资源简介 绝密★考试结束前2023 学年第二学期浙江 G5 联盟期中联考高二年级数学学科 试题考生须知:1. 本卷共4 页满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3. 所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4. 考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 一个三层书架,分别放置语文类读物 6 本,数学类读物 7 本,英语类读物 8本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有( )A. 3种 B. 21种 C. 336种 D. 12种2. 已知某随机变量, , 则( )A 1 B. 2 C. 3 D. 43. 在 的展开式中,第四项为( )A. 240 B. C. D.4. 已知, 则在处导数值为( )A. B. 0 C. D. 15. 已知事件 A、B、C,满足 则P(B∪C|A)=( )A B. C. D.6. 已知 则 的值为( )A. B. C. D.7. 若 则 ( )A. B. C. D.8. 某学校高二年级开设 4 门校本选修课程,某班男生 201 寝室的 5 名同学选修,每人只选 1 门,恰有1门课程没有同学选修,则该寝室同学不同的选课方案有 ( )A. 360种 B. 600种 C. 960种 D. 972种二、多选题:本题共 3 小题,每小题6分,共 18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 对于的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,下列说法正确的是( )A. 展开式共有9项 B. 展开式中的常数项是240C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式的各项系数之和为110. 下列等式正确的是( )A. B. 若则C. D.11. 一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不抽取小球;重复该试验,直至小球全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,下列说法正确的有( )A. 经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为B. 若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑白球各1个的概率为C. 经过7次试验后试验停止的概率为D. 经过7次试验后试验停止的概率最大非选择题部分三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 四名男生和两名女生排成一排,要求两位女生不相邻,则不同排法的种数是_______.(结果用数字作答)13. 从 1, 3, 5, 7中任取 2个不同的数字, 从 0, 2, 4, 6, 8中任取 2个不同的数字, 组成没有重复数字的四位数,则所组成的四位数是偶数的概率为_____.(用最简分数作答)14. 已知函数 对有 则实数a取值范围为________四、解答题:本题共5小题,共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设(1)求函数单调递减区间;(2)若方程有3个不同的实根, 求a的取值范围.16. 已知关于的二项式的二项系数之和为32,其中.(1)若,求展开式中系数最大的项;(2)若展开式中含项系数为40,求展开式中所有有理项的系数之和.17. 已知函数 .(1)讨论的单调性;(2)已知函数, 若 恒成立,求的取值范围.18. 每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”,这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日,某班级为纪念这个日子,特举办数学题答题比赛. 已知赛题共 6道(各不相同),其中 3 道为高考题,另 3 道为竞赛题,参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答,答对则继续,答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数.(1)举办方进行模拟抽题,设第次为首次抽到竞赛题,求的分布列;(2)同学数学成绩优异,但没有参加过竞赛培训,高考题答对的概率为,竞赛题答对的概率为.①求同学停止答题时答对题数为1的概率;②已知同学停止答题时答对题数为2,求这两题抽到竞赛题题数的均值.19. 已知函数(1)当 时, 求以点为切点的切线方程;(2)若函数有两个零点,且 ,①求实数k的取值范围;②证明:.绝密★考试结束前2023 学年第二学期浙江 G5 联盟期中联考高二年级数学学科 试题考生须知:1. 本卷共4 页满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3. 所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.4. 考试结束后,只需上交答题纸.选择题部分一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 一个三层书架,分别放置语文类读物 6 本,数学类读物 7 本,英语类读物 8本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有( )A. 3种 B. 21种 C. 336种 D. 12种【答案】B【解析】【分析】由分类加法计数原理即可求解.【详解】一个三层书架,分别放置语文类读物 6 本,数学类读物 7 本,英语类读物 8本,每本图书各不相同,从中取出1本,则不同的取法共有种.故选:B2. 已知某随机变量, , 则( )A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用方差公式,即可求解.【详解】因为,所以,故选:D3. 在 的展开式中,第四项为( )A. 240 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可得,令计算即可求解.【详解】由题意知,展开式的通项公式为,令,得,即第四项为.故选:D4. 已知, 则在处的导数值为( )A. B. 0 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数,再求出导数值即可.【详解】函数,求导得,所以在处的导数值为.故选:B5. 已知事件 A、B、C,满足 则P(B∪C|A)=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件,利用条件概率结合概率的基本性质计算即得.【详解】依题意,.故选:A6. 已知 则 的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用二项式定理分别求出,再求和得解.【详解】显然,在的展开式中,,,所以.故选:C7. 若 则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简,构造函数,求导、研究单调性、极值、最值比较大小即可.【详解】由题意知:,令,,由,解得,在,在,所以在上单调递增;在上单调递减.因为,所以,即,也就是,又,因为在上仅有一个极大值,所以,即最大,所以.故选:A.8. 某学校高二年级开设 4 门校本选修课程,某班男生 201 寝室的 5 名同学选修,每人只选 1 门,恰有1门课程没有同学选修,则该寝室同学不同的选课方案有 ( )A. 360种 B. 600种 C. 960种 D. 972种【答案】B【解析】【分析】从4门课程中取出3门课程,再把5名同学分成3组,并分配课程,列式计算即得.【详解】从4门课程中取出3门课程,有种方法,把5名同学分成3组,按分组有种方法,按分组有种方法,把3门课程分配给上述分成的每一组有种方法,所以该寝室同学不同的选课方案有(种).故选:B【点睛】方法点睛:不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.二、多选题:本题共 3 小题,每小题6分,共 18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 对于的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,下列说法正确的是( )A. 展开式共有9项 B. 展开式中的常数项是240C. 展开式的二项式系数之和为256 D. 展开式的各项系数之和为1【答案】BD【解析】【分析】利用二项式系数的性质求出,再逐项分析判断得解.【详解】由二项式的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,得展开式共有7项,,对于A,展开式共有7项,A错误;对于B,展开式中的常数项是,B正确;对于C,展开式的二项式系数之和为,C错误;对于D,取,得展开式的各项系数之和为1,D正确.故选:BD10. 下列等式正确的是( )A. B. 若则C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据排列数的运算性质判断A;根据组合数的性质即可判断B;根据组合数的运算性质可得,即可判断C;根据的展开式和计算即可判断D.【详解】A:,故A正确;B:由组合数的性质知,若,则或,故B错误;C:,又,所以,故C正确;D:,故D正确.故选:ACD11. 一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不抽取小球;重复该试验,直至小球全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,下列说法正确的有( )A. 经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球1个黑球概率为B. 若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑白球各1个的概率为C. 经过7次试验后试验停止的概率为D. 经过7次试验后试验停止的概率最大【答案】AB【解析】【分析】利用条件概率公式计算判断AB;利用独立重复试验的概率公式计算判断C;设实验次结束的概率为,令,由C项化简得即可判断D.【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”,则“一次实验硬币反面朝上”,则,从箱子中不放回地抽球,记“第次抽到白球”,记“第次抽到黑球”,“第次硬币正面朝上且抽到白球”,“第次硬币正面朝上且抽到黑球”,对于A,,,经过两次实验后,试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为:,A正确;对于B,第一次抽到黑球后,第二次抽到白球的概率为:,B正确;对于C,实验7次结束,则前6次有4次硬币正面朝上,第7次硬币正面朝上,则其概率为:,C错误;对于D,实验次结束的概率为,则,,令,得化简可得,解得,即,所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大,D错误.故选:AB【点睛】关键点睛:解决试验终止时概率最大问题关键是理解试验停止时的条件,从而求得实验次结束的概率,利用作商法求得中的最大项即可.非选择题部分三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 四名男生和两名女生排成一排,要求两位女生不相邻,则不同排法的种数是_______.(结果用数字作答)【答案】【解析】【分析】利用插空法,先排男生再排女生求解即可.【详解】先排男生,再将女生排到5个空位里,有种情况.故答案为:13. 从 1, 3, 5, 7中任取 2个不同的数字, 从 0, 2, 4, 6, 8中任取 2个不同的数字, 组成没有重复数字的四位数,则所组成的四位数是偶数的概率为_____.(用最简分数作答)【答案】【解析】【分析】针对选出的4个数中有0和无0进行分类讨论,分别求出两种情况下组成四位数的个数及偶数的个数,结合古典概型的概率个数计算即可.【详解】若选出的4个数中有0,则组成的四位无重复的数字共有个,其中偶数有个;若选出4个数中无0,则组成的四位无重复的数字共有个,其中偶数有个,所以的四位数为偶数的概率为.故答案为:14. 已知函数 对有 则实数a的取值范围为________【答案】【解析】【分析】根据题意设,不妨设,由已知化简可得即在上递增,进而判断可得结果.【详解】根据题意设,不妨设,,任意有 可得即可得在上递增,因为,,当时,恒成立,即在上递增.当时,不能恒成立,即在不符合单调递增.综上,实数a的取值范围为.故答案为:四、解答题:本题共5小题,共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设(1)求函数的单调递减区间;(2)若方程有3个不同的实根, 求a的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)求出函数的导数,再解导函数小于0的不等式即得.(2)求出函数的极小、极大值,再利用三次函数的图象与性质求出a的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为R,求导得,由,得,所以函数的单调递减区间是.【小问2详解】由(1)知,当时,或,因此函数在上单调递增,函数在处取得极大值,在处取得极小值,显然当时,直线与函数的图象有3个公共点,所以方程有3个不同的实根,a的取值范围是.16. 已知关于的二项式的二项系数之和为32,其中.(1)若,求展开式中系数最大的项;(2)若展开式中含项系数为40,求展开式中所有有理项的系数之和.【答案】(1)和(2)【解析】【分析】(1)利用,解得,求出展开式的通项公式,即可得到展开式中系数最大的项;(2)利用展开式中含项系数为40,解得,利用的指数为整数,求出展开式中所有有理项,从而得到有理项的系数之和.【小问1详解】由于关于的二项式的二项式系数之和为32,所以,解得,则二项式的展开式的通项公式为:,当时,,所以当或时,展开式的系数最大,故系数最大项为和【小问2详解】由(1)可得二项式的展开式的通项公式为:,令,解得:,因为展开式中含项系数为40,所以,由,得,所以二项式的展开式的通项公式为:,当为整数,可取0,2,4,所以展开式中所有有理项为,,,故展开式中所有有理项的系数之和为.17. 已知函数 .(1)讨论的单调性;(2)已知函数, 若 恒成立,求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)求导得,分类讨论、两种情况下的单调性即可;(2)将问题转化为在上恒成立,利用导数讨论函数的单调性可得,即可求解.【小问1详解】由题意,,当时,,在R上单调递增;当时,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增;综上,当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.【小问2详解】,令,则,即在上恒成立,令,则,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增,则,所以,即实数a的取值范围为.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如的恒成立的求解策略:1、构造函数法:令,利用导数求得函数的单调性与最小值,只需恒成立即可;2、参数分离法:转化为或恒成立,即或恒成立,只需利用导数求得函数的单调性与最值即可;3、数形结合法:结合函数的图象在的图象的上方(或下方),进而得到不等式恒成立.18. 每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”,这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日,某班级为纪念这个日子,特举办数学题答题比赛. 已知赛题共 6道(各不相同),其中 3 道为高考题,另 3 道为竞赛题,参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答,答对则继续,答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数.(1)举办方进行模拟抽题,设第次为首次抽到竞赛题,求分布列;(2)同学数学成绩优异,但没有参加过竞赛培训,高考题答对的概率为,竞赛题答对的概率为.①求同学停止答题时答对题数为1的概率;②已知同学停止答题时答对题数为2,求这两题抽到竞赛题题数的均值.【答案】(1)分布列见解析(2)①;②【解析】【分析】(1)写出可能取值,并分别求出对应的概率,列出分布列即可;(2)①设出事件,分析可能的情况,并求出概率即可;②写出可能的取值,并计算出各个取值的概率,列出分布列并计算出数学期望.【小问1详解】由题意知:可能取,,,,.所以的分布列为:XP【小问2详解】①设“同学停止答题时答对题数为”为事件,“同学第一次抽中高考题,第二次抽中竞赛题并答错”为事件,“同学第一次抽中竞赛题并答对,第二次还抽中竞赛题并答错”为事件,则;;所以.②由同学停止答题时答对题数为,设事件“第次选中竞赛题没答对”;“第次选中竞赛题并答对”;“第次选中高考题”.答题结束时答对 2 题的概率为,易知可能取,;;.的分布列为:0 1 2P所以.【点睛】关键点点睛:本题解决的关键是,熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得的分布列,从而得解.19. 已知函数(1)当 时, 求以点为切点的切线方程;(2)若函数有两个零点,且 ,①求实数k的取值范围;②证明:.【答案】(1);(2)①;②证明见解析.【解析】【分析】(1)求出导数,利用导数的几何意义求出切线方程.(2)①由函数零点的意义变形,构造函数,利用导数探讨方程有两个根的值范围;②利用零点的意义变形得,借助函数单调性,结合分析法探讨,构造函数推理论证即可.【小问1详解】函数,求导得,则,而,所以切线方程为:.【小问2详解】①由,得,令函数,则有,求导得,由,得,在上单调递增;在单调递减,于是,显然,当时,恒成立,因此,即,所以实数k的取值范围是.②由,得,两式相加变形得:,由,得,由,得,不等式,令函数,则,函数在上单调递增,因此原不等式等价于,由,得,即,则,而在上单调递减,因此,令函数,求导得,令函数,求导得,则在上单调递增,则,即,则函数上单调递减,因此,所以成立.【点睛】思路点睛:已知函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题,求解此类问题的一般步骤:①转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题;②列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;③得解,即由列出的式子求出参数的取值范围. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 浙江省G5联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题(原卷版).docx 浙江省G5联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题(解析版).docx