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(共35张PPT)
第7课时 一次二次方程及其应用
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
一元二次方
程及其应用
一元二次方
程根的判别式
概念
根的情况与
判别式的关系
一元二次方程
根与系数的关系
根与系数的关系
常见的转化
模型
一元二次方程
的实际应用
平均增长（下降）
率问题
几何图形面积问题
每每问题
循环赛制问题
一元二次
方程及
其解法
概念及一般形式
解法
公式法
因式分解法
直接开平方法
配方法
考点精讲
【对接教材】北师：九上第二章P30～P58；　
人教：九上第二十一章P1～P26.
1
考点
一元二次方程及其解法
1. 概念及一般形式
概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_______的方程
一般形式
【满分技法】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 2
2. 解法
解法 适用情况
公式法 适用于所有的一元二次方程，求根公式为x＝____________(b2－4ac≥0)
【易错警示】(1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式；
(2)将a，b，c代入公式时应注意其符号
直接开平方法 (1)方程缺少一次项，即ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)或ax2＝c(a≠0，ac>0)；
(2)(x＋n)2＝p(p≥0)的方程
解法 适用情况
配方法 适用于所有的一元二次方程，其中当二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，用配方法更简单．具体步骤如下：
(1)若二次项系数不为1，先把系数化为1；
(2)把常数项移到方程的右边，即x2＋px＝－q；
(3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2＋px＋( )2＝－q＋( )2；
(4)把方程整理成(x＋ )2＝－q＋( )2的形式；
(5)运用直接开平方法解方程
解法 适用情况
因式分解法 1.缺少常数项，即ax2＋bx＝0(a≠0)；
2.一元二次方程的右边为0，左边易于分解成两个一次因式的乘积；
3.方程两边含有相同的因式
注意：方程两边不能同时除以含未知数的因式，避免丢根
针对训练
1. 解方程：2x2－6x＝－4.
(1)二次项系数化为1，得____________；
(2)将(1)中方程用配方法化为(x＋b)2＝a的形式，并解方程；
x2－3x＝－2
解：(2)x2－3x＋ ＝－2＋ ，
(x－ )2＝ ，
x－ ＝± ，
∴x1＝2，x2＝1；
(3)将(1)中方程化为(x＋m)(x＋n)＝0的形式，并解方程；
(3)解：x2－3x＋2＝0，
(x－1)(x－2)＝0，
∴x1＝2，x2＝1；
(4)请用公式法解(1)中方程．
(4)解：x2－3x＋2＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝2，x2＝1；
2
考点
一元二次方程根的判别式
概念 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式
根的情况与判别式的关系 1. b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根；
2. __________________ 方程有两个相等的实数根；
3. __________________ 方程无实数根
【满分技法】根的判别式的作用：(1)直接判断或证明一元二次方程根的情况； (2)根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围(注：二次项系数不为0) b2－4ac＝0　
b2－4ac<0
针对训练
2. 已知关于x的一元二次方程kx2－5x＋6＝0，回答下列问题：
(1)若方程无实数根，则k的取值范围是________；
(2)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________________________________________________________________；
(3)若方程有实数根，则满足条件的最大整数k的值为________________；
(4)若方程有两个相等的实数根，则k的值是________．
k>
k>
且k≠0
1　
3
考点
(*选学)一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________
常见的转化模型 1. ＋ ＝ ；
2. ＋ ＝ ＝ ；
3. (x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
针对训练
3. 若x1，x2是一元二次方程x2－kx＋k－1＝0的两个实数根，且x1＋x2＝3，则k＝________．
4. 已知一元二次方程x2－3x－5＝0的两个根分别是x1，x2，那么 ＋ 的值是________.
3
19
4
考点
一元二次方程的实际应用
平均增长(下降)率问题 1. 增长(下降)率＝ ×100%；
2. 设a是基础量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则________________，当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则________________
几何图形面积问题 设矩形的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积：　
　　
　　
　S阴影＝(a－2x)(b－2x)　 S阴影＝(a－x)(b－x)　　S阴影＝(a－x)(b－x)
a(1＋m)2＝b　
a(1－m)2＝b
每每问题 1. 常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量；
2. 单价每涨a元，少卖b件．若涨价x元，则少卖的数量为 ·b件
循环赛制问题 1. 单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则 ＝m；
2. 互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则
x(x－1)＝m
【温馨提示】解决实际应用题，要注意检验解出来的值是否符合实际 针对训练
5. 某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则根据题意列方程为_______________．
6. 在某次聚会上，每两人互送一件礼物，所有人共送礼物42件，设参加这次聚会的有x人，则根据题意可列方程为_______________．
7. 某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．若设每件童装降价x元，则此时每件盈利________元，此时可以售出________件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则可列方程为________________________________________________________________________.
25(1－x)2＝16
x(x－1)＝42
40－x
20＋2x
(40－x)(20＋2x)＝1200
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
一元二次方程及其解法
1. 一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为(　　)
A. (x－4)2＝18 B. (x－4)2＝14
C. (x－8)2＝64 D. (x－4)2＝1
A
2. 用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16的实数根．
解：原方程可化为2x2－9x－18＝16，
∴x2－ x＝17，
∴(x－ )2＝17＋( )2，
∴x－ ＝± ，
解得x1＝ ，x2＝ .
3. 小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
小霞：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0，
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0.
小敏：
两边同除以(x－3)，
得3＝x－3，
得x＝6.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
×
×
创新考法
解：小敏：×；小霞：×．
正确的解答方法：
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.
则x－3＝0或3－x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝6.
2
命题点
一元二次方程根的判别式
4. 若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是(　　)
A. －1 B. 0 C.1 D.
5. 方程(k－1)2x2＋(k＋1)x＋ ＝0有实数根，则实数k的取值范围是(　　)
A. k≤0 B. k≥0且k≠1 C. 0＜k＜1 D. k≥0
D
D
拓展训练
6. 已知关于x的一元二次方程x2－mnx＋m＋n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
第6题图
A
7．已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(1)解：由题意可得，b2－4ac＝1＋4m>0，解得m＞－ ，
∴m的取值范围为m>－ ；
第7题图
创新考法
(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程
x2＋x－m＝0的解．
(2)解：由题图知x2＋x－m＝0的一个根为1，
∴12＋1－m＝0，解得m＝2，
∴一元二次方程为x2＋x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝－2，
∴一元二次方程x2＋x－m＝0的解为x1＝1，x2＝－2.
第7题图
3
命题点
一元二次方程根与系数的关系
8. 若x1，x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则 －4 ＋17的值为(　　)
A. －2 B. 6 C. －4 D. 4
A
9. 已知方程x2－2021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则
－ 的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 2021 D. －2021
10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝________．
B
1
拓展训练
4
命题点
一元二次方程的实际应用
11. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率，设月平均增长率为x，根据题意列方程为(　　)
A. 400(1＋x2)＝900 B. 400(1＋2x)＝900
C. 900(1－x)2＝400 D. 400(1＋x)2＝900
D
12. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为
(　　)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
拓展训练
13. 如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______________________________________．
第13题图
(12－x)(8－x)＝77(或x2－20x＋19＝0)
14．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：“今有一门， 高比宽多6尺8寸， 门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？”(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，
设门高AB为x尺，
根据题意，可列方程为___________________．
第14题图
x2＋(x－6.8)2＝102
15. 列方程(组)解应用题．
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
解：设在原销售价的基础上降低x元，
由题意，得(38－x－22)(160＋ ×120)＝3640，
解得 x1＝9或 x2＝3，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38－9＝29(元)，
答：这种水果的销售价为每千克29元．
16．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(1)解：设亩产量的平均增长率为x，
根据题意，得700(1＋x)2＝1008，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)，
答：亩产量的平均增长率为20%；
(2)按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
(2)解：第四阶段的亩产量为1008×(1＋20%)＝1209.6(公斤)，
∵1209.6>1200，
∴他们的目标可以实现．(共32张PPT)
第8课时 分式方程及其应用
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
概念
一般步骤
基本思想
解分式
方程
分式方程的
实际应用
行程问题
工程问题
购买（盈利）问题
分式方程
及其应用
考点精讲
【对接教材】北师：八下第五章P125～P130；　　 人教：八上第十五章P149～P155.
1
考点
解分式方程
概念 分式方程：分母中含有________的方程增根：使分式方程分母为________的根
基本思想 将分式方程化为________方程
一般步骤
口诀：一化、二解、三检验、四写根
未知数
0
整式
最简公分母
【满分技法】分式方程无解与增根为两个概念．分式方程无解有两种情况：(1)分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解；(2)分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但所求的解使最简公分母为0，则所求的解为原分式方程的增根，方程无解
2
考点
分式方程的实际应用
行程问题 ＝时间
工程问题 ＝工作时间，特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时 ＝工作效率
购买(盈利) 问题 ＝数量； ＝单价
【满分技法】双检验——(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题 重难点分层练
例1　解方程： － ＝2.
解：x＋2＝①___________，(去分母，方程两边同乘②__________)
x＋2＝③______________，(去括号)
5x＝④____________，(移项、合并同类项)
x＝⑤____________，(系数化为1，方程两边同除以⑥_______)
检验：⑦______________________________，
∴x＝⑧______是原分式方程的解．
2(6－2x)
6－2x
12－4x
10
2
5
当x＝2时，6－2x＝2≠0
2
回顾必备知识
解分式方程时，需注意以下三点：
1．最简公分母与分母互为相反数时注意符号；
2．常数项或整式部分也要乘最简公分母；
3．注意检验，检验解出的根是否会使最简公分母为零．
易错警示
例2 某校为了落实让中华传统体育在校园绽放光彩，计划在课余时间开设象棋班和围棋班．
(1)现需购买一批数量相同的象棋和围棋供兴趣班使用①，其中购买象棋用了350元②，购买围棋用了630元③，若每副围棋比每副象棋贵8元④，求每副围棋和象棋各是多少元？
一题多设问
提升关键能力
【分层分析】设每副象棋x元，则根据题干④可得每副围棋______元，根据题干②可得购买象棋的数量为________，根据题干③可得购买围棋的数量为________，根据题干①可列等量关系式为____________．
x＋8
解：(1)设每副象棋x元，则每副围棋(x＋8)元，
由题意，得 ，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋8＝18(元)，
答：每副象棋10元，每副围棋18元；
(2)由于学生积极参与，全校有150人报名参加围棋班⑤，120人报名参加象棋班⑥，学校计划平均分成若干个小组，已知围棋班一个小组的人数比象棋班一个小组的人数多50%⑦，结果围棋班比象棋班少5组⑧，求围棋班一个小组的人数．
【分层分析】设象棋班一个小组的人数为x人，则根据题干⑦可得围棋班一个小组的人数为____人，根据题干⑤可得围棋班小组的数量为________，根据题干⑥可得象棋班小组的数量为___________，
根据题干⑧可列等量关系式为_______________________________．
1.5x
解：(2)设象棋班一个小组的人数为x人，则围棋班一个小组的人数为1.5x人，
由题意，得 ＝5，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝6(人)，
答：围棋班一个小组的人数为6人；
(3)为了提高围棋水平，小明和邻居小刚两人相约周末去市少年宫学习围棋，已知小明家与市少年宫的距离为4800米⑨，出发时，由于小明临时有事，小刚骑自行车先走，10分钟后小明乘公交车出发，结果小明比小刚提前5分钟到达⑩，已知公交车的平均速度是骑自行车平均速度的2倍 ，求小刚的平均速度．
【分层分析】设小刚的平均速度为x米/分钟，则根据题干 可得小明的平均速度为________米/分钟，根据题干⑨可得小刚到达少年宫所用的时间为________，小明到达少年宫所用的时间为________，根据题干⑩可列等量关系式为_____________________________．
2x
解：(3)设小刚的平均速度为x米/分钟，则小明的平均速度为2x米/分钟，
由题意，得 ，
解得x＝160，
经检验，x＝160是原分式方程的解，且符合题意，
答：小刚的平均速度为160米/分钟．
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
解分式方程
1. (2023包头14题3分)分式方程 ＋ ＝1的解是________．
2. (2022呼和浩特13题3分)分式 与 的最简公分母是________，方程 － ＝1的解是_________．
x(x－2)
x＝－4
3．解分式方程： － ＝0.
解：方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得3x＋3－x－3＝0，
解得x＝0，
检验：当x＝0时，(x－1)(x＋1)＝－1≠0，
∴x＝0是原分式方程的解．
拓展训练
4．(2023广西北部湾经济区)解分式方程： ＝ ＋1.
解：方程两边同乘以(3x＋3)，得3x＝x＋3x＋3，
解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，3x＋3＝－6≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解．
5．解分式方程： － ＝1.
解：方程两边同乘以x(x－1)，得(x＋1)(x－1)－3x＝x(x－1)，
解得x＝－ ，
检验：当x＝－ 时，x(x－1)＝ ≠0，
∴x＝－ 是原分式方程的解．
2
命题点
分式方程的实际应用(包头3考，呼和浩特2021.22，赤峰2考)
6. (2021包头23题10分)小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
(1)求小刚跑步的平均速度；
解：(1)设小刚跑步的平均速度为x米/分钟，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分钟，
根据题意，得 ＋4.5＝ ，
解得x＝150，
经检验，x＝150是原分式方程的解，且符合题意，
∴小刚跑步的平均速度为150米/分钟；
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
解：(2)不能．理由如下：
由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分钟，
∴小刚跑步回家所用时间为 ＝12(分钟)，骑自行车所用时间为12－4.5＝7.5(分钟)，
∵小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12＋7.5＋3＝22.5(分钟)．
∵22.5＞20，∴小刚不能在上课前赶回学校．
7. (2021泰安)接种新冠疫苗是阻断新型冠状病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人？
拓展训练
解：(1)设该厂当前参加生产的工人有x人，
由题意，得 ＝ ，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意．
答：该厂当前参加生产的工人有30人；
(2)生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
解：(2)每人每小时的生产数量为16÷8÷40＝0.05(万剂)，
设还需要生产y天才能完成任务，
由题意，得4×15＋(30＋10)×10×0.05×y＝760，
解得y＝35，
∴该厂共需35＋4＝39(天)，
答：该厂共需要39天才能完成任务．
8. 某公司会计欲查询乙商品的进价(如下表)，发现进货单已被墨水污染．
商品 进价(元/件) 数量(件) 总金额(元)
甲 7200
乙 3200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%；
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
(1)乙商品的进价是多少？
解：(1)设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1＋50%)x元/件，
根据题意，得 － ＝40，
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙商品的进价为40元/件．
(2)请你帮会计算出甲商品的进价及甲、乙商品的进货数量．
解：(2)甲商品的进价：(1＋50%)×40＝60(元/件)，
甲商品的进货数量： ＝120(件)，
乙商品的进货数量： ＝80(件)．
答：甲商品的进价为60元/件，甲、乙商品的进货数量分别为120件、80件．
9．(2021江西)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．
(1)求这种商品的单价；
解：(1)设这种商品的单价是x 元/件，
根据题意，得 ＝ －10，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：这种商品的单价是60 元/件；
创新考法
(2)甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是________元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是________元/件．
48
50
【解法提示】甲第一次购买的数量为2400÷60＝40(件)，第二次购买的数量为2400÷(60－20)＝60(件)，两次购买这种商品的平均单价为(2400＋2400)÷(60＋40)＝48(元/件)；乙第一次购买的数量为3000÷60＝50件，第二次购买的数量为50件，两次购买这种商品的平均单价为[3000＋(60－20)×50]÷(50＋50)＝50(元/件)．
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果， 建议按相同________加油更合算(填“金额”或“油量”)．
金额(共31张PPT)
第9课时 一次不等式(组)及一次不等式应用
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
一次不等式
（组）及一次
不等式的应用
一元一次不等式组
的解法及其解集表示
不等式的
基本性质
性质1
性质2
性质3
一元一次不等
式的解法及其
解集表示
一般步骤
解集表示
列不等式解
应用题的步骤
找
设
列
解
答
考点精讲
【对接教材】北师：八下第二章P36～P63；　
人教：七下第九章P113～P120、P122～P133.
1
考点
不等式的基本性质
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．即如果a>b，那么a±c＞b±c 应用：解不等式中的移项
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向________.即如果a>b，c>0，那么ac____bc(或 __ ) 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1)
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向________.即如果a＞b，c＜0，那么ac____bc (或 ___ ) 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1)
【易错警示】运用不等式性质3时，不等号方向要改变 不变
>
>
改变
<
<
2
考点
一元一次不等式的解法及其解集表示
一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变) 解集表示 x________
________
________
【易错警示】在数轴上表示解集时，要注意“<”和“＞”在数轴上表示为空心圆圈，“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点 x>a
x≤a
x≥a
3
考点
一元一次不等式组的解法及其解集表示
类型(a>b) 在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大 ________
同小取小 x大小小大取中间 ________
大大小小取不了 无解
x≥a
b【满分技法】解一元一次不等式组的一般解答步骤：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再在数轴上表示出各不等式的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等式组的解集
4
考点
列不等式解应用题的步骤
找 找出题目当中的不等关系(正确理解表示不等关系的关键词的意义，例如：“至少”(≥)、“最多”(≤)、“不低于”(≥)、“不高于”(≤)、“不大于”(≤)、“不小于”(≥)等)
设 设未知数
列 根据不等关系，列出不等式
解 解不等式
答 根据题意作答(要注意所取值要符合实际意义，例如：人数必为正整数，当x表示人数且x≥3 时，则x的最小值为4，即至少有4人)
【满分技法】题干中求至多、至少等时，设未知数时不能出现至多、至少等关键词 重难点分层练
例1　解不等式组
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
x≥－1
x＜2
回顾必备知识
【解题依据】(1)用到的不等式性质为______________．
【解题依据】(2)用到的不等式性质为______________．
性质1、性质3
性质1、性质3
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)该不等式组的解集为______________；
(5)原不等式组的整数解为______________.
例1题图
－1≤x＜2
－1，0，1
一、根据不等式组的解集求字母的取值范围
一题多设问
例2 已知不等式组
(1)若该不等式组无解，则a的取值范围为______；
(2)若该不等式组的解集为－4≤x＜1，则a的值为________；
(3)若该不等式组有且仅有2个整数解，则a的取值范围为________．
a≥8
－2
2＜a≤4
提升关键能力
二、一次不等式组的实际应用
例3　某工艺品商店采购员要到厂家批发采购A、B两种工艺品共100个①，付款总额不得超过11800元②，已知两种工艺品厂家的批发价和商店的零售价如下表，试解答下列问题：
品名 批发价(元/个) 零售价(元/个)
A种工艺品 130 160
B种工艺品 100 120
(1)该采购员最多可采购A种工艺品多少个？
【分层分析】设采购员采购A种工艺品x个，根据题干①可得采购B种工艺品________个，根据题干②可列不等式________________________．
解：(1)设采购员采购A种工艺品x个，则采购B种工艺品(100－x)个，
由题意，得130x＋100(100－x)≤11800，
解得x≤60，
答：采购员最多可采购A种工艺品60个；
100－x
130x＋100(100－x)≤11800
(2)若该商店把100个工艺品全部以零售价售出③，为使商场获得利润不低于2585元④，则最少采购A种工艺品多少个？
【分层分析】设采购A种工艺品y个，根据题干③可知采购B种工艺品__________个，根据题干④可列不等式________________________________________________．
100－y
(160－130)y＋(120－100)(100－y)≥2585
解：(2)设采购A种工艺品y个，则采购B种工艺品(100－y)个，
根据题意，得(160－130)y＋(120－100)(100－y)≥2585，
解得y≥58.5，
∵工艺品的个数为整数，
∴y最小取59.
答：最少采购A种工艺品59个．
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
解一元一次不等式(组)
1. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　　)
C
2. 已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：
解：令
解不等式①，得x＞－2，解不等式②，得x＞4－6m，
∵m是小于0的常数，
∴4－6m＞0＞－2.
∴不等式组的解集为x＞4－6m.
3. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ＞ －1
解： 2(2x－1)＞3(3x－2)－6---------------------------------第一步
　　 4x－2 ＞9x－6－6---------------------------------------第二步
　　4x－9x ＞－6－6＋2------------------------------------第三步
　　－5x ＞－10-----------------------------------------------第四步
　　x ＞2--------------------------------------------------------第五步
创新考法
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________________(运算律)进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________________________________________________；
乘法分配律(或分配律)
五
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
x＜2.
不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变(或不符合不等式的性
质3)
2
命题点
不等式(组)解的应用
4. 定义新运算“ ”，规定：a b＝a－2b.若关于x的不等式x m＞3的解集为x＞－1，则m的值是(　　)　　　　 　　　　　 　　　　
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
5. 已知关于x的不等式组
无实数解，则a的取值范围是(　　)
A. a≥－ B. a≥－2 C. a>－ D. a>－2
B
D
6. 若不等式 －1≤2－x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x－1)＋5＞5x＋2(m＋x)成立，则m的取值范围是(　　)
A. m＞－ B. m＜－ C. m＜－ D. m＞－
7.已知不等式组 的解集为x>－1，则k的取值范围是________．
C
k≤－2
3
命题点
一元一次不等式的实际应用
8. 为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么
解：设去年A品牌足球售价为x元/个，则去年B品牌足球售价为(x＋12)元/个，由题意，得 ＝ ，解得x＝48，
经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意，
∴去年A品牌足球售价为48元/个，B品牌足球售价为60元/个．
设今年购进B足球的个数为a个，则购进A品牌足球为50－a个，
由题意，得(50－a)×48×(1＋5%)＋a×60×(1－10%)≤(2800＋2440)× ，解得a≤ ＝33 ，
答：学校最多可购买33个B品牌足球．
学校最多可购买多少个B品牌足球？
9. 甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500 m，甲队比乙队少用5天．
(1)求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
解：(1)设乙工程队每天修路x m，则甲工程队每天修路2x m，根据题意，得 － ＝5，解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝100(m)，
答：甲、乙两支工程队每天各修路100 m、50 m；
(2)我市计划修建长度为3600 m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？
解：(2)设安排乙工程队施工y天，则安排甲工程队施工
＝(－0.5y＋36)天，
根据题意，得0.5y＋1.2(－0.5y＋36)≤40，
解得y≥32，
答：至少安排乙工程队施工32天.
10. 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
第10题图
解：(1)设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x＋1)个，
根据题意，得10x－0.85(x＋1)×10＝17，
解得x＝17.
答：小明原计划购买文具袋17个；
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
解：(2)设小明可购买钢笔y支，则签字笔可买(50－y)支，
根据题意，得[8y＋6(50－y)]×0.8≤400－8.5×(17＋1)，
解得y≤4 ，
∴y可取最大整数为4.
答：小明最多可购买4支钢笔．
. . . .
. . . . .
11.为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
(1)求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
解：(1)设《西游记》每本的售价为x元，《水浒传》每本的售价为y元，
根据题意，得 解得
答：《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元；
(2)青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？
(2)根据题意可知《三国演义》每本的售价为50元/本，《红楼梦》每本的售价为70元/本，
设这次购买《西游记》a本，
则这次购买《水浒传》50＋40＋a－60－30＝a本，
《三国演义》50＋40＋a＝(90＋a)本，《红楼梦》50＋40＋a＝(90＋a)本，
由题意，得60a＋60a＋50(90＋a)＋70(a＋90)≤32000，
解得a≤88 .
∵a为整数，∴a的最大值为88，
答：这次最多购买《西游记》88本．(共33张PPT)
第6课时 一次方程(组)
及其应用
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
一次方程
（组）
及其应用
等式的基本
性质及其在解
方程中的应用
性质1
性质2
概念
解一元一次方
程的一般步骤
一般形式
一元一次方
程及其解法
二元一次方
程（组）
及其解法
相关概念
解题方法
基本思想
一次方程（组）
的实际应用
列方程（组）解
应用题的一般步骤
常见类型
及关系式
考点精讲
【对接教材】北师：七上第五章P129～P153，八上第五章P102～P134；
人教：七上第三章P77～P112，七下第八章P87～P112.
1
考点
等式的基本性质及其在解方程中的应用
性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如果a＝b，那么a±c＝______ 应用：解方程中的移项
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a＝b，那么________＝bc；如果a＝b，那么 ＝________(c≠0) 应用：解方程中的去分母或系数化为1
b±c
ac
2
考点
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数是____的整式方程
一般形式 ax＋b＝0(a、b是常数，且a≠0)
解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母：给方程两边同乘各分母的____________，不能漏乘不含分母的项(若未知数的系数含有分母，则先去分母)；
2. 去括号：(1)不要漏乘括号内的任何项；
(2)括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；
1
最小公倍数
解一元一次方程的一般步骤 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，注意移项时一定要改变符号；
4. 合并同类项：把方程化为ax＝－b(a，b为常数，且a≠0)的形式；
5. 系数化为1：方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝－
3
考点
二元一次方程(组)及其解法
相关概念 1. 二元一次方程：方程含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的整式方程；
2. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来的方程组
基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
两
1
解题方法 1. 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程；
适用类型：
(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；
(2)一个方程的常数项为0.
2. 加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程；
适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍
4
考点
一次方程(组)的实际应用
1. 列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列 找出适当等量关系，列方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所解答案是否正确且是否符合题意
答 解答题需要作答，注意单位名称
2. 常见类型及关系式
购买问题 总价＝单价×数量；
总价＝甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量
总数量＝甲数量＋乙数量
打折销售问题 售价＝标价×折扣(折扣：商品购销中的让利打折，几折就是现价占原价的十分之几．如打8折即“标价×0.8”)
销售额＝售价×销量
利润＝售价－进价
利润率＝ ×100%
工程问题 工作总量＝工作效率×________________
工作总量＝甲工作量＋乙工作量
行程问题 基本公式：路程＝速度×时间
1. 相遇问题(相向而行)
全路程＝甲走的路程____乙走的路程
2. 追及问题
(1)同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
(2)同时不同地出发：前者走的路程________两者间的距离＝追者走的路程
工作时间
＋
＋
重难点分层练
例1　解方程组 .
解法一：②×3，得________________③，
③＋①，得________，
解得________，
将x＝________代入①，得___________，
解得________，
∴原方程组的解为____________；
9x－3y＝6
11x＝11
x＝1
1
2＋3y＝5
y＝1
回顾必备知识
【解题依据】由②变形到③依据的等式性质是___________________________________________________________.
【解题方法】解法一用到的方法是___________________________________________________________．
等式两边乘同个数或除以同一个不为0的数(0除外)，结果仍相等
加减消元法
解法二：将②变形为y＝________③，
将③代入①，得__________________，
解得________，
将x＝________代入③，得________，
∴原方程组的解为________.
3x－2
2x＋3(3x－2)＝5
x＝1
1
y＝1
【解题依据】由②变形到③依据的等式性质是______________________________________________________________.
【解题方法】解法二用到的方法是____________________________________________________________．
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等
代入消元法
　
例2 元宵节是我国的传统节日，人们素有吃元宵的习俗，在元宵节来临之际，某超市计划购进一批元宵进行销售．
(1)若购进A、B两种品牌元宵共280袋①，且A品牌元宵的数量比B品牌元宵的2倍多10袋②，求购进A、B两种品牌元宵各多少袋？
一题多设问
提升关键能力
【分层分析】设购进A种品牌元宵x袋，购进B种品牌元宵y袋，根据题干①可列方程____________，根据题干②可列方程_____________，求解方程组即可．
x＋y＝280
x＝2y＋10
(1)设购进A种品牌元宵x袋，购进B种品牌元宵y袋，
由题意，得
解得
答：购进A种品牌元宵190袋，购进B种品牌元宵90袋；
(2)该超市采购员发现，1袋B种品牌元宵比1袋A种品牌元宵进价贵6元③，且购进5袋A种品牌元宵和购进3袋B种品牌元宵所需费用相同④，求A、B两种品牌元宵进价分别为多少元？
【分层分析】设A种品牌元宵进价为x元，B种品牌元宵进价为y元，根据题干③可列方程__________，根据题干④可列方程__________，求解方程组即可．
y－x＝6
5x＝3y
(2)设A种品牌元宵进价为x元，B种品牌元宵进价为y元，
由题意，得
解得
答：A种品牌元宵进价为9元，B种品牌元宵进价为15元；
(3)在元宵节当天，某顾客第一次购买3袋A种品牌元宵和2袋B种品牌元宵共花费79元⑤，第二次购买2袋A种品牌元宵和1袋B种品牌元宵共花费46元⑥，求A、B两种品牌元宵售价分别为多少元？
【分层分析】设A种品牌元宵售价为x元，B种品牌元宵售价为y元，根据题干⑤可列方程____________，根据题干⑥可列方程____________，求解方程组即可．
3x＋2y＝79
2x＋y＝46
(3)设A种品牌元宵售价为x元，B种品牌元宵售价为y元，
由题意，得
解得
答：A种品牌元宵售价为13元，B种品牌元宵售价为20元；
(4)请根据(1)(2)(3)设问填写下表：
品牌 进货量(袋) 进价(元/袋) 售价(元/袋)
A
B
则销售完这批元宵共获利多少元？
190
9
13
90
15
20
(4)由题意，销售完这批元宵共获利：
190×(13－9)＋90×(20－15)＝1210(元)，
答：销售完这批元宵共获利1210元．
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
一元一次方程的概念及解法
1. (2023呼和浩特14题3 分)关于x的方程mx2m－1＋(m－1)x－2＝0如果是一元一次方程，则其解为____________________________.
－3或－2或2
2. (2021重庆B卷)方程2(x－3)＝6的解是_________________________．
x＝6
拓展训练
2
命题点
二元一次方程的解法及解的应用(包头2017.6，呼和浩特3考)
3. (2021呼和浩特17(2)题5分)解方程组
解：化简得
①×12－②，得13x＝3900，
解得x＝300，
把x＝300代入①得y＝400，
∴原方程组的解为
4. (2021郴州)已知二元一次方程组 则x－y的值为(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　　　
A. 2 B. 6 C. －2 D. －6
A
拓展训练
5. (2021丽水)解方程组：
解：令
由②得y＝2x－1③，
把③代入①中，得3x＋2(2x－1)＝19，
解得x＝3，
把x＝3代入③中，得y＝5，
∴原方程组的解为
6．解方程组：
解：令
②×6得3x－2y＝6③，
①－③得－3y＝－3，
解得y＝1，
把y＝1代入①中，得x＝ ，∴原方程组的解为
3
命题点
一次方程(组)的实际应用(包头2考，呼和浩特4考，赤峰3考)
7. (2022呼和浩特5题3分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了(　　)
A. 102里 B. 126里 C. 192里 D. 198里
D
8. (2023呼和浩特22题6分)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收款方式为：行车7公里以内(含7公里)不收远途费，超出部分每公里收0.8元 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的费用相同．
(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
(1)解：设小王和小张实际乘车时间为x分钟和y分钟．根据题意有：
1．8×6＋0.3 x＝1.8×8.5＋0.3 y＋(8.5－7)×0.8，
解得x－y＝19.
答：这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟；
(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约见地点在大厅等候，已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一个人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算两人各自的实际乘车时间．
(2)解：由题意可知小张乘车时间较少，
可得方程组
解得
答：小王与小张的实际乘车时间分别是37分钟和18分钟．
9. (2021陕西)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
解：设这种服装每件的标价是x元，
根据题意，得10×0.8x＝11(x－30)，
解得x＝110.
答：这种服装每件的标价是110元．
拓展训练
10. (2021邵阳)为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
第10题图
请根据如图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
由题意，得
解得
∴15×15＝225(元)，35×5＝175(元)，
答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．

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