资源简介

浙教版八年级数学下册第五章练习
一、选择题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB= 90°时，四边形ABCD是正方形
2．下列命题中，属于假命题的是（　　）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
3．如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 （　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （　　）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
5．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，若AC=12，BD=9，则菱形ABCD的面积是　 　.
12．如图．将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知BE＝3，CD＝8．则BF的长是　 　．
13．如图，在菱形中，对角线相交于点，，，点是的中点，连接，则的长度为　 　．
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为　 　
15．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为　 　°.
16． 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则　 　．
三、解答题
17．已知：如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
18．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，求证：∠AFE是直角.
19．已知：如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.
（1）求证：四边形 EFGH 是矩形.
（2）若 EH=3cm，EF=4cm，求边 AD的长.
20．如图，在菱形 ABCD 中，BD为对角线，E 为.BD 上的点.求证：∠DAE=∠DCE.
21．已知 ABCD的两边AB，AD的长分别是关于x 的一元二次方程的两个实数根.
（1）当a为何值时，□ABCD 是菱形 求此时菱形的边长.
（2）当AD=2时，求 ABCD的周长.
22．如图，在△ABC中，P 是AC 的中点，点 D 在BC 的延长线上，过点 P 的直线MN∥BD，∠ACB，∠ACD的平分线分别交 MN 于点E，F。
（1）请判断四边形 AECF 的形状，并说明理由。
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形？ 请说明理由。
23． 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为秒．
（1）在运动过程中，长度能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（2）在运动过程中，的面积能否为？若能，求出的值，若不能，请说明理由；
（3）取的中点，运动过程中，当时，求的值；
24．在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是　 　（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；　 　（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是 ▲ （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗 若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确；
②有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；
③∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；
④当∠DAB=90°，平行四边形ABCD是矩形，不能判定其是正方形，故D错误；
故答案为：D．
【分析】通过矩形、菱形、矩形及正方形的判定方法一 一判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=2OA=10，∠ADC=90°，
∴AD=
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质得AC=2OA=10，∠ADC=90°，进而根据勾股定理直接计算即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
6．【答案】B
【解析】【解答】∵在正方形ABCD中，BD是对角线，EF=EC
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=AC
∵BE=BE
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE=CE，∠EAB=∠ECB
∴AE=CE=EF，∠BAF+∠EAF=∠ECB
∴∠EAF=∠EFA，∠ECF=∠EFC
∵∠ABF=90°
∴∠FAB+∠AFB=90°①
∵∠AFB+∠EFA+∠CFE=180°，∠EAF=∠EFA
∴∠AFB+∠EAF+∠CFE=180°②
将①②两式相加可得
∠FAB+∠AFB+∠AFB+∠EAF+∠CFE=90°+180°
∴(∠FAB+∠EAF)+2∠AFB+∠CFE=270°
∴2∠ECB+2∠AFB=270°
∴∠ECB+∠AFB=135°
∵∠ECF=α，∠AFB=β
∴α+β=135°.
故答案为：B.
【分析】先证明△ABE≌△CBE，得到∠EAB=∠ECB，进而得到AE=CE=EF，∠BAF+∠EAF=∠ECB，由直角三角形两锐角互余可得∠FAB+∠AFB=90°，由平角的定义可得∠AFB+∠EAF+∠CFE=180°，两式相加整理再进行等量代换可得∠ECB+∠AFB=135°，进而得到α+β=135°.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件可求出AD，EF，AB的长，再根据AF+DC=AD-EF，代入计算求出AF+DC的长，然后求出阴影部分的面积.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
的面积的面积，
四边形FNCM的面积=△ABC的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
，
，
，
，
，
，
由①×+②得，
（舍去负值）．
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质得AB=AF，∠BAN=∠F=90°，由同角的余角相等得∠ABN=∠MAF，从而根据ASA判断出△BAN≌△AFM，得S△BAN=S△AFM，推出S四边形FNCM=S△ABC，S空白部分=S正方形ABGF-2S△ABC，据此得AB2-2×AC×BC=10①，由AC+BC=7并结合勾股定理可得AB2+2AC×BC=49②，①×2+②可得AB2=23，再求其算术平方根即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
11．【答案】54
【解析】【解答】解：S菱形ABCD=×12×9=54
故答案为：54.
【分析】根据菱形的面积等于乘以两个对角线的长，计算即可.
12．【答案】4
【解析】【解答】解：依题意，AE=EF=AB-BE=8-3=5；
在Rt△BEF中，EF=5，BE=3，
故答案为：4.
【分析】根据折叠的性质得出EF的长，再根据勾股定理求解即可．
13．【答案】5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CO=8，DO=6，DB⊥CA，
由勾股定理得，
∵点是的中点，
∴OE=5，
故答案为：5
【分析】先根据菱形的性质得到CO=8，DO=6，DB⊥CA，进而根据勾股定理即可求出DC，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解。
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，
点、分别是、的中点，
，
正方形的边长为2，
，
点是边长的动点，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【分析】由点E是BC边长的动点可得，利用正方形的性质求得AC的边长，进而得到AE的取值范围，再通过三角形的中位线定理求得MN的最大值.
15．【答案】22.5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠CAB=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠E=（180°-45°）=67.5，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB=∠CAB=45°，由等边对等角和三角形的内角和定理可得∠ACE=∠E=67.5，然后根据角的构成∠BCE=∠ACE-∠ACB可求解.
16．【答案】30
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
17．【答案】证明：连接BD交AC于点O，
∵ABCD是正方形，
∴AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴OF=OE，
∴四边形DEBF是菱形．
【解析】【分析】连接BD交AC于点O，先根据正方形的性质得到AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，进而结合题意运用菱形的判定即可求解。
18．【答案】证明：连接AE，
设CE=a，则BC=4a，DF=2a，BE=3a，
由勾股定理可得，
AF2=AD2+DF2=20a2，EF2=FC2+EC2=5a2，AE2=AB2+BE2=25a2，
∴AE2=AF2+EF2，
∴△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
【解析】【分析】连接AE，设CE=a，在直角三角形ADF、直角三角形EFC、直角三角形ABE中，用勾股定理可将AF2、EF2、AE2用含a的代数式表示出来，根据表示的结果并结合勾股定理的逆定理可判断△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
19．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，
∴∠AHJ=∠EHJ，∠DHG=∠GHK，∠AEH=∠HEJ，∠BEF=∠JEF，∠EJH=∠A=∠FKG=90°，
∵∠AHJ+∠EHJ+∠DHG+∠GHK=180°，∠AEH+∠HEJ+∠BEF+∠JEF=180°，
∴2∠EHJ+2∠GHK=180°，2∠HEJ+2∠JEF=180°，
∴∠EHG=90°，∠HEF=90°，
同理可证∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形.
（2）解：在Rt△EHF中
，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=GF，
∵∠EHJ+∠GHK=90°，∠GHJ+∠HGK=90°，∠HGK+∠KGF=90°，∠HGK+∠KFG=90°，
∴∠EHJ=∠KFG，
在△EHJ和△GFK中
∴△EHJ≌△GFK（AAS），
∴HJ=KF=AH，
同理可证△HGK≌△FEJ，
∴EF=HK=HD，
∴AD=AH+DH=KF+HK=HF=5cm.
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠A=∠D=90°，利用折叠的性质可知∠AHJ=∠EHJ，∠DHG=∠GHK，∠AEH=∠HEJ，∠BEF=∠JEF，∠EJH=∠A=∠FKG=90°，由此可推出∠EHG=90°，∠HEF=90°，同理可证∠EFG=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出HF的长，利用矩形的性质可知EH=GF，再利用余角的性质可推出∠EHJ=∠KFG；利用AAS证明△EHJ≌△GFK，利用全等三角形的对应边相等可证得HJ=KF=AH，同理可证EF=HK=HD，由此可推出AD=HF，即可求出AD的长.
20．【答案】略
【解析】【解答】证明:
在菱形ABCD中，AD=CD，
∵ BD是对角线，
∴∠ADB = ∠CDB,
在△ADE与△CDE中，
，
∴ △ADE≌△CDE(SAS),
∴∠DAE=∠DCE
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
21．【答案】（1）解：当AD=AB时，四边形ABCD是菱形，
∴b2-4ac=0即16a2-4×4（2a-1）=0
解之：a1=a2=1
∴当a=1时， ABCD是菱形，此时菱形的边长为
（2）解：当x=AD=2时，4×22-8a+2a-1=0
解之：a=，
∴4x2-10x+4=0
解之：AB+AD=
∴ ABCD的周长为2×=5.
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定可知当AD=AB时，四边形ABCD是菱形，可得到方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，代入可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）将x=2代入方程，可求出a的值，再将a的值代入方程 ，可得到关于x的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可得到AB+AD的值，然后求出平行四边形ABCD的面积.
22．【答案】（1）四边形 AECF 是矩形.理由略
（2）当∠ACB=90°时，四边形 AECF 是菱形.理由略
【解析】【解答】解：（1）解：四边形是矩形， 理由如下：
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
同理：．
∴，
∵点P是的中点，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴ ，
∴是矩形；
（2）如图，当时，四边形是菱形；
理由如下：
∵，
∴，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形.
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定.
（1）利用角平分线的性质和平行线的性质可推出，根据等边对等角可推出，同理：，可得，再结合，可证四边形是平行四边形，又知，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形；
（2）当时，利用平行线的性质可证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明是菱形．
23．【答案】（1）解：PQ的长度能为 ，理由如下：
根据题意可知：，，，
∵四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
∴当t为或3时，PQ的长度为 ；
（2）解：△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下：
设运动秒钟后△PDQ的面积为，
则，，，，
S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ
，
，
即，
，
方程无实数根，
的面积不能为；
（3）解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
又，，
取的中点，连接，则，
，
，
，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，再利用勾股定理构建方程求解即可；
（2）设运动x秒钟后△PDQ的面积为，利用S△PDQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ结合△PDQ的面积为构建关于的一元二次方程，再根据根的判别式的意义得出结论；
（3）以B点为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设，，则，取的中点，连接，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用两点间的距离公式构建方程，解方程可得答案．
24．【答案】（1）菱形；=
（2）解：同理可得，四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形；
过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，如图所示：
∴AB//MN，
∴∠ABP=∠BPN，
∵PEPB，PN⊥BE，
∴PN平分∠BPE，
∴∠BPN=∠EPN，
∴∠ABP=∠EPN，
∴∠ABP=∠ADP，
∴∠EPN=∠ADP，
∵∠PMD=90°，
∴∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠DPM+∠EPN=90°，
∴∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，
∴∠DPE=∠ABC；
故答案为：正方形；∠DPE=∠ABC；
（3）解：
【解析】【解答】（1）设CD、PE相交于点F，如图所示：
根据轴对称的性质可得：AD=AB，BC=CD，PB=PD，
∵BA=BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠ABC=∠DCE，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SSS），
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEC，
∴PDC=∠PEC，
∵∠PFD=∠CFE，
∴∠DPE=∠DCE，
∴∠DPE=∠ABC，
故答案为：菱形；=；
（3）∵PE=PB，，
∴∠PBE=，
∵，
∴∠APB=∠ACB+∠PBE=，
同理可证：△BCP≌△DCP，
∴∠BPC=∠DPC，
∴∠APB=∠APD=，
∴∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=，
故答案为：.
【分析】（1）利用轴对称的性质及等量代换可得AB=BC=CD=AD，即可证出四边形ABCD是菱形，再利用“SSS”证出△BCP≌△DCP可得∠PBC=∠PDC，再利用等量代换可得∠DPE=∠ABC；
（2）结合∠ABC=90°，可证出菱形ABCD是正方形；过点P作MN⊥BC交AD于点M，交BC于点N，再利用角的运算和等量代换可得∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN）=180°-90°=90°，即可证出∠DPE=∠ABC；
（3）先利用角的运算求出∠APB=∠ACB+∠PBE=，再结合∠APB=∠APD=，求出∠DPB=∠APD+∠APB=2（）=即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑