资源简介

(共35张PPT)
第35课时　概　率
内蒙古中考真题及拓展
2
考点精讲
1
概率的计算
公式法
列表法或画树状图法
用频率估计概率
几何概型
游戏的公平性
事件的分类
必然事件
不可能事件
随机事件
概 率
考点精讲
【对接教材】北师：七下第六章P135～P159；
九上第三章P59～P74；
人教：九上第二十五章P126～P153.
事件的分类
1
考点
事件类型 定义 概率
必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 ________
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 ________
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0～1之间
1
0
针对训练
1. 下列事件中：是必然事件的是________．
①足球运动员射门一次，球射进球门；②口袋中装有两个红球和一个白球，从中摸出2个球其中必有红球；③经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯；④任意画一个三角形，其内角和是180°
②④
概率的计算
2
考点
公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)
＝________
列表法或画树状图法 当一次试验涉及两步时，用列表法或树状图法计算概率，当一次试验涉及三步或更多步骤(例如从3个口袋中取球)时，可用树状图法表示出所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率
用频率估计概率 一般地，在大量重复试验下，事件A发生的频率 (这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)稳定到某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝p(0≤p≤1)
几何概型 公式为：P(A)＝
游戏的公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在相同的前提条件下，如果参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平
【满分技法】在列表或画树状图时，一定要注意是放回事件还是不放回事件．具体区别如下：(1)放回事件：对角线上的情况存在，第一层的情况数为 n时，第二层的情况数为 n×n；(2)不放回事件：对角线上的情况不存在，第一层的情况数为 n时， 第二层的情况数为 n×(n－1) 针对训练
2. 从－2，1，6，8这四个数字中任取一个，则取到的数为偶数的概率为________．
3. 在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其他相同，若摸到白乒乓球的概率为 ，则黄乒乓球的个数为________．
5
4. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：
种子个数 300 500 800 1000 2000
发芽种子个数 284 477 762 951 1897
发芽种子频率 0.947 0.954 0.953 0.951 0.949
根据实验所得数据，估计该作物种子发芽率为________．(精确到0.01)
0.95
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
事件的分类
1. (2021赤峰4题3分)下列说法正确的是(　　)
A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C. 一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D. 甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ＝0.02， ＝0.01，那么乙组队员的身高比较整齐
D
拓展训练
2. (2021玉林)一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是(　　)
A. 至少有1个白球 B. 至少有2个白球
C. 至少有1个黑球 D. 至少有2个黑球
3. (2021怀化)“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”；②“守株待兔”；③“百步穿杨”；④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
A
A
2
命题点
概率的计算(包头6考，呼和浩特7考，赤峰6考)
4. (2021包头4题3分)柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为(　　)
A. B. C. D.
5. (2020呼和浩特4题3分)已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是(　　)
A. 0.75 B. 0.025 C. 0.5 D. 0.25
第5题图
A
A
6. (2023呼和浩特13题3分)同时掷两枚质地均匀的骰子，则至少有一枚骰
子的点数是6，这个随机事件的概率为________．
7. (2020包头17题3分)一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3.随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第
二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为___________．
8. (2021呼和浩特14题3分)动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有________只，现年20岁的这种动物活到25
岁的概率是________．
0.8a
9. (2022呼和浩特14题3分)公司以3元/kg的成本价购进10000 kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，下面是销售部通过随机取样，得到的
“柑橘损坏率”统计表的一部分，由
此可估计柑橘完好的概率为_____
(精确到0.1)；从而可大约估计每千
克柑橘的实际售价为_______元时
(精确到0.1)，可获得12000元利润．
柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率
(精确到0.001)
… … …
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101
0.9
4.7
10. (2023包头21题8分)某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表：
测试成绩(分) 23 25 26 28 30
人数(人) 4 18 15 8 5
请根据表中的信息，解答下列问题：
(1)该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
解：(1)450× ＝162(人)．
∴九年级450名学生的体育测试成绩为25分的学生人数约为162人；
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．(用列表或树状图方法解答)
(2)列表如下：
　第二人 第一人　 甲 乙 丙 丁
甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)
画树状图如解图：
第10题解图
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中，甲和乙恰好分在同一组的结果有2种，∴P(甲和乙恰好分在同一组)＝ .
11. (2020赤峰21题12分)如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图②，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长，如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.
第11题图
(1)丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为________；
【解法提示】根据题意知，丫丫落回到A，则掷得的数字为3.
∵掷一次骰子着地的面数字有1、2、3、4四种等可能的结果，
其中出现3时有一种结果，
∴掷得3的概率为 .
∴P(丫丫落回到圈A)＝ .
(2)丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者，这个游戏规则公平吗？请说明理由．
(2)这个规则不公平．理由如下：
由(1)得丫丫落回到圈A的概率为 ；
列表如下：
和 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中和为3或6的结果有5种，∴P(和为3或6)＝ .
∵甲甲掷两次，着地的一面数字和为3或6时，甲甲就会回到圈A，
∴P(甲甲回到圈A)＝ .
∵ ≠ ，
∴该游戏不公平．
3
命题点
概率与统计结合(包头2考，呼和浩特2考，赤峰4考)
12. (2021赤峰21题12分)某学校九年级有12个班，每班50名学生．为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t(单位：小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6(1)下列抽取方法具有代表性的是________．
A. 随机抽取一个班的学生
B. 从12个班中，随机抽取50名学生
C. 随机抽取50名男生
D. 随机抽取50名女生
B
(2)由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如下：
睡眠时间t(小时) 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5
人数(人) 1 1 2 10 15 9 10 2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，________；
7
7
【解法提示】在50名学生中，睡眠时间为7小时的人数最多，∴众数是7；将50名学生的睡眠时间按从小到大的顺序排列，排在第25位和第26位的都为7小时，∴中位数为7.
②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；
② ×12×50＝144(人)；
答：九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为144人；
(3)从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天的睡眠时间都是6小时的概率．
(3)t≤6的4名学生的睡眠时间分别为5，5.5，6，6，画树状图如解图，
第12题解图
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽得2人平均每天的睡眠时间都是6小时的结果有2种，
∴P(抽得2人平均每天的睡眠时间都是6小时)＝ ＝ .
13. 某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀)进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20名学生的测试成绩为：
39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25.
大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如下图所示：
第13题图
两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：
年级 平均数 众数 中位数 优秀率
大一 a b 43 m
大二 39.5 44 c n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
(1)上表中a＝________，b＝________，c＝______，m＝________，n＝________；
41.1
43
42.5
55%
65%
【解法提示】(1)将大学一年级20名同学成绩整理如下表：
成绩 25 30 37 39 43 49 50
人数 1 2 4 2 5 4 2
平均数a＝ ×(25＋30×2＋37×4＋39×2＋43×5＋49×4＋50×2)＝41.1；众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43；中位数：将大学二年级20名同学的成绩按由小到大的顺序排列后，第10和第11个数据为41和44，∴中位数为 ＝42.5；大学一年级的优秀率为m＝
×100%＝55%，大二年级的优秀率为n＝ ×100%＝65%.
根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由(写出一条理由即可)；
从表中优秀率看，大学二年级样本优秀率达到65%高于大学一年级的55%，所以估计大学二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计大学二年级学生掌握党史知识较好；(答案不唯一，合理即可)
(2)已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；
(2)∵样本合格率为 ×100%＝92.5%，
∴估计参加测试的两个年级成绩合格的学生人数约为1240×92.5%＝1147人，
∴估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数，超过了1000人；
(3)从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．
(3)大学一年级满分有2人，设为A、B，大学二年级满分有3人，设为1、2、3，
第12题解图
共有2种等可能结果，其中两人在同一年级的结果有8种，
∴P(两人在同一年级)＝ ＝ .(共54张PPT)
第34课时　统　计
内蒙古中考真题及拓展
2
考点精讲
1
频数与频率
频数
频率
数据的分析
平均数
中位数
众数
方差
统计图(表)
的分析
扇形统计图
条形统计图
折线统计图
频数分布直方图
频数分布表
调查方式
全面调查
抽样调查
总体、个体、
样本及样本容量
概念
样本估计总体
统 计
考点精讲
【对接教材】北师：七上第六章P154～P188，
八上第六章P135～P160；
人教：七下第十章P134～P161，
八下第二十章P110～P137.
调查方式
1
考点
全面调查 1. 概念：考察全体对象的调查，也称普查；
2. 适用情况：一般当调查的范围小、调查不具有破坏性、意义重大、数据要求准确全面时，采用全面调查
抽样调查 1. 概念：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况；
2. 适用情况：一般当所调查对象涉及面大、范围广、受条件限制或具有破坏性时，采用抽样调查
针对训练
1. 下列四种调查中，最适宜采用抽样调查的是(　　)
A. 了解全国中学生视力和用眼卫生情况
B. 某企业对职工进行健康检查
C. 对乘客上飞机前进行的安全检查
D. 了解某班同学“三级跳远”的成绩情况
A
总体、个体、样本及样本容量
2
考点
1. 概念
总体 所需考察对象的________
个体 组成总体的________________________
样本 从总体中抽取的一部分个体
样本容量 一个样本中所包括的个体数目
【易错警示】(1)总体、个体、样本三者的考察对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项指标；(2)样本容量是样本中个体的数量，没有单位 全体
每一个考察对象
2. 样本估计总体
基本思想 利用样本的特征估计总体的特征是统计的基本思想，注意样本的选取要有足够的代表性
【满分技法】(1)一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本越具有代表性，这时对总体的估计也就越精确；(2)要全面、多角度地去分析已有数据，注意根据各个特征量的意义，选择合适的特征量 针对训练
2. 某中学掀起了一股“传承经典文化，诵读经典名著”的热潮，为了解全校2000名学生阅读的名著数量，从中随机抽取了300名学生进行问卷调查，则在这次调查中：
总体：_________________________________；
个体：__________________________；
样本：_________________________；
样本容量：______________．
3. 工厂质检人员为了检测某批次2000件产品的质量，从中随机抽取100件进行检测，测出次品3件，由此估计这一批产品中的次品件数是________件．
全校2000名学生阅读的名著数量
每一名学生阅读的名著数量
300名学生阅读的名著数量
300
60
数据的分析
3
考点
1. 平均数
概念 (1)算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn， ＝____________；
(2)加权平均数： ＝ (x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)，其中f1，f2，…，fk分别表示x1，x2，…，xk出现的次数，n＝f1＋f2＋…＋fk
特点 (1)平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”，当数据中有异常值(与其他数据的大小差异很大的数)时，平均数就不是一个好的代表值了；(2)每组数据的平均数不一定是原数据，且平均数是唯一的
应用 根据两组数据的平均值，评价哪组数据整体水平较好
2. 中位数
概念 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于______位置的数(数据有奇数个)或中间两个数据的______(数据有偶数个)为这组数据的中位数
特点 (1)中位数侧重在顺序方面描述一组数据的集中趋势，去掉一组数据的最大值和最小值，中位数不变；
(2)中位数不一定是原数据，且中位数只有一个
应用 判断某一数据在本组数据中所处的位置，比中位数大即位于前50%，比中位数小即位于后50%
中间
平均数
3. 众数
概念 一组数据中出现次数________的数据
特点 (1)表示一组数据中出现次数最多的数据，能够反映数据的集中趋势；
(2)一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，且众数一定是原数据
应用 日常生活中“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”、“最受关注”等，都与众数有关
最多
4. 方差
概念 方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数，即s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]，其中x为x1，x2，…，xn的算术平均数，s2为数据的方差
意义 反映一组数据波动大小(离散程度的量)，方差越大，数据的波动________，偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动________，偏离平均数越小，数据稳定性越好
应用 在平均成绩相同的情况下，比较两个人状态的稳定性
【满分技法】被调查的每个数据增加或减小同一个数值，该组数据的方差不变 越大
越小
针对训练
4. 在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的(　　)
A. 平均数　　　　B. 众数
C. 中位数 D. 方差
C
5. 服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计，店主最应该关注的统计量是(　　)
A. 众数　　　B. 平均数
C. 中位数 D. 方差
6. 小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是(　　)
A. 众数 B. 平均数
C. 频数 D. 方差
A
D
7. 某学校规定学生的数学学期总评成绩由三部分组成，期末考试成绩占50%，期中考试成绩占40%，平时作业成绩占10%，某同学上述三项成绩分别为90分，85分，80分，则他的数学学期总评成绩是(　　)
A. 85分　　　　B. 86分
C. 87分 D. 88分
C
8. 某校在一次科普知识抢答竞赛中，8名选手的得分分别为：10，9，9，8，9，6，7，6，则这组数据的平均数是________，中位数是________，众数是________．
9. 甲、乙两人进行射击测试，两人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别为
＝2， ＝1.5，则射击成绩较稳定的是______(填“甲”或“乙”)．
8
8.5
9
乙
频数与频率
4
考点
频数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数
频率 在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值____称为事件A发生的频率
【满分技法】所有频数的和等于数据总数，所有对象的频率之和等于________，频率＝ ，频数与频率都能反映各个对象出现的频繁程度，频数越大，频率越高，事件发生的可能性也越大 频数
1
针对训练
10. 某班共有学生40人，其中10月份生日的学生人数为8人，则10月份生日学生的频数和频率分别为(　　)
A. 10和25%　B. 25%和10
C. 8和20% D. 20%和8
C
统计图(表)的分析
5
考点
名称 特点 图中所含信息
扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 1. 各百分比之和等于1；
2. 圆心角的度数＝百分比×360°
条形统计图 能清楚地表示出每个项目的具体数目，易于比较数据之间的差别 各组数据之和等于抽样数据的总数(样本容量)
折线统计图 能够显示数据的变化趋势 各组数据之和等于抽样数据总数(样本容量)
名称 特点 图中所含信息
频数分布直方图 能清晰地表示出收集或调查到的数据，能显示出各频数分布的情况以及各组频数之间的差别 1. 各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量)；
2. 数据总数×某组的频率＝相应组的频数
频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组的数据的个数(叫做频数)，整理可得频数分布表 1. 各组频率之和＝1；
2. 各组频数之和＝抽样数据的总数；
3. 数据总数×各组的频率＝相应组的频数
11. 某公司的生产量在1～7月份的增长变化情况如图所示，从图上看，下列结论正确的是(　　)
A. 2～6月生产量逐月减少
B. 1月份生产量最大
C. 这7个月中，每月的生产量不断增加
D. 这7个月中，生产量有增加有减少
12. 要表示一个家庭一年用于“教育”“服装”“食品”“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”“条形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是___________．
针对训练
第11题图
C
扇形统计图
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
调查方式
拓展训练
1. (2021盘锦)下列调查中，适宜采用抽样调查的是(　　)
A. 调查某班学生的身高情况
B. 调查亚运会100米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C. 调查某批汽车的抗撞击能力
D. 调查一架“歼－20”隐形战斗机各零部件的质量
C
2
命题点
样本的选取
2. (2021呼和浩特6题3分)某学校初一年级学生来自农村、牧区、城
镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图．由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有(　　)
①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3∶2∶7；②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人；③若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、
70人，样本更具有代表性．
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
第2题图
C
拓展训练
3. 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是(　　)
A. 企业男员工
B. 企业年满50岁及以上的员工
C. 用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工
D. 企业新进员工
C
3
命题点
平均数、中位数、众数的选取及计算(包头8考，呼和浩特6考，赤峰5考)
4. (2022赤峰4题3分)学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是(　　)
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
B
5. (2023包头3题3分)一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是(　　)
A. 4 B. C. 5 D.
6. (2022包头7题3分)两组数据：3，a，b，5与a，4，2b的平均数都是3.若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
B
拓展训练
7. (2021通辽)为迎接中国共产党成立一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(　　)
A. 平均数，方差 B. 中位数，方差
C. 中位数，众数 D. 平均数，众数
C
8．(2021绥化)近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a(元)分布情况如下表：
支付金额a(元) 02000
仅使用A 36人 18人 6人
仅使用B 20人 28人 2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是(　　)
A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④
A
9. (2021临沂)某学校八年级(2)班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图，这个班参赛学生的平均成绩是________．
第9题图
95.5
4
命题点
方差的计算及意义(包头3考，呼和浩特2考，赤峰3考)
10. (2023赤峰16题3分)如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图．
平均数 中位数 众数
甲 8 8 8
乙 8 8 8
第10题图
你认为甲、乙两名运动员，______的射击成绩更稳定．(填甲或乙)
乙
11. (2023包头16题3分)甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 参赛人数 平均数 中位数 方差
甲 45 83 86 82
乙 45 83 84 135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85分为优秀)；
③甲班成绩的波动比乙班小．
上述结论中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)
①②③
12. (2021包头16题3分)某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10.若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为________．
3.6
5
命题点
数据的收集、整理与分析(包头2022.21，呼和浩特3考)
13. (2022包头21题8分)我国5G技术发展迅速，全球领先．某公司最新推出一款5G产品，为了解用户对该产品的满意度，随机调查了30个用户，得到用户对该产品的满意度评分如下(单位：分)：
83　92　68　55　77　71　73　62　73　95
92　94　72　64　59　66　71　75　69　86
87　79　81　77　68　82　62　77　61　88
整理上面的数据得到尚不完整的频数直方图
(如图)．
第13题图
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)补全频数直方图；
解：(1)根据题意，满意度在70～80之间的有：77、71、73、73、72、71、75、79、77、77，共10个；
满意度在90～100之间的有：92、95、92、94，共4个．
补全频数直方图如解图所示：
第13题解图
(2)参与调查的一个用户说：“我的满意度评分在这30个用户中是中位数”，该用户的满意度评分是________分；
【解法提示】将数据从小到大进行重新排列，则第15个数为73，第16个数为75，∴中位数为 ＝74.
74
(3)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于60分 60分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计使用该公司这款5G产品的1500个用户中，满意度等级为“非常满意”的人数．
(3)1500× ＝200(人)．
答：在1500个用户中满意度等级为“非常满意”的人数大约为200人．
14. (2022呼和浩特21题12分)为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表.
跳绳的次数 频数
60≤x< 4
≤x< 6
≤x< 11
≤x< 22
≤x< 10
≤x< 4
≤x<
(1)已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；
解：(1)补充表格如下：
跳绳的次数 频数
60≤x＜80 4
80≤x＜100 6
100≤x＜120 11
120≤x＜140 22
140≤x＜160 10
160≤x＜180 4
180≤x＜200 3
(2)估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；
(2)∵样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为60－4－6－11－22－10－4＝3，
∴2100× ＝105(人)．
答：估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；
(3)若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数(结果保留整数)及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．
(3)由题意可得：70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170次的有4人，190次的有3人，
则样本平均数＝ ×(4×70＋6×90＋11×110＋22×130＋10×150＋4×170＋3×190)≈127，
人数最多的分组为120≤x＜140，其组中值为130，∴众数为130，从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；
从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多.
15. (2023呼和浩特21题9分)镇政府想了解对王家村进行“精准扶贫”一年来村民的经济情况，统计员小李用简单随机抽样的方法，在全村130户家庭中随机抽取20户，调查过去一年的收入(单位：万元)，从而去估计全村家庭年收入情况．
已知调查得到的数据如下：
1.9　1.3　1.7　1.4　1.6　1.5　2.7　2.1　1.5　0.9
2.6　2.0　2.1　1.0　1.8　2.2　2.4　3.2　1.3　2.8
为了便于计算，小李在原数据的每个数上减去1.5，得到下面第二组数：
0.4 －0.2 0.2 －0.1 0.1 0 1.2 0.6 0 －0.6
1.1 0.5 0.6 －0.5 0.3 0.7 0.9 1.7 －0.2 1.3
(1)请你用小李得到的第二组数据计算这20户家庭的平均年收入，并估计全村年收入及全村家庭年收入超过1.5万元的百分比；已知某家庭过去一年的收入是1.89万元，请你用调查得到的数据的中位数推测该家庭的收入情况在全村处于什么水平？
解：(1)平均年收入为1.5＋ ×(0.4－0.2＋0.2－0.1＋0.1＋0＋1.2＋0.6＋0－0.6＋1.1＋0.5＋0.6－0.5＋0.3＋0.7＋0.9＋1.7－0.2＋1.3)＝1.9(万元)；
全村平均收入为130×1.9＝247(万元)，
超过1.5万元的百分比为 ×100%＝65%；
中位数为从小到大排列后，第10、11户的平均数，
∴中位数为 ＝1.85，
∴某家庭过去一年的收入是1.89万元，则该家庭的收入情况在全村中上游．
(2)已知小李算得第二组数的方差是s，小王依据第二组数的方差得出原数据的方差为(1.5＋s)2，你认为小王的结果正确吗？如果不正确，直接写出你认为正确的结果．
【解法提示】每个数据减去同一个数值，该组数据的方差不变．
(2)不正确，方差应为s.
6
命题点
统计图(表)的分析(包头2021.21，呼和浩特5考，赤峰5考)
16. (2023呼和浩特5题3分)某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍，下面的统计图是该校2018年至2023年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是(　　)
第16题图
A. 2018年至2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B. 2018年至2023年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C. 2018年至2023年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D. 2018年至2023年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
第16题图
故选D
17. (2021赤峰8题3分)五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)．根据图中的信息，下列结论错误的是(　　)
第17题图
A. 本次抽样调查的样本容量是5000
B. 扇形统计图中的m为10%
C. 若五一期间观光的游客有50万人，
则选择自驾方式出行的大约有20万人
D. 样本中选择公共交通出行的有2400人
D
．．
18. (2022赤峰17题3分)某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：
某校60名学生体育测试成绩频数分布表
成绩 划记 频数 百分比
优秀 a 30%
良好 30 b
合格 9 15%
不合格 3 5%
合计 60 60 100%
如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为________人．
240
19. (2021包头21题8分)为了庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲、乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图)，已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a.
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分) 70 80 90 100
人数 3 a b 5
乙组20名学生竞赛成绩统计图
第19题图
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求统计表中a，b的值；
解：(1)根据题意，得 解得
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：(70＋80＋90＋100)÷4＝85(分)．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
(2)不正确，正确的算法：甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：
(70×3＋80×4＋90×8＋100×5)÷20＝87.5(分)；
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
(3)根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为70分，80分，90分，100分的人数占乙组总人数的百分比分别为40%，25%，25%，10%. ∴乙组20名学生竞赛成绩的平均分是：
70×40%＋80×25%＋90×25%＋100×10%＝80.5(分)，
∵87.5>80.5，
∴甲组竞赛成绩较好．

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