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湖南省衡阳市蒸湘区2024年中考一模数学试题
一、选择题（每小题3分，10小题共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（2023八下·三台期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·蒸湘模拟）我市某一周的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27
3．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·蒸湘模拟）某学校每年抽出资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·蒸湘模拟）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2024·蒸湘模拟）如图，点D在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·蒸湘模拟）如图，在菱形中，E为边上一点，交于点O，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·蒸湘模拟）已知抛物线，下列结论中错误的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小
D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为
9．（2024·蒸湘模拟）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
10．（2024·蒸湘模拟）如图，矩形中，，点P是边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将沿直线折叠，使点C落在点处；作的平分线交于点E．设，那么y关于x的函数图象大致应为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，8小题，共24分）
11．（2016·南宁）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
12．（2024·蒸湘模拟）已知，那么　 　．
13．（2013·淮安）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC=　 　．
14．（2024·蒸湘模拟）一个底面半径是，母线长为的圆锥的侧面积为　 　．
15．（2024·蒸湘模拟）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　 　．
16．（2024·蒸湘模拟）如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为　 　．
17．（2021九上·红河期末）如图，点A、B、C、D都在上，，则　 　．
18．（2024·蒸湘模拟）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为　 　．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2019八上·徐汇期中）解方程
20．（2024·蒸湘模拟）计算：．
21．（2024·蒸湘模拟）随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中　 　，“其他”支付方式所对应的圆心角为　 　度；
（2）小明早上买早餐，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为　 　；
（3）甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．
22．（2024·蒸湘模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，并且．
（1）求实数m的取值范围；
（2）满足，求m的值．
23．（2024·蒸湘模拟）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织二次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为．B点在A点的南偏东方向处，C点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．
（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
24．（2024·蒸湘模拟）如图，四边形是平行四边形，以边为直径的经过点C，E是上的一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（结果保留π）
25．（2024·蒸湘模拟）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根．
（1）求点B、C的坐标；
（2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值；
（3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024·蒸湘模拟）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
图① 图②
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，在点中，是矩形“梦之点”的是　 　；
（2）如图②，已知点A、B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．【答案】A
【知识点】中位数；众数
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵的半径为，点是外一点，
∴OA的长大于半径6，
故答案为：D.
【分析】根据“若点在圆的外部，则点到原心的距离大于半径”分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
9．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
10．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
13．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
16．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
17．【答案】50
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：50
【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得。
18．【答案】12米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
19．【答案】解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
x2-4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
x-2=± ，
解得x1=2- ，x2=2+ ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方；
20．【答案】解：
原式
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
21．【答案】（1）25；54
（2）
（3）解：方法一：列表
将“支付宝”支付记为A，“微信”支付记为B，“现金”支付记为C，“其它”支付记为D．列表如下：
乙 甲 A B C D
A
B
C
D
∵共有16种选择的结果，其中两人恰好都选择微信支付方式的只有1种
∴两人恰好都选择微信支付的概率为
方法二：画树状图
将“支付宝”支付记为A，“微信”支付记为B，“现金”支付记为C，“其它”支付记为D．画树状图如下：
∵共有16种选择的结果，其中两人恰好都选择微信支付方式的只有1种
∴两人恰好都选择微信支付的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
22．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，并且
（2）解：是方程的两个根
解得：或
又
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
23．【答案】（1）解：，
又
∴在中
所以行进路线和所在直线的夹角的度数为
（2）解：过点A作，垂足为D
在中，
在中，
∴检查点B和C之间的距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
24．【答案】（1）证明：连接．
又∵四边形为平行四边形
又∵点C在上
是的切线
（2）解：连接
为的直径
又
又
的半径为
（3）解：∵四边形是平行四边形
又的半径为
又
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
25．【答案】（1）解：解方程
解得或
点的坐标为点的坐标为
（2）解：
又点的纵坐标是3
又∵在中
又
又∵四边形为矩形
点的坐标为
将代入到双曲线方程中得
∴解得
（3）解：存在，理由如下
由题意得：
在中
∴直线的方程为
即
设P点坐标为
①
则
解得或
又因为P点在直线的右侧
点坐标为
②
则
解得或
又因为P点在直线的右侧
点坐标为
综上所述：P点的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）把方程的左边用十字相乘法分解因式，利用因式分解法解方程即可；
（2）根据直角三角形的性质准备条件，证明，根据对应边成比例求出DG的长期，再根据矩形的性质可得点G点的坐标，代入反比例解析式求解即可；
（3）先求得直线GF的解析式，设P点横坐标为m，分两种情况：①和②，利用相似三角形的对应边成比例分别列式计算，即可求解．
26．【答案】（1）
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”
解得
当时，；当时，
又为抛物线的顶点
为直角三角形
（3）解：由（2）可得
∴直线的解析式为
即直线的解析式为
又∵四边形是菱形
∴直线的解析式为
又点在抛物线上
∴联立
解得
当时，；当时，
∴点P的坐标为或
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）矩形的顶点坐标分别是，，
矩形的“梦之点”满足，，
点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义，逐一判断这几个点是否在矩形的内部或者边上，即可得到答案；
（2）根据“梦之点”的定义，求出点A和点B的坐标，再求出顶点C的坐标，计算出AC、BC、AB的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可；
（3）先求出直线AB的解析式，根据菱形的性质可得直线PQ的解析式，联立并解方程组，即可得到答案．
1 / 1湖南省衡阳市蒸湘区2024年中考一模数学试题
一、选择题（每小题3分，10小题共30分，每小题只有一个正确答案）
1．（2023八下·三台期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．（2024·蒸湘模拟）我市某一周的最高气温统计如下表：则这组数据的中位数与众数分别是（　　）
最高气温（℃） 25 26 27 28
天数 1 1 2 3
A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27
【答案】A
【知识点】中位数；众数
3．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵的半径为，点是外一点，
∴OA的长大于半径6，
故答案为：D.
【分析】根据“若点在圆的外部，则点到原心的距离大于半径”分析求解即可.
4．（2024·蒸湘模拟）某学校每年抽出资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
5．（2024·蒸湘模拟）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
6．（2024·蒸湘模拟）如图，点D在的边上，若要添加一个条件使得，则下列条件中不能满足要求的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
7．（2024·蒸湘模拟）如图，在菱形中，E为边上一点，交于点O，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
8．（2024·蒸湘模拟）已知抛物线，下列结论中错误的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小
D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
9．（2024·蒸湘模拟）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
10．（2024·蒸湘模拟）如图，矩形中，，点P是边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将沿直线折叠，使点C落在点处；作的平分线交于点E．设，那么y关于x的函数图象大致应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
二、填空题（每小题3分，8小题，共24分）
11．（2016·南宁）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12．（2024·蒸湘模拟）已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
13．（2013·淮安）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC=　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
14．（2024·蒸湘模拟）一个底面半径是，母线长为的圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
15．（2024·蒸湘模拟）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
16．（2024·蒸湘模拟）如图，线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的2倍后得到线段，则端点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
17．（2021九上·红河期末）如图，点A、B、C、D都在上，，则　 　．
【答案】50
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：50
【分析】根据垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得。
18．（2024·蒸湘模拟）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为　 　．
【答案】12米
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2019八上·徐汇期中）解方程
【答案】解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
x2-4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
x-2=± ，
解得x1=2- ，x2=2+ ；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方；
20．（2024·蒸湘模拟）计算：．
【答案】解：
原式
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
21．（2024·蒸湘模拟）随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中　 　，“其他”支付方式所对应的圆心角为　 　度；
（2）小明早上买早餐，若只能一种支付方式，刚好选择现金支付的概率为　 　；
（3）甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．
【答案】（1）25；54
（2）
（3）解：方法一：列表
将“支付宝”支付记为A，“微信”支付记为B，“现金”支付记为C，“其它”支付记为D．列表如下：
乙 甲 A B C D
A
B
C
D
∵共有16种选择的结果，其中两人恰好都选择微信支付方式的只有1种
∴两人恰好都选择微信支付的概率为
方法二：画树状图
将“支付宝”支付记为A，“微信”支付记为B，“现金”支付记为C，“其它”支付记为D．画树状图如下：
∵共有16种选择的结果，其中两人恰好都选择微信支付方式的只有1种
∴两人恰好都选择微信支付的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
22．（2024·蒸湘模拟）关于x的一元二次方程有两个实数根，并且．
（1）求实数m的取值范围；
（2）满足，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，并且
（2）解：是方程的两个根
解得：或
又
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
23．（2024·蒸湘模拟）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织二次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为．B点在A点的南偏东方向处，C点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．
（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）解：，
又
∴在中
所以行进路线和所在直线的夹角的度数为
（2）解：过点A作，垂足为D
在中，
在中，
∴检查点B和C之间的距离为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
24．（2024·蒸湘模拟）如图，四边形是平行四边形，以边为直径的经过点C，E是上的一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】（1）证明：连接．
又∵四边形为平行四边形
又∵点C在上
是的切线
（2）解：连接
为的直径
又
又
的半径为
（3）解：∵四边形是平行四边形
又的半径为
又
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形
25．（2024·蒸湘模拟）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根．
（1）求点B、C的坐标；
（2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值；
（3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：解方程
解得或
点的坐标为点的坐标为
（2）解：
又点的纵坐标是3
又∵在中
又
又∵四边形为矩形
点的坐标为
将代入到双曲线方程中得
∴解得
（3）解：存在，理由如下
由题意得：
在中
∴直线的方程为
即
设P点坐标为
①
则
解得或
又因为P点在直线的右侧
点坐标为
②
则
解得或
又因为P点在直线的右侧
点坐标为
综上所述：P点的坐标为或
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）把方程的左边用十字相乘法分解因式，利用因式分解法解方程即可；
（2）根据直角三角形的性质准备条件，证明，根据对应边成比例求出DG的长期，再根据矩形的性质可得点G点的坐标，代入反比例解析式求解即可；
（3）先求得直线GF的解析式，设P点横坐标为m，分两种情况：①和②，利用相似三角形的对应边成比例分别列式计算，即可求解．
26．（2024·蒸湘模拟）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
图① 图②
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，在点中，是矩形“梦之点”的是　 　；
（2）如图②，已知点A、B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”
解得
当时，；当时，
又为抛物线的顶点
为直角三角形
（3）解：由（2）可得
∴直线的解析式为
即直线的解析式为
又∵四边形是菱形
∴直线的解析式为
又点在抛物线上
∴联立
解得
当时，；当时，
∴点P的坐标为或
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）矩形的顶点坐标分别是，，
矩形的“梦之点”满足，，
点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义，逐一判断这几个点是否在矩形的内部或者边上，即可得到答案；
（2）根据“梦之点”的定义，求出点A和点B的坐标，再求出顶点C的坐标，计算出AC、BC、AB的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可；
（3）先求出直线AB的解析式，根据菱形的性质可得直线PQ的解析式，联立并解方程组，即可得到答案．
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