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因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练
【题型1 实数范围内因式分解】
【题型2 十字相乘法】
【题型3 分组分解法】
【题型4 因式分解的应用】
知识点1：实数范围内因式分解
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【典例1】（2023秋 宝山区期末）在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝　（x+2+）（x+2﹣）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2+4x+1，
＝x2+4x+4﹣3，
＝（x+2）2﹣（）2，
＝（x+2+）（x+2﹣）．
故答案为：（x+2+）（x+2﹣）．
【变式1-1】（2023秋 林州市期末）在实数范围内因式分解x2﹣3＝　（x+）（x﹣）　．
【答案】
【解答】解：．
故答案为：．
【变式1-2】（2023秋 岳麓区校级期末）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝　3（a+）（a﹣）　．
【答案】3（a+）（a﹣）．
【解答】解：3a2﹣18
＝3（a2﹣6）
＝3（a+）（a﹣）．
故答案为：3（a+）（a﹣）．
【变式1-3】（2023秋 闵行区校级期末）在实数范围内分解因式：x2﹣5x+3＝　　．
【答案】．
【解答】解：x2﹣5x+3＝x2﹣5x+﹣+3
＝x2﹣5x+﹣
＝
＝．
【变式1-4】（2023 宝应县二模）在实数范围内分解因式：a3﹣3a＝　a（a+）（a﹣）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：a3﹣3a
＝a（a2﹣3）
＝a（a+）（a﹣）．
故答案为：a（a+）（a﹣）．
知识点2：十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
【典例2】（2023春 子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【答案】（1）（x﹣2）（x﹣4）；
（2）（x+3）（x﹣5）；
（3）（x﹣2）（x+5）．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；
（3）（x﹣4）（x+7）+18
＝x2+3x﹣28+18
＝x2+3x﹣10
＝（x﹣2）（x+5）．
【变式2-1】（2023秋 嵩县期末）若x2+kx﹣15能分解为（x+5）（x﹣3），则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
【答案】B
【解答】解：根据题意得：x2+kx﹣15＝（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，
则k＝2．
故选：B．
【变式2-2】（2023秋 太和县期末）多项式a2﹣5a﹣6因式分解的结果是（　　）
A．（a﹣2）（a+3） B．（a﹣6）（a+1）
C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）
【答案】B
【解答】解：a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）．
故选：B．
【变式2-3】（2023秋 高青县期末）代数式x2+17x+60分解因式的结果是（　　）
A．（x﹣5）（2x﹣12） B．（x+5）（x+12）
C．（x+2）（x﹣30） D．（x+6）（x+10）
【答案】B
【解答】解：x2+17x+60＝（x+5）（x+12）．
故选：B．
知识点3：分组分解法
定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解的步骤
1. 将原式的各项适当分组；
2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
【典例3】（2023秋 武隆区期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；
（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
【答案】（Ⅰ）（x+a）（x﹣a+1）；
（Ⅱ）（a﹣b）（x+a﹣b）．
【解答】解：（Ⅰ）x2﹣a2+x+a
＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x﹣a）（x+a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（Ⅱ）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）．
【变式3-1】（2023秋 金山区期末）因式分解：x2﹣4xy﹣4+4y2．
【答案】（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2）﹣4，
＝（x﹣2y）2﹣22，
＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．
【变式3-2】（2023秋 杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac．
【答案】（a+2b）（2a﹣3c）．
【解答】解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac
＝（2a2+4ab）﹣（6bc+3ac）
＝2a（a+2b）﹣3c（2b+a）
＝（a+2b）（2a﹣3c）．
【变式3-3】（2023秋 浦东新区期末）分解因式：a3﹣a+2a2b+ab2．
【答案】a（a+b+1）（a+b﹣1）．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1+2ab+b2）
＝a[（a2+2ab+b2）﹣1]
＝a[（a+b）2﹣1]
＝a（a+b+1）（a+b﹣1）．
知识点4：因式分解的应用
因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用
【典例4-1】（2023秋 甘井子区期末）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）
【答案】B
【解答】解：根据题意得：a2+2a+1＝（a+1）2．
故选：B．
【典例4-2】（2023秋 鹿寨县期末）已知：ab＝2，a﹣b＝1，则a2b﹣ab2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝1，
∴a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝2×1
＝2．
故选：C．
【变式4-1】（2023秋 老河口市期末）三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（　　）
A．8a2﹣4b+2a B．a2+2b﹣4a C．a2﹣2b+4a D．4a2﹣2b+a
【答案】A
【解答】解：∵三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长＝2×（12a3﹣6ab+3a2）÷3a＝8a2﹣4b+2a，
故选：A．
【变式4-2】（2023秋 保定期末）若n为任意整数，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值不一定能（　　）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】C
【解答】解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值一定能被2，4，8整除，但是不一定能被6整除，
故选：C．
【变式4-3】（2023秋 仓山区校级期末）如果a，b，c为三角形的三边长，且满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么该三角形的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，
∴（a﹣b）＝0或（b﹣c）＝0或（c﹣a）＝0，
∴a＝b，或b＝c或c＝a，
∴该三角形为等腰三角形，
故选：A．
一．选择题（共6小题）
1．（2024春 市中区校级期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4）
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）（a﹣b）
D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
【答案】B
【解答】解：A．2x2﹣4x＝2x（x﹣2）≠2x（x﹣4），故选项A分解错误；
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），故选项B分解正确；
C．a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≠（a+b）（a﹣b），故选项C分解错误；
D．x3﹣81x＝x（x+9）（x﹣9）≠x（x2+9）（x2﹣9），故选项D分解错误；
故选：B．
2．（2023秋 商丘期末）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（　　）
A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20
【答案】A
【解答】解：x2+mx+36＝（x﹣2）（x﹣18）＝x2﹣20x+36，
可得m＝﹣20，
故选：A．
3．（2024春 邗江区期中）（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解答】解：原式＝（﹣8）2023 （﹣8）+（﹣8）2023
＝（﹣8+1） （﹣8）2023
＝﹣7 （﹣8）2023，
∴（﹣8）2024+（﹣8）2023能被7整除，
故选：C．
4．（2024春 新郑市月考）若2m﹣n＝2，﹣6m﹣3n＝﹣9，则4m2﹣n2的值为（　　）
A．﹣18 B．﹣6 C．6 D．18
【答案】C
【解答】解：根据题意，∵2m﹣n＝2，﹣6m﹣3n＝﹣9
∴2m﹣n＝2，2m+n＝3，
∴4m2﹣n2
＝（2m+n）（2m﹣n）
＝3×2
＝6，
故选：C．
5．（2022秋 晋江市校级期中）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　）
A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b）
C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2
【答案】B
【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3）
＝a2（a+b）﹣b2（a+b）
＝（a2﹣b2）（a+b）
＝（a﹣b）（a+b）（a+b）
＝（a﹣b）（a+b）2；
故选：B．
6．（2023秋 思明区校级期末）下列多项式中是多项式x2﹣4x+3的因式的是（　　）
A．x﹣1 B．x C．x+2 D．x+3
【答案】A
【解答】解：x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）．
故选：A．
二．解答题（共7小题）
7．（2023秋 丹江口市期末）因式分解：
（1）3x3﹣12x；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（3）x2﹣4x﹣12．
【答案】（1）3x（x+2）（x﹣2）；
（2）﹣y（3x﹣y）2；
（3）（x﹣6）（x+2）．
【解答】解：（1）3x3﹣12x
＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3
＝﹣y（9x2﹣6xy+y2）
＝﹣y（3x﹣y）2；
（3）x2﹣4x﹣12
＝（x﹣6）（x+2）．
8．（2023秋 湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　（x﹣y﹣1）2　；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：令x﹣y＝A，
原式＝A2﹣2A+1＝（A﹣1）2，
将“A”还原，得原式＝（x﹣y﹣1）2；
故答案为：（x﹣y﹣1）2；
（2）解：令 a2﹣4a＝A，
原式＝（A+2）（A+6）+4
＝A2+8A+12+4
＝（A+4）2，
将“A”还原，得：
原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；
（3）证明：令 n2﹣2n＝A，
原式＝（A﹣3）（A+5）+17
＝A2+2A﹣15+17
＝A2+2A+2
＝（A+1）2+1，
将 A＝n2﹣2n 还原，
原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，
因为无论n为何值 （n﹣1）4≥0，
所以 （n﹣1）4+1≥1
即式子 （n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17 的值一定是一个不小于1的数．
9．（2023秋 杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac．
【答案】（a+2b）（2a﹣3c）．
【解答】解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac
＝（2a2+4ab）﹣（6bc+3ac）
＝2a（a+2b）﹣3c（2b+a）
＝（a+2b）（2a﹣3c）．
10．（2023秋 青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．
【答案】x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．
【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）
＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）
＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）
＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．
11．（2024春 滨海县月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2这个等式，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　156　．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）30；
（4）156．
【解答】解：（1）由图2可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2
＝[（a+b）+c]2
＝（a+b）2+2（a+b）c+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（1）中得到的结论（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac可得，
a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），
∴当a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35时，
a2+b2+c2＝102﹣2×35＝100﹣70＝30，
故答案为：30；
（4）∵（5a+7b）（9a+4b）
＝5a 9a+5a 4b+7b 9a+7b 4b
＝45a2+83ab+28b2，
∴x＝45，y＝28，z＝83，
∴x+y+z＝45+28+83＝156，
故答案为：156．
12．（2023秋 和县期末）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】（1）（3x﹣y）（3x+y﹣3）；
（2）△ABC为等腰三角形．
【解答】解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2
＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y）
＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y）
＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）；
（2）△ABC为等腰三角形．
理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0，
∵△ABC三边a、b、c都大于0，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
13．（2024 广平县模拟）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac　；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（2）45．（3）20．
【解答】解：（1）看成一个整体面积为：（a+b+c）2，
看成9个小长方形的和则为：a2+ab+ab+b2+bc+bc+c2+ac+ac，
即：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
得，a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）．
∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝112﹣2×38＝45．
（3）S阴影＝
＝
＝，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴原式＝×102﹣×20＝20．
∴阴影部分的面积为20．
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因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练
知识点1：实数范围内因式分解
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【典例1】（2023秋 宝山区期末）在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝　 　．
【变式1-1】（2023秋 林州市期末）在实数范围内因式分解x2﹣3＝　 　．
【变式1-2】（2023秋 岳麓区校级期末）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝　 　．
【变式1-3】（2023秋 闵行区校级期末）在实数范围内分解因式：x2﹣5x+3＝　 　．
【变式1-4】（2023 宝应县二模）在实数范围内分解因式：a3﹣3a＝　 　．
知识点2：十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
【典例2】（2023春 子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【变式2-1】（2023秋 嵩县期末）若x2+kx﹣15能分解为（x+5）（x﹣3），则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
【变式2-2】（2023秋 太和县期末）多项式a2﹣5a﹣6因式分解的结果是（　　）
A．（a﹣2）（a+3） B．（a﹣6）（a+1）
C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）
【变式2-3】（2023秋 高青县期末）代数式x2+17x+60分解因式的结果是（　　）
A．（x﹣5）（2x﹣12） B．（x+5）（x+12）
C．（x+2）（x﹣30） D．（x+6）（x+10）
知识点3：分组分解法
定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解的步骤
1. 将原式的各项适当分组；
2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
【典例3】（2023秋 武隆区期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；
（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
【变式3-1】（2023秋 金山区期末）因式分解：x2﹣4xy﹣4+4y2．
【变式3-2】（2023秋 杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac．
【变式3-3】（2023秋 浦东新区期末）分解因式：a3﹣a+2a2b+ab2．
知识点4：因式分解的应用
因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用
【典例4-1】（2023秋 甘井子区期末）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2
C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）
【典例4-2】（2023秋 鹿寨县期末）已知：ab＝2，a﹣b＝1，则a2b﹣ab2＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-1】（2023秋 老河口市期末）三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（　　）
A．8a2﹣4b+2a B．a2+2b﹣4a C．a2﹣2b+4a D．4a2﹣2b+a
【变式4-2】（2023秋 保定期末）若n为任意整数，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值不一定能（　　）
A．被2整除 B．被4整除 C．被6整除 D．被8整除
【变式4-3】（2023秋 仓山区校级期末）如果a，b，c为三角形的三边长，且满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么该三角形的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．无法确定
一．选择题（共6小题）
1．（2024春 市中区校级期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣4x＝2x（x﹣4）
B．a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1）
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）（a﹣b）
D．x3﹣81x＝x（x2+9）（x2﹣9）
2．（2023秋 商丘期末）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（　　）
A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20
3．（2024春 邗江区期中）（﹣8）2024+（﹣8）2023能被下列哪个数整除？（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2024春 新郑市月考）若2m﹣n＝2，﹣6m﹣3n＝﹣9，则4m2﹣n2的值为（　　）
A．﹣18 B．﹣6 C．6 D．18
5．（2022秋 晋江市校级期中）因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　）
A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b）
C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2
6．（2023秋 思明区校级期末）下列多项式中是多项式x2﹣4x+3的因式的是（　　）
A．x﹣1 B．x C．x+2 D．x+3
二．解答题（共7小题）
7．（2023秋 丹江口市期末）因式分解：
（1）3x3﹣12x； （2）6xy2﹣9x2y﹣y3；
x2﹣4x﹣12．
8．（2023秋 湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝　 　；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
（2023秋 杨浦区期末）因式分解：2a2﹣6bc+4ab﹣3ac．
（2023秋 青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．
11．（2024春 滨海县月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2这个等式，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 　 　．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　 　．
12．（2023秋 和县期末）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y ＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组 ＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式 ＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
13．（2024 广平县模拟）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式 　 　；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．
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