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第四章 因式分解能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．将下列多项式分解因式，所得结果为（2x﹣y）（2x+y）的是（　　）
A．4x2+y2 B．4x2﹣y2 C．﹣4x2﹣y2 D．y2﹣4x2
2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．﹣（a2+b2）
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（　　）
A．2020 B．2024 C．2025 D．2026
4．若a﹣b＝3，x﹣y＝2，则代数式a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023的值是（　　）
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
5．已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（　　）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
6．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（　　）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣9 B．﹣2 C．0 D．2
8．已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不能确定
9．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，﹣3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　）
①3，1，﹣4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．将多项式xy2﹣4x分解因式的结果等于 　 　．
12．已知a，b，c为△ABC的三条边，如果a2+2ab＝c2+2bc，那么请判断△ABC的形状是 　 　．
13．分解因式：a2+10a+25＝　 　．
14．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　 　．
15．若一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且a﹣b＝2c﹣d，则称这个四位数为“差数”．若四位数为“差数”，则x＝　 　．若“差数”，能被7整除，规定F（M）＝4c2﹣d2﹣a+b．且为正整数，则符合条件所有M的值的和为 　 　．
16．“幻方”是一种中国传统游戏，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将7，6，4，3，2，﹣1，﹣2，﹣4填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（c+d﹣a）b的值为 　 　．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）2mx2﹣4mx+2m；
（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．
18．（8分）若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1，
如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6．
（1）计算：（﹣x）△（1﹣x）．
（2）将（1）计算所得的多项式分解因式；
（3）若x3﹣x﹣2＝0，求（1）中计算所得的多项式的值．
19．（8分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式 　 　；
（2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式 　 　；
（3）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　．
（4）根据（3）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式（a+b）2的值．
20．（8分）阅读理解并解答：
我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
（1）例如：①＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，
则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1；
②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，
∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，
则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　；
（2）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　；
（3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　；
（4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
21．（10分）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积S1（用含ab的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为16、62，求ab值．
（3）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：
①S3﹣（2a2+3b2）．
②S3﹣2a2﹣b2+2ab．
22．（10分）综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，因为（x+1）2≥0，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6的最小值是﹣8．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+　 　＝（x+　 　）2；
（2）知识应用：已知a是任何实数，若，通过计算判断M、N的大小；
（3）知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
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第四章 因式分解能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．将下列多项式分解因式，所得结果为（2x﹣y）（2x+y）的是（　　）
A．4x2+y2 B．4x2﹣y2 C．﹣4x2﹣y2 D．y2﹣4x2
【答案】B
【解答】解：A、4x2+y2，无法因式分解，故此选项错误，不符合题意；
B、4x2﹣y2＝（2x﹣y）（2x+y），正确，符合题意；
C、﹣4x2+y2＝（y+2x）（y﹣2x），原计算错误，不符合题意
D、﹣4x2﹣y2，无法因式分解，不符合题意；
故选：B．
2．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．﹣（a2+b2）
【答案】A
【解答】解：A、﹣a2+b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；
B、﹣a2﹣b2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；
C、a2+b2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；
D、﹣（a2+b2）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误．
故选：A．
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（　　）
A．2020 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解答】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为正整数），
∴这个“完美数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有B．2024是8的倍数，
∴这4个数中2024是“完美数”．
故选：B．
4．若a﹣b＝3，x﹣y＝2，则代数式a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023的值是（　　）
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
【答案】B
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023
＝（a﹣b）2﹣（x﹣y）+2023．
∵a﹣b＝3，x﹣y＝2，
∴原式＝32﹣2+2023＝2030．
故选：B．
5．已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（　　）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
【答案】B
【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣a2﹣8a+4
＝2a a2﹣a2﹣8a+4
＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4
＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4
＝3a2﹣6a+4
＝3（a2﹣2a）+4
＝3×1+4
＝7．
故选：B．
6．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（　　）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
所以（x2+3x+2）能被（x+1）整除．
故（1）正确．
因为x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），且（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，
所以x+1＝x+a或x﹣5＝x+a，
则a＝1或﹣5．
故（2）正确．
因为（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，
所以将整式x3+ax2+bx﹣3因式分解后，有一个因式为x2+2x+3，
则令x3+ax2+bx﹣3＝（x+c）（x2+2x+3），
所以x3+ax2+bx﹣3＝x3+（c+2）x2+（2c+3）x+3c，
对比两边系数可知，
，
解得．
故（3）正确．
故选：D．
7．已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣9 B．﹣2 C．0 D．2
【答案】C
【解答】解：x2﹣2x+y2﹣2y
＝（x2+y2）﹣2（x+y）
＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy．
∵xy＝4，
∴原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣8
＝（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣9
＝（x+y﹣1）2﹣9．
设x+y＝a，则y＝a﹣x．
∵xy＝4，
∴x（a﹣x）＝4．
∴ax﹣x2＝4．
∴x2﹣ax+4＝0．
∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×4＝a2﹣16．
∵方程有解，
∴a2﹣16≥0．
∴a2≥16．
∴a≥4或a≤﹣4．
当a＝4即x+y＝4时，原式＝0；
当a＝﹣4即x+y＝﹣4时，原式＝25﹣9＝16．
∵0＜16，
∴x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是0．
故选：C．
8．已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵ab﹣b2＝ac﹣bc，
∴ab﹣b2﹣ac+bc＝0．
∴b（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（b﹣c）（a﹣b）＝0．
∴b﹣c＝0或a﹣b＝0．
∴b＝c或a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
9．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，
∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2023
＝﹣1，
a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2024
＝﹣2，
b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2023﹣2023x﹣2024
＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
10．定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，﹣3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（　　）
①3，1，﹣4的“极数”是36；
②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；
③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：①∵＝，＝﹣，＝36，
∴3，1，﹣4的“极数”是36；
故①符合题意；
②∵≤0，
∴或，
∵x≠0，y≠0，
∴x、y异号或x、y同时是负数，
∴x和y中至少有1个数是负数，
故②符合题意；
③∵，＝﹣6，＝，
∵m，﹣6，2的极数为，
当＝时，m＝1，此时＝2，不成立；
当＝时，m＝，此时＝，
∴当m＝时，m，﹣6，2的极数为，
故③不符合题意；
故选：C．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．将多项式xy2﹣4x分解因式的结果等于 　x（y+2）（y﹣2）　．
【答案】x（y+2）（y﹣2）．
【解答】解：xy2﹣4x＝x（y2﹣4）
＝x（y+2）（y﹣2）．
故答案为：x（y+2）（y﹣2）．
12．已知a，b，c为△ABC的三条边，如果a2+2ab＝c2+2bc，那么请判断△ABC的形状是 　等腰三角形　．
【答案】等腰三角形．
【解答】解：∵a2+2ab＝c2+2bc，
∴a2+2ab+b2＝c2+2bc+b2，
∴（a+b）2＝（b+c）2，
∴a+b＝b+c或a+b＝﹣b﹣c，
∵a，b，c为△ABC的三条边，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a+b≠﹣b﹣c，
∴a+b＝b+c，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
13．分解因式：a2+10a+25＝　（a+5）2　．
【答案】（a+5）2．
【解答】解：a2+10a+25＝（a+5）2；
故答案为：（a+5）2．
14．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　4　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+b﹣2＝0，
∴a+b＝2．
∴a2﹣b2+4b
＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a﹣2b+4b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×2
＝4．
故答案为4．
15．若一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且a﹣b＝2c﹣d，则称这个四位数为“差数”．若四位数为“差数”，则x＝　6　．若“差数”，能被7整除，规定F（M）＝4c2﹣d2﹣a+b．且为正整数，则符合条件所有M的值的和为 　17357　．
【答案】6，10644．
【解答】解：（1）由题意得，a＝2，b＝6，c＝1，d＝x．
∵a﹣b＝2c﹣d，
∴2﹣6＝2﹣x
解得：x＝6，
故答案为：6．
（2）由题意得，“差数”千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d．
∵“差数”，能被7整除，
∴
＝（100a+10b+c）﹣（100b+10c+d）
＝100a﹣90b﹣9c﹣d
＝100a﹣90（a﹣2c+d）﹣9c﹣d
＝10a+171c﹣91d
＝10a﹣11c+182c﹣91d
＝3a+7a﹣4c﹣7c+91（2c﹣d）
＝（3a﹣4c）+7（a﹣c）+91（2c﹣d），
∵7（a﹣c）+91（2c﹣d）能被7整除，
∴（3a﹣4c）也能被7整除，
∴当a＝5，c＝2或a＝6，c＝1时，3a﹣4c能被7整除，．
∵F（M）＝4c2﹣d2﹣a+b
＝（2c）2﹣d2﹣（a﹣b）．
＝（2c+d）（2c﹣d）﹣（a﹣b）
∵a﹣b＝2c﹣d，且a＝5，c＝2，
∴原式＝（2c﹣d）（2c+d）﹣（2c﹣d）
＝（2c﹣d）（2c+d﹣1）
＝（4﹣d）（3+d），
当4﹣d＝1时，3+d＝6，满足要求，此时d＝3；当4﹣d＝2时，3+d＝5，不满足要求，舍去；
当4﹣d＝3时，3+d＝4，满足要求，此时d＝1；
∴当a＝5，c＝2，d＝3时，b＝4，此时M的值为5423；当a＝5，c＝2，d＝1时，b＝2，此时M的值为5221；
当a＝6，c＝1，d＝3时，b＝7，此时M的值为6713；
当a＝6，c＝1，d＝1时，不合题意；
∴符合条件所有M的值的和为5423+5221+6713＝17357．
故答案为：6；17357．
16．“幻方”是一种中国传统游戏，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将7，6，4，3，2，﹣1，﹣2，﹣4填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（c+d﹣a）b的值为 　1或64　．
【答案】1或64．
【解答】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，
∴每个三角形的三个顶点上的数字之和都相等．
∵7+6+4+3+2+（﹣1）+（﹣2）+（﹣4）＝15，
∴每个三角形的三个顶点上的数字之和＝15÷3＝5．
∴a+c+（﹣4）＝5，a+d+4＝5，a+b+4+（﹣4）＝5．
∴a+c＝9，a+d＝1，a+b＝5．
∵所给的数剩下7，6，3，2，﹣1，﹣2，
∴a＝3，b＝2，c＝6，d＝﹣2或a＝2，b＝3，c＝7，d＝﹣1．
∴c+d﹣a＝6﹣2﹣3＝1或7﹣1﹣2＝4．
∴（c+d﹣a）b＝12＝1或43＝64．
故答案为：1或64．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）2mx2﹣4mx+2m；
（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．
【答案】（1）2m（x﹣1）2；
（2）4（m+4n）（4m+n）．
【解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m
＝2m（x2﹣2x+1）
＝2m（x﹣1）2；
（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2
＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2
＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]
＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）
＝（2m+8n）（8m+2n）
＝4（m+4n）（4m+n）．
18．（8分）若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1，
如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6．
（1）计算：（﹣x）△（1﹣x）．
（2）将（1）计算所得的多项式分解因式；
（3）若x3﹣x﹣2＝0，求（1）中计算所得的多项式的值．
【答案】（1）（﹣x）△（1﹣x）＝﹣x3+x；
（2）﹣x3+x＝﹣x（x+1）（x﹣1）；
（3）﹣2．
【解答】解：（1）由题意，得：（﹣x）△（1﹣x）＝（﹣x）3﹣（1﹣x）2+（﹣x）（1﹣x）+1
＝﹣x3﹣1+2x﹣x2﹣x+x2+1
＝﹣x3+x；
（2）﹣x3+x＝﹣x（x2﹣1）＝﹣x（x+1）（x﹣1）；
（3）∵x3﹣x﹣2＝0，
∴x3﹣x＝2，
∴﹣x3+x＝﹣（x3﹣x）＝﹣2．
19．（8分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式 　 　；
（2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式 　 　；
（3）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：　 　．
（4）根据（3）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式（a+b）2的值．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）9．
【解答】解：（1）通过图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）通过图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）阴影部分的面积：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个长方形的面积，
即：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）根据（3）发现的结论，可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
∵a﹣b＝5，ab＝﹣4，
∴（a+b）2＝52+4×（﹣4）＝9．
20．（8分）阅读理解并解答：
我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
（1）例如：①＝（x+1）2+2，
∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，
则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1；
②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，
∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，
则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　；
（2）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　；
（3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　；
（4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【答案】（1）﹣7；2；
（2）3；3；
（3）1；大；﹣2；
（4）﹣6．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，
则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是﹣7，这时相应的x的值是2，
故答案为：﹣7，2；
（2）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2是非负数，即（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+3≥3，
当x＝3时，代数式x2﹣6x+12的最小值是3，
故答案为：3，3；
（3）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2，
∴当x＝1时，y有最大值，这个值是﹣2，
故答案为：1；大；﹣2
（4）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴y＝x2﹣3x﹣5，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
即：y+x的最小值为﹣6．
21．（10分）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积S1（用含ab的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积S1、S2分别为16、62，求ab值．
（3）图3中空白面积为S3，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：
①S3﹣（2a2+3b2）．
②S3﹣2a2﹣b2+2ab．
【答案】（1）a2+b2﹣ab；
（2）ab＝15；
（3）①（a+b）（a﹣b）；
②（a+b）2．
【解答】解：（1）S1＝（a+b）2﹣3ab
＝a2+b2﹣ab；
（2）S1＝（a+b）2﹣3ab＝a2+b2﹣ab＝16①，
S2＝（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝2a2+2b2＝62②，
∴②﹣①×2得：ab＝15；
（3）由图形得：S3＝（3a+b）（a+2b）﹣7ab＝3a2+2b2，
①S3﹣（2a2+3b2）
＝3a2+2b2﹣2a2﹣3b2
＝a2﹣b2；
＝（a+b）（a﹣b）；
②S3﹣2a2﹣b2+2ab
＝3a2+2b2﹣2a2﹣b2+2ab
＝a2+b2+2ab
＝（a+b）2．
22．（10分）综合与实践：通过课堂的学习知道，我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，因为（x+1）2≥0，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6的最小值是﹣8．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：
（1）知识过关：请用适当的数字填空：x2+6x+　 　＝（x+　 　）2；
（2）知识应用：已知a是任何实数，若，通过计算判断M、N的大小；
（3）知识迁移：如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为12米．设与墙壁垂直的一边长为x米．
①试用x的代数式表示菜园的面积y；
②求出当x取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？
【答案】（1）9；3；
（2）M＞N；
（3）①y＝﹣2x2+20x；②当x＝5时，菜园面积最大，最大面积为50平方米．
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2．
故答案为：9；3．
（2）
＝
＝6a2﹣2a﹣9a+3﹣2a2+3a+2
＝4a2﹣8a+5
＝4（a2﹣2a+1）﹣4+5
＝4（a﹣1）2+1＞0，
∴M＞N；
（3）①由题意可得：
菜园的面积为：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x；
②由题意可得：0＜20﹣2x≤12，
解得：4≤x＜10，
y＝﹣2x2+20x
＝﹣2（x2﹣10x）
＝﹣2（x2﹣10x+25）+50
＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，菜园面积y最大，最大面积为50平方米．
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