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上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2023高三上·浦东月考）已知，，则　 　.
2．（2023高三上·浦东月考）过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为　 　.
3．（2023高三上·浦东月考）已知在角的终边上，则　 　.
4．（2023高三上·浦东月考）已知复数，（i是虚数单位），若是纯虚数，则实数　 　.
5．（2023高三上·浦东月考）等差数列满足，，则　 　.
6．（2023高三上·浦东月考）已知函数（且）恒过定点，则　 　．
7．（2023高三上·浦东月考）已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是　 　.
8．（2023高三上·浦东月考）已知正实数x、y满足，则的最小值为　 　.
9．（2023高三上·浦东月考）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则　 　.
10．（2023高三上·浦东月考）函数y=sin2x+2sinx的最大值为　 　．
11．（2023高三上·浦东月考）已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是　 　.
12．（2023高三上·浦东月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为　 　.
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13．（2023高三上·浦东月考）若，则“”是“”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
14．（2023高三上·浦东月考）设是复数，则下列命题中的假命题是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．（2023高三上·浦东月考）在正方体中，给出下列四个推断：
①
②
③平面平面
④平面平面
其中正确的推断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023高三上·浦东月考）已知均为正数，并且，给出下列2个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中最小的数不小于.则（　　）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（2023高三上·浦东月考）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．
18．（2023高三上·浦东月考）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
19．（2023高三上·浦东月考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型.
（1）求a、b的值；
（2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路的长度最短 求出最短长度.
20．（2023高三上·浦东月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点.
（1）求周长；
（2）是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.
21．（2023高三上·浦东月考）设是定义域为的函数，如果对任意的，均成立，则称是“平缓函数”.
（1）若，试判断是否为“平缓函数”并说明理由；
（2）已知的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由.
（3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，均有.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，所以，
又因为，则。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二次函数图象求值域的方法得出集合A，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】4
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为直线过点且斜率为，所以直线的方程为，
再利用直线与两坐标相交，得出两交点A，B的坐标，即，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合点斜式方程得出直线方程，再结合直线与两坐标轴相交，进而得出交点坐标，再利用两点距离公式和三角形的面积公式得出过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
3．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：已知在角的终边上，
由三角函数的定义得出，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义以及诱导公式，进而得出的值。
4．【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：已知复数，（i是虚数单位），
则，
因为是纯虚数，所以
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而解方程组得出实数a的值。
5．【答案】28
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列满足，，
所以，
所以
则
故答案为：28.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的首项和公差的值，结合等差数列前n项和公式得出的值。
6．【答案】3
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：已知函数（且）恒过定点，
令2x-3=1，则x=2，
将x=2代入函数的解析式得出y=1，所以定点坐标为(2，1)，
所以m=2，n=1，则。
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的几何性质，进而结合换元法得出定点的横坐标，再结合代入法和函数的解析式得出定点的纵坐标，从而得出m，n的值，进而得出m+n的值。
7．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线右顶点与椭圆的右焦点重合，所以双曲线的焦点在x轴上，
因为椭圆中又因为所以c=1，
所以椭圆的右焦点为所以双曲线的右顶点为所以a=1，
因为双曲线的渐近线方程为，所以所以b=1，
则这个双曲线的标准方程是.
故答案为：.
【分析】利用椭圆的方程确定焦点的位置，进而得出a，b的值，再结合勾股定理得出c的值，从而得出椭圆的右焦点坐标，再利用双曲线右顶点与椭圆的右焦点重合，进而得出双曲线的右顶点坐标，从而得出双曲线中a的值，结合双曲线的渐近线方程得出b的值，从而得出双曲线的标准方程.
8．【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：已知正实数x、y满足，
则，
当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立，
则的最小值为8
故答案为：8.
【分析】利用已知条件结合“1”的灵活应用以及均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
9．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知抛物线的方程为，所以焦点坐标为
过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，设直线MN的方程为：
因为直线交y轴于点E，所以
联立直线与抛物线方程，即，整理可得，
则
因为，，所以
则
则
故答案为：-1.
【分析】利用已知条件结合点斜式设出直线方程，进而设出点E的坐标，再将直线与抛物线联立结合韦达定理和向量共线的坐标表示，进而得出与点M，N的横坐标的关系式，再结合韦达定理得出的值。
10．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数，
所以
令，则，
当时，则当时，则
所以当时，即当时，则函数有最大值，
则函数的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而结合同角三角函数基本关系式得出函数的最大值.
11．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】解：根据题意，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
因为等边的边长为，所以
由正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径为
则等边的外接圆的圆心为
从而得出三角形外接圆的标准方程为
因为点是三角形外接圆上的一个动点，设
则
则
因为所以所以
所以的取值范围为。
故答案为：.
【分析】建立适当的平面直角坐标系，从而得出点A，B，C的坐标，再结合正弦定理的性质和等边三角形外心求解方法，进而得出三角形外接圆的标准方程，从而设出点P的坐标，进而得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和三角恒等变换，将转化为正弦型函数，再结合角的取值范围和正弦型函数的图象得出正弦型函数的取值范围，进而得出的取值范围。
12．【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大学均为，过点A作底面的垂线，垂足为分别为上、下底面正方形的中心，连接AO'、BO，BO交CD于F，连接AF，如下图所示：
由题意得所以为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角，
所以所以
由三角形都为正三角形，得出
设正方形边长为2a，则
所以
所以
故答案为：.
【分析】根据题意可知该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理作出二面角的平面角，再结合勾股定理求出余弦值的大小。
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，
先证充分性，因为，所以，充分性满足；
再证必要性，因为，当a=1，b=0时，不满足，必要性不满足；
则“”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和不等式的求解方法，再利用充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确的选项。
14．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；复数相等的充要条件；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A，若，则，则，所以A对；
对于B，若，则又因为，所以B对；
对于C，若，则，则，所以C对；
对于D，当时，取，显然，所以，所以D错。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的模求解方法、复数相等的判断方法、复数与共轭复数的关系、复数发乘法运算法则，进而找出假命题的选项。
15．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：在正方体中，
①因为所成角为，所以①错；
②因为所以，所以②对；
③因为所以所以，平面平面，所以③对；
④因为所以，平面，又因为平面，所以平面平面，所以④对.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线线角求解方法、线线垂直的判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出正确的推断个数。
16．【答案】A
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】解：对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设
则
则
这与矛盾，故中小于1的数最多只有一个，所以①对；
对于②，不妨设中最小的数为，取
取，
则
即说明中最小的数可以小于，所以②错。
故答案为：A.
【分析】对于①用反证法证明；对于②举出反例说明其错误。
17．【答案】（1）证明：取AD的中点M，连接AC，CM，
在几何体中，已知平面，，
所以，又因为
所以，四边形为平行四边形，又因为，，
所以，四边形ABCM是正方形，所以CM=1，
在中，，所以，
所以，又因为
所以，平面。
（2）解：因为PA平面ABCD，所以，PC与平面ABCD所成的角为，
由得出因为，
所以，，所以，
因为所以
又因为，所以建立以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以，，
所以，
设平面PDC的法向量为，则，令x=1，则，
所以，平面PDC的法向量为，设点A到平面的距离为d，
则，所以，点A到平面PCD的距离为。
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由线线垂直结合线面垂直的判定定理证出平面。
（2）利用已知条件结合线面角的定义得出线面角，再结合余弦函数的定义和勾股定理得出点A到平面的距离.
18．【答案】（1）解：函数
，
因为三角形的内角所对的边分别为，，
因为，所以，，
所以，，在三角形中，，所以，，
所以，，所以，。
（2）解：由（1）可知，所以，，
由正弦定理和三角形的外接圆的半径R为，得出，
所以，由余弦定理可得，
所以，，当且仅当b=c时等号成立，所以，，
所以，三角形面积的最大值为。
【知识点】函数的最大（小）值；函数的值；简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用二倍角的公式及两角和的正弦公式将函数化简为正弦型函数，再利用结合代入法和正弦型函数的解析式，进而得出角A的值。
（2）利用正弦定理求出a的值，再由余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后由面积公式计算可得三角形面积的最大值。
19．【答案】（1）解：由题意可知，点M，N的坐标分别为，，
将它们代入中可得，解得.
（2）解：①，定义域；
②设，则，令解得，
当时，为减函数；当时，为增函数；
所以，当时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以此时千米
答：当时，公路长度最短，最短长度为千米。
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，，则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于点A，B两点，，
则直线l的方程为，由此可得
所以，，，所以函数的定义域为；
【分析】（1）根据题意得出点M，N的坐标，再代入函数的模型可求出a，b的值。
（2）① 利用已知条件建立函数的模型，从而得出函数的解析式，再由实际问题和函数求定义域的方法，进而得出函数的定义域；
② 利用换元法将① 中函数的解析式转化为二次型函数的模型，再结合而次型函数的图象求最值的方法，进而得出二次型函数的最小值，从而得出公路l的最短长度。
20．【答案】（1）解：由题意可知，椭圆：的左、右焦点分别为、，
所以又因为所以，
所以三角形的周长为。
（2）解：存在；；
设与直线MN平行的弦的直线方程为y=-x+m，且与椭圆的交点坐标为，
平行的弦的中点坐标为，联立化简整理可得，
当，即时，
此时与之平行的弦的直线存在，则，
消去参数可得：所以存在满足条件的直线：。
（3）解：设直线l为y=kx，点，不妨设，联立，化简整理可得：
，即
由题可知：直线MN的方程为：y=-x+2，联立，化简整理可得：
解得，所以，，所以，，
所以，，又因为直线l与线段MN相交，且MPNQ为四边形，
所以，即，
点P，Q两点到直线MN的距离分别为，
则四边形MPNQ的面积为：
，
因为，所以，，
化简整理可得解得，又因为，
所以，，所以直线的斜率的取值范围为。
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的定义和焦距的定义以及三角形的周长公式，进而得出三角形周长。
（2）根据题意设出直线方程，再联立直线与椭圆方程结合判别式法得出直线纵截距的取值范围，再由韦达定理和中点坐标公式，进而得出满足条件的直线方程。
（3）根据题意设出直线方程，再联立直线与椭圆方程得出交点坐标，再结合两点距离公式得出线段MN的长，再由直线与线段相交，且为四边形得出直线的斜率的取值范围（1），再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及四边形的面积，从而得出直线的斜率的取值范围（2），（1）（2）求交集得出直线的斜率的取值范围。
21．【答案】（1）解：不是，理由如下，
令因为，则
不满足对任意的，均成立，则不是“平缓函数”。
（2）解：是真命题，理由如下，
因为，不妨令
因为y=f(x)是“平缓函数”，则，
所以所以，命题为真命题。
（3）证明：因为y=f(x)是以1为周期的周期函数，不妨设
当时，因为函数y=f(x)是“平缓函数”，则；
当时，不妨设，则，因为是以为周期的周期函数，
则因为函数y=f(x)是“平缓函数”，
则
，
所以，对任意均有，因为y=f(x)是以为周期的周期函数，
所以，对任意的，均有。
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的概念及其构成要素；函数的周期性；综合法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用赋值法和不等式恒成立问题求解方法以及“平缓函数”定义，进而判断出函数不是“平缓函数”。
（2）利用导函数与极限的关系结合“平缓函数”的定义，从而判断出命题若是“平缓函数”，则是真命题。
（3）利用已知条件结合周期函数的定义和“平缓函数”的定义，进而证出对任意的，均有成立。
1 / 1上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2023高三上·浦东月考）已知，，则　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：已知，所以，
又因为，则。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二次函数图象求值域的方法得出集合A，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2023高三上·浦东月考）过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为直线过点且斜率为，所以直线的方程为，
再利用直线与两坐标相交，得出两交点A，B的坐标，即，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合点斜式方程得出直线方程，再结合直线与两坐标轴相交，进而得出交点坐标，再利用两点距离公式和三角形的面积公式得出过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
3．（2023高三上·浦东月考）已知在角的终边上，则　 　.
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：已知在角的终边上，
由三角函数的定义得出，
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义以及诱导公式，进而得出的值。
4．（2023高三上·浦东月考）已知复数，（i是虚数单位），若是纯虚数，则实数　 　.
【答案】3
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：已知复数，（i是虚数单位），
则，
因为是纯虚数，所以
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合复数的乘法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而解方程组得出实数a的值。
5．（2023高三上·浦东月考）等差数列满足，，则　 　.
【答案】28
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为等差数列满足，，
所以，
所以
则
故答案为：28.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的首项和公差的值，结合等差数列前n项和公式得出的值。
6．（2023高三上·浦东月考）已知函数（且）恒过定点，则　 　．
【答案】3
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：已知函数（且）恒过定点，
令2x-3=1，则x=2，
将x=2代入函数的解析式得出y=1，所以定点坐标为(2，1)，
所以m=2，n=1，则。
故答案为：3.
【分析】利用已知条件结合对数型函数的图象恒过定点的几何性质，进而结合换元法得出定点的横坐标，再结合代入法和函数的解析式得出定点的纵坐标，从而得出m，n的值，进而得出m+n的值。
7．（2023高三上·浦东月考）已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：已知双曲线右顶点与椭圆的右焦点重合，所以双曲线的焦点在x轴上，
因为椭圆中又因为所以c=1，
所以椭圆的右焦点为所以双曲线的右顶点为所以a=1，
因为双曲线的渐近线方程为，所以所以b=1，
则这个双曲线的标准方程是.
故答案为：.
【分析】利用椭圆的方程确定焦点的位置，进而得出a，b的值，再结合勾股定理得出c的值，从而得出椭圆的右焦点坐标，再利用双曲线右顶点与椭圆的右焦点重合，进而得出双曲线的右顶点坐标，从而得出双曲线中a的值，结合双曲线的渐近线方程得出b的值，从而得出双曲线的标准方程.
8．（2023高三上·浦东月考）已知正实数x、y满足，则的最小值为　 　.
【答案】8
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：已知正实数x、y满足，
则，
当且仅当时等号成立，即当且仅当时等号成立，
则的最小值为8
故答案为：8.
【分析】利用已知条件结合“1”的灵活应用以及均值不等式变形求最值的方法，进而得出的最小值。
9．（2023高三上·浦东月考）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知抛物线的方程为，所以焦点坐标为
过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，设直线MN的方程为：
因为直线交y轴于点E，所以
联立直线与抛物线方程，即，整理可得，
则
因为，，所以
则
则
故答案为：-1.
【分析】利用已知条件结合点斜式设出直线方程，进而设出点E的坐标，再将直线与抛物线联立结合韦达定理和向量共线的坐标表示，进而得出与点M，N的横坐标的关系式，再结合韦达定理得出的值。
10．（2023高三上·浦东月考）函数y=sin2x+2sinx的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数，
所以
令，则，
当时，则当时，则
所以当时，即当时，则函数有最大值，
则函数的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而结合同角三角函数基本关系式得出函数的最大值.
11．（2023高三上·浦东月考）已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；圆內接多边形的性质与判定
【解析】【解答】解：根据题意，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
因为等边的边长为，所以
由正弦定理的性质得出三角形外接圆的半径为
则等边的外接圆的圆心为
从而得出三角形外接圆的标准方程为
因为点是三角形外接圆上的一个动点，设
则
则
因为所以所以
所以的取值范围为。
故答案为：.
【分析】建立适当的平面直角坐标系，从而得出点A，B，C的坐标，再结合正弦定理的性质和等边三角形外心求解方法，进而得出三角形外接圆的标准方程，从而设出点P的坐标，进而得出向量的坐标，再结合数量积的坐标表示和三角恒等变换，将转化为正弦型函数，再结合角的取值范围和正弦型函数的图象得出正弦型函数的取值范围，进而得出的取值范围。
12．（2023高三上·浦东月考）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】简单组合体的结构特征；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大学均为，过点A作底面的垂线，垂足为分别为上、下底面正方形的中心，连接AO'、BO，BO交CD于F，连接AF，如下图所示：
由题意得所以为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角，
所以所以
由三角形都为正三角形，得出
设正方形边长为2a，则
所以
所以
故答案为：.
【分析】根据题意可知该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理作出二面角的平面角，再结合勾股定理求出余弦值的大小。
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13．（2023高三上·浦东月考）若，则“”是“”的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：若，
先证充分性，因为，所以，充分性满足；
再证必要性，因为，当a=1，b=0时，不满足，必要性不满足；
则“”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和不等式的求解方法，再利用充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确的选项。
14．（2023高三上·浦东月考）设是复数，则下列命题中的假命题是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；复数相等的充要条件；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A，若，则，则，所以A对；
对于B，若，则又因为，所以B对；
对于C，若，则，则，所以C对；
对于D，当时，取，显然，所以，所以D错。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的模求解方法、复数相等的判断方法、复数与共轭复数的关系、复数发乘法运算法则，进而找出假命题的选项。
15．（2023高三上·浦东月考）在正方体中，给出下列四个推断：
①
②
③平面平面
④平面平面
其中正确的推断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：在正方体中，
①因为所成角为，所以①错；
②因为所以，所以②对；
③因为所以所以，平面平面，所以③对；
④因为所以，平面，又因为平面，所以平面平面，所以④对.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再结合线线角求解方法、线线垂直的判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，进而找出正确的推断个数。
16．（2023高三上·浦东月考）已知均为正数，并且，给出下列2个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中最小的数不小于.则（　　）
A．①对，②错 B．①错，②对 C．①，②都错 D．①，②都对
【答案】A
【知识点】反证法的应用
【解析】【解答】解：对于①，假设存在两个小于1的正数，不妨设
则
则
这与矛盾，故中小于1的数最多只有一个，所以①对；
对于②，不妨设中最小的数为，取
取，
则
即说明中最小的数可以小于，所以②错。
故答案为：A.
【分析】对于①用反证法证明；对于②举出反例说明其错误。
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（2023高三上·浦东月考）如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明：取AD的中点M，连接AC，CM，
在几何体中，已知平面，，
所以，又因为
所以，四边形为平行四边形，又因为，，
所以，四边形ABCM是正方形，所以CM=1，
在中，，所以，
所以，又因为
所以，平面。
（2）解：因为PA平面ABCD，所以，PC与平面ABCD所成的角为，
由得出因为，
所以，，所以，
因为所以
又因为，所以建立以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以，，
所以，
设平面PDC的法向量为，则，令x=1，则，
所以，平面PDC的法向量为，设点A到平面的距离为d，
则，所以，点A到平面PCD的距离为。
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，再由线线垂直结合线面垂直的判定定理证出平面。
（2）利用已知条件结合线面角的定义得出线面角，再结合余弦函数的定义和勾股定理得出点A到平面的距离.
18．（2023高三上·浦东月考）已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）解：函数
，
因为三角形的内角所对的边分别为，，
因为，所以，，
所以，，在三角形中，，所以，，
所以，，所以，。
（2）解：由（1）可知，所以，，
由正弦定理和三角形的外接圆的半径R为，得出，
所以，由余弦定理可得，
所以，，当且仅当b=c时等号成立，所以，，
所以，三角形面积的最大值为。
【知识点】函数的最大（小）值；函数的值；简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用二倍角的公式及两角和的正弦公式将函数化简为正弦型函数，再利用结合代入法和正弦型函数的解析式，进而得出角A的值。
（2）利用正弦定理求出a的值，再由余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后由面积公式计算可得三角形面积的最大值。
19．（2023高三上·浦东月考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型.
（1）求a、b的值；
（2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路的长度最短 求出最短长度.
【答案】（1）解：由题意可知，点M，N的坐标分别为，，
将它们代入中可得，解得.
（2）解：①，定义域；
②设，则，令解得，
当时，为减函数；当时，为增函数；
所以，当时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以此时千米
答：当时，公路长度最短，最短长度为千米。
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，，则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于点A，B两点，，
则直线l的方程为，由此可得
所以，，，所以函数的定义域为；
【分析】（1）根据题意得出点M，N的坐标，再代入函数的模型可求出a，b的值。
（2）① 利用已知条件建立函数的模型，从而得出函数的解析式，再由实际问题和函数求定义域的方法，进而得出函数的定义域；
② 利用换元法将① 中函数的解析式转化为二次型函数的模型，再结合而次型函数的图象求最值的方法，进而得出二次型函数的最小值，从而得出公路l的最短长度。
20．（2023高三上·浦东月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点.
（1）求周长；
（2）是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，椭圆：的左、右焦点分别为、，
所以又因为所以，
所以三角形的周长为。
（2）解：存在；；
设与直线MN平行的弦的直线方程为y=-x+m，且与椭圆的交点坐标为，
平行的弦的中点坐标为，联立化简整理可得，
当，即时，
此时与之平行的弦的直线存在，则，
消去参数可得：所以存在满足条件的直线：。
（3）解：设直线l为y=kx，点，不妨设，联立，化简整理可得：
，即
由题可知：直线MN的方程为：y=-x+2，联立，化简整理可得：
解得，所以，，所以，，
所以，，又因为直线l与线段MN相交，且MPNQ为四边形，
所以，即，
点P，Q两点到直线MN的距离分别为，
则四边形MPNQ的面积为：
，
因为，所以，，
化简整理可得解得，又因为，
所以，，所以直线的斜率的取值范围为。
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的定义和焦距的定义以及三角形的周长公式，进而得出三角形周长。
（2）根据题意设出直线方程，再联立直线与椭圆方程结合判别式法得出直线纵截距的取值范围，再由韦达定理和中点坐标公式，进而得出满足条件的直线方程。
（3）根据题意设出直线方程，再联立直线与椭圆方程得出交点坐标，再结合两点距离公式得出线段MN的长，再由直线与线段相交，且为四边形得出直线的斜率的取值范围（1），再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及四边形的面积，从而得出直线的斜率的取值范围（2），（1）（2）求交集得出直线的斜率的取值范围。
21．（2023高三上·浦东月考）设是定义域为的函数，如果对任意的，均成立，则称是“平缓函数”.
（1）若，试判断是否为“平缓函数”并说明理由；
（2）已知的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由.
（3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，均有.
【答案】（1）解：不是，理由如下，
令因为，则
不满足对任意的，均成立，则不是“平缓函数”。
（2）解：是真命题，理由如下，
因为，不妨令
因为y=f(x)是“平缓函数”，则，
所以所以，命题为真命题。
（3）证明：因为y=f(x)是以1为周期的周期函数，不妨设
当时，因为函数y=f(x)是“平缓函数”，则；
当时，不妨设，则，因为是以为周期的周期函数，
则因为函数y=f(x)是“平缓函数”，
则
，
所以，对任意均有，因为y=f(x)是以为周期的周期函数，
所以，对任意的，均有。
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的概念及其构成要素；函数的周期性；综合法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用赋值法和不等式恒成立问题求解方法以及“平缓函数”定义，进而判断出函数不是“平缓函数”。
（2）利用导函数与极限的关系结合“平缓函数”的定义，从而判断出命题若是“平缓函数”，则是真命题。
（3）利用已知条件结合周期函数的定义和“平缓函数”的定义，进而证出对任意的，均有成立。
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