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云南省昆明市第十中中学白塔中学2023年中考模拟质量检测试卷
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（2023·安宁模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包80元记作元，则妈妈微信转账支付67元可以表示为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2023·昆明模拟） 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·凤山模拟）下列几何体中的俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆市模拟）如图，直线mn，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
5．（2018·恩施）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5=a9 B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
6．（2017八下·蒙城期末）在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　）
A．方差 B．平均数
C．中位数 D．众数
7．（2023·昆明模拟） 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·昆明模拟） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·昆明模拟） 如图，点E是正方形的边上的一点．且，延长交的延长线于点F，则和的面积比为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·德惠模拟）若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
11．（2020八上·昌平期末）如图，用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒（　　）
A．4041 B．6060 C．4040 D．6042
12．（2018·襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．（2023·昆明模拟） 若使代数式有意义，则的取值范围是 　 　．
14．（2020·济宁）分解因式a3-4a的结果是 　 　．
15．（2023·昆明模拟） 已知扇形的半径是，面积是，那么扇形的圆心角是　 　度．
16．（2018·成华模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为　 　．
三、解答题（共8小题，满分56分）
17．（2023·昆明模拟） 计算：
18．（2017八上·宁都期末）已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE．
19．（2023·昆明模拟） 2023年云南省率先实现中考体育改革，把体育按100分计入升学总分，每学期都要进行体育测试，每学期参加体育类比赛，获奖按照文件可加分，但满分不超过100分．某部门为了了解某区七年级6000名学生的上学期的体育成绩，随机抽查了该区部分学生的七年级上学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，并绘制统计图表如下（不完整）：
七年级上学期的体育成绩频数分布表
组别 1 2 3 4
分数段
频数 4 a 30 46
频率 0.04 b 0.3 n
七年级上学期的体育成绩频数分布直方图
（1）根据统计表求b的值并补全直方图．
（2）该样本数据中位数在第　 　组．
（3）若分数不小于80分，记为“A”，请估算该地区七年级上学期体育成绩记为“A”的学生数．
20．（2023·昆明模拟） 大观楼长联是乾隆年间名士孙髯翁登大观楼时所作，文中写到：“五百里滇池奔来眼底，披襟岸帻，喜茫茫空阔无边．看：东骧神骏，西翥灵仪，北走蜿蜒，南翔缟素”．其中神骏指昆明东面的金马山，灵仪指西面的碧鸡山，蜿蜒指北面的长虫山，结素指南面的白鹤山．用四张除字母外其余均相同的卡片分别代表四座山．A：金马山，B：碧鸡山，C：长虫山，D：白鹤山．小昆先从四张卡片中随机抽一张（不放回），小明再从剩下三张卡片中随机抽一张．
（1）小昆抽到卡片是“长虫山”的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的概率．
21．（2023·昆明模拟） 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为菱形外一点，连接、，且，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的面积．
22．（2023·昆明模拟） 某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别 A种 B种
进价（元） 18 12
备注 ①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本； ②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
23．（2023·昆明模拟）如图，为的直径，，是的两条弦，过点C作，交的延长线于点D，．过点D作直线与交于点E，与交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2023·昆明模拟） 抛物线（m，n为常数）的对称轴为直线，且经过点
（1）请求出m和n的值并写出抛物线的解析式；
（2）若存在实数，当时，恰好有，请求出a，b的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵微信红包80元记作元，
∴微信转账支付67元记为-67元，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量求解即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得数据0.0000084用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】根据题意运用科学记数法表示数据0.0000084即可求解。
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项不合题意；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
D、四棱锥的俯视图是矩形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示；结合各选项即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠1=90°，
又∠1=30°，
∴∠ABC＝90°-30°＝60°，
∵mn，
∴∠2＝180°-∠ABC＝120°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠ACB＝90°，由内角和定理可得∠ABC+∠1=90°，结合∠1的度数可求出∠ABC的度数，根据平行线的性质可得∠2+∠ABC＝180°，据此求解.
5．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、（2a2b3）2=4a4b6，故符合题意；
C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故不符合题意；
D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，不是同类项的不能合并；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘以多形式，根据乘法分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加；完全平方公式的展开式，是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央；利用法则即可一一判断。
6．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数。
故答案为：D.
【分析】根据题意结合众数的定义即可推出答案。
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=1，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故答案为：C
【分析】根据反比例函数图象上的点代入点A、B、C，进而即可求出x，从而比较大小即可求解。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
又，
，
则和的面积比=，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质即可求解。
10．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的一个内角是，
∴外角为72°，
∴正多边形的边长
故答案为：D
【分析】根据多边形内角和外角的计算公式即可求解。
11．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个三角形需要3根火柴；
第二个三角形需要5=（3+2）根火柴；
第3个三角形需要7=（3+2×2）根火柴．
第n个三角形需要[3+（n-1）×2]=2n+1根火柴．
∴当n=2020时，2n+1=4041
故答案为：A．
【分析】观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律，从而写出通项公式．
12．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2-x≥0，
∴x≤2，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2-x≥0，进而即可求解。
14．【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案为：a（a+2）（a-2）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
15．【答案】120
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得．
∴扇形的圆心角为．
故答案为：120．
【分析】根据扇形的面积公式结合题意即可求出扇形的圆心角。
16．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵根据作图法则可得：CF⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
∵∠CFB=90°，∠B=60°，
∴BF= BC=2，
∴AF=AB－BF=8－2=6．
【分析】根据作图可得出CF⊥AB，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB、BF的长，再根据AF=AB－BF，可解答。
17．【答案】解：原式=﹣3﹣2+﹣1+﹣1=﹣5.
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
18．【答案】证明：∵BE∥AC，
∴∠C=∠DBE．
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB，
∴AB=DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质得∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质可得AB=DE．
19．【答案】（1）解：调查的总人数为（人），
∴，
∴，
补全直方图如图所示：
（2）3
（3）解：解：（人），
答：该地区七年级上学期体育成绩记为“A”的学生数约4560人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（2）由表中可知，第50和第51位置的数都位于第3组，故该样本数据中位数位于第3组，
故答案为：3；
【分析】（1）先根据频数分布直方表和频数分布直方图求出调查的总人数，进而即可求出a和b，再补全直方图即可求解；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行运算即可求解。
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的结果有2种，两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得小昆抽到卡片是“长虫山”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的结果有2种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
平行四边形为矩形．
（2）解：∵菱形的边长为4，，
，
，
由（1）已证：四边形为矩形，
，
，
点到直线的距离为，即的边上的高为2，
则的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而根据菱形的性质结合矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，从而运用勾股定理求出OC，再根据矩形的性质得到，再根据平行线间的距离结合题意得到点到直线的距离为，即的边上的高为2，从而结合三角形的面积即可求解。
22．【答案】（1）解：设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，
根据题意可：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元
（2）解：设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，
由题意得，，
根据题意得：，解得：，
∵，∴w随着t的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4560元，
此时购进A类图书600本，B类图书400本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，进而根据表格数据结合题意即可列出分式方程，从而即可求解；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，先根据题意列出w与x的一次函数关系式，再结合题意列出不等式组，进而得到t的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解。
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得或（增根，舍去），
经检验，是所列方程的解，
，，
，，，
，
，，
设，则，
在和中，，
，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
所以的长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而根据切线的判定结合题意证明即可求解；
（2）连接，先根据题意解直角三角形（边角关系）设，则，进而运用勾股定理即可求出a，从而得到AC，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而设，则，再运用勾股定理求出b，从而结合已知条件设，则，进而结合题意证明即可求出x。
24．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线经过点，
，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
当时，恰好有，
，即，
，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
当时，恰好有，
，即，
是方程的两个根，
解方程得：或或，
又，
，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数对称轴结合题意求出m，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据题意得到，进而根据二次函数的性质得到当时，取最大值，最大值为，当时，取最小值，最小值为，从而即可得到，进而即可得到是方程的两个根，再解方程即可求出t。
1 / 1云南省昆明市第十中中学白塔中学2023年中考模拟质量检测试卷
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（2023·安宁模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包80元记作元，则妈妈微信转账支付67元可以表示为（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵微信红包80元记作元，
∴微信转账支付67元记为-67元，
故答案为：D.
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量求解即可。
2．（2023·昆明模拟） 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得数据0.0000084用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】根据题意运用科学记数法表示数据0.0000084即可求解。
3．（2021·凤山模拟）下列几何体中的俯视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项不合题意；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
D、四棱锥的俯视图是矩形，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示；结合各选项即可求解.
4．（2023·重庆市模拟）如图，直线mn，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．140° B．130° C．120° D．110°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠1=90°，
又∠1=30°，
∴∠ABC＝90°-30°＝60°，
∵mn，
∴∠2＝180°-∠ABC＝120°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠ACB＝90°，由内角和定理可得∠ABC+∠1=90°，结合∠1的度数可求出∠ABC的度数，根据平行线的性质可得∠2+∠ABC＝180°，据此求解.
5．（2018·恩施）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a5=a9 B．（2a2b3）2=4a4b6
C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、（2a2b3）2=4a4b6，故符合题意；
C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故不符合题意；
D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，不是同类项的不能合并；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘以多形式，根据乘法分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加；完全平方公式的展开式，是一个三项式，首平方，尾平方，积的2倍放中央；利用法则即可一一判断。
6．（2017八下·蒙城期末）在端午节道来之前，双十中学高中部食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是（　　）
A．方差 B．平均数
C．中位数 D．众数
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数。
故答案为：D.
【分析】根据题意结合众数的定义即可推出答案。
7．（2023·昆明模拟） 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=1，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
8．（2023·昆明模拟） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故答案为：C
【分析】根据反比例函数图象上的点代入点A、B、C，进而即可求出x，从而比较大小即可求解。
9．（2023·昆明模拟） 如图，点E是正方形的边上的一点．且，延长交的延长线于点F，则和的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
又，
，
则和的面积比=，
故答案为：C
【分析】先根据正方形的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质即可求解。
10．（2023·德惠模拟）若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的一个内角是，
∴外角为72°，
∴正多边形的边长
故答案为：D
【分析】根据多边形内角和外角的计算公式即可求解。
11．（2020八上·昌平期末）如图，用火柴棒按如图的方式搭一行三角形，搭一个三角形需3枝火柴棒，搭2个三角形需5枝火柴棒，搭3个三角形需7枝火柴棒，照这样的规律搭下去，搭2020个三角形需要火柴棒（　　）
A．4041 B．6060 C．4040 D．6042
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个三角形需要3根火柴；
第二个三角形需要5=（3+2）根火柴；
第3个三角形需要7=（3+2×2）根火柴．
第n个三角形需要[3+（n-1）×2]=2n+1根火柴．
∴当n=2020时，2n+1=4041
故答案为：A．
【分析】观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律，从而写出通项公式．
12．（2018·襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB sin∠AOB= ，
∴BC=2BH=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理得出CH=BH，弧AC=弧BC，根据圆周角定理得出∠AOB=2∠CDA=60°，在Rt△BHO中利用正弦函数及特殊锐角三角函数值得出BH=OB sin∠AOB= ，从而得出答案。
二、填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．（2023·昆明模拟） 若使代数式有意义，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2-x≥0，
∴x≤2，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2-x≥0，进而即可求解。
14．（2020·济宁）分解因式a3-4a的结果是 　 　．
【答案】a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a3-4a=a（a2-4）=a（a+2）（a-2），
故答案为：a（a+2）（a-2）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
15．（2023·昆明模拟） 已知扇形的半径是，面积是，那么扇形的圆心角是　 　度．
【答案】120
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得．
∴扇形的圆心角为．
故答案为：120．
【分析】根据扇形的面积公式结合题意即可求出扇形的圆心角。
16．（2018·成华模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵根据作图法则可得：CF⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
∵∠CFB=90°，∠B=60°，
∴BF= BC=2，
∴AF=AB－BF=8－2=6．
【分析】根据作图可得出CF⊥AB，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB、BF的长，再根据AF=AB－BF，可解答。
三、解答题（共8小题，满分56分）
17．（2023·昆明模拟） 计算：
【答案】解：原式=﹣3﹣2+﹣1+﹣1=﹣5.
【知识点】特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
18．（2017八上·宁都期末）已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE．
【答案】证明：∵BE∥AC，
∴∠C=∠DBE．
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB，
∴AB=DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】先利用平行线的性质得∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质可得AB=DE．
19．（2023·昆明模拟） 2023年云南省率先实现中考体育改革，把体育按100分计入升学总分，每学期都要进行体育测试，每学期参加体育类比赛，获奖按照文件可加分，但满分不超过100分．某部门为了了解某区七年级6000名学生的上学期的体育成绩，随机抽查了该区部分学生的七年级上学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，并绘制统计图表如下（不完整）：
七年级上学期的体育成绩频数分布表
组别 1 2 3 4
分数段
频数 4 a 30 46
频率 0.04 b 0.3 n
七年级上学期的体育成绩频数分布直方图
（1）根据统计表求b的值并补全直方图．
（2）该样本数据中位数在第　 　组．
（3）若分数不小于80分，记为“A”，请估算该地区七年级上学期体育成绩记为“A”的学生数．
【答案】（1）解：调查的总人数为（人），
∴，
∴，
补全直方图如图所示：
（2）3
（3）解：解：（人），
答：该地区七年级上学期体育成绩记为“A”的学生数约4560人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（2）由表中可知，第50和第51位置的数都位于第3组，故该样本数据中位数位于第3组，
故答案为：3；
【分析】（1）先根据频数分布直方表和频数分布直方图求出调查的总人数，进而即可求出a和b，再补全直方图即可求解；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意进行运算即可求解。
20．（2023·昆明模拟） 大观楼长联是乾隆年间名士孙髯翁登大观楼时所作，文中写到：“五百里滇池奔来眼底，披襟岸帻，喜茫茫空阔无边．看：东骧神骏，西翥灵仪，北走蜿蜒，南翔缟素”．其中神骏指昆明东面的金马山，灵仪指西面的碧鸡山，蜿蜒指北面的长虫山，结素指南面的白鹤山．用四张除字母外其余均相同的卡片分别代表四座山．A：金马山，B：碧鸡山，C：长虫山，D：白鹤山．小昆先从四张卡片中随机抽一张（不放回），小明再从剩下三张卡片中随机抽一张．
（1）小昆抽到卡片是“长虫山”的概率是　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的结果有2种，两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得小昆抽到卡片是“长虫山”的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率结合题意即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“金马山”和“碧鸡山”的结果有2种，从而根据等可能事件的概率即可求解。
21．（2023·昆明模拟） 如图，菱形的对角线，相交于点O，点E为菱形外一点，连接、，且，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若菱形的边长为4，，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
四边形为平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
平行四边形为矩形．
（2）解：∵菱形的边长为4，，
，
，
由（1）已证：四边形为矩形，
，
，
点到直线的距离为，即的边上的高为2，
则的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而根据菱形的性质结合矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，从而运用勾股定理求出OC，再根据矩形的性质得到，再根据平行线间的距离结合题意得到点到直线的距离为，即的边上的高为2，从而结合三角形的面积即可求解。
22．（2023·昆明模拟） 某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别 A种 B种
进价（元） 18 12
备注 ①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本； ②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）解：设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，
根据题意可：，解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元
（2）解：设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，
由题意得，，
根据题意得：，解得：，
∵，∴w随着t的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为4560元，
此时购进A类图书600本，B类图书400本．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，进而根据表格数据结合题意即可列出分式方程，从而即可求解；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元，先根据题意列出w与x的一次函数关系式，再结合题意列出不等式组，进而得到t的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解。
23．（2023·昆明模拟）如图，为的直径，，是的两条弦，过点C作，交的延长线于点D，．过点D作直线与交于点E，与交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得或（增根，舍去），
经检验，是所列方程的解，
，，
，，，
，
，，
设，则，
在和中，，
，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
所以的长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而得到，从而根据切线的判定结合题意证明即可求解；
（2）连接，先根据题意解直角三角形（边角关系）设，则，进而运用勾股定理即可求出a，从而得到AC，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而设，则，再运用勾股定理求出b，从而结合已知条件设，则，进而结合题意证明即可求出x。
24．（2023·昆明模拟） 抛物线（m，n为常数）的对称轴为直线，且经过点
（1）请求出m和n的值并写出抛物线的解析式；
（2）若存在实数，当时，恰好有，请求出a，b的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线经过点，
，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
当时，恰好有，
，即，
，
由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为，
当时，取最小值，最小值为，
当时，恰好有，
，即，
是方程的两个根，
解方程得：或或，
又，
，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先根据二次函数对称轴结合题意求出m，从而代入点即可求出二次函数的解析式；
（2）先根据题意得到，进而根据二次函数的性质得到当时，取最大值，最大值为，当时，取最小值，最小值为，从而即可得到，进而即可得到是方程的两个根，再解方程即可求出t。
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