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专题5-5. 特殊平行四边形中的最值模型-将军遛马（造桥）模型
模块1：模型简介
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
模块2：核心模型点与典例
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
如图1 如图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．
问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径，再利用矩形的性质，求出和的距离，最后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形和均为平行四边形，再利用最短路径作法得出即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点，
则 ，，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点，
则，四边形 是矩形，
，，
又，，
即最短路线的长是．故答案为：．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则．
由平移知，．又 ，四边形 是平行四边形，
，由平移知，
又，四边形 是平行四边形，
当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形．
，，，
的最小值为．故答案为：存在，最小值为．
（3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，，
过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点．
连接， 则．是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线， 过点 作 于点，
则 ，，，，
．故答案为：最短路线长为．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
例2．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
【答案】
【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DMEF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，
在Rt△BDM中，BM＝＝∴DE+BF的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
例4．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
【答案】/
【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，．，，
∴四边形为平行四边形，．
，，三点共线，此时的周长最小．
，，即，，
周长的最小值为：．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=，
即EC+GC的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，，得，当点、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可．
【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，
四边形是菱形，，
，由平移性质知，，，，
，，
当点、、三点共线时，的值最小，
的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1.（2023 西湖区八年级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
【分析】先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，即可得出答案．
【答案】解：如图，先确定AA′与河等宽，且AA′⊥河岸，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
理由：由作图过程可知，四边形ACDA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　

A． B． C．14 D．12
【答案】C
【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．
【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．

∴四边形是平行四边形，∴，同理：=，
延长交的延长线于点．∴，，
∴，，
在中，，
，
的最小值为14．故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ．
【答案】10
【分析】过P作PC⊥a于C，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.
【详解】作QD∥b,PD⊥QD.
如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形PABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ＝BC＋BQ，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股定理得QD==8.在直角三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝BC＋BQ=BC=10.
【点睛】本题的解题关键是作图确定B点位置，根据勾股定理求线段长度.
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

【答案】
【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，∴，∴，
∴，．∵，，∴．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，∴当最小时，最小．
∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，

∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴的最小值为． 故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时
最小是解题关键．
例6．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，当N、E、C三点共线时，，分别求出CN、AN的长度即可．
【详解】过点D作交BC于M，过点A作，使，连接NE，
四边形ANEF是平行四边形，，当N、E、C三点共线时，最小，
四边形ABCD是矩形，，，
，四边形EFMD是平行四边形，，，
，，，
，，
，即，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ）

A．8 B．8 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由勾股定理可求的长，由“”可证，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作，交于点H，过点E作，过点M作，直线交于点G，连接，如图，

∵四边形是正方形，∴，
∵，，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，∴，
∴，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，
∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形以及得到最小值为是解题的关键．
2．（2023下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形中，边的长分别为4和3，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，当点E在边上移动时，的最小值为（ ）

A．7 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，将转化为，找到点B关于的对称点为，求出AB′即为的最小值．
【详解】如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，

∵∴四边形是平行四边形∴，∴，
设点B关于的对称点为，连接，交于点E，
此时最小，即最小，即为的长，
∵，∴，又，∴，
即的最小值为．故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题，勾股定理，解题的关键是通过特殊四边形的性质和对称的性质对线段进行转化．
3．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）

A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】取的中点Q，连接，，证明四边形为平行四边形，求出，最后用勾股定理求出最小值.
【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：

∵正方形的边长为10，∴,，
∵是正方形的对角线，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，，∴，∴，
∵，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，
∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，
∵点Q时的中点，∴，由勾股定理得，，故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.
4．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，则的最小值为（ ）

A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，过点作，相交于点，连接，过点作于点．根据平行四边形的性质和判定即可得出，，再由当A，B，E三点在同一条直线上时，，此时取得最小值．在中，，，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，过点作，相交于点，连接，过点作于点．∵，，∴四边形是平行四边形，∴，．

∵，∴．
当A，B，E三点在同一条直线上时，，此时取得最小值，．
∵，，∴，，
在中，，，，
∴，∴，即的最小值为．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，锐角三角函数求线段长度，掌握三角形的三边关系求最值是解题的关键．
5．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】过点作使，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到三点共线时，有最小值即为的长，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作使，则：四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，
∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，进行线段的转化．
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

【答案】18
【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．
【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C，
则且，于是为平行四边形，故，

当时，最小，也就是最短，
∵（米），（米），（米）
∴在中，（米），
∴的最小值为：（米） 故答案为：18 ．
【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．

【答案】
【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：

，，为等边三角形，，
，，四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，
，，，
，
中，，
中，
，的最小值是．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；
（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，，
将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，
，，，
，，，四边形是平行四边形，
，，
当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，
点，点，，
折线的长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．

【答案】16
【分析】先构造矩形，再证明线段相等，再根据两点之间线段最短求解．
【详解】解：构造矩形，连接，，交于点，如图所示：

则，，，
，，四边形为平行四边形，
，，
中，，，，
，，故答案为：16．
【点睛】本题主要考查最短路径问题、矩形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E是的中点，P，Q为边上的两点，且，则四边形周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意可知，，为定长，四边形周长最小只要最小即可，将平移到点Q与点P重合的位置，最小，即最小，作点A关于的对称点，连接交BC于点，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，，点E为中点，
∴为定长，∴，
，∴四边形周长最小只要最小即可；
取中点F，连接，在上取，连接，
则四边形是矩形，四边形为平行四边形，，
，，最小，只要最小即可；
作点A关于的对称点，连接交于点，则，，
，即最小时，点P位于处，
由作图可知，，，∴，
∴四边形周长的最小值为：，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、矩形的性质、平行四边形的判定和性质，确定出四边形周长最小时，点P的位置是解题的关键．
12．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，
∵四边形是平行四边形，，∴，，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，
，∴，
∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
在和中，，∴，∴，
∵线段（点在点的左侧）在线段上运动，∴，
∴当点在线段上时，的最小值为，∴的最小值为，
∵，，∴最小值为：，
即最小值为，故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键．
13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形中，，．若点E是边上的一个动点，过点E作，交直线于点F，则点E移动的过程中，的最小值为 ．

【答案】5
【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，可得是平行四边形，则：，当N、E、C三点共线时，的值最小，即为的长度，求出的长度即可得解．
【详解】
过点D作交于M，过点A作，使，连接，
四边形是平行四边形，，
∴ 当N、E、C三点共线时，最小，
四边形是矩形，，，
，四边形是平行四边形，，，
，，，，
，，即，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，即：的最小值为5；故答案为：5．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到，根据平移的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点A且平行于的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴，
∵将沿射线的方向平移，得到，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值，
∵点在过点A且平行于的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，
在中，，
∴，∴，∴，
∵∴，∴故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值，是解题的关键．
15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，连接NF、DF，根据正方形的性质和平行四边形的判定可证明四边形MEFN是平行四边形得到ME=NF，BN=DN，利用三角形三边关系可得ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），利用勾股定理求得DF即可求解．
【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，连接NF、DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上，
∴EF∥AC，EF= =MN，∴四边形MEFN是平行四边形，∴ME=NF，
∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），
在Rt△DCF中，CD=8，CF=8-2=6，则DF= =10，
∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+ ，
即则四边形BEMN的周长的最小值为12+ ，故答案为：12+ ．
【点睛】本题考查最短路径问题，涉及正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、轴对称性质、三角形的三边关系，熟练掌握正方形的对称性质，会利用三角形的三边关系找的DF为最小是解答的关键．
16．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是 ．
【答案】
【分析】如图（见解析），先利用平行四边形的判定与性质可得，再利用轴对称的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为OC，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC的长，由此即可得．
【详解】如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D，
，四边形ABPQ是平行四边形，
，由轴对称的性质得：，，
，，四边形的周长为，
则要使四边形的周长最小，只需最小，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
，设直线AB的函数解析式为，
将点代入得：，解得，则直线AB的函数解析式为，
设点B的坐标为，则，
解得或（不符题意，舍去），，
，设直线BC的函数解析式为，
将点代入得：，解得，则直线BC的函数解析式为，
联立，解得，，设点C的坐标为，
点B、C关于直线对称，点D为BC的中点，
，解得，，的最小值，
则四边形的周长最小值为，故答案为：．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识点，利用平行四边形的性质和轴对称性的性质找出的最小值是解题关键．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
，
将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．

【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解；
【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，
当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，
∵，∴，∴，
∴的最小值为3；故答案为：3

（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，，
∴四边形为平行四边形，∴，
根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，
∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
19．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
【答案】(1) (2)，
【分析】（1）作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，先求出直线的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出，，，即可得出答案；
（2）将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，用待定系数法求出的关系式，然后求出与x轴的交点坐标，即可得出答案．
（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），，
设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，，解得k=2，，∴直线为，
令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，，，
∴△CDE周长的最小值为：．
（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵，且，∴四边形为平行四边形，
∴，根据轴对称可知，，∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
令y=0，得，∴点F坐标为，∴点E坐标为．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．
20．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．

【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）
【分析】（1）根据对称性质，作点C关于对称点，连接交于P，根据两点之间线段最短知点P，使得最短；
（2）如图②，连接交于P，连接，，根据正方形的性质、对称性质以及两点之间线段最短知的长为的最小值，根据勾股定理求得的长即可；
（3）在图3中，过D作，，连接，，，则的长是的最小值，利用勾股定理求解、即可．
【详解】解：（1）如图，点P即为所求；

（2）如图②，连接交于P，连接，，
∵四边形是正方形，，∴点B和点D关于对称，，∴，
∴根据两点之间线段最短知的长为的最小值，∵E是中点，∴，
在中，，故的最小值为；
（3）在图3中，过D作，，则四边形是平行四边形，∴
连接，，，∵点B和点D关于对称，∴，
∴，当B、E、H共线时，取等号，则的长是的最小值，
∵，，∴，在中，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题、正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解答的关键是学会利用轴对称性质解决最短距离问题，属于中考常考题型．
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专题5-5. 特殊平行四边形中的最值模型-将军遛马（造桥）模型
模块1：模型简介
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
模块2：核心模型点与典例
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
如图1 如图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．
问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．
例2．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
例4．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1.（2023 西湖区八年级月考）如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　

A． B． C．14 D．12
例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

例6．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形中，．若点E是边AD上的一个动点，过点E作且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为 ．
模块3：同步培优题库
全卷共20题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ）

A．8 B．8 C．8 D．12
2．（2023下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形中，边的长分别为4和3，点E在上，点F在的延长线上，且，连接，当点E在边上移动时，的最小值为（ ）

A．7 B． C．10 D．
3．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ）

A． B． C． D．10
4．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，则的最小值为（ ）

A．8 B． C． D．
5．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是 米．

7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．

8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为 ．
10．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ．

11．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E是的中点，P，Q为边上的两点，且，则四边形周长的最小值为 ．
12．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ．
13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形中，，．若点E是边上的一个动点，过点E作，交直线于点F，则点E移动的过程中，的最小值为 ．

14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ．
15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
16．（2023上·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．
19．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
20．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．

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