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湖北省恩施土家族苗族自治州建始县恩施市熊家岩初级中学2024年中考一模数学试题
一、单选题（共30分）
1．（2023·恩施）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图有三层，底层有两个小正方形，第二与第三层左边各一个小正方形.
故答案为：C.
【分析】左视图，就是从左边看得到的图形，弄清楚层数，及每层小正方形的个数即可.
2．（2023·恩施）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，，而1＞，
∴-1＜，
又∵0＞-1，0＞，＞，＞-1，
∴最小的数是-1.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可比较得出答案.
3．（2023·恩施）下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
4．（2023·恩施）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数为9，而9的相反数为-9.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点读出点A所表示的数，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
5．（2023·恩施）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据杠杆原理可得，F×L=25×9.8，
∵ 以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系，
∴FL=245，
∴F是L的反比例函数，故A、D选项不符合题意；
∵7×35=245，而5×45=225，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据杠杆原理得出F关于L的函数关系式，根据F与L的乘积是一个定值可得F是L的反比例函数，进而根据反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的乘积一定等于比例系数k可判断各数对是否满足函数解析式，从而即可一 一判断得出答案.
6．（2023·恩施）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得x（x-1）=（x-3）（x+1），
去括号得x2-x=x2+x-3x-3，
移项、合并同类项，得x=-3，
检验，当x=-3时，(x-3)(x-1)≠0，
∴x=-3是原方程的解.
故答案为：B.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
7．（2023·恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作直线a∥m，
∵a∥m，m∥n，
∴a∥n，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠3=60°-∠4=60°-20°=40°，
∵a∥m，
∴∠3=∠2=40°.
故答案为：A.
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥n，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，进而根据角的和差得∠3=40°，最后再根据二直线平行，内错角相等得∠3=∠2=40°.
8．（2023·恩施）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、（m-1）2=m2-2m+1，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（2m）3=23×m3=8m3，故此选项计算错误，不符合题意；
C、m7÷m3=m7-3=m4，故此选项计算正确，符合题意；
D、m2与m5不是同类项，不能合并，故故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
9．（2023·恩施）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相交两圆的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接O2B、O1B，设AB与O1O2相交于点O，
∵圆O1与圆O2是等圆，且圆O1经过圆O2的圆心O2，
∴BO1=BO2=O1O2，
∴∠BO2O1=60°，
∵AB⊥O1O2，
∴O1O=O2O，∠AOO1=∠BOO2=90°，
又∵AO1=BO2，
∴Rt△AOO1≌Rt△BOO2（HL），
∴△AOO1的面积=△BOO2的面积，
∴阴影部分的面积=扇形BO2O1的面积，
∵扇形BO2O1的面积=，
∴阴影部分的面积为.
故答案为：D.
【分析】连接O2B、O1B，设AB与O1O2相交于点O，易得BO1=BO2=O1O2，则∠BO2O1=60°，由相交两圆的连心线垂直平分相交弦得AB⊥O1O2，则O1O=O2O，∠AOO1=∠BOO2=90°，从而用HL判断出Rt△AOO1≌Rt△BOO2，由全等三角形的面积相等及割补法可得阴影部分的面积=扇形BO2O1的面积，进而根据扇形面积计算公式可算出答案.
10．（2023·恩施）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故①错误；
∵抛物线的开口向下，且交y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴直线为x=1，且x=3时y＜0，
∴x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，
∴a-(-2a)+c＜0，
∴a＜，故③正确；
若x1与x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，由函数图象与x轴交点坐标可得-1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴-3＜x1×x2＜0，故④正确，
综上正确的有③和④，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴直线为x=1，可得b=-2a，据此可判断①；抛物线的开口向下，且交y轴的正半轴，可得a＜0，c＞0，b＞0，据此判断②；由抛物线的对称性可得x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，从而即可判断③；由函数图象与x轴交点坐标可得-1＜x1＜0，2＜x2＜3，据此可判断④.
二、填空题（共15分）
11．（2019八上·岐山期中）9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．（2022·恩施）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）　 　.
【答案】-
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-（ S扇形EOF+ S扇形DOF）- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-.
故答案为：-.
【分析】设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，根据题意可得AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，推出四边形CDOE为正方形，得到∠EOF+∠FOD=270°，设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，根据AF+BF=AB=5可得x的值，然后根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE进行计算.
13．（2022七下·泗洪期末）因式分解：　 　．
【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
14．（2024·恩施模拟） 定义一种新运算：，如，则　 　．
【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据定义新运算法则先计算出，再计算出即可.
15．（2020·海曙模拟）把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是　 　.
【答案】11
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图示可得：
，
位置（4，2）对应的正整数是11，
故答案为：11.
【分析】根据已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律即可求解.
三、解答题（共75分）
16．（2021·恩施）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式=
把 代入得：原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将除法运算化为乘法运算进行分式约分，再进行分式的减法运算即可化简，然后将a值代入计算即可.
17．（2024·恩施模拟） 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值；
（2）若方程有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
得4-4（k+1）+k2+2=0，
整理得，
解得；
（2）解： 关于的一元二次方程 有实数根，
，
．
的取值范围为．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程根的定义，将x=2代入题干给出的方程可得关于字母k的方程，进而利用公式法解该方程可求出k的值；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围.
18．（2021·恩施）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 175 93.75
乙 175 175 180，175，170
（1）求 、 的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优.
【答案】（1）解：根据折线统计表，甲的成绩如下：
160，165，165，175，180，185，185，185，
185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185；
根据题意，得甲的中位数是 =177.5，故a=177.5
（2）解：根据题意，得
方差 =37.5， =93.75，
∵ ＞ ，
∴选择乙参见
（3）解：从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175，
∴甲的成绩略好些；
从方差的角度看：∵ ＞ ，
∴乙的成绩更稳定些.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）分别求出甲、乙成绩的方差，然后比较即可；
（3）分别从中位数、方差的交点进行分析即可.
19．（2021·恩施）如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，且 ， ，连接 .求证： .
【答案】证明： ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，
平行四边形 是菱形，
.
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】利用两组对边分别平行可证四边形 是平行四边形，由矩形的性质得出OA=OD，从而可证平行四边形 是菱形，利用菱形的性质即得结论.
20．（2021·恩施）如图，在 中， ， 与 相交于点 ，与 相交于点 ，连接 ，已知 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
， ，
，即 ，
，即 ，
又 是 的半径，
为 的切线
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
， ，
在 中， ， ，
解得 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
在 中，
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据同圆半径相等可求出，根据三角形外角的性质及三角形内角和可求出，即得∠ACO=90°，根据切线的判定即证结论；
（2）过点 作 于点 ，先求出AE、OC、AC、AE，再证明，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DE、AD，利用CD=AC-AD求出CD的长，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE的长即可.
21．（2021·恩施）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：
，
解得： ，
∴花生每千克的售价为50-40=10元；
答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元
（2）解：设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得：
，
解得： ，
∴ ，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=30时，w有最大值，最大值为 ；
答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，根据“销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.”列出方程，求解即可；
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元 ，先根据“ 甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍 ”求出m的范围，再根据利润=花生的利润+茶叶的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.
22．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，坐标原点是 的中点， ， ，双曲线 经过点 .
（1）求 ；
（2）直线 与双曲线 在第四象限交于点 .求 的面积.
【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可得： ， ，
∴设直线AC的解析式为 ，则把点A、C代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
联立 与反比例函数 可得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，利用直角三角形的性质求出，，从而求出CE=1，AE= ，继而得出点A坐标，将其代入中，即可求出k值；
（2）先求出直线AC解析式，联立反比例函数解析式，求解即得点D坐标，利用割补法可得∴ ，利用三角形的面积公式计算即可.
23．（2021·恩施）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 处观测乙居民楼楼底 处的俯角是 ，观测乙居民楼楼顶 处的仰角为 ，已知甲居民楼的高为 ，求乙居民楼的高.（参考数据： ， ，结果精确到 ）
【答案】解：如图：分别过C、D作CF⊥BD，DE⊥BC，垂足分别为E、F、
∵在Rt△BDE中，∠BDE=30°，AD=10
∴BD=20，BA=10
∵在Rt△CFD中，∠CDF=∠CDE+∠BDE=45°，
∴CF=DF
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，
∴tan∠CBF= = tan60°= ，BF= =
∴BD=BF+DF= +DF=20，即DF=CF=
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，CF=
∴sin∠CBF= ，即 ，解得BC=20 -20≈14.6m
∴乙居民楼的高14.6m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 分别过C、D作CF⊥BD，DE⊥BC，垂足分别为E、F、在Rt△BDE中 ，可求出 BD=20，BA=10 ， 在Rt△CFD中可求出CF=DF，在Rt△CFB中，由tan∠CBF= 求出 BF= = ，根据 BD=BF+DF=20可求出DF的长，在Rt△CFB中，由sin∠CBF= 即可求出BC的长.
24．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， .探究 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴OB=1，
∴ ，
把点B、D坐标代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可得 ，抛物线解析式为 ，则有抛物线的对称轴为直线 ，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴由两点距离公式可得 ，
设点 ，当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 ，即 ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
②当 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 ，即 ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
综上所述：当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，点 的坐标为 或 或 或
（3）解：由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ，
∴ ，DM=EM，
∵过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，
∴ ，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴ ，
若使 的值为最小，即 为最小，
∴当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，即 的最小值为 ，
设线段OD的解析式为 ，代入点D的坐标得： ，
∴线段OD的解析式为 ，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可求出点A、B的坐标，然后将其代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）求出E点坐标，由两点距离公式求出BE2=26， 分两种情况： 设点 ，①当 时②当 时，据此分别建立方程，求解即可；
（3）连接OM、DM，证明四边形BOMP是平行四边形，可得OM=BP，从而得出 ，若使 的值为最小，即 为最小，可知当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时最小值为OD+1，利用勾股定理求出OD的长即可；利用待定系数法求出直线OD解析式即可.
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一、单选题（共30分）
1．（2023·恩施）用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是(　　)
A． B． C． D．
2．（2023·恩施）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
3．（2023·恩施）下列4个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·恩施）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　）
A．9 B． C． D．
5．（2023·恩施）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·恩施）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·恩施）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023·恩施）如图，等圆和相交于A，B两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·恩施）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共15分）
11．（2019八上·岐山期中）9的算术平方根是 　 　．
12．（2022·恩施）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）　 　.
13．（2022七下·泗洪期末）因式分解：　 　．
14．（2024·恩施模拟） 定义一种新运算：，如，则　 　．
15．（2020·海曙模拟）把所有的正整数按一定规律排列成如图所示的数表，若根据行列分布，正整数6对应的位置记为（2，3），则位置（4，2）对应的正整数是　 　.
三、解答题（共75分）
16．（2021·恩施）先化简，再求值： ，其中 .
17．（2024·恩施模拟） 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值；
（2）若方程有实数根，求的取值范围．
18．（2021·恩施）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试.现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 175 93.75
乙 175 175 180，175，170
（1）求 、 的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优.
19．（2021·恩施）如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，且 ， ，连接 .求证： .
20．（2021·恩施）如图，在 中， ， 与 相交于点 ，与 相交于点 ，连接 ，已知 .
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
21．（2021·恩施）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克.甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
22．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 在 轴上，坐标原点是 的中点， ， ，双曲线 经过点 .
（1）求 ；
（2）直线 与双曲线 在第四象限交于点 .求 的面积.
23．（2021·恩施）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶 处观测乙居民楼楼底 处的俯角是 ，观测乙居民楼楼顶 处的仰角为 ，已知甲居民楼的高为 ，求乙居民楼的高.（参考数据： ， ，结果精确到 ）
24．（2021·恩施）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为正方形，点 ， 在 轴上，抛物线 经过点 ， 两点，且与直线 交于另一点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为抛物线对称轴上一点， 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 为 轴上一点，过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，连接 ， .探究 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图有三层，底层有两个小正方形，第二与第三层左边各一个小正方形.
故答案为：C.
【分析】左视图，就是从左边看得到的图形，弄清楚层数，及每层小正方形的个数即可.
2．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，，而1＞，
∴-1＜，
又∵0＞-1，0＞，＞，＞-1，
∴最小的数是-1.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可比较得出答案.
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：数轴上点A所表示的数为9，而9的相反数为-9.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点读出点A所表示的数，进而根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据杠杆原理可得，F×L=25×9.8，
∵ 以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系，
∴FL=245，
∴F是L的反比例函数，故A、D选项不符合题意；
∵7×35=245，而5×45=225，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据杠杆原理得出F关于L的函数关系式，根据F与L的乘积是一个定值可得F是L的反比例函数，进而根据反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的乘积一定等于比例系数k可判断各数对是否满足函数解析式，从而即可一 一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得x（x-1）=（x-3）（x+1），
去括号得x2-x=x2+x-3x-3，
移项、合并同类项，得x=-3，
检验，当x=-3时，(x-3)(x-1)≠0，
∴x=-3是原方程的解.
故答案为：B.
【分析】根据两内项之积等于两外项之积将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
7．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作直线a∥m，
∵a∥m，m∥n，
∴a∥n，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠3=60°-∠4=60°-20°=40°，
∵a∥m，
∴∠3=∠2=40°.
故答案为：A.
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥n，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，进而根据角的和差得∠3=40°，最后再根据二直线平行，内错角相等得∠3=∠2=40°.
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、（m-1）2=m2-2m+1，故此选项计算错误，不符合题意；
B、（2m）3=23×m3=8m3，故此选项计算错误，不符合题意；
C、m7÷m3=m7-3=m4，故此选项计算正确，符合题意；
D、m2与m5不是同类项，不能合并，故故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
9．【答案】D
【知识点】相交两圆的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接O2B、O1B，设AB与O1O2相交于点O，
∵圆O1与圆O2是等圆，且圆O1经过圆O2的圆心O2，
∴BO1=BO2=O1O2，
∴∠BO2O1=60°，
∵AB⊥O1O2，
∴O1O=O2O，∠AOO1=∠BOO2=90°，
又∵AO1=BO2，
∴Rt△AOO1≌Rt△BOO2（HL），
∴△AOO1的面积=△BOO2的面积，
∴阴影部分的面积=扇形BO2O1的面积，
∵扇形BO2O1的面积=，
∴阴影部分的面积为.
故答案为：D.
【分析】连接O2B、O1B，设AB与O1O2相交于点O，易得BO1=BO2=O1O2，则∠BO2O1=60°，由相交两圆的连心线垂直平分相交弦得AB⊥O1O2，则O1O=O2O，∠AOO1=∠BOO2=90°，从而用HL判断出Rt△AOO1≌Rt△BOO2，由全等三角形的面积相等及割补法可得阴影部分的面积=扇形BO2O1的面积，进而根据扇形面积计算公式可算出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故①错误；
∵抛物线的开口向下，且交y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴直线为x=1，且x=3时y＜0，
∴x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，
∴a-(-2a)+c＜0，
∴a＜，故③正确；
若x1与x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，由函数图象与x轴交点坐标可得-1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴-3＜x1×x2＜0，故④正确，
综上正确的有③和④，共两个.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴直线为x=1，可得b=-2a，据此可判断①；抛物线的开口向下，且交y轴的正半轴，可得a＜0，c＞0，b＞0，据此判断②；由抛物线的对称性可得x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，从而即可判断③；由函数图象与x轴交点坐标可得-1＜x1＜0，2＜x2＜3，据此可判断④.
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．【答案】-
【知识点】正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；切线长定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-（ S扇形EOF+ S扇形DOF）- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-.
故答案为：-.
【分析】设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，根据题意可得AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，推出四边形CDOE为正方形，得到∠EOF+∠FOD=270°，设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，根据AF+BF=AB=5可得x的值，然后根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE进行计算.
13．【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
14．【答案】0
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
故答案为：0.
【分析】根据定义新运算法则先计算出，再计算出即可.
15．【答案】11
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图示可得：
，
位置（4，2）对应的正整数是11，
故答案为：11.
【分析】根据已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律即可求解.
16．【答案】解：原式=
把 代入得：原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将除法运算化为乘法运算进行分式约分，再进行分式的减法运算即可化简，然后将a值代入计算即可.
17．【答案】（1）解：把代入，
得4-4（k+1）+k2+2=0，
整理得，
解得；
（2）解： 关于的一元二次方程 有实数根，
，
．
的取值范围为．
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程根的定义，将x=2代入题干给出的方程可得关于字母k的方程，进而利用公式法解该方程可求出k的值；
（2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围.
18．【答案】（1）解：根据折线统计表，甲的成绩如下：
160，165，165，175，180，185，185，185，
185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185；
根据题意，得甲的中位数是 =177.5，故a=177.5
（2）解：根据题意，得
方差 =37.5， =93.75，
∵ ＞ ，
∴选择乙参见
（3）解：从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175，
∴甲的成绩略好些；
从方差的角度看：∵ ＞ ，
∴乙的成绩更稳定些.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）分别求出甲、乙成绩的方差，然后比较即可；
（3）分别从中位数、方差的交点进行分析即可.
19．【答案】证明： ，
四边形 是平行四边形，
四边形 是矩形，
，
平行四边形 是菱形，
.
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】利用两组对边分别平行可证四边形 是平行四边形，由矩形的性质得出OA=OD，从而可证平行四边形 是菱形，利用菱形的性质即得结论.
20．【答案】（1）证明： ，
，
，
，
， ，
，即 ，
，即 ，
又 是 的半径，
为 的切线
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
，
，
， ，
在 中， ， ，
解得 ，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，
，
在 中，
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据同圆半径相等可求出，根据三角形外角的性质及三角形内角和可求出，即得∠ACO=90°，根据切线的判定即证结论；
（2）过点 作 于点 ，先求出AE、OC、AC、AE，再证明，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DE、AD，利用CD=AC-AD求出CD的长，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE的长即可.
21．【答案】（1）解：设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，由题意得：
，
解得： ，
∴花生每千克的售价为50-40=10元；
答：每千克花生的售价为10元，每千克的茶叶售价为50元
（2）解：设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元，由题意得：
，
解得： ，
∴ ，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=30时，w有最大值，最大值为 ；
答：当花生销售30千克，茶叶也销售30千克时可获得最大利润，最大利润为540元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设每千克花生的售价为（x-40）元，每千克的茶叶售价为x元，根据“销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.”列出方程，求解即可；
（2）设茶叶销售了m千克，则花生销售了（60-m）千克，所获得利润为w元 ，先根据“ 甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍 ”求出m的范围，再根据利润=花生的利润+茶叶的利润，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.
22．【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△AEC中， ，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴ ，
∴
（2）解：由（1）可得： ， ，
∴设直线AC的解析式为 ，则把点A、C代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
联立 与反比例函数 可得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点 ，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，利用直角三角形的性质求出，，从而求出CE=1，AE= ，继而得出点A坐标，将其代入中，即可求出k值；
（2）先求出直线AC解析式，联立反比例函数解析式，求解即得点D坐标，利用割补法可得∴ ，利用三角形的面积公式计算即可.
23．【答案】解：如图：分别过C、D作CF⊥BD，DE⊥BC，垂足分别为E、F、
∵在Rt△BDE中，∠BDE=30°，AD=10
∴BD=20，BA=10
∵在Rt△CFD中，∠CDF=∠CDE+∠BDE=45°，
∴CF=DF
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，
∴tan∠CBF= = tan60°= ，BF= =
∴BD=BF+DF= +DF=20，即DF=CF=
∵在Rt△CFB中，∠CBF=60°，CF=
∴sin∠CBF= ，即 ，解得BC=20 -20≈14.6m
∴乙居民楼的高14.6m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 分别过C、D作CF⊥BD，DE⊥BC，垂足分别为E、F、在Rt△BDE中 ，可求出 BD=20，BA=10 ， 在Rt△CFD中可求出CF=DF，在Rt△CFB中，由tan∠CBF= 求出 BF= = ，根据 BD=BF+DF=20可求出DF的长，在Rt△CFB中，由sin∠CBF= 即可求出BC的长.
24．【答案】（1）解：∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴OB=1，
∴ ，
把点B、D坐标代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可得 ，抛物线解析式为 ，则有抛物线的对称轴为直线 ，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴由两点距离公式可得 ，
设点 ，当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 ，即 ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
②当 时，如图所示：
∴由两点距离公式可得 ，即 ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
综上所述：当以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，点 的坐标为 或 或 或
（3）解：由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称， ，
∴ ，DM=EM，
∵过点 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ，
∴ ，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴ ，
若使 的值为最小，即 为最小，
∴当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，即 的最小值为 ，
设线段OD的解析式为 ，代入点D的坐标得： ，
∴线段OD的解析式为 ，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可求出点A、B的坐标，然后将其代入抛物线解析式中，求出b、c的值即可；
（2）求出E点坐标，由两点距离公式求出BE2=26， 分两种情况： 设点 ，①当 时②当 时，据此分别建立方程，求解即可；
（3）连接OM、DM，证明四边形BOMP是平行四边形，可得OM=BP，从而得出 ，若使 的值为最小，即 为最小，可知当点D、M、O三点共线时， 的值为最小，此时最小值为OD+1，利用勾股定理求出OD的长即可；利用待定系数法求出直线OD解析式即可.
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