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第四章 因式分解达标测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若xy＝﹣3，x﹣2y＝5，则2x2y﹣4xy2的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣1 C．2 D．﹣30
2．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（　　）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
3．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
4．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（　　）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
6．下列因式分解变形正确的是（　　）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
7．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
8．把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（　　）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7
C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
9．如果x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式．则k的值为（　　）
A．﹣4 B．1 C．4 D．8
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（　　）
A．285 B．330 C．512 D．582
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．因式分解：2x2﹣18＝　 　．
12．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　 　．
13．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 　 　．
14．计算7282﹣2282的结果为 　 　．
15．9x3y2+12x2y3中各项的公因式是　 　．
16．若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”．将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定．若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则F（M）的最大值为 　 　．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4y2 （2）3a2+6ab+3b2．
18．（8分）如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积．这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积（结果保留π）；若不能，请说明理由．
19．（8分）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2+b2的值；
（2）求a+b．
20．（8分）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解：（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36 解：设x2+6x＝y 原式＝（y+5）（y﹣7）+36第一步＝y2﹣2y+1第二步＝（y﹣1）2第三步 ＝（x2+6x﹣1）2第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 　 　；（填序号）
①提取公因式；
②平方差公式；
③两数和的完全平方公式；
④两数差的完全平方公式；
请你模仿以上例题分解因式：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4．
21．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
22．（10分）【活动展示】鹿鸣博约课上，为了研究苏科版数学七年级下册第九章的“数学活动”《拼图公式》，同学们带了若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．
小李同学拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：　 　（答案直接填写到横线上）．
【活动思考】①如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+5b）的大长方形，设需要A、B、C三种纸片各x、y、z张，求x、y、z的值；
②若多项式4a2+8ab+kb2（k为正整数）可以用拼图法因式分解，则k＝　 　．
【活动应用】已知a，b都是正整数（a＞b），并且3a2+2b2+7ab＝28，求a，b的值．
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第四章 因式分解达标测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若xy＝﹣3，x﹣2y＝5，则2x2y﹣4xy2的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣1 C．2 D．﹣30
【答案】D
【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣2y＝5，
∴2x2y﹣4xy2＝2xy（x﹣2y）＝2×（﹣3）×5＝﹣30．
故选：D．
2．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（　　）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是：3a2b2，
故选：A．
3．已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
4．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（　　）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
【答案】A
【解答】解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）
A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7
【答案】A
【解答】解：因为x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），（x﹣5）（x+2）＝x2﹣3x﹣10，
所以k＝﹣3，
故选：A．
6．下列因式分解变形正确的是（　　）
A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【答案】B
【解答】解：∵选项A提取公因式不彻底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A错误；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故选项B正确；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故选项C错误；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故选项D错误．
故选：B．
7．在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】B
【解答】解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
8．把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（　　）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7
C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【答案】A
【解答】解：由题意得：
x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），
∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，
∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，
∴n＝7，m＝﹣14，
故选：A．
9．如果x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式．则k的值为（　　）
A．﹣4 B．1 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）
＝x2+ax﹣2x﹣2a
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式，
∴a﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴k＝﹣2a＝4，
故选：C．
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（　　）
A．285 B．330 C．512 D．582
【答案】C
【解答】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴设“幸福数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为整数），
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
∴“幸福数”是8的倍数，
观察各选项，是8的倍数的只有512，
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．因式分解：2x2﹣18＝　2（x+3）（x﹣3）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）．
12．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　10　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
13．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 　±12　．
【答案】±12．
【解答】解：∵4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，
∴4x2+kx+9＝（2x）2±12x+32＝（2x±3）2，
∴k＝±12，
故答案为：±12．
14．计算7282﹣2282的结果为 　478000　．
【答案】478000．
【解答】解：原式＝（728+228）×（728﹣228）
＝956×500
＝478000．
故答案为：478000．
15．9x3y2+12x2y3中各项的公因式是　3x2y2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：9x3y2+12x2y3中各项的公因式是3x2y2．
故答案为：3x2y2．
16．若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”．将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定．若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则F（M）的最大值为 　9　．
【答案】9．
【解答】解：设M＝1000a+100b+10c+d，则N＝1000b+100a+10d+c，
∴＝
＝
＝100a﹣100b+c﹣d，
又∵b+c+d＝12，
∴c＝12﹣b﹣d，b+d＝12﹣c，且a＝b﹣d，
∴F（M）＝100（b﹣d）﹣100b+12﹣b﹣d﹣d＝100b﹣100d﹣100b+12﹣b﹣d﹣d＝12﹣b﹣102d，
要使F（M）最大，必使d＝0，且为整数，则b＝3，
∴F（M）最大为9，
故答案为：9．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）x2﹣4y2 （2）3a2+6ab+3b2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝（x+2y）（x﹣2y）；
（2）原式＝3（a2+2ab+b2）＝3（a+b）2．
18．（8分）如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积．这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积（结果保留π）；若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得，
操场的面积为：πr2+2rl＝r（πr+2l），
当r＝40m，l＝30πm时，原式＝40（40π+2×30π）＝4000π（m2）．
19．（8分）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2+b2的值；
（2）求a+b．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝49﹣24＝25；
（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝49﹣48＝1，
则a+b＝±1．
20．（8分）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解：（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36 解：设x2+6x＝y 原式＝（y+5）（y﹣7）+36第一步＝y2﹣2y+1第二步＝（y﹣1）2第三步 ＝（x2+6x﹣1）2第四步
完成下列任务：
（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的 　 　；（填序号）
①提取公因式；
②平方差公式；
③两数和的完全平方公式；
④两数差的完全平方公式；
请你模仿以上例题分解因式：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4．
【答案】（1）④；
（2）（a﹣2）4．
【解答】解：（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式，
故答案为：④；
（2）（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4
设a2﹣4a＝x，
原式＝（x+2）（x+6）+4
＝x2+8x+16
＝（x+4）2
＝（a2﹣4a+4）2
＝（a﹣2）4．
21．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【答案】（x+8）；40．
【解答】解：另一个因式为x+p，
由题意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x+8）；k的值为40．
22．（10分）【活动展示】鹿鸣博约课上，为了研究苏科版数学七年级下册第九章的“数学活动”《拼图公式》，同学们带了若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．
小李同学拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：　 　（答案直接填写到横线上）．
【活动思考】①如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+5b）的大长方形，设需要A、B、C三种纸片各x、y、z张，求x、y、z的值；
②若多项式4a2+8ab+kb2（k为正整数）可以用拼图法因式分解，则k＝　 　．
【活动应用】已知a，b都是正整数（a＞b），并且3a2+2b2+7ab＝28，求a，b的值．
【答案】（x+8）；40．
【解答】解：另一个因式为x+p，
由题意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x+8）；k的值为40．
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