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专题5-9. 特殊平行四边形中的图形变换模型-翻折（折叠）模型
模块1：模型简介
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型点与典例
【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A． B． C． D．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）

A． B． C． D．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．

例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）

A．6 B． C． D．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）

A．18－3 B． C． D．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）
A． B． C．3 D．3.5
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1 B．－1 C．－1 D．2
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．

例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．

3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．

例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A． B． C． D．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．

例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．

例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．

(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
模块3：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·天津红桥·统考三模）如图，已知是矩形的对角线，点分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处，连结．则下列结论中一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
2．（2023春·江苏八年级期中）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边的中点，点是线段上一点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点恰好落在线段上，若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津红桥·三模）如图，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于N，则线段的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
5．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，菱形中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点，若的周长为18，的周长为38，则的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
6．（2023春·重庆·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连接AE，点F在边AD上，连接BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=2DF；③ =6：④GE=0.2，其中正确的有（ ）
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023春·重庆开州·八年级校考期中）如图，矩形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，延长交于点，若，则 ．

8．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则 ．

9．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ．
10．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ．
11．（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝3；③AGCF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的是 （填序号）．
12．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ．

13．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形的边长为5，是边上的一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，则的长为 ．

14．（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．

15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为 ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 .
16．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形中，，在上取一点E，连接，将沿翻折，使点B落在处，线段交于点F，将沿翻折，使点C的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为 ．

17．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图，把菱形沿折痕翻折，使点落在边上的点处，连结．若，，则 ．
三、解答题（本大题共4小题，共35分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作：
【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________．
【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接．
　
（1）求证：是等边三角形．（2）求四边形的周长．
19．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．

(1)若直线与线段交于点．
①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；
②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
20．（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．

(1)如图①，当平分时，的度数为______；(2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；(3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．
21．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在正方形中，E为的中点，将正方形沿着翻折得到四边形，直线与直线相交于点F，连接．

(1)的度数是 　 　；(2)若将正方形变为菱形，①如图2，若，，求的长度；②如图3，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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专题5-9. 特殊平行四边形中的图形变换模型-翻折（折叠）模型
模块1：模型简介
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模块2：核心模型点与典例
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质和可得，再证明，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵将沿翻折得到，点F落在上，
∴，，，
∵，∴，
∵四边形是矩形，∴，，
∴，∴，
在中，，∴，
∴，∴，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得，，由折叠可知，，于是可得，得到，用平行线的性质可得，以此即可求解．
【详解】解：取的中点E，连接，

∵四边形为矩形，∴，，
根据折叠的性质可得，，
∵，∴，在中，，
∵点E为的中点，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质，利用折叠的性质得到得到，进而得到是解题关键．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】设，则，由题意可以求证，从而得到，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，，
设，则，
又，，，
在中，，即，
解得：，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及坐标与图形，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）

A．6 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接交于点，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．
【详解】解：连接交于点，

将沿直线翻折，点落在点处，
点、关于对称，，，，点为的中点，，
又，，，则，
，，．故选：B．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案．
【详解】解：∵长方形中，，∴，，
由折叠的性质可得：，设，则，
根据勾股定理得出：，解得：，即，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）

A．18－3 B． C． D．
【答案】D
【分析】在上截取，连接，证明，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
【详解】解：在上截取，连接，

由折叠得：，又，，
，最短时，也就最短，而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，，即的最小值是4，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．过点作，
点为矩形的对称中心， ，
中，，
中，，，
面积的最小值是．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到的最小值．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据矩形的性质得到，，，据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：在矩形纸片中，，，∴，，，
∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合，
∴，，，∴，
设，∴，，
∵，∴，解得：，∴，
∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，
∴，，，∴，
设，则，
∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题关键．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
【答案】(1)45；2(2)；(3)2或
【分析】（1）根据正方形的性质和翻折的性质，可得出；设，用x表示出的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出的长；（2）如图，由折叠性质和平分，得出，即可求出的度数；先证明和是等腰直角三角形，得出，，即可求出的长； （3）根据F为的三等分点，分两种情况：当时，过点E作，交的延长线于点P，连接，证明，得出，进而求出的长；当时，点E作，交的延长线于点P，连接，根据，计算即可求出的长．
【详解】（1）∵，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，∴，，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，∵，∴，
∵F为的中点，∴，
∵将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴，，设，则，∴，
∵，∴，∴，∴．故答案为：45；2；
（2）如图2，延长，交于点M，
∵平分，∴，由折叠的性质可知，，，
∴，∴，
∵，，∴和均为等腰直角三角形，
∴，，∴，即，解得．
（3）分两种情况：①当时，如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，∴，
在和中， ，∴，∴，
设，，，∴，解得，∴．
②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，，
由折叠的性质可知，，，∴，
∵，∴，，设，，，
∵，∴，解得，∴．
综上可知，的长为2或．
【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（　　）
A． B． C．3 D．3.5
【答案】A
【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：作EH⊥BD于H，
由折叠的性质可知，EG＝EA，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝AD＝6，
设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，
在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，
解得，x＝，∴BE＝，故选：A．
【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1 B．－1 C．－1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠可知M=MA，∵M为AD中点，∴2MA=2MD=AD=2，∴M= MA=1是定值，
∵M+C≥MC，∴当线段长度是最小值时，在MC上，
过点M作MF⊥DC于点F，∵菱形ABCD，∴CDAB ∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FC=FD+CD=，FM=，
∴MC=，∴C=MC-M=-1．故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，由两点之间线段最短得出点位置是解题关键．
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．

【答案】
【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．
【详解】解：过点作与的延长线交于点E，

∵四边形是菱形，∴，，
∵是的中点，∴，∵，∴，
∴，∴，设，则，
由折叠的性质知：，在中，，
∴，解得：，，即的长为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．
例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据是的垂直平分线，得到，结合得到是等边三角形，即可得到，根据四边形是菱形得到，根据折叠即可得到答案；
【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，∴，
∴，故选D；
【点睛】本题考查菱形的折叠问题，三角形内角和定理，菱形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是得到是等边三角形．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
【答案】/
【分析】延长EF交BC于点P，在Rt△DEM中，∠E=60°，，即，EM=2DE=2，即可得DC=AD=AB=2+=EF，即有DF=EF-DE=1+，在Rt△DCP中，∠CDP=30°，DC=AD=2+，，则△CDF的面积为：可求．
【详解】延长EF交BC于点P，如图，
根据翻折的性质有：EF=AB，ME=AM，∠E=∠A，在菱形ABCD中，有AD=CD=AB，，
∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，∠E=60°，∵EF⊥AD，，
∴∠ADP=∠EDM=∠CPD=90°，∴∠CDP=∠ADC-∠ADP=120°-90°=30°，
∵在Rt△DEM中，∠E=60°，∠EDM=90°，，∴，EM=2DE=2，
∴AM=EM=2，∴AD=AM+DM=2+，∴DC=AD=AB=2+，DF=EF-DE=AB-1=2+-1=1+，
∵在Rt△DCP中，∠CDP=30°，∠CPD=90°，DC=AD=2+，∴，
∴△CDF的面积为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折的性质以及含特殊角的直角三角形的性质等知识，充分利用菱形的性质是解答本题的关键．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．

【答案】
【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即．
（2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）由翻折可得，，，
，，即．故答案为：．
（2）四边形为菱形，，，
由翻折可得，，，，
点是的中点，，，即点与点重合．
，点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．

，，，，，，
由翻折可得，，设，则，，
由勾股定理可得，解得，．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．

【答案】
【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出的长度．
【详解】解：四边形是正方形，，，
是的中点，，
在中，由勾股定理，得，
是由翻折得到的，是直角三角形，，
是的中点，，故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4
【答案】D
【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．
【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，
由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，
∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，
在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，
解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，
∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，
在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形，
∴，，根据折叠的性质：，
在中，，∴，∴，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．

【答案】
【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，

∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5，
∴，设，则，则
∴即
∴∴，∴，
∵折叠，∴，∴，
∵，∴，又,
∴，∴ 在中，
即解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
【答案】①②④
【分析】①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30-x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；
④根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．
【详解】在正方形ABCD中，，
又沿AE对折至，延长EF交边BC于点G
，即有，
在直角和直角中，，；①正确．
，点E在边CD上，且，，
不妨设，则，
在中， 解得，于是；②正确．
，是等腰三角形，
，，则，不是正三角形．③错误．
，，．④正确．
正确的结论有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．

【答案】
【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，
由折叠可知，，，
∵，，
∴，即：，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到的度数是解决问题的关键．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．

(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析．(3)
【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得．（2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系．（3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
【详解】（1）根据折叠的性质可知，，∴．
∵，∴为等腰直角三角形．∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．
（2），理由如下：如图所示，连接，交于点．

根据题意可知为线段的垂直平分线，∴．
∵为中点，∴，即．
（3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．
在和中，∴．∴．∴．
观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为．
∴．
【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·天津红桥·统考三模）如图，已知是矩形的对角线，点分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处，连结．则下列结论中一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到，即可得到，条件不足，无法得到，，，即可得出结果．
【详解】解：∵矩形，∴，
∵将沿翻折，将沿翻折，翻折后点分别落在对角线上的点，处，
∴，∴，
因条件不足，无法得到，，，故选A．
【点睛】本题考查矩形与折叠．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键．
2．（2023春·江苏八年级期中）如图，在矩形中，动点M从点A出发沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为每秒1个单位长度，点N运动的速度为每秒3个单位长度．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与点D重合，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由矩形及折叠的性质可得，然后可得，则有，设运动时间为t，则有，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
由折叠的性质可知：，
∴，∵，
∴，∴，∴，
设运动时间为t，则有，
∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
3．（2023·重庆九龙坡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点是边的中点，点是线段上一点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点恰好落在线段上，若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质可知边相等，再根据勾股定理即可求出点到的距离.
【详解】解：∵将沿翻折，得到，∴，∴，
∵，，点E是边的中点，
∴，，
∵在中，，设,则，
∴在 和 中： ，解方程得1，∴，
∴在中，，
∵，，∴，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等相关知识点，熟练掌握直角三角形面积的两种求法是解题的关键．
4．（2023·天津红桥·三模）如图，在边长为4的菱形中，，M是边的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于N，则线段的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】过点M作MF⊥DC于点F，根据在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60 ，M为AD中点，得到2MD=AD=CD=4，从而得到∠FDM=60 ，∠FMD=30 ，进而利用锐角三角函数关系求出FM的长，利用勾股定理求得CM的长，即可得出EC的长．
【详解】如图所示：过点M作MF⊥DCMF⊥DC于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60 ，M为AD中点，
∴2MD=2AM =AD=CD=4，∠FDM=60 ，∴∠FMD=30 ，MD=AM=2，
∴FD=MD=1，∴FM=MD×cos30 =，∴MC== =，
∵AM=ME=2，∴EC=MC-ME=．故选A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及折叠的性质等知识，翻折变换((折叠问题))实质上就是轴对称变换，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
5．（2023·山东烟台·九年级统考期中）如图，菱形中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点，若的周长为18，的周长为38，则的长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】C
【分析】设DF=x，FC=y，根据菱形的性质可得AD=BC=CD=AB，根据折叠的性质可得AE=EF，AB=BF，然后根据三角形的周长公式用含x、y的式子表示出BC和BF，即可求出结论．
【详解】解：设DF=x，FC=y，∵四边形ABCD为菱形∴AD=BC=CD=AB，
∵BE为折痕，∴AE=EF，AB=BF，∵△FDE的周长为18，△FCB的周长为38，
∴BC=AD=AE＋DE=EF＋DE=18-x，BF=AB=CD=x+y，FC＋BF＋BC=38
∴y+x+y+18-x=38，解得y=10．即FC=10故选C．
【点睛】此题考查的是菱形与折叠问题，掌握菱形的性质、折叠的性质和方程思想是解决此题的关键．
6．（2023春·重庆·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连接AE，点F在边AD上，连接BF，把△ABF沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=2DF；③ =6：④GE=0.2，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】先据正方形的性质和翻折的性质证明△ABF△DAE，即可判断①和②，再根据面积法求出AH长，再根据勾股定理求出FH，即可判断③，根据AE和AG的长度，求出GE的长，即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD=4，∠BAD=∠D=90
∵CE=1∴DE=3 由折叠的性质可知，△ABF△GBF，BF垂直平分AG
∴BF⊥AE，AH=GH∴∠BAH+∠ABH= ∵∠FAH+∠BAH=∴∠ABH=∠FAH
在△ABF和△DAE中 ∴△ABF△DAE（ASA）∴AF=DE=3，BF=AE故①正确；
∵DF=AD-AF=4-3=1∴AD=4DF故②错误；在Rt△ABF中，BF=，
∴∵∴4×3=5AH∴AH=
∴AG=2AH=，FH==∴③错误；
∵AE=BF=5∴GE=AE=AG=5-=④正确；综上，正确结论是①④故选：C．
【点睛】本题考查了在正方形背景下的全等和翻折，掌握正方形和翻折的性质是解题关键，翻折总结：翻折得全等、得轴对称．
二、填空题（本大题共11小题，每小题5分，共55分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023春·重庆开州·八年级校考期中）如图，矩形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，延长交于点，若，则 ．

【答案】14
【分析】连接，由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，设，则，由勾股定理得，代入数值解方程可得出答案．
【详解】解：连接，

∵，，∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵沿翻折得到，∴，，
∴，设，则，
，∴，解得．∴，故答案为：14．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，以及勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
8．（2023秋·海南海口·九年级统考期末）如图，将矩形沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，则 ．

【答案】
【分析】根据四边形是矩形，得，而沿着过点A的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，有，，在中，，可得，设，则，在中可得，即可解得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
∵沿着过点D的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，∴，
在中，，∴，
设，则， 在中，，
∴，解得，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查矩形中的折叠为题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程解决问题．
9．（2023·四川·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的值为 ．
【答案】
【分析】连接BD、BE，则由题意可以得到是直角三角形，然后设AF=a，则BF=4-a，再由已知条件及勾股定理可以得到关于a的方程，求得a的值后即可得到的值．　
【详解】连接，，
∵为中点，，∴为等边三角形，∴，．
设，则，，在中，，
，解得，∴，，∴．
【点睛】本题考查菱形的综合应用，灵活应用等边三角形、直角三角形、轴反射的性质及勾股定理等知识求解是解题关键．
10．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形中，，在上，将沿翻折至，且刚好过的中点，则 ．
【答案】30°
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得出AD⊥BC，由翻折变换的性质得：=∠D=60°，求出∠CME==30°，即可得出的度数．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠C=120°，∴△ABC是等边三角形，
∵AD'刚好过BC的中点P，∴AD⊥BC，∴∠D'PC=90°，
由翻折变换的性质得：=∠D=60°，∴∠CME=∠PMD'=30°，
∴∠D'EC=180°-∠C-∠CME=30°；故答案为：30°．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和菱形的性质是解题关键．
11．（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝3；③AGCF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】根据HL可证，故①正确；在中，设，则，，，利用勾股定理列方程即可判断②正确；根据是的外角，得，则，故③正确；计算出和，故④正确；根据，故可得⑤正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝∠B＝90°，AB＝AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确；
设BG＝x，则CG＝6﹣x，∵CD＝3DE，∴DE＝2，CE＝4，∴GE＝2+x，
在△CEG中，由勾股定理得：（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝3，故②正确；
∵BG＝CG＝GF＝3，∴∠GFC＝∠GCF，∵∠BGF是△CGF的外角，
∴2∠AGF＝2∠GFC，∴∠AGF＝∠GFC，∴AG∥CF，故③正确；
∵S△AEF＝，S△ECG＝，
∴S△EGC＝S△AFE，故④正确；∵△ABG≌△AFG，△ADE≌△AFE，
∴∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，∴∠EAF+∠GAF＝，
∴∠AGB+∠AED＝∠AGF+∠AEG＝180°﹣∠EAG＝180°﹣45°＝135°，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折的性质、以及三角形全等的判定与性质，平行线的判定等知识，综合性比较强，是中考常考题．
12．（2023春·福建泉州·八年级统考期中）已知：如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、将矩形纸片沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，①如图1，若，，则 ；②如图2，直线分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿着翻折，使点与点重合，点与点重合，连接，若，，，则四边形的面积是 ．

【答案】 15
【分析】①连接，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，，，进而得到，根据同角的余角相等可得，以此通过证明，得到，根据“对边平行且相等、邻边相等的四边为菱形”得四边形为菱形，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求得，，在根据计算即可求解；
②过点作的延长线于点，由折叠可知，，，，进而得到，，，根据同角加等角相等得，以此通过证明，得到，根据“对边平行且相等、邻边相等的四边为菱形”得四边形为菱形，易得为等腰直角三角形，，设，则，，在中，利用勾股定理解离方程解得，则，于是利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：①如图，连接，

则，四边形为矩形，，，
，，，，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，，，
，，，，
在和中，，，，，
，四边形为菱形，设，则，
在中，，，解得：，，
，；故答案为：；
②如图，过点作的延长线于点，

四边形为平行，，，，，，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，，，，
在和中，，，，，
，四边形为菱形，，，，，
设，则，，
在中，，，解得：，
，．故答案为：15．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据题干条件，推理论证得出四边形为菱形是解题关键．
13．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形的边长为5，是边上的一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，则的长为 ．

【答案】2或
【分析】分两种情况进行讨论，①当点在上时，由折叠的性质，得到，求解即可；②当点在上时，证明．由相似三角形的性质求解.
【详解】解：由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．
①当点在上时，连接，如图1所示．设，则．
∵正方形中，∴，即，
∵，∴四边形是平行四边形，
∴．
由折叠的性质，可知，，．
∴，．∴．
∵，∴，解得．∴；
②当点在上时，分别延长交于点，连接，如图2所示．
同理，可得．设，则．
∴．∵，∴．∴，即，
解得或（不合题意，舍去）．经检验，是原分式方程的解．
∴．
综上所述，当时，的长为2或．故答案为：2或．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是根据题中所给条件找出三角形相似的条件以及分类讨论．
14．（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．

【答案】
【分析】先证明是等边三角形，得到，从而由折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意，画图如下：

在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，
∴，垂直平分，，
∴，∴是等边三角形，∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，在中，，即，
解得：，即：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，根据题意画出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为 ；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则 .
【答案】 5
【分析】先根据正方形性质和中点定义求出的长，再由折叠性质得到，设，根据勾股定理列方程即可求出的长；过点作于，连接，通过勾股定理列出方程求出的长，从而求得的长， 再根据垂直平分线的性质得出，，，从而再根据勾股定理列方程求出求出的长，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵是的中点，∴，由折叠性质可知，
设，则，由勾股定理得，
即，解得，∴；
如图，过点作于，连接，易知，，
由折叠性质可知，，，设，则，
由勾股定理得，即，解得，
∴，∴，∴，
∵是的垂直平分线，∴，，，设，则，
∵，，
∴，解得，∴，∴，
在中，由勾股定理得．故答案为：5；．
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，熟练运用折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，并能够正确的作出辅助线是解题的关键，难度校大．
16．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形中，，在上取一点E，连接，将沿翻折，使点B落在处，线段交于点F，将沿翻折，使点C的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为 ．

【答案】/
【分析】由折叠的性质可得，，，从而可求出．由中点性质可得，可得，由勾股定理可求可求的长，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】∵四边形是矩形，∴．
由折叠的性质可得，，，∴．
∵点恰好为的中点，∴，∴，∴．
∵，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解本题的关键．
17．（2023·浙江宁波·校考模拟预测）如图，把菱形沿折痕翻折，使点落在边上的点处，连结．若，，则 ．
【答案】
【分析】过E作EF⊥AD于F，由已知可得BE=10，BH=HE=BE=5，在Rt△ABH中，可求AH=12，根据四边形AHEF是矩形，求得EF和AF，在Rt△EDF中，即可得到DE长度．
【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图：
∵在菱形ABCD中，CD=13，∴BC=AD=AB=13，∵CE=3，∴BE=BC-CE=10，
∵菱形ABCD沿折痕AH翻折，使B点落在边BC上的点E处，
∴BH=HE=BE=5，∠AHB=∠AHE=90°，在Rt△ABH中，AH=，
∵在菱形ABCD中，EF⊥AD，∠AHE=90°，∴四边形AHEF是矩形，
∴AF=HE=5，EF=AH=12，∴DF=AD-AF=8，
在Rt△EDF中，DE=， 故答案为：．
【点睛】本题考查菱形性质及应用，涉及矩形判断、勾股定理、翻折等知识，解题的关键是熟练应用菱形的性质．
三、解答题（本大题共4小题，共35分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作：
【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________．
【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接．
　
（1）求证：是等边三角形．（2）求四边形的周长．
【答案】操作一：；操作二，（1）证明见解析；（2）
【分析】操作一：由题知，，，利用勾股定理可得；
操作二：（1）由翻折得是的垂直平分线，故，又，即，即得是等边三角形；（2）由是等边三角形，可得，．，可得，即可得出四边形的周长．
【详解】解：操作一：如图，连接，由题知，

由翻折，知，由勾股定理，得，
操作二：（1）由翻折知是的垂直平分线，，
又，，是等边三角形；
（2）∵是等边三角形．∴，．
∴，∴，
∴四边形的周长．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质与勾股定理的应用是解题的关键．
19．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．

(1)若直线与线段交于点．
①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______；
②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)①；②，理由见解析；(2)或
【分析】（1）①：先根据已知条件判断是等边三角形，得到，即可计算的度数；②：连接，根据已知条件证是含角的直角三角形，即可得到，之间的数量关系；（2）分情况讨论，当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可；当当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可．
【详解】（1）①：点正好落在对角线和的交点处，四边形为矩形，
，，是等边三角形，
，，故答案为：
②：如下图，连接

四边形为矩形，点是的中点，点落在矩形内部，延长交边于点，，，，,，
，，
，即，
∵，，，
，即
（2）情况一：如下图，当点在线段上，时．

四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
点、、三点共线，，
在和中，，，
，，
情况二：如下图，当点在延长线上，时，此时点、、三点共线．

四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，，
，，，，，
在和中，，，，
，综上所述，的长为或
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠问题，综合运用知识点、画出图象分析、分类讨论是解题的关键．
20．（2023春·湖南·八年级校考阶段练习）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点．

(1)如图①，当平分时，的度数为______；(2)如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标；(3)如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不变，见解析
【分析】（1）由折叠的性质，平分，可得，由，可得，则，根据，计算求解即可；
（2）由轴，为等腰直角三角形，可得，，如图②，连接，则三点共线，是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可；（3）如图③，连接，由折叠、正方形的性质可知，，，证明，则，即，然后作答即可．
【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，故答案为：；
（2）解：∵轴，为等腰直角三角形，
∴，∴，如图②，连接，

∵正方形，点坐标为，∴，，
∴三点共线，∴是等腰直角三角形，设，则，，
由勾股定理得，，即，解得，∴；
（3）解：不变，理由如下：如图③，连接，

由折叠、正方形的性质可知，，，
∵，，∴，∴，
∴，
∴的周长不变．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在正方形中，E为的中点，将正方形沿着翻折得到四边形，直线与直线相交于点F，连接．

(1)的度数是 　 　；(2)若将正方形变为菱形，①如图2，若，，求的长度；②如图3，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)90(2)①；②是定值，为
【分析】（1）首先利用证明，得设即可求出的度数；
（2）①作于H，于G，首先可知，得，再说明，得，设，则，,在中，由勾股定理得，，解方程可得x的值，再利用勾股定理求即可；②由①同理得，，得设则，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵正方形中，E为的中点，∴，
∵将正方形沿着翻折得到四边形，∴，
∵，∴，

∴,设,
则，∴，
∴，故答案为：．
（2）①作于H，于G，
∵菱形中，E为的中点，，，∴，
∵将菱形沿着翻折得到菱形，
∴，，
∵，∴，∴，；
∵，∴，∴，∴，
设，则，,
在中，由勾股定理得，，解方程得即，
作于T，∵，∴，
∴，∴．
②的度数是定值，为．理由如下：
由①同理得，，得设,
则，
∴，∴，
故的度数是定值，为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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