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专题5-6. 特殊平行四边形中的最值模型-胡不归模型
模块1：模型简介
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模块2：核心模型点与典例
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．
【详解】解：过作，菱形，，
，，即为等边三角形，，
在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，
，，，
在中，，则的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1） °；（2）的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，故答案为：．
（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键．
例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】0
【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．
【详解】解：如图，作于，
∵四边形是正方形，，，的最小值为0，
∵，∴的最小值为0，故答案为：0．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．
例5．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ．
【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；
②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．
【详解】（1） 四边形 是矩形， ，
与 交于点O,且 关于 对称，
，， 四边形 是菱形；
（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，
关于 的对称图形为 ， ，
在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，
为 的中位线 ， ，同理可得： 为 的中点， ，
， ；
②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s，
由①可得，，
点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，
即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.，
在 中，设， ，
，解得： ， ，和 走完全程所需时间为．
模块3：同步培优题库
全卷共19题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH．
【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，
∵菱形中，，∴，为等边三角形，
∴，，∴在中，，∴，
∴此时得到最小值，，
∵，，∴，又∵，∴,故选：B.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键．
2．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解．
【详解】解：延长，过点B作交于点P，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，
∵，∴，则，则，
同理可得：，∴，
∴当点E、P、B在同一条直线上时，的值最小，
∵，∴．故选：A．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短．
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
3．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
4．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵在长方形中，对角线，
∴，∴，
∵将长方形沿对角线折叠，得，
∴，∴，
过点作于点，连接，过点作于点，则：，，
∵，∴，∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合，
∵，∴，∴，
∴，即：的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形．
5．（2023·广东·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
【答案】3
【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解．
【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作，
中，
，
如图，当时，最小，最小值为
的最小值为．故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝AC sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
7. （2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）
连接AC交 BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF=PB.
显然A、P、F共线时PA+PB最小。此时 PA+PB=AF
∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=
利用等面积法:×AF×BE=×AE×BO 解得：AF=
注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解．
【详解】解：过点F作于点G，如图，
∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形，
∴，，∴，．
∵，∴，，∴，
当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，
∵点E是的中点，∴，则，
∵，∴，∴，∴，解得：，
综上：的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出．
9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
【答案】6
【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．
【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，
∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），
，
此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．
10．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
【答案】
【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即，∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，∴，∴，∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：
∴，要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：
∴，∴，
∴的最小值为，即的最小值为；故答案为．
【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
11．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．

【答案】①③④⑤
【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小．
【详解】解：如图，连接，

垂直平分，，根据折叠的性质，可得：，
，为等边三角形，，即结论①正确；
，，，
，即结论②不正确．
∵折叠，∴，∴
∵∴∴
∴，即结论③正确．设，则，
∵，，∴，在中由，
∴，解得：，即，即结论④正确．
过点H作，是等边三角形，，∴，
在同一条直线上且时的值最小，
此时，的最小值是，
即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
12．（2022下·浙江宁波·八年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，
∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，
∴，∴是等边三角形，∵，∴，
∵CH⊥AB，∴，∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，
∴，，∴，
∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
13．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，
∴AP+PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，
∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，
∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共55分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．

(1)求的长；(2)连接，若，求证：；
(3)若，试求的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；（2）延长至，使得，在上取，连接，证明，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时（或者设其他点为中点，再证明为中点），过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵菱形中，，∴，
∵，∴是等边三角形，又∵，∴；
（2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，

在与中，∴∴，
∵是等边三角形，∴，，
∴，∴四边形是平行四边形，
∴，，∴，
∵，设，则
在中，，
∴，∴
∵∴，
∴
在中，
∴，∴，∴；
（3）如图所示，连接，过点作于点，

将绕点逆时针旋转得到，连接，则，
当三点共线时，，此时取得最小值，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵三点共线∴，∴，
∵为的中点，当为的中点时，
∴，，则，∴，，
∵∴，∵
∴
又，∴，∴，
∴当是的中点时，三点共线，过点作于点，
∴，，∴，
在中，，
∵，∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．
∵，∴．在中，．
∵，∴．∴点到的距离为．
（2）如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，
∴的最小值等于的长，∵，∴．
在中，．
∵，∴．
即的最小值为；故答案为：
（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，∴，
∴，∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，即的最小值等于．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在中，，，E是边上一点．
(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解；
（2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论；
（3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，可得当点K落在的延长线上时，有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：如图1，过点F作直线于H，

∵将绕点逆时针旋转至，∴，
∵，∴，
∵，∴
∴，∴，
∴，∴的面积；
（2）证明∶如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q，
∵，∴，
∵点N是的中点，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴，
∴，∴，
∵将绕点E顺时针旋转至，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴；
（3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，

∵点Q是点P关于直线的对称点，∴平分垂直平分，
∵是等边三角形，∴，∴，
∵点C与点关于对称，∴，
∴，∴为等边三角形，∵，
∴当点，P，N三点共线时，有最小值，
∵将沿所在直线翻折得到，∴，
∴点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，∴当点K落在的延长线上时，有最大值，
∵为等边三角形，，∴垂直平分，
∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵将沿所在直线翻折得到，
∴，∴，，
∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键．
17．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；
(2)点Q为直线上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．
【答案】(1)画图见解析， (2)①；②的最小值为．
【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点的位置可得其坐标；
（2）①如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；②证明，即在直线上运动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由分别为的中点，则，当三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，都是等腰直角三角形，而，则，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，∴；

（2）①如图，∵点Q为直线上一动点．
设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，
则，延长与交于点，则，

∴，∴，∴，
∵，∴，而，∴，，
∴，结合新定义可得；，而，
∴的中点坐标为：，∴直线经过定点；
②∵，∴，∴，即在直线上运动，
如图，连接，，作关于直线的对称点，则，

由分别为的中点，则，
∴当三点共线时，，此时最小；
记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，
∴都是等腰直角三角形，而，
∴，∴．即的最小值为．
【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
18．（2023·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；
（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．
【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为，
，，，
把代入中得：，解得：；
（2）由（1）得一次函数为，，，
，，，
，
的面积与四边形的面积之比为，
的面积与四边形的面积之比为，
，设点的横坐标为，则，
解得：，把代入中得：，；
（3）
如图所示，过点作轴交于点，
，，，
作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，
，，
当、、在同一直线时最小，
即的最小值为，
，，，，
在中，，，
在中．，的最小值为．
【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．
19．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，．
(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案；
（2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】（1）解：，，，
在菱形中，，，在中，，
点是线段的中点，；
（2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，
连接，则，、关于直线对称，，
，当点与重合时，的值最小，
当点与重合时，．当点与不重合时，．
四边形是菱形，，，
又，，
，，，
即的最小值是．的最小值是．
【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
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专题5-6. 特殊平行四边形中的最值模型-胡不归模型
模块1：模型简介
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模块2：核心模型点与典例
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为______．
例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．
（1） °；（2）的最小值为 ．

例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________．
例5．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．
①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
模块3：同步培优题库
全卷共19题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
3．（2023春·广东·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
4．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ．
5．（2023·广东·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．
7. （2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 。
8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ．
9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．
10．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
11．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．

12．（2022下·浙江宁波·八年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
13．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共55分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．

15．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在中，，，E是边上一点．
(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．
17．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”．
【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；
(2)点Q为直线上一动点．
①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值．
18．（2023·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．
19．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，．
(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．
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