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专题5-8. 特殊平行四边形中的最值模型-瓜豆模型（直线轨迹）
模块1：模型简介
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型点与典例
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据等边△EFG，EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，从而得出矩形HEPQ，从而找到最短CG，再利用30°角所对直角边为斜边一半，从而得解．
【详解】∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，
易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，
∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转图形的性质，全等三角形的性质，30°角所对直角边为斜边一半，牢固掌握几何相关知识点，灵活添加辅助线构造矩形是解题关键
例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
【答案】
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，∴AH//CE，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH//EC，∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，
∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
例3．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
例5．（2023·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．
【答案】3
【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．
∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC，
在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3，
当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题关键．
例6．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．

【答案】
【分析】根据垂线段最短，得当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，证明四边形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，∴，

∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，
∵，即，∴四边形是矩形，∴，
在中，，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例7．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，
∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
例8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
【答案】/
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接．∵，，，∴，
∵，，∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时，，
即，解得，∴线段的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共18题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
于点，于点，，
四边形是矩形，，，，
四边形是矩形，，由勾股定理得：，
当时，最小，则最小，此时，，
即，，的最小值为，故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一动点，连接，点分别是的中点，连接，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】连接交于点，连接易证得，得到点G为的中点，所以是中位线，可得到，求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，然后在中，借助三角函数计算即可．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，过点作于点N，
∵点为中点，∴，
∵四边形是菱形，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴点G为的中点，
∵点H为的中点，∴是中位线，∴，
∴求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，即最小值=，∵是的中点，∴，
∵∴，∴．故答案为：
【点睛】本题主要考查动点最值，根据条件做出辅助线，利用中位线转化所求线段，然后借助点到线距离垂线段最短计算即可．
3．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为

【答案】
【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，首先证明，推出点G在射线上运动，进而得到当时，的值最小，，求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，
∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形是矩形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点的运动轨迹，取中点H，连接，交于点O，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点O为的中点，有为点P的运动轨迹，则求得当点F与点E重合时最小．
【详解】解：取中点H，连接，交于点O，如图，
∵四边形为矩形，∴，，，
∵点E为中点，点H为中点，∴，，∴四边形为矩形，，
∵点O为的中点，∴为点P的运动轨迹，
∵在直线上运动，∴当点F与点E重合时最小为，故答案为：．
6．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂线段最短，平行四边形的性质，直角三角形的性质．根据垂线段最短得：当时，最短，利用平行四边形性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设平行四边形的对角线、相交于O，如图，
当时，最短， ∵平行四边形∴，，∴此时，最短，
∵，∴∴故答案为：．
7．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，
，，
在与中，，，，
正方形中，，是边上的中点，
，，，
，，线段的最小值为8，故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
8．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，
正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，
是等腰直角三角形,
在射线上运动，
则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．
9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____．
【答案】
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，
∵，∴．
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动．
10．（2022·河南开封·统考一模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点E，以为边作正方形，点H是上一点，．连接，则的最小值是________．
【答案】
【分析】连接CG．证明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，最后根据正弦即可得出答案．
【详解】解：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．此时CH＝
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，解决问题的关键是得到∠DCG＝∠DAE＝45°，及证明出点G的运动轨迹是射线CG．
11．（2022·福建·福州三牧中学八年级期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
【答案】
【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.
【详解】解：如图，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为，
当重合，而（即）为等边三角形，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
12．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．
【答案】
【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可．
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴点F在平行于AB的射线GH上运动，
∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等边三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH sin60°，
根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题．
13．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，
又∵，∴，∴，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
14. （2023·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 .
【解答】6
【解析】连接AM、CM，如图所示：∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60 ，
∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，
在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60 ，∴∠ACM＝30 ，即直线AM的位置是固定的，∴点D在直线BD上运动
∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时.
15．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值．
【详解】解：如图，连接，

由题意可得，∴ ，
在和中，， ∴，∴，
当时，最短，此时也最短，
∵， ，∴，∴ ∴，
∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：．
16．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值．
【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，

∵正方形的边长是8，∴，，，
∵点G是线段的中点，∴，∴三点共线，∴点G的运动轨迹是线段，
∵，∴当点G和点H重合时，线段值最小，
∴，∴，即线段的最小值为．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三点共线是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边．
（）过点作于，证明：．
（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长．
（2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）

【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）．
【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为；
（2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可．
【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴，
∵是边长为5等边三角形，∴，，
∵是等边三角形，∴，，
∵，
∴，∴，∴；
②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，

∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接，
则，，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，，由（）得，∴，
∵，且，∴点在线段上运动，
∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，
∴点运动的路径长为．
（2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，

∵作顶角的等腰，∴，，
∴，∵， ∴，
∵四边形是长方形，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动，
∴当时，线段最短，∵，∴，∴，
∴，∵，，，
∴，∴，∴的最小值是．
【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析②
【分析】根据证明三角形全等即可；根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，．
，．，，
在和中， ≌；
（2）证明：如图中，设与相交于点．
，．≌，．
，．，
，，四边形是矩形，．
四边形是正方形，，．．
又，≌．．矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，
∵∴≌．．
，，最大时，最小，．
．由可知，是等腰直角三角形，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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专题5-8. 特殊平行四边形中的最值模型-瓜豆模型（直线轨迹）
模块1：模型简介
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型点与典例
【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．
例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
例3．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．
例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
例5．（2023·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．
例6．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．

例7．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
例8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
模块3：同步培优题库
全卷共18题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
2．（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一动点，连接，点分别是的中点，连接，则的最小值是_________．
3．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为

5．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ．
6．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为 ．
7．（2023上·陕西延安·九年级统考期中）如图，正方形的边长为是边的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的长的最小值为 ．
8．（2022·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
9．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____．
10．（2022·河南开封·统考一模）如图，在正方形中，，对角线上的有一动点E，以为边作正方形，点H是上一点，．连接，则的最小值是________．
11．（2022·福建·福州三牧中学八年级期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
12．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在线段BC上运动（含B、C两点）．连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60°得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为______．
13．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．
14. （2023·绵阳市八年级月考）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 .
15．（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．

16．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．

三、解答题（本大题共2小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边．
（）过点作于，证明：．
（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长．
（2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）

18．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
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