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浙江省温州市2023-2024学年高二上学期数学期末教学质量统一监测试卷（A卷）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二上·温州期末）已知直线方程，则倾斜角为（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
2．（2024高二上·温州期末）在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·温州期末）已知函数f（x）满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·温州期末）已知为等比数列的前n项和，，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（2024高二上·温州期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·温州期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（　　）
A．35 B．70 C．145 D．170
7．（2024高二上·温州期末）已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·衡阳模拟）若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高二上·温州期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2024高二上·温州期末）已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）有两个极值点
C．f（x）在区间上既有最大值又有最小值
D．
11．（2024高二上·温州期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（　　）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
12．（2024高二上·温州期末）已知在直三棱柱中，，，，点E，F，T分别为棱，，AB上的动点（不含端点），点M为棱BC的中点，且，则（　　）
A．平面EFT
B．平面EFT
C．点A到平面EFT距离的最大值为
D．平面与平面ABC所成角正弦值的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高三上·衡阳模拟）等差数列的前n项和为，已知，且，则公差　 　．
14．（2024高二上·温州期末）已知圆：和圆：外离，则整数m的一个取值可以是　 　．
15．（2024高二上·温州期末）两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为　 　．
16．（2024高二上·温州期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，l：是C的一条渐近线，P是C第一象限上的点，直线与l交于点Q，，则　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（2024高二上·温州期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
（1）求证：平面平面PDB；
（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．
18．（2024高二上·温州期末）已知圆C截y轴所得弦长为2，被x轴分成的两段圆弧的弧长比为3：1，且圆心C到直线的距离为，求圆C的方程．
19．（2024高二上·温州期末）已知数列满足，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．
20．（2024高二上·温州期末）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求证：当时，．
21．（2024高二上·温州期末）已知点在双曲线C：上，
（1）求C的方程；
（2）如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
22．（2024高二上·温州期末）设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线方程，则直线的斜率k为-1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线方程的倾斜角为135°。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则，
所以，.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和中点的性质，再结合三角形法则，从而化简向量.
3．【答案】A
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数f（x）满足，则，
所以，则的值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，从而由代入法和解方程的方法，进而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知为等比数列的前n项和，，
则，，，
所以，所以，所以，所以m=1或m=0(舍)，
则则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式，再利用和等比中项公式得出m的值，从而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式得出等比数列第四项的值.
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意，画出轴截面其中四边形DEFG为内接矩形，如下图所示，
设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，底面半径为R，
则所以，所以，圆柱的侧面积为；
则当时，圆柱的侧面积最大，此时，
所以，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相似三角形对应边成比例和圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的侧面积关于圆柱底面的半径的二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出圆柱的侧面积最大时的圆柱的底面半径与圆锥底面半径的关系式，进而得出当圆柱的侧面积最大时的圆柱与圆锥的高之比.
6．【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：由已知可得，
所以，归纳可得
当时，用累加法求和如下：
......
等号两边同时相加可得：
整理可得：。
对于A，令可得解得或（舍），
所以，所以选项A错；
对于B，令可得解得或（舍），
所以，所以选项B错；
对于C，令可得解得或（舍），
所以，所以选项C错；
对于D，令可得解得（舍）或（舍），
所以，170不是数列的项，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得出数列前几项，进而得出递推公式，再根据累加法求出数列的通项公式为，分别将取35，70，145，170，求出n为正整数的情况，即可得出正确答案.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：利用已知条件，
易知点F(-1，0)，
不妨设直线的斜率为k，倾斜角为，
易知且直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程，即，消去x可得
根据韦达定理可得，
又因为所以，
所以，又因为，
再代入可得，
所以，所以所以所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件求出点F的坐标，设出点A，B的坐标，直线的斜率和倾斜角，再结合图象得出再设出直线的方程，将直线与椭圆联立， 从而由韦达定理得出，进而推出，再同角三角函数基本关系式化简得出方程，再解方程得出直线的倾斜角的正切值，进而得出直线的斜率.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ，a>0且a≠1，b>0且b≠1，f'(x) =axlna+bxlnb，
令g(x)=f'(x)，则g'(x) =ax(lna)2+bx(lnb)2>0恒成立，
故f'(x) =axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，
要想在(0，+∞)上单调递增，只需f'(0) =lna+lnb≥0，即只需ab≥1.
A、ab=10ln1.1，令h (x) =x-1-lnx，x>1，则在 (1，+∞) 上恒成立，
故h (x) =x-1-lnx在(1，+∞)上单调递增，故h (1.1) >h (1) =0，即0.1>ln1.1>0，
故ab=10ln1.1<10×0.1=1，A错误；
B、由于In11<10，故ab=0.1ln11=<1，B错误；
C、ab=0.8e0.2，令q (x) = (1-x) ex，x∈ (0，1)，则q'(x) =-ex+ (1-x) ex=-xex< 0恒成立，
故q(x)=(1-x) ex在(0，1)上单调递减，故q (0.2) D、ab=1.8e-0.2，令w (x) =ex-x-1，x∈(-1，0)，则w'(x) =ex-1< 0恒成立，
故w (x) =ex-x-1在(-1，0)上单调递减，故w (-0.2) >w (0) =0，即e-0.2>1-0.2=0.8，
故ab=1.8e-0.2> 1.8×0.8=1.44>1，D正确；
故答案为：D.
【分析】二次求导得到f'(x) =axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，要想 在(0，+∞)上单调递增，只需ab≥1，A选项，构造h (x) =x-1-lnx，x>1，求导得到单调性，即可判断：B选项，ab=0.1ln11=<1，即可判断；C选项，令q (x) = (1-x) ex，x∈ (0，1)，求导得到其单调性，求出0.8e0.2<1，即可判断；D选项，构造w (x) =ex-x-1，x∈(-1，0)，求导得到单调性，得到e-0.2>0.8，从而求出ab=1.8e-0.2> 1，即可得答案.
9．【答案】C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，双曲线与椭圆的离心率不相等，所以A错；
对于B，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
所以，双曲线与双曲线的离心率不相等，所以B错；
对于C，椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，椭圆与椭圆的离心率相等，所以C对；
对于D，抛物线的离心率为e=1，抛物线的离心率为e=1，
所以，抛物线与抛物线的离心率相等，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合椭圆、双曲线、抛物线离心率求解方法和椭圆中a，b，c三者的关系式、双曲线中a，b，c三者的关系式，再由比较法找出两个圆锥曲线的离心率相等的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由已知可得，，
所以，所以A对；
对于B，令可得或，
令可得，所以函数f(x)在上单调递增，
在上单调递增；
令可得，所以函数f(x)在上单调递减；
所以，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0时处取得极小值，所以B对；
对于C，由B可知，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0处取得极小值，
因为
显然所以函数f(x)在区间上没有最大值，所以C错；
对于D，因为
所以，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而判断出选项A；
利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点个数，从而判断出选项B；
利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数在给定区间的最值，从而判断出选项C；
利用函数的解析式和代入法进而得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为数列的前n项和为，且，，所以
对于A，若数列为等差数列，则公差，则数列为递增数列，
所以数列为递增数列，所以A对；
对于B，若数列为等比数列，则公比
当q=-1时，则数列为摆动数列，不具备单调性，所以B错；
对于C，若数列为等差数列，因为，所以
所以数列从第二项开始每一项都为正，且数列为递增数列，所以C对；
对于D，若数列为等比数列，因为，所以
所以数列为摆动数列，且数列为递增数列，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可得再结合等差数列、等比数列的通项公式和数列求和公式，逐一分析选项，进而找出真命题的选项.
12．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：以点C为原点建立空间直角坐标系，
设，则故所以，
则
故所以。
对于A，，则
所以则，又因为不包含于平面EFT，
所以所以A对；
对于B，，则，
假设平面EFT，则M，E，F，T四点共面，所以存在唯一实数对，使得
即所以，
解得，所以M，E，F，T四点共面，即平面EFT，所以B对；
对于C，设平面EFT的法向量为
则有，令z=1，则y=t，x=t-2，所以
所以点A到平面EFT的距离为，令p=4-t，，则t=4-p，
所以，
当 即时，，
所以，点A到平面EFT距离的最大值为，所以C对；
对于D，因为，所以为平面ABC的一个法向量，
则，设平面的法向量为
则有，令c=1，则a=t-2，，所以
设平面与平面ABC所成的角为，则
，
令
当时，，所以
所以，平面与平面ABC所成角正弦值的最小值为，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理，进而证出线线垂直，从而证出线面平行，进而判断出选项A；利用已知条件结合四点共面的判断方法和平面向量基本定理判断出点与平面的位置关系，进而判断出选项B；利用已知条件结合平面的法向量求解方法和数量积求点到平面距离的公式，从而将点A到平面EFT距离转化为二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法得出点A到平面EFT距离的最大值，从而判断出选项C；利用已知条件结合线面垂直的定义得出平面的法向量，再结合平面的法向量求解方法和数量积求二面角的平面角的方法，进而将二面角的平面角的余弦值转化为二次函数，再结合同角三角函数基本关系式，将二面角的平面角的正弦值转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法得出平面与平面ABC所成角正弦值的最小值，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
13．【答案】-1
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ， ，可得，，解得d=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式求得公差d.
14．【答案】6
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：已知圆：和圆：外离，
又因为圆：的圆心为半径，
圆：的圆心为半径，其中所以，
所以，则，所以，
则，则整数m的一个取值可以是6.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合两圆的一般方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两圆的位置关系判断方法，进而得出实数m的取值范围，进而找出整数m的一个取值.
15．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，
平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知平面ABEF，
所以所以BC，AB，BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(如图)，
设
因为所以
所以
，
当时，MN的长最小，且最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设点的坐标得到线段MN的长度表达式，再利用配方法结合二次函数求最值的方法，进而得出MN的最小值.
16．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：连接，（如图）
设，易知是双曲线C的一条渐近线，所以，则，
而，所以c=2a，
则双曲线的标准方程为
则
由可得解得x=a，则，
故，则直线的方程为：，化简可得
联立方程组，设
可得，故
由图易得，则解得
易知
由焦点三角形面积公式得
故解得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出图形，再结合双曲线的渐近线方程得出a，b的关系式，再由双曲线的离心率公式与a，b的关系式，进而得出双曲线的离心率，从而得出a，c的关系式，进而设出双曲线的标准方程，再利用双曲线标准方程设出焦点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示得出点Q坐标，再根据两点求斜率公式和点斜式公式设出直线方程，再联立直线与双曲线方程和韦达定理以及三角形的面积公式和焦点三角形的面积公式，进而得出的值.
17．【答案】（1）解：平面，平面，.
四边形是菱形，，
又平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：设点D到平面AMC的距离为d，过点作平面交平面于点，
连接，则即为所求线面角，连接交于点，连接，
∥，∥平面，
平面，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
，，所以， CP与平面MAC所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合菱形的结构特征证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直；
（2）利用作辅助线的方法和线面角求解方法得出所求线面角，再结合线线平行证出线面平行，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，进而得出PH 和PC的长，再由正弦函数的定义得出直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
18．【答案】解：设圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为，
有题设知，圆截x轴所得劣弧的圆心角为90°，故.
又圆截y轴所得的弦长为2，所以r2=a2+1，
从而得2b2-a2=1，
点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为，得a-2b=±1，
解得或，
故r2=a2+1=2，
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)3+(y+1)2=2.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、弧长公式得出圆的半径与圆心纵坐标的关系式，再结合弦长公式得出圆心横坐标与纵坐标的一个方程，再由点到直线的距离公式得出圆心横坐标和纵坐标的另一个过程，解方程组得出圆心坐标，再根据勾股定理得出圆的半径长，从而得出圆C的标准方程.
19．【答案】（1）解：，
，
数列为以2为首项1为公差的等差数列.
（2）解：（2）由(1)可知，得，要使得怛成立，只需要，
令，则则
数列为递增数列，所以，，
则实数k的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列；
（2）由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，要使得怛成立，只需要，再利用换元法，令，再由递推公式和放缩法和函数的单调性，进而证出数列的单调性，再由数列的单调性求出数列的最小值，从而得出实数k的取值范围.
20．【答案】（1）解：因为，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上大于单调递增，在上小于0，单调递减
（2）解：由（1）知当时，，只需证，即证
令，有，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性；
（2）由（1）知当时，，只需证，令，再利用求导的方法判断函数g(a)的单调性，进而得出函数g(a)的最小值，从而证出当时，不等式成立.
21．【答案】（1）解：由点在双曲线上易知，
双曲线的方程为；
（2）解：由直线垂直于直线OA知直线的斜率为，设，
，联立，消去得：，则，解得，可得，
，点到直线的距离为，
所以，
直线AP的方程为，联立方程，
解得点的纵坐标为，同理，
则，
则三角形AMN的面积为
又
则，所以的取值范围是.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用代入法和双曲线的标准方程得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程；
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线l的斜率，再设出直线l的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与双曲线方程结合判别式法和韦达定理，再根据弦长公式和点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，进而得出三角形APQ的面积与直线l的纵截距之间的关系式，再由点斜式设出直线AP的方程，再联立直线与双曲线方程得出点M，N的纵坐标，再根据两点距离公式和三角形面积公式和四边形的面积公式得出四边形MPQN的面积与直线l的纵截距之间的关系式，从而得出与直线l的纵截距之间的函数关系式，再由二次函数的图象求值域的方法，进而得出的取值范围.
22．【答案】（1）解：因为，
由，得，
又，所以点在直线上有；
（2）解：令，
当时，恒有，所以只需考虑的情况.
因为，
当时，有，所以；
当时，在上单调递增，，所以单调递增，；
当时，有，所以存在，使得，当时，单调递减，所以，矛盾；
综上当时，有对任意的恒成立.
（3）解：由（2）可知：当时，
令a=1时，可得
令则则整理可得
令则整理可得
则
所以。
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法求出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值；
（2）令，当时，恒有，所以只需考虑的情况，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合反证法和不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围；
（3）由（2）可知：当时，令a=1，令，可得，再令，可得再利用累加法证明出不等式成立j即可.
1 / 1浙江省温州市2023-2024学年高二上学期数学期末教学质量统一监测试卷（A卷）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高二上·温州期末）已知直线方程，则倾斜角为（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线方程，则直线的斜率k为-1，
设直线的倾斜角为，，
因为，所以直线方程的倾斜角为135°。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合直线的方程得出直线的斜率，再结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式和直线的倾斜角的取值范围，进而得出直线的倾斜角.
2．（2024高二上·温州期末）在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则，
所以，.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和中点的性质，再结合三角形法则，从而化简向量.
3．（2024高二上·温州期末）已知函数f（x）满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数f（x）满足，则，
所以，则的值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，从而由代入法和解方程的方法，进而得出的值.
4．（2024高二上·温州期末）已知为等比数列的前n项和，，则（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：已知为等比数列的前n项和，，
则，，，
所以，所以，所以，所以m=1或m=0(舍)，
则则。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式，再利用和等比中项公式得出m的值，从而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式得出等比数列第四项的值.
5．（2024高二上·温州期末）已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】解：根据题意，画出轴截面其中四边形DEFG为内接矩形，如下图所示，
设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，圆锥的高为H，底面半径为R，
则所以，所以，圆柱的侧面积为；
则当时，圆柱的侧面积最大，此时，
所以，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合相似三角形对应边成比例和圆柱的侧面积公式，进而得出圆柱的侧面积关于圆柱底面的半径的二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出圆柱的侧面积最大时的圆柱的底面半径与圆锥底面半径的关系式，进而得出当圆柱的侧面积最大时的圆柱与圆锥的高之比.
6．（2024高二上·温州期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（　　）
A．35 B．70 C．145 D．170
【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：由已知可得，
所以，归纳可得
当时，用累加法求和如下：
......
等号两边同时相加可得：
整理可得：。
对于A，令可得解得或（舍），
所以，所以选项A错；
对于B，令可得解得或（舍），
所以，所以选项B错；
对于C，令可得解得或（舍），
所以，所以选项C错；
对于D，令可得解得（舍）或（舍），
所以，170不是数列的项，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件得出数列前几项，进而得出递推公式，再根据累加法求出数列的通项公式为，分别将取35，70，145，170，求出n为正整数的情况，即可得出正确答案.
7．（2024高二上·温州期末）已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：利用已知条件，
易知点F(-1，0)，
不妨设直线的斜率为k，倾斜角为，
易知且直线的方程为：
联立直线与椭圆的方程，即，消去x可得
根据韦达定理可得，
又因为所以，
所以，又因为，
再代入可得，
所以，所以所以所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件求出点F的坐标，设出点A，B的坐标，直线的斜率和倾斜角，再结合图象得出再设出直线的方程，将直线与椭圆联立， 从而由韦达定理得出，进而推出，再同角三角函数基本关系式化简得出方程，再解方程得出直线的倾斜角的正切值，进而得出直线的斜率.
8．（2024高三上·衡阳模拟）若函数在上单调递增，则a和b的可能取值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： ，a>0且a≠1，b>0且b≠1，f'(x) =axlna+bxlnb，
令g(x)=f'(x)，则g'(x) =ax(lna)2+bx(lnb)2>0恒成立，
故f'(x) =axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，
要想在(0，+∞)上单调递增，只需f'(0) =lna+lnb≥0，即只需ab≥1.
A、ab=10ln1.1，令h (x) =x-1-lnx，x>1，则在 (1，+∞) 上恒成立，
故h (x) =x-1-lnx在(1，+∞)上单调递增，故h (1.1) >h (1) =0，即0.1>ln1.1>0，
故ab=10ln1.1<10×0.1=1，A错误；
B、由于In11<10，故ab=0.1ln11=<1，B错误；
C、ab=0.8e0.2，令q (x) = (1-x) ex，x∈ (0，1)，则q'(x) =-ex+ (1-x) ex=-xex< 0恒成立，
故q(x)=(1-x) ex在(0，1)上单调递减，故q (0.2) D、ab=1.8e-0.2，令w (x) =ex-x-1，x∈(-1，0)，则w'(x) =ex-1< 0恒成立，
故w (x) =ex-x-1在(-1，0)上单调递减，故w (-0.2) >w (0) =0，即e-0.2>1-0.2=0.8，
故ab=1.8e-0.2> 1.8×0.8=1.44>1，D正确；
故答案为：D.
【分析】二次求导得到f'(x) =axlna+bxlnb在(0，+∞)上单调递增，要想 在(0，+∞)上单调递增，只需ab≥1，A选项，构造h (x) =x-1-lnx，x>1，求导得到单调性，即可判断：B选项，ab=0.1ln11=<1，即可判断；C选项，令q (x) = (1-x) ex，x∈ (0，1)，求导得到其单调性，求出0.8e0.2<1，即可判断；D选项，构造w (x) =ex-x-1，x∈(-1，0)，求导得到单调性，得到e-0.2>0.8，从而求出ab=1.8e-0.2> 1，即可得答案.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高二上·温州期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C,D
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，双曲线与椭圆的离心率不相等，所以A错；
对于B，双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
双曲线中所以
因为，，所以，所以，双曲线的离心率，
所以，双曲线与双曲线的离心率不相等，所以B错；
对于C，椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
椭圆中所以
因为，，所以，所以，椭圆的离心率，
所以，椭圆与椭圆的离心率相等，所以C对；
对于D，抛物线的离心率为e=1，抛物线的离心率为e=1，
所以，抛物线与抛物线的离心率相等，所以D对.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合椭圆、双曲线、抛物线离心率求解方法和椭圆中a，b，c三者的关系式、双曲线中a，b，c三者的关系式，再由比较法找出两个圆锥曲线的离心率相等的选项.
10．（2024高二上·温州期末）已知函数，则（　　）
A．
B．f（x）有两个极值点
C．f（x）在区间上既有最大值又有最小值
D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A，由已知可得，，
所以，所以A对；
对于B，令可得或，
令可得，所以函数f(x)在上单调递增，
在上单调递增；
令可得，所以函数f(x)在上单调递减；
所以，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0时处取得极小值，所以B对；
对于C，由B可知，函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=0处取得极小值，
因为
显然所以函数f(x)在区间上没有最大值，所以C错；
对于D，因为
所以，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而得出导函数，再结合代入法得出导函数的值，从而判断出选项A；
利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值点个数，从而判断出选项B；
利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数在给定区间的最值，从而判断出选项C；
利用函数的解析式和代入法进而得出的值，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高二上·温州期末）已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（　　）
A．若为等差数列，则数列为递增数列
B．若为等比数列，则数列为递增数列
C．若为等差数列，则数列为递增数列
D．若为等比数列，则数列为递增数列
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：因为数列的前n项和为，且，，所以
对于A，若数列为等差数列，则公差，则数列为递增数列，
所以数列为递增数列，所以A对；
对于B，若数列为等比数列，则公比
当q=-1时，则数列为摆动数列，不具备单调性，所以B错；
对于C，若数列为等差数列，因为，所以
所以数列从第二项开始每一项都为正，且数列为递增数列，所以C对；
对于D，若数列为等比数列，因为，所以
所以数列为摆动数列，且数列为递增数列，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可得再结合等差数列、等比数列的通项公式和数列求和公式，逐一分析选项，进而找出真命题的选项.
12．（2024高二上·温州期末）已知在直三棱柱中，，，，点E，F，T分别为棱，，AB上的动点（不含端点），点M为棱BC的中点，且，则（　　）
A．平面EFT
B．平面EFT
C．点A到平面EFT距离的最大值为
D．平面与平面ABC所成角正弦值的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；空间点、线、面的位置；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：以点C为原点建立空间直角坐标系，
设，则故所以，
则
故所以。
对于A，，则
所以则，又因为不包含于平面EFT，
所以所以A对；
对于B，，则，
假设平面EFT，则M，E，F，T四点共面，所以存在唯一实数对，使得
即所以，
解得，所以M，E，F，T四点共面，即平面EFT，所以B对；
对于C，设平面EFT的法向量为
则有，令z=1，则y=t，x=t-2，所以
所以点A到平面EFT的距离为，令p=4-t，，则t=4-p，
所以，
当 即时，，
所以，点A到平面EFT距离的最大值为，所以C对；
对于D，因为，所以为平面ABC的一个法向量，
则，设平面的法向量为
则有，令c=1，则a=t-2，，所以
设平面与平面ABC所成的角为，则
，
令
当时，，所以
所以，平面与平面ABC所成角正弦值的最小值为，所以D错.
故答案为：ABC.
【分析】建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量共线定理，进而证出线线垂直，从而证出线面平行，进而判断出选项A；利用已知条件结合四点共面的判断方法和平面向量基本定理判断出点与平面的位置关系，进而判断出选项B；利用已知条件结合平面的法向量求解方法和数量积求点到平面距离的公式，从而将点A到平面EFT距离转化为二次函数，再结合二次函数的图象求最值的方法得出点A到平面EFT距离的最大值，从而判断出选项C；利用已知条件结合线面垂直的定义得出平面的法向量，再结合平面的法向量求解方法和数量积求二面角的平面角的方法，进而将二面角的平面角的余弦值转化为二次函数，再结合同角三角函数基本关系式，将二面角的平面角的正弦值转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法得出平面与平面ABC所成角正弦值的最小值，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高三上·衡阳模拟）等差数列的前n项和为，已知，且，则公差　 　．
【答案】-1
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为 ， ，可得，，解得d=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式求得公差d.
14．（2024高二上·温州期末）已知圆：和圆：外离，则整数m的一个取值可以是　 　．
【答案】6
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：已知圆：和圆：外离，
又因为圆：的圆心为半径，
圆：的圆心为半径，其中所以，
所以，则，所以，
则，则整数m的一个取值可以是6.
故答案为：6.
【分析】利用已知条件结合两圆的一般方程得出圆心坐标和半径的长，再结合两圆的位置关系判断方法，进而得出实数m的取值范围，进而找出整数m的一个取值.
15．（2024高二上·温州期末）两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，
平面ABCD，根据面面垂直的性质定理可知平面ABEF，
所以所以BC，AB，BE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(如图)，
设
因为所以
所以
，
当时，MN的长最小，且最小值为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，设点的坐标得到线段MN的长度表达式，再利用配方法结合二次函数求最值的方法，进而得出MN的最小值.
16．（2024高二上·温州期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，l：是C的一条渐近线，P是C第一象限上的点，直线与l交于点Q，，则　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：连接，（如图）
设，易知是双曲线C的一条渐近线，所以，则，
而，所以c=2a，
则双曲线的标准方程为
则
由可得解得x=a，则，
故，则直线的方程为：，化简可得
联立方程组，设
可得，故
由图易得，则解得
易知
由焦点三角形面积公式得
故解得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件作出图形，再结合双曲线的渐近线方程得出a，b的关系式，再由双曲线的离心率公式与a，b的关系式，进而得出双曲线的离心率，从而得出a，c的关系式，进而设出双曲线的标准方程，再利用双曲线标准方程设出焦点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示得出点Q坐标，再根据两点求斜率公式和点斜式公式设出直线方程，再联立直线与双曲线方程和韦达定理以及三角形的面积公式和焦点三角形的面积公式，进而得出的值.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（2024高二上·温州期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．
（1）求证：平面平面PDB；
（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．
【答案】（1）解：平面，平面，.
四边形是菱形，，
又平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：设点D到平面AMC的距离为d，过点作平面交平面于点，
连接，则即为所求线面角，连接交于点，连接，
∥，∥平面，
平面，，
又平面平面，平面平面，
平面，，
，，所以， CP与平面MAC所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合菱形的结构特征证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，最后由线面垂直证出面面垂直；
（2）利用作辅助线的方法和线面角求解方法得出所求线面角，再结合线线平行证出线面平行，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合面面垂直证出线面垂直，进而得出PH 和PC的长，再由正弦函数的定义得出直线CP与平面MAC所成角的正弦值.
18．（2024高二上·温州期末）已知圆C截y轴所得弦长为2，被x轴分成的两段圆弧的弧长比为3：1，且圆心C到直线的距离为，求圆C的方程．
【答案】解：设圆心坐标为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为，
有题设知，圆截x轴所得劣弧的圆心角为90°，故.
又圆截y轴所得的弦长为2，所以r2=a2+1，
从而得2b2-a2=1，
点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为，得a-2b=±1，
解得或，
故r2=a2+1=2，
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)3+(y+1)2=2.
【知识点】圆的标准方程
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、弧长公式得出圆的半径与圆心纵坐标的关系式，再结合弦长公式得出圆心横坐标与纵坐标的一个方程，再由点到直线的距离公式得出圆心横坐标和纵坐标的另一个过程，解方程组得出圆心坐标，再根据勾股定理得出圆的半径长，从而得出圆C的标准方程.
19．（2024高二上·温州期末）已知数列满足，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
数列为以2为首项1为公差的等差数列.
（2）解：（2）由(1)可知，得，要使得怛成立，只需要，
令，则则
数列为递增数列，所以，，
则实数k的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义，进而证出数列为等差数列；
（2）由等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合不等式恒成立问题求解方法，要使得怛成立，只需要，再利用换元法，令，再由递推公式和放缩法和函数的单调性，进而证出数列的单调性，再由数列的单调性求出数列的最小值，从而得出实数k的取值范围.
20．（2024高二上·温州期末）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）解：因为，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上大于单调递增，在上小于0，单调递减
（2）解：由（1）知当时，，只需证，即证
令，有，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性；
（2）由（1）知当时，，只需证，令，再利用求导的方法判断函数g(a)的单调性，进而得出函数g(a)的最小值，从而证出当时，不等式成立.
21．（2024高二上·温州期末）已知点在双曲线C：上，
（1）求C的方程；
（2）如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
【答案】（1）解：由点在双曲线上易知，
双曲线的方程为；
（2）解：由直线垂直于直线OA知直线的斜率为，设，
，联立，消去得：，则，解得，可得，
，点到直线的距离为，
所以，
直线AP的方程为，联立方程，
解得点的纵坐标为，同理，
则，
则三角形AMN的面积为
又
则，所以的取值范围是.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用代入法和双曲线的标准方程得出a的值，从而得出双曲线C的标准方程；
（2）利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线l的斜率，再设出直线l的方程和点P，Q的坐标，再联立直线与双曲线方程结合判别式法和韦达定理，再根据弦长公式和点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，进而得出三角形APQ的面积与直线l的纵截距之间的关系式，再由点斜式设出直线AP的方程，再联立直线与双曲线方程得出点M，N的纵坐标，再根据两点距离公式和三角形面积公式和四边形的面积公式得出四边形MPQN的面积与直线l的纵截距之间的关系式，从而得出与直线l的纵截距之间的函数关系式，再由二次函数的图象求值域的方法，进而得出的取值范围.
22．（2024高二上·温州期末）设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
【答案】（1）解：因为，
由，得，
又，所以点在直线上有；
（2）解：令，
当时，恒有，所以只需考虑的情况.
因为，
当时，有，所以；
当时，在上单调递增，，所以单调递增，；
当时，有，所以存在，使得，当时，单调递减，所以，矛盾；
综上当时，有对任意的恒成立.
（3）解：由（2）可知：当时，
令a=1时，可得
令则则整理可得
令则整理可得
则
所以。
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法求出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值；
（2）令，当时，恒有，所以只需考虑的情况，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合反证法和不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围；
（3）由（2）可知：当时，令a=1，令，可得，再令，可得再利用累加法证明出不等式成立j即可.
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