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(共65张PPT)
第29课时　与圆有关的
位置关系
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
直线与圆
的位置关系
相交
相切
相离
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆内
点在圆上
切线的
性质与判定
性质与判定
切线长和
切线长定理
三角形
的内切圆
概念
内心
性质
角度关系
与圆有关
的位置关系
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P66、P89～P96；
人教：九上第二十四章P92～P104.
1
考点
点与圆的位置关系
点在圆外 d________r(如点A) 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d
点在圆上 d________r(如点B) 点在圆内 d________r(如点C) ＞
＝
＜
2
考点
直线与圆的位置关系(设圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d)
位置关系 图示 d与r的关系 公共点个数
相交 d______r 有两个公共点
相切 d______r 有且只有1个公共点
相离 d______r 没有公共点
＜
＝
＞
3
考点
切线的性质与判定
1. 性质与判定
性质 圆的切线_____于过切点的半径
判定 1. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(定义)；
2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
3. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
【满分技法】(1)“切点已知，连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直； (2)“切点未知，作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长 垂直
2. 切线长和切线长定理(*选学)
切线长 经过圆外一点的圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
切线长定理* 从圆外一点可以引圆的_____条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有PA_____PB，∠APO＝∠BPO＝ ∠APB
两
相等
＝
4
考点
三角形的内切圆
概念 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
内心 三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的__________的交点
性质 三角形的内心到三角形的三条边的距离_______
角度关系 ∠BOC＝90°＋∠A
【知识拓展】(1)若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC＝ (a＋b＋c)r；(2)如图，在Rt△ABC中，a、b是直角边，c是斜边， 则直角三角形内切圆半径r＝ ，外接圆半径为R＝ 角平分线
相等
重难点分层练
设问突破1　切线的判定
类型一　切点已知，连半径，证垂直
方法一　利用平行证垂直
例1　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，
求证：ED是⊙O的切线．
例1题图
证明：如解图，连接OD，
例1题图
∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，
∴ED⊥DO.
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
方法二　利用等角转化证垂直
例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙C经过点A，交BC于点D，点E是CD上一点，连接AE并延长交⊙C于点F，连接BF，且BF＝BE.求证：BF是⊙C的切线．
例2题图
例2题图
证明：如解图，连接CF，
∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF.
∵∠BEF ＝∠AEC，∴∠BFE＝∠AEC.
∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°.
∵CA＝CF，
∴∠EAC＝∠CFE，
∴∠BFE＋∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°.
∵CF是⊙C的半径，
∴BF是⊙C的切线．
方法三　利用三角形全等证垂直
例3　如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC并延长交AB的延长线交于点P.求证：EC是⊙O的切线．
例3题图
证明：如解图，连接OC，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴OD是AC的垂直平分线，
∵点E在OD的延长线上，
∴EA＝EC.
在△EAO和△ECO中，
∴△EAO≌△ECO(SSS)，
∴∠EAO＝∠ECO.
又∵EA是⊙O的切线，
∴∠ECO＝∠EAO＝90°.
∵OC为⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
例3题图
满分技法
当切点已知时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直．
(1)当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直；
(2)当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角．
类型二　切点未知，作垂直，证相等
例4　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA.求证：AB是⊙O的切线．
例4题图
证明：如解图，连接OE，过点O作OD⊥AB于点D，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE.
∵OE是⊙O的一条半径，
∴OD是⊙O的一条半径，
∴AB是⊙O的切线．
∟
D
满分技法
当切点未知时，通常利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．
设问突破2　求线段长
方法一　利用勾股定理
例5　如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，若BC＝2，CD＝3，求⊙O的半径．
例5题图
解：如解图，连接OD，
例5题图
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°.
设⊙O的半径为r，
则OB＝OD＝r，OC＝OB＋BC＝r＋2，
在Rt△ODC中，
∵OC2＝OD2＋CD2，
∴(2＋r)2＝r2＋32，解得r＝ .
方法二　利用三角函数
例6　如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝ ，求⊙O的直径长．
例6题图
解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，
∵BA与⊙O相切，
∴DA⊥AB，
∴∠DAC＋∠BAC＝90°.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
D
例6题图
D
∴∠DAC＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠BAC.
∵tan∠BAC＝ ，
∴tanD＝ ，即 .
∵AC＝4，
∴CD＝12.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得 .
方法三　利用三角形相似
例7　如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，若BD平分∠ABC，AD＝2 ，求线段CD的长．
解：如解图，连接OD，
例7题图
∵⊙O与AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°.
∵∠A＝30°，
∴OD＝AD·tanA＝2，OA＝ ＝4.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODB，
∴OD∥BC，
∴ ，即 ，解得CD＝ .
例7题图
例8　如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为点D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M.若
，求 的值．
例8题图
解：如解图，连接OC、AC，
∵OC＝OB，BC⊥OP，
∴∠COP＝∠BOP.
∵OP＝OP，
∴△PCO≌△PBO(SAS)，
∴∠OCP＝∠OBP.
例8题图
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，∴∠OCP＝90°.
∵∠OCP＝∠CDO＝90°，
∴∠OCD＋∠COD＝∠CPO＋∠COD，
∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，
∴ ，∴OC2＝OD·OP.
∵ ，
∴设OD＝x，DP＝9x，
∴OP＝10x，∴OC＝ x，
例8题图
在Rt△ODC中，DC＝ ＝3x，AB＝2 ，
∴BC＝6x，
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，AC＝ ＝2x.
∵∠ACM＋∠ACO＝∠OCD＋∠ACO＝90°，
∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，
∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，
∴ ，
∴ .
满分技法
运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角形．
设问突破3　证明线段数量、位置关系
例9　如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E.求证：DE⊥AC.
例9题图
证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.
∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC.
例10　如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
例10题图
证明：如解图，连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA＝OB，
∴PO平分∠APC，即∠APO＝∠BPO，
∵OA⊥AP，∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，
∴∠OPC＝ ∠APC＝ ×60°＝30°，
∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.
又∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，
∴∠DBP＝∠C，
∴DB∥AC.
例10题图
例11　如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB＝AC，连接BC、CO，过点A作AD⊥CO于点D，延长AD，交⊙O于点F，连接BF.求证：AD＝BF.
例11题图
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠F＝90°，∴∠FAB＋∠FBA＝90°.
∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，
∴∠FAB＋∠CAF＝90°，∴∠FBA＝∠CAF.
∵AB＝AC，∠F＝∠CDA＝90°，
∴△CAD≌△ABF(AAS)，∴AD＝BF.
例12　如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.求证：2DE2＝CD·OE.
例12题图
证明：如解图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∵OE∥AC，OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC＝2OE，BE＝CE，
∴DE＝BE＝CE.
例12题图
∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴ ，
∴BC2＝CD·AC，
∴4DE2＝CD·AC.
∵AC＝2OE，
∴4DE2＝CD·2OE，
∴2DE2＝CD·OE.
例13　如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F.若F是AB的中点，求证：AF＝BD＋CE.
例13题图
证明：如解图，连接OD，DE，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°.
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO(SSS)，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD.
例13题图
又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SAS)，
∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE.
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°－∠OEC－∠OED＝180°－2∠OCE.
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°－∠FCB－∠FBC＝180°－2∠FCB＝180°－2∠OCE
∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝BD＋DF＝BD＋CE.
满分技法
1. 证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90°，从而得证．
2. 证明两线段相等的方法：
(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；
满分技法
(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；
(3)若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；
(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明．
设问突破4　角度问题
例14　如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D.求证：∠DBC＝∠OCA.
例14题图
证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠OCA＋∠OCB＝90°.
∵BD为⊙O的切线，∴AB⊥BD，
∴∠DBC＋∠OBC＝90°.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCA.
例15　如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF.求证：∠C＝90°.
例15题图
证明：如解图，连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴ ＝ ，∴∠OBE＝∠DBE.
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC.
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴∠C＝90°.
例16　如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO 的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F，求∠C和∠E的度数．
例16题图
解：如解图，连接OB.
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO∥BC，AB∥OC，
∴∠BOC＝∠OBA＝90°.
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°.
∵AO∥BC，
∴∠AOB＝45°.
∴∠E＝ ∠AOB＝ ×45°＝22.5°.
例16题图
满分技法
证明两角相等的方法：
(1)在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；
(2)利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明．
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
与切线性质有关的证明与计算(包头5考，呼和浩特3考)
1. (2023包头18题3分)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为_____．
第1题图
2. (2021包头18题3分)如图，在 ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则 ABCD的周长为________．
第2题图
3. (2023呼和浩特16题3分)已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120°，则CD＝ r；②若△AOC为正三角形，则CD＝ r；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r；④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为________．
②③④
4. (2022包头24题10分)如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝ ，5BF－5AD＝4.
第4题图
第4题图
(1)求AE的长；
(1)解：如解图，过点C作CH⊥l于点H，
则∠AHC＝90°.
∵直线l为⊙O的切线，A是切点，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠OAH＝90°，∴四边形AOCH是矩形．
∵OA＝OC，∴四边形AOCH是正方形，
∴AH＝CH＝OC＝3.
在Rt△EHC中，EH＝ ＝5，
∴AE＝EH－AH＝2；
∟
H
(2)求cos∠CAG的值及CG的长．
第4题图
∟
H
(2)解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AGC＝∠CAB＝45°.
∵∠GCA＝∠ACF，
∴△GCA∽△ACF，∴∠CAG＝∠CFA.
在Rt△EAD和Rt△EHC中，∵tan∠AED＝tan∠HEC，
∴ ，
即 ，解得AD＝ .
∵5BF－5AD＝4，∴BF＝2.
∵OB＝3，∴OF＝1，
∴在Rt△COF中，CF＝ ，
∴cos∠CAG＝cos∠CFA＝ .
∵△GCA∽△ACF，∴ .
在Rt△AOC中，∵AC＝ ＝3，∴ ，
解得CG＝ .
第4题图
∟
H
5. (2021呼和浩特23题10分)已知AB是⊙O的任意一条直径．
(1)用图①，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
第5题图
(1)证明：如解图，设P是⊙O上点A、B以外任意一点，过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，
若M与圆心O不重合，连接OP，OP′，
在△OPP′中，∵OP＝OP′，∴△OPP′是等腰三角形．
又∵PP′⊥AB，∴PM＝MP′，
则AB是PP′的垂直平分线．
若M与圆心O重合，显然AB是PP′的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P′，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
第5题图
P′
P
M
(2)已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图②.
求证：① BC2＝2BD；
第5题图
(2)①如解图，连接AC，OC，
则∠BCA＝90°，
设⊙O半径为r，由πr2＝4π，可得r＝2，
∴AB＝4.
∵C是切点，∴OC⊥CD.
∵BD⊥CD，∴OC∥BD，
第5题图
∴∠OCB＝∠DBC.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OBC.
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴ ，
∴BC2＝AB·BD＝4BD，
∴ BC2＝2BD；
②改变图②中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2 .
②由①可知∠CBD＝∠OBC与切点C的位置无关，
∵OD⊥BC，
∴BD＝OB.
∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分．
又∵∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴OD＝2 .
第5题图
2
命题点
与切线判定有关的证明与计算
6. (2020赤峰23题12分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D.
第6题图
第6题图
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OP，
∵PA＝PC，
∴ ＝ ，
∴OP⊥AC.
∵PD∥AC，
∴OP⊥PD.
∵OP是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
(2)若tan∠PAC＝ ，AC＝12.求直径AB的长．
第6题图
(2)解：由(1)知∠AHO＝∠DPO＝90°.
∵PA＝PC，∴AH＝HC＝ AC＝6.
∵tan∠PAC＝ ，
∴PH＝ AH＝4.
在Rt△AOH中，∵OA2＝AH2＋OH2，
∴OA2＝36＋(OA－4)2，
解得OA＝ ，∴AB＝2OA＝13.
7. (2021赤峰24题12分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且 ＝ ，连接OE交BC于点F.
(1)试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
第7题图
解：(1)AB是⊙O的切线，理由如下：
如解图，连接OB，
∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵ ＝ ，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠OEB＋∠CBE＝90°，
∴∠ABD＋∠OBE＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
第7题图
(2)若BD＝ ，tan∠CBD＝ ，求⊙O的半径.
第7题图
第7题图
拓展训练
8. (2023通辽)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
第8题图
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OD，
则OD＝OA＝OB，
∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°.
∵BD∥OP，
∴∠ODB＝∠POD，∠B＝∠POA.
又∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB.
∴∠POA＝∠POD.
第8题图
在△PAO和△PDO中，
∴△PAO≌△PDO(SAS)．
∴∠PDO＝∠PAO＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
第8题图
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
(2)解：如解图，连接OD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，PD∥OB.
∵OB＝OA，∴PD＝OA.
∴四边形PAOD是平行四边形．
又∵OD＝OA，∴四边形PAOD是菱形．
又∵∠PAO＝90°，∴四边形PAOD是正方形．
∴∠APO＝45°.
P
D
第8题图(共50张PPT)
第28课时　圆的基本性质
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
确定圆
的条件
弦、弧、
圆心角
的关系
定理
推论
圆内接正多边形
圆的相关
概念及性质
相关概念
性质
垂径定理
及其推论
垂径定理
推论
结论
三角形的
外接圆
圆内接四边形
圆的
基本性质
圆周角定理
及其推论
定理
推论
常见图形
结论
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P65～P88、P97～P99；
人教：九上第二十四章P79～P91、P105～P110.
1
考点
圆的相关概念及性质
1. 相关概念
圆 圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长
的所有点组成的图形，其中定点就是圆心，
定长就是半径．如图，以点O为圆心的圆记
作⊙O，线段OC叫做半径
弧 圆上任意两点间的部分；小于半圆的弧叫做劣弧，如 ；大于半圆的弧叫做优弧，如
弦 连接圆上任意两点的线段，如AC，AB.经过圆心的弦叫做直径，直径是最大的弦，如图中AB
圆心角 顶点在______的角，如∠AOC或∠BOC
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中________
2. 性质
对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；
(2)圆是中心对称图形，______是它的对称中心
旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
圆心
∠CAB
圆心
2
考点
确定圆的条件
圆的确定 1. 圆心确定圆的______，半径确定圆的______；
2. 不在同一直线上的三点确定一个圆
【满分技法】过不在同一直线上的三点作圆，其实质为作这三点构成的三角形的外接圆 3
考点
弦、弧、圆心角的关系
定理 在同圆或______中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也相等
推论 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
2. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
位置
大小
等圆
相等
4
考点
圆周角定理及其推论
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______ 推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等 2. 半圆(或直径)所对的_______是直角，90°的圆周角所对的弦______ 常见图形
结论 ∠APB＝____∠AOB 一半
圆周角
直径
垂径定理及其推论
5
考点
垂径定理 垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径______于弦，并且______弦所对的两条弧
结论 1. ＝ ；
2. ______＝ ；
3. AE＝_____；
4. AB⊥_____；
5. CD是直径．若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”，注意：推论中被平分的弦不是直径
【满分技法】应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长 平分
平分
垂直
平分
BE
CD
6
考点
三角形的外接圆
概念 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆
圆心 三角形三条边的____________的交点 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离_____ 角度关系 ∠BOC＝2∠A 垂直平分线
相等
7
考点
圆内接四边形
概念 四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形
性质 1. 圆内接四边形的对角______，如图，∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝______ 2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的________(和它相邻的内角的对角)，如图∠DCE＝______ 互补
180°
180°
内对角
∠A
8
考点
圆内接正多边形
边心距 如图，设正n边形的边长为a，则边心距
周长 l＝na 面积 中心角 【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍，正方形的边长等于其外接圆半径的 倍 θ＝
S＝ lr＝ nar
证明：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．
求证：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
【自主作答】
证明：如解图，连接OB，OD.
题图
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又∵ 和 所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝ ＝180°.
同理∠ABC＋∠ADC＝180°.
回归教材
重难点分层练
回顾必备知识
例1
一题多设问
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的
直径，点D是⊙O上一点(点C与点D在AB异侧)，连接CD交AB于点E，连接OC、AD、BD.
例1题图
例1题图
(1)∠ACB＝_____；
【解题依据】用到的圆的性质为______________________.
90°
(2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝_____，∠BOC＝_____；
【解题依据】求∠BOC时用到的圆的性质__________________________
_________.
直径所对的圆周角为90°
26°
52°
(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝_____；
同弧所对的圆周角等于圆心
角的一半
27°
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝_____，若点B为 的中点，则∠BCD＝_____，∠COB＝_____，∠OCB＝_____；
【解题依据】第一空用到的圆的性质为______________________.
(5)当CD⊥AB时，若AB＝10，CD＝8，则BE＝____.
【解题依据】用到的圆的性质为__________________________________
_____________.
30°
30°
60°
60°
等弧所对的圆周角相等
2
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦
所对的两条弧
例1题图
提升关键能力
例2
一题多设问
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作
⊙O，分别交BC、AC于点D、E，连接DE.
(1)求证：DE＝BD；
例2题图①
(1)证明：如解图，连接AD、BE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD.
∵∠DBE＝∠CAD，∠DEB＝∠BAD，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；
(2)若AE＝DE，求∠ABD的度数；
(2)解：如解图，连接BE，
例2题图①
∵AE＝DE，
∴ ＝ ，
∴∠ABE＝∠CBE.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
易证△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AB＝CB，
又∵AB＝AC，
∴AB＝CB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
在△ABE和△CBE中
例2题图①
(3)若BC＝6，AB＝5，求AE的长；
例2题图①
(3)解：如解图，
∵AB＝AC，∠ADB＝90°，∴BD＝ BC＝3.
由勾股定理得，AD＝＝4，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴ ×BC×AD＝ ×AC×BE，
即 ×6×4＝ ×5×BE，∴BE＝ .
在Rt△AEB中，由勾股定理得， ；
(4)如图②，连接OD、BE，交于点F.
①求证：OD⊥BE；
例2题图②
(4)①证明：如解图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∴DC＝DB.
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥BE；
②若 ，求 的值；
②解：∵ ，
∴设CE＝2x，OF＝3x，
∵OD⊥BE，
∴BF＝EF.
由①知BD＝CD，
∴DF是△BEC的中位线，
∴FD＝ CE＝x，
例2题图②
∴OD＝OF＋FD＝3x＋x＝4x，
∴AB＝AC＝8x，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝2BD＝ ，
∴ ；
例2题图②
(5)如图③，过点D作DG⊥AC，交AC于点G.
①求证：CD2＝AB·CG；
例2题图③
(5)①证明：如解图，连接AD，
∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠GCD.
∵∠ADB＝∠DGC＝90°，∴△ADB∽∠DGC，
∴ .
由(4)知DC＝DB，
∴ ，
即CD2＝AB·CG；
②若OA＝5，sin∠CAB＝ ，求DG的长；
②解：如解图，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵sin∠CAB＝ ，
∴ .
∵OA＝5，
∴AB＝2OA＝10，
∴BE＝8.
∵DG⊥AC，
∴∠DGA＝90°，
∵CD＝BD，
∴DG∥BE.
∴DG是△BEC的中位线，
∴DG＝ BE＝4；
(6)如图④，过点B作BH⊥AB交AC的延长线于点H.
①求证：∠BAC＝2∠CBH；
例2题图④
(6)①证明：如解图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵BH⊥AB，
∴∠CBH＋∠ABD＝90°，∴∠CBH＝∠BAD.
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD.
∴∠BAC＝2∠CBH；
②若AB＝3，CH＝2，求tan∠CBH的值．
②解：如解图，连接BE，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABE＝90°.
∵BH⊥AB，∴∠ABE＋∠EBH＝90°，
∴∠BAC＝∠EBH.
由①知∠BAC＝2∠CBH，
∴∠EBH＝2∠CBH，∴∠EBC＝∠CBH.
∵AB＝AC＝3，CH＝2，∴AH＝AC＋CH＝5.
例2题图④
在Rt△ABH中， ，
∵ AB·BH＝ AH·BE，
∴ ，
在Rt△EBH中， ，
∴CE＝EH－CH＝ ，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝ ，
∴tan∠CBH＝tan∠EBC＝ .
例2题图④
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
圆周角定理及其推论的相关计算(包头3考，呼和浩特
2考，赤峰4考)
1. (2021赤峰10题3分)如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是 上任意一点，连接 BE、CE.则∠BEC的度数为(　　)
第1题图
A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
B
2. (2022赤峰11题3分)如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(－4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点，则∠CDO的正弦值是(　　)
第2题图
A. B. － C. D.
A
3. (2023包头24题10分)如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2 ，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.
(1)求⊙O半径的长；
第3题图
(1)解：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC.
∴∠MBA＝∠MBC＝ ∠ABC＝60°，
∴∠ACM＝∠ABM＝60°，∠MAC＝∠MBC＝60°，
∴在△AMC中，∠AMC＝60°，
∴△AMC是等边三角形．
∴AO＝CO，∠AOC＝2∠AMC＝120°.
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AH＝CH＝ AC＝ .
∴在Rt△AOH中， ，
∴⊙O的半径长为2；
如解图，连接OA、OC，过点O作OH⊥AC于点H.
∟
第3题图
(2)求证：AB＋BC＝BM.
(2)证明：如解图，在BM上截取BE＝BC，连接CE，
∟
E
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC为等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD＋∠DCE＝60°.
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM＋∠DCE＝60°.
∴∠ECM＝∠BCD.
第3题图
∟
E
由(1)知△AMC为等边三角形，
∴AC＝MC，
∴△ACB≌△MCE(SAS)，
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
第3题图
4. (2021包头24题10分)如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交 于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF.
(1)求证：∠GAD＋∠EDF＝180°；
第4题图
(1)证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°.
∵FG⊥AB，∴∠AHF＝90°，
∴∠AED＝∠AHF，∴DE∥GF，
∴∠EDF＋∠DFG＝180°.
∵∠GAD＝∠DFG，∴∠GAD＋∠EDF＝180°；
第4题图
(2)若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
(2)解：如解图，连接OF，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°.
∵∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，∴AD＝CD.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD＝90°，
∴DF⊥AC，∴AF＝CF.
第4题图
又∵OA＝OD，
∴OF是△ADC的中位线，∴OF∥DC，
∴∠AOF＝∠ADC＝90°，
∴∠MFO＋∠FMO＝90°.
∵∠AHM＝90°，∴∠MAH＋∠AMH＝90°.
∵∠FMO＝∠AMH，∴∠MFO＝∠MAH，
∴∠MFO＝∠BAD.
又∵∠FOM＝∠ADB＝90°，
∴△FMO∽△ABD，∴ ，
第4题图
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝ ＝2，AD＝4，
∴BD＝2，OF＝OA＝2，∴ ，
∴MO＝1，∴AM＝1，
∴在Rt△MOF中， .
∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO，
∴△AHM∽△FOM，
∴ ，即 ，∴HM＝ ，
∴HF＝HM＋MF＝ .
拓展训练
5. (2021荆州)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数
是(　　)
第5题图
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
C
6. (2023本溪)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝____．
第6题图
2
命题点
垂径定理的相关计算
7. (2023赤峰10题3分)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(　　)
第7题图
A. 30° 　　　B. 40°
C. 50° 　　　D. 60°
D
8. (2021玉林)学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”，下列判断正确的是(　　)
拓展训练
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小熹说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
D
9. (2021鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图①，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图②，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)
　第9题图
A. 1米 B. (4－ )米
C. 2米 D. (4＋ )米
B
3
命题点
三角形的外接圆
10. (2020赤峰10题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为(　　)
　第10题图
A. 3π 　　　B. 4π C. 6π 　　　D. 9π
D
4
命题点
正多边形与圆(呼和浩特5考)
11. (2021呼和浩特8题3分)如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，
根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如
果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便
可估计π的值，下面d及π的值都正确的是(　　)
A. ，π≈8sin22.5° B. ，π≈4sin22.5°
C. ，π≈8sin22.5° D. ，π≈4sin22.5°
第11题图
C
12. (2020呼和浩特23题10分)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五
边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比
≈0.618.如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．(其他可同理得出)
(1)求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；
第12题图
【解法提示】∵∠BOD＝∠BOC＋∠COD
＝72°＋72°＝144°，∴∠BAD＝ ∠BOD＝72°.
∴∠BNA＝180°－∠BAD－∠ABE＝72°.
∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形．
第12题图
(1)证明：如解图，连接O与正五边形各顶点，
∵在正五边形中，∠AOE＝360°÷5＝72°，
∴∠ABE＝ ∠AOE＝ ×72°＝36°，
同理∠BAC＝ ∠BOC＝ ×72°＝36°，
∴AM＝BM，
∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°.
△BAN为等腰三角形；
(2)求证： ，且其比值k＝ ；
第12题图
(2)证明：如解图，
∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝ ∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BEA，
∴ .
∵AB＝BN，∴ .
设BM＝y，AB＝x，
则AM＝AN＝BM＝y，AE＝BN＝AB＝x.
∵∠AMN＝∠MAB＋∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴ ，即 ，
两边同时除以x2，得 ，设 ＝t，
；
∴
解得t＝ 或 (舍去)，
则t2＋t－1＝0，
则y2＝x2－xy.
第12题图
(3)由对称性知AO⊥BE，由(1)(2)可知 也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．
(3)解：∵∠MAN＝36°，
∴根据对称性可知∠MAH＝∠NAH＝ ∠MAN＝18°.
又∵AO⊥BE，
∴sin18°＝sin∠MAH＝
第12题图(共18张PPT)
第30课时　与圆有关的计算
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
圆锥的
相关计算
圆的周长
弧长
圆的面积
扇形面积
弧长、扇形
面积相关计算
阴影部分
面积的计算
规则图形
不规则图形
与圆有关的计算
考点精讲
【对接教材】北师：九下第三章P100～P102；　
人教：九上第二十四章P111～P120.
1
考点
弧长、扇形面积相关计算
内容 公式 备注
圆的周长 C＝______ R为圆(扇形)的半径；
n°为弧所对的圆心角的度数；
l为扇形的弧长
弧长 l＝______ 圆的面积 S＝_____ 扇形面积 S扇形＝_______＝ l·R 2πR
πR2
针对训练
1. 已知一个扇形的面积为9π，其圆心角为90°，则扇形的弧长为____．
2. (人教九上P115习题24.4第1题)(1)75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，则此弧所在圆的半径是____cm；
(2)一个扇形的弧长是20 π cm，面积是240 π cm2，则扇形的圆心角是_______.
3π
6
150°
2
考点
圆锥的相关计算
相关计算 1. 圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线l、底面圆半径r和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系为r2＋h2＝l2； 2. 圆锥的底面圆周长：C＝2πr； 3. 圆锥的底面圆面积：S＝πr2
【满分技法】(1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)圆锥的母线长l为扇形的半径；(2)圆锥底面圆的周长为扇形的弧长 针对训练
3. (人教九上P115习题24.4第1题)用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥
的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为_____.
3
考点
阴影部分面积的计算
规则图形 如扇形、圆、特殊四边形等，可直接利用公式计算
不规则图形 采用转化的数学思想，把不规则图形的面积采用“和差法”或“等积转化法”转化为规则图形的面积
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
弧长、扇形面积的计算
1. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC∶∠AOD∶∠DOB
＝2∶7∶11，CD＝4，则 的长为(　　)
A. 2π　　　　　　 B. 4π
C. 　　　　 　 D. π
第1题图
D
拓展训练
2. 如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走
(　　)米
第2题图
A. 6π－6
B. 6π－9
C. 12π－9
D. 12π－18
D
3. 一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5 cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为_______．
创新考法
4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 上，∠BAC＝22.5°，则 的长为____．
第4题图
40 cm
圆锥的相关计算
2
命题点
5. 已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为______(用含π的代数式表示)，圆心角为_____度．
拓展训练
6. 用一块弧长16π cm的扇形铁片，做一个高为6 cm的圆锥形工件侧面(接缝忽略不计)，那么这个扇形铁片的面积为_____cm2.
12π
216
80π
7. 如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)．且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥．则圆
锥的底面圆半径是____．
第7题图
3
命题点
阴影部分面积的计算
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C.以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F.则图中阴影部分的面积为
(　　)
A. 8－π B. 4－π
C. 2－ D. 1－
第8题图
D
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是(　　)
第9题图
A. π－1 B. 4－π
C. D. 2
10. (2020呼和浩特11题3分)如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，
则扇形BDE的面积为_____．
第10题图
D
11. 如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
第11题图
(1)证明：如解图，连接OC、OD.
∵C、D是半圆AB的三等分点，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BOC，∴OC∥AD.
又∵CE⊥AE，∴CE⊥OC.
又∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
第11题图
(2)解：如解图，连接CD，
∵OC＝OD，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠BOC＝60°，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S扇形COD＝
拓展训练
12. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”， 该“莱洛三角形”的面积为________平方厘米．(圆周率用π表示)
第12题图

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