A 处有一所中学,AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响 请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒
14.如图17-3-12 所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10 千米，直线AB 与公路MN 的夹角 ,新开发区 B到公路 MN 的距离BC=3千米.
(1)求新开发区 A 到公路MN 的距离；
(2)现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A、B修两条公路PA、PB，使点 P 到新开发区A、B的距离之和最短.请你用尺规作图在图中找出点 P 的位置(不用证明，不写作法，保留作图痕迹)，并求出此时 PA+PB的值.
15.(1)如图 17-3-13 所示,已知,在等腰 Rt△ABC 中, 点P 在线段BC 上,且 PC=2,
①若点 D在线段AB 上运动，求 PD 的最小值；
②若点 P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB 边上，求点 P 运动的最短路径.
(2)如图 17-3-14 所示,已知,在△ABC中,AC=8,BC=6,∠ACB=90°,点P 在线段BC 上，且 PC=2，若点 P 从初始位置先运动到AC 边上，再运动到AB边上，求点 P运动的最短路径.
16.在△ABC中,AB、BC、AC三边的长分别为、 求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图17-3-15(a)所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上 .
思维拓展
(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法.若△ABC 三边的长分别为 (a>0)，请利用图17-3-15(b)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上 .
探索创新
(3)若△ABC中有两边的长分别为 且△ABC 的面积为 2a ，试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的△ABC(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上 .
(4)利用上述解题方法完成下题：如图 17-3-15(d)所示，一个六边形绿化区 ABCDEF 被分割成 7 个部分,其中正方形 ABQP、CDRQ、EFPR 的面积分别为 13、20、29,且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区 ABCDEF 的面积.
17.如图17-3-16 所示,在等腰直角△ABC中,. 点 D 是斜边BC 的中点,点 F、E分别为AB、AC边上的点,且 DE⊥DF.
(1)证明:
(2)若 BF=12,CE=5,求△DEF的面积.
18.如图 17-3-17 所示,在△ABC中,AM 是BC 边的中线,AE 为BC 边上的高.试判断 与 的关系.并说明理由.
19.如图17-3-18 所示,已知:∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于点 P.求证：
20.如图17-3-19 所示,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,BE平分∠CBA 交 CD于点 F,交CA于点 E,且 FG∥AB交CA于点G,若 BC=13,BD=5,
(1)判断△CEF的形状.
(2)求 AG的长.
21.【背景材料】小颖和小强在做课后习题时,遇到这样一道题:“已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,∠MCN=45°,如图17-3-20(a)所示,当点 M、N在AB 上时,则
小颖的解题思路:如图 17-3-20(b)所示,将△ACM 沿直线 CM 对折,得△A'CM,连 A'N,进而证明△A'CN≌△BCN,结论得证.
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【解决问题】当 M在 BA 的延长线上，点 N在线段AB 上，其他条件不变，如图17-3-20(c)所示，关系式 是否仍然成立 根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出证明.
中考链接
22.(山东烟台)如图 17-3-21 所示,在四边形 ABCD 中,
(1)求证:AB=BC.
(2)当 BE⊥AD 于点E 时,试证明:BE=AE+CD.
23.(山东荷泽)如图17-3-22所示,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8,在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折,使点O落在 BC 边上的点 E 处，求 D、E两点的坐标.
巅峰突破
24.如图17-3-23 所示,ABCD 是一张长方形纸片,将AD、BC折起,使A、B 两点重合于CD 边上的点P，然后压平得折痕 EF 与GH.若PE=8cm,PG=6cm,EG=10cm.则长方形纸片 ABCD 的面积为( ).
A.105.6 B.110.4 C.115.2 D.124.8
25.探究:如图17-3-24 所示,C 为线段BD上一动点,分别过点 B、D作 ,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含 x的代数式表示 AC+CE的值.
(2)请问点 C满足什么条件时，AC+CE的值最小
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值.
拓展：仿照上面的方法，请用构图法求出代数式 (x是任意实数)的最大值.
基础演练
1. C 2. C. 3.2cm 4.15. 5.1
6.由折叠可知:△ADE≌△AFE.
∴AD=AF=BC=10. DE=EF.
在 Rt△ABF中,根据勾股定理,得
∴CF=BC-BF=4.
设 DE=x,则CE=8-x,
在 Rt△CEF 中,根据勾股定理,得CE +CF =EF ,
解得:x=5.∴EC=3(cm).
7.过点 A 作 AD⊥BC于点 D,
∴∠ADB=90°.
∵∠B=45°,∴∠BAD=∠B=45°.∴AD=BD.
在 Rt△ABD 中,根据勾股定理,得AD +BD =AB .
∴2AD =AB =2.∴AD=BD=1.
在 Rt△ACD中,∠C=30°,∴AC=2AD=2.
∴BC=BD+DC=1+ .
能力提升
8.150a;9.10;10.15;11.2 ;135°
12.48或
13.过点 A作AB⊥MN,垂足为 B,
在 Rt△ABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∵点 A 到直线MN 的距离小于 100m。
∴这所中学会受到噪声的影响.
如下图所示，假设拖拉机在公路 MN上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC=100。
由勾股定理得：
同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么AD=100,BD=60,∴CD=120(m).
拖拉机行驶的速度为:18km/h=5m/s,t=120÷5=24(s).
答：拖拉机在公路 MN上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
14.(1)∵BC=3,∠AOC=30°.
∴OB=6.
如下图所示,过点 A 作AE⊥MN 于点 E,AO=AB+OB=16.
∴AE=8.即新开发区A到公路的距离为8千米.
(2)如下图所示，作点B关于MN的对称点 D，连接AD交MN 于点 P,连接 PB,则点 P 即为所求.过点 D作 DF⊥AE交AE 的延长线,垂足为 F,过 B 作 BG⊥AE于点G,
∴BG=DF,EF=CD=BC=3,∠AOM=∠ABG=30°.在 Rt△ABG中,AB=10,∠ABG=30°,∴AG= AB=5.在 Rt△ABG中. 又AF=AE+EF=8+3=11.
∵PB=PD.∴PA+PB=PA+PD=AD=14(千米).
15.(1)①如下图所示,过点 P作PD⊥AB于点 D.
∴∠PDB=90°.
∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°.
∴∠BPD=∠B=45°.∴PD=BD.
在 Rt△PBD中,根据勾股定理,得 即
∵PC=2,BC=4,∴PB=2.
②如下图所示，作点 P 关于AC的对称点P',过点 P'作P'E⊥AB于点E,交 AC 于点F.连接 PF.则PF+EF即为所求的最短路径.
由①可知.△P'EB 是等腰直角三角形.
由作图可知，
在 Rt△P'EB 中,根据勾股定理,得
∴PF+EF的最小值为3/2.
(2)如下图所示,作点 P 关于 AC的对称点 P',过点 P'作 P'E⊥AB交AC 于点D.连接 PD.
则点 P 运动的最短路径为：
在 Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AB =AC +BC .
16.(1)△ABC的面积为
(2)如图(a)所示,△ABC的面积为
(3)图中三角形为符合题意的三角形，如图(b)所示.第三边长为2√ a或4a.
(4)由构图法可知:S△PQR=8.
∴六边形花坛ABCDEF的面积为：
+29+8×4=94.
17.(1)如下图所示,延长 FD至点G,使DG=DF,连接CG、EG,
∵BD=DC,∠1=∠2,∴△BDF≌△CDG.
∴BF=CG,∠B=∠DCG.
∵DE⊥DF,DF=DG,∴EF=EG.
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°.∴∠DCG=45°.
∴∠ECG=∠ACB+∠DCG=90°.
在 Rt△ECG中,根据勾股定理,得
(2)如下图所示,连接AD,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,AD=DC,∠BAD=∠C=45°.∴∠ADC=90°.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°.
∴∠ADF+∠ADE=∠ADE+∠CDE.即∠ADF=∠CDE.∴△ADF≌△CDE.
∴DE=DF,AF=EC.
∴AB=AC=AF+BF=17.∴AE=12.
在 Rt△AEF 中,根据勾股定理,得
在 Rt△DEF 中,根据勾股定理,得
18.结论:AB +AC =2(AM +BM ).
证明:在 Rt△ABE中,根据勾股定理,得AB =AE +BE ,在 Rt△ACE 中,根据勾股定理,得AC =AE +EC 。
∵BE=BM-EM,EC=EM+CM,BM=CM,
2AE +2BM +2EM .
在 Rt△AME中,根据勾股定理,得
∴AB +AC =2AE +2BM +2EM =2(AE +EM )+2BM =2AM +2BM .
∴AB +AC =2(AM +BM ).
19.如下图所示.连结 BM.在 Rt△BMP 中.根据勾股定理,得 BP =BM -MP .
在 Rt△AMP中,根据勾股定理,得MP =AM -AP .
∴BP =BM -(AM -AP )=BM -AM +AP .
又:
在 Rt△BCM 中,根据勾股定理,得BM -CM =BC ,
∴BP =BC +AP .
20.(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠5=90°.
∵CD⊥AB,∴∠2+∠3=90°.
∵BE平分∠CBA,∴∠1=∠2.∴∠3=∠5.
∵∠3=∠4,∴∠4=∠5.∴CE=CF.
∴△CEF 是等腰三角形.
(2)如下图所示.过点 E作EH⊥AB于点H.连接 HF.
∵∠1=∠2,BE=BE,∠ECB=∠EHB,
∴△ECB≌△EHB.∴CB=HB. CE=EH.
∴DH=BH-BD=13-5=8.
在 Rt△BCD中,根据勾股定理,得
∵CB=HB,∠1=∠2,BF=BF.
∴△BFC≌△BFH.∴CF=HF.
设 DF=x,则CF=12-x.∴HF=12-x.
在 Rt△DHF中.根据勾股定理.得 HF =DF +DH .
解得：
∠CFG=∠CDA=∠EHA=90°.
∵CE=CF,∴CF=EH.∴△CGF≌△EAH.
∴CG=EA.∴AG=EC= .
21.结论:关系式 MN =AM +BN 仍然成立.
证法一：如下图所示，将△CNM 沿直线CN 对折，得△CNE,连 BE,
∴△CNM≌△CNE.
∴CM=CE,MN=EN,∠MCN=∠ECN=45°.
∴∠MCE=90°
∵∠ACB=90°,∴∠1=∠2.
∵CA=CB,∴△CMA≌△CEB.
∴BE=AM,∠CAM=∠CBE.
∵∠CAB=∠CBA=45°.
∴∠CAM=∠CBE=135°.∴∠NBE=90°.
在 Rt△NBE 中,根据勾股定理,得 EN =BN +BE .
∴MN =AM +BN .
证法二：如下图所示.将△ACM沿直线CM 对折.得到△GCM,连接GN.
∴△GCM≌△ACM.
再证:△GCN≌△CBN,∴BN=GN.
最后证明:∠MGN=90°.问题得证.
中考链接
22.(1)如下图所示,连接 AC.
∵∠ABC=90°,∴AB +BC =AC .
(2)过C作CF⊥BE于点F.
∵BE⊥AD,CD⊥AD.
∴CD=EF,∠CBF=∠BEA=90°.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
∵AB=BC,∴△BAE≌△CBF.
∴AE=BF.∴BE=BF+EF=AE+CD.
23.依题意可知,折痕 AD 是四边形OAED 的对称轴,∵在 Rt△ABE中. AE=AO=10. AB=8.
∴CE=4.∴E(4.8).
在 Rt△DCE中,根据勾股定理,得
DC +CE =DE ,又DE=OD,
∴(8-OD) +4 =OD .∴OD=5.∴D(0.5).
巅峰突破
24. C
25.探究:(
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小.
(3)如下图所示,作 BD=12,过点 B 作AB⊥BD,过点 D作ED⊥BD,使AB=3. ED=2,连结AE交 BD 于点C. AE的长即为代数式. 的最小值.
过点A 作AF∥BD交ED的延长线于点F.
则∠F=90°,则AB=DF=3,AF=BD=12.
即 的最小值为13.
拓展:如下图所示,作 OA=4,过点 A 作AB⊥OA,如图AB=3. OC=2.连结BC交x轴负半轴于点D,BC的长即为代数式 的最大值.
过点C作CE⊥AB.则AE=OC=2. CE=OA=4.
∴BE=1.
在 Rt△CBE中,根据勾股定理,得.
即 的最大值为

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