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6.1平面向量的概念学案
【学习目标】
1. 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念；
2. 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念；
3. 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念.
【学习重难点】
1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．
2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．
【预习新知】
向量的实际背景与概念
1．向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
2．向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，.
思考：(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示]　(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a＝b
向量的几何表示
1．向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
2．两种向量表示方法的作用
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
[跟进训练]
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
[解]　(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米.
相等向量与共线向量
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
提示：分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，与同向；
(2)直线AB和直线CD重合，与反向；
(3)直线AB∥直线CD，与同向；
(4)直线AB∥直线CD，与反向．
　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．
[解]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
1．本例条件不变，写出与向量相等的向量．
[解]　相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与相等的向量有，，.
2．本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量．
[解]　与长度相等的共线向量有：，，，，，，.
3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
[解]　由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．同时要注意理解以下几个概念：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．任一向量都与它自身是平行向量．
2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．
3．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
检测
1．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③　　　　 B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
D　[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]
2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　)
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C　[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]
3.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
④⑥　[由向量的相关概念可知④⑥正确．]
4．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解]　由题图可知，(1)与平行的向量有：，，；(2)与模相等的向量有：
，，，，，，，，.
【巩固训练】
1.已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.中国象棋中规定马走“日”，象走“田”.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，则可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有___________个.
3.给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是( )
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
4.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若与共线,则或
C.若,为单位向量,则
D.是与非零向量共线的单位向量
5.下列命题中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D.若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
6.下列说法正确的是( )
A.在正方形ABCD中,
B.已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上
C.零向量可以与任一向量共线
D.零向量可以与任一向量垂直
7.下列说法中不正确的是( )
A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.单位向量是模为1的向量 D.方向相反的两个非零向量必不相等
8.以下关于平面向量的说法中,正确的是( )
A.有向线段就是向量 B.所有单位向量的模都相等
C.零向量没有方向 D.平行向量也叫作共线向量
9.已知中，，，，动点P从点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q从点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止运动，则该过程中的最大值是( )
A. B.4 C. D.23
10.在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为( )
A.3 B. C.1 D.
参考答案
1.答案：D
解析：，是单位向量，.
，
且.
，又，
（是与的夹角）.
又，
，
.
根据一元二次不等式的解法，
解得.
故选：D.
2.答案：11
解析：如图，在B处时可用向量，，表示马走了“一步”，共3个，在C处可用向量，，，，，，，表示马走了“一步”，共8个，所以以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有11个.
3.答案：D
解析：
4.答案：AD
解析：易知A,D项正确;共线向量不一定模相等,B项错误;单位向量可能方向不同,C项错误.故选AD项.
5.答案：A
解析：两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
6.答案：C
解析：对于A:与模长相等,方向不同,故不成立.
对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但A,B,C,D四点不共线;
对于C,D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成.
综上,应选C.
故答案为:C.
7.答案：B
解析：根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；
方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；
单位向量是模为1的向量，C正确；
根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，
所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；
故选：B.
8.答案：BD
解析：根据给定条件结合平面向量的基本概念,逐项分析判断作答,
由有向线段、向量的定义知,A不正确;
单位向量是长度为1的向量,B正确;
零向量有方向,其方向是任意的,C不正确;
由平行向量的定义知,平行向量也叫作共线向量,D正确.
9.答案：C
解析：中，，，，，，，.由题意知，，当时，取得最大值，最大值为.故选C.
10.答案：A
解析：由题设，如图所示：，又，，
，由M，P，N三点共线，有，，当且仅当时等号成立.故选A.

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