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(共29张PPT)
第32课时　尺规作图
内蒙古中考真题及拓展
2
重难点分层练
1
【对接教材】北师：七上第四章P111～P113，
七下第二章P55～P57，第四章P105～P107，
第五章P124、P126～P127，
八下第一章P25；
人教：七上第四章P126～P128，
八上第十二章P36～P39、P48，第十三章P62～P63.
重难点分层练
例1　 下面是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图过程：
已知：线段a，
求作：OA＝a(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)作射线OP；
(2)以点O为圆心，________为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段．
a
这种作一条线段等于已知线段的作图依据是________________________
__________，并根据作法画出图形．
圆上的点到圆心的距离
等于半径
作图如解图所示．
例1题解图
例2　 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：∠α，
求作：∠AO′B＝∠α(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)在∠α上以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P、Q；
(2)作射线O′A；
(3)以点O′为圆心，________长为半径作弧，交O′A于点M，可得到O′M＝OP；
(4)以点M为圆心，________长为半径作弧，与前弧相交于点N，可得到MN＝PQ；
(5)过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求作的角．
这种作一个角等于已知角的作图依据是____________________________
_________________________________________，并根据作法画出图形．
OP
PQ
三边相等的两个三角形全等；
全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线
作图如解图所示．
例2题解图
例3　 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程：
已知：∠AOB，
求作：∠AOB的平分线(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点N、M；
(2)分别以点M，N为圆心，以大于______长为半径作弧，两弧相交于点P；
(3)过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线．
这种作已知角的平分线的方法的依据是______(填选项)．
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
根据作法画出图形．
例3题图
MN
A
作图如解图所示．
例3题解图
例4　 下面是“作线段的垂直平分线”的尺规作图过程：
已知：线段AB，
求作：线段AB的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)分别以点A、B为圆心，大于________的长为半径，在AB两侧作弧，两弧交于M、N两点；
(2)连接MN，直线MN即为所求作线段的垂直平分线．
AB
这种作线段的垂直平分线的作图依据是____________________________
__________________________________________，并根据作法画出图形．
例4题图
到线段两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
作图如解图所示.
例4题解图
例5　 下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l及直线l上一点P，
求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和点B，可得到PA＝PB；
(2)分别以点A、B为圆心，以__________长为半径作弧，两弧在直线l一侧相交于点N，可得到NA＝________；
大于 AB
NB
(3)连接PN，直线PN即为所求作的垂线．
这种过直线上一点作已知直线的垂线的作图依据是____________________
__________________，并根据作法画出图形．
例5题图
等腰三角形“三线合一”；
两点确定一条直线
作图如解图所示．
例5题解图
例6　 下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l及直线l外一点P，
求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图)．
作法：(1)在直线l另一侧取点M；
(2)以点P为圆心，________长为半径作弧，交直线l于点A和点B，可得到PA＝PB；
PM
(3)分别以点A、B为圆心，以__________长为半径作弧，交点M同侧于点N，可得到AN＝BN；
(4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线．
这种过直线外一点作已知直线的垂线的作图依据是__________________
_____________________________________________________，并根据作法画出图形．
例6题图
大于 AB
到线段两个端点距离
相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
作图如解图所示．
例6题解图
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
尺规作图(包头2考，赤峰4考)
1. (2023包头7题3分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是(　　)
A. 1 B. C. 2 D.
第1题图
C
2. (2020包头12题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC>AC，按以下步骤作图：(1)分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点(点M在AB的上方)；(2)作直线MN交AB于点O，交BC于点D；(3)用圆规在射线OM上截取OE＝OD.连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G.下列结论：
①CD＝2GF；②BD2－CD2＝AC2；③S△BOE＝2S△AOG；
④若AC＝6，OF＋OA＝9，则四边形ADBE的周长为25.
其中正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第2题图
D
第3题图
3. (2023赤峰20题10分)已知：AC是 ABCD的对角线．
(1)用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE(保留作图痕迹，不写作法)；
【作法提示】分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径，在AC两侧作弧，两弧分别交于点H、F.连接HF，HF与AD相交于点E，HF即为所求作的垂直平分线．
解：(1)作图如解图所示；
E
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5.
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，则CE＋DE＝AD，
∴△DCE的周长＝CE＋DE＋CD
＝AD＋CD＝5＋3＝8.
第3题图
E
4. (2021赤峰20题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD.
(1)作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
第4题图
(1)解：如解图，AE即为所求作的角平分线；
E
(2)在(1)的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.
(2)证明：由(1)知，AE平分 ∠CAB，即∠CAE＝∠DAE.
在△ACE和△ADE中，
∴△ACE≌△ADE(SAS)，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴DE⊥AB.
第4题图
E
拓展训练
5. (2023长春改编)在△ABC中，∠BAC＝ 90°，AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是(　　)
A
6．(2021北京)《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位)，在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
第6题图
(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D(保留作图痕迹)；
解：(1)如解图，点D即为所求；
第6题图
D
(2)在上图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向．完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝________，D是CA的中点，
∴CA⊥DB(____________________________)(填推理的依据)．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
BC
等腰三角形三线合一
第6题图
D
2
命题点
无尺规作图
7. (2022赤峰20题10分)小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力，爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
(1)请你在图①中画出一种分法(无需尺规作图)；
第7题图
解：(1)如解图，按两条对角线切开便可将蛋糕四等分；(答案不唯一)
(2)如图②，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．(不写作法，保留作图痕迹)
．．
【作法提示】分别以A、B两点为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于C，D两点，过CD作直线，则直线CD就是第2刀所在直线．
(2)如解图，直线CD即为所求．
第7题图
C
D
A
B
拓展训练
8. (2021吉林省卷)图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；
第8题图
解：(1)如解图，等腰三角形ABC即为所求；(画出一个即可)
C
C
C
C
C
(2)在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．
(2)如解图③，矩形ADBE，平行四边形ABDE即为所求．
第8题图
D
E
D(共32张PPT)
第31课时　视图与投影
内蒙古中考真题及拓展
2
考点精讲
1
三视图
概念和画法
常见几何体
的三视图
常见几何体
的展开图
正方体展开图
的常见类型
立体图形的
展开与折叠
投影
概念
平行投影
中心投影
视图与投影
考点精讲
【对接教材】北师：七上第一章P1～P21，
九上第五章P124～P147；
人教：七上第四章P114～P124、P142～P145，
九下第二十九章P86～P111.
1
考点
投影
概念 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影
平行投影 由平行光线形成的投影
中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影
针对训练
1. 下列光线所形成的投影不是中心投影的是(　　)
A. 太阳光线
B. 台灯的光线
C. 手电筒的光线
D. 路灯的光线
A
2
考点
三视图
1. 概念和画法
概念 主视图：在正面内______________观察物体得到的视图；
左视图：在侧面内______________观察物体得到的视图；
俯视图：在水平面内______________观察物体得到的视图
画法 主视图与俯视图________对正；
主视图与左视图________平齐；
左视图与俯视图________相等；
看得见的部分的轮廓线画成______，看不见的轮廓线画成________
由前向后
由左向右
由上向下
长
高
宽
实线
虚线
2. 常见几何体的三视图
几何体 图形 主视图 左视图 俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥
几何体 图形 主视图 左视图 俯视图
球体
正三棱柱
正三棱锥
【满分技法】对常见几何体的组合体，在判断其三视图时，要注意分清每一部分的三视图形状，然后根据其摆放位置及各部分大小决定组合体的具体视图 3. 由三视图还原几何体
2. 如图所示的几何体的主视图是(　　)
针对训练
A
3. 如图所示的几何体，它的左视图是(　　)
A
4. 如图是手提水果篮抽象的几何体，则它的俯视图为(　　)
A
5. 下列几何体中，主视图与俯视图相同的是(　　)
C
6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是(　　)
D
立体图形的展开与折叠
3
考点
1. 常见几何体的展开图
几何体 圆柱 圆锥 正方体 三棱柱
图形
展开图(选其中一组)
2. 正方体展开图的常见类型(注：示意图中相同颜色的面为相对面)
“一四一”型 巧记：中间四个面(上、下各一面)
“一三二”型 巧记：中间三个面(一、二隔河见)
“二二二”型 巧记：中间两个面(楼梯天天见)
“三三”型 巧记：中间没有面(三、三连一线)
【温馨提示】正方体展开图，相对的面一定不相邻或者没有公共点，在展开图中不能出现“ ”、“ ”图形；若出现“ ”类型，另两面必须在两侧，可借助此方法来排除错误选项 针对训练
7. 某几何体如图所示，则下列选项的四个图形中可能是其展开图的是(　　)
A
8. 下列图形中为正方体展开图的是(　　)
C
9. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“喜”字相对的字是(　　)
第9题图
A. 建　B. 党　C. 百　D. 年
D
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
三视图的判断
1. (2023呼和浩特3题3分)如图所示的几何体，其俯视图是(　　)
B
2. (2022包头6题3分)如图，将小立方块①从6个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体(　　)
第2题图
A. 主视图改变，左视图改变
B. 俯视图不变，左视图改变
C. 俯视图改变，左视图改变
D. 主视图不变，左视图不变
C
拓展训练
3. (2023本溪)如图，该几何体的左视图是(　　)
D
4. (2023 淄博)下列几何体中，其俯视图一定是圆的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
2
命题点
三视图的还原及计算
5. (2021包头4题3分)一个圆柱体的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱体的体积为(　　)
A. 24 B. 24π C. 96 D. 96π
第5题图
B
6. (2023赤峰13题3分)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是(　　)
A. 24π cm2 　　　B. 48π cm2
C. 96π cm2 　　　D. 36π cm2
第6题图
A
7. (2022呼和浩特12题3分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
第7题图
3π＋4
拓展训练
8. (2023安徽)几何体的三视图如图所示，这个几何体是(　　)
C
9. (2023通辽)如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第9题图
D
3
命题点
立体图形的展开与折叠
10. (2023北京)如图是某几何体的展开图，该几何体是(　　)
A. 长方体 　B. 圆柱 　C. 圆锥 　D. 三棱柱
拓展训练
第10题图
B
11. (2023金华)将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是(　　)
. . .
D
12. (2023广东省卷)下列图形是正方体展开图的个数为(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C(共50张PPT)
第33课时　图形的对称(含折叠)、平移与旋转
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
图形的对称
轴对称图形与
中心对称图形
轴对称与中心对称
图形的折叠
实质
性质
图形的平移
概念
要素
性质
作图步骤
网格作图
步骤
具体内容
图形的旋转
概念
要素
性质
作图步骤
图形的对称
(含折叠)、
平移与旋转
考点精讲
【对接教材】北师：七下第五章P114～P134，
八上第三章P68～P70，
八下第三章P64～P90；
人教：七下第五章P28～P33，
七下第七章P75～P82，
八上第十三章P58～P74、P85～P88，
九上第二十三章P59～P77.
图形的对称
1
考点
1. 轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断方法 1. 有对称轴——直线；2. 图形沿对称轴折叠，折叠前后的图形完全重合 1. 有对称中心——点；2. 图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合
常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
常见的既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
2. 轴对称与中心对称
轴对称 中心对称
图形
性质 1. 成轴对称的两个图形是全等图形；2. 对称点所连线段被对称轴垂直平分 1. 成中心对称的两个图形是全等图形；
2. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
作图方法 1. 确定对称轴； 2. 确定图形中的关键点； 3. 由关键点向对称轴引垂线，并延长相同长度，找到对应点； 4. 连接各对应点，得到原图形经过轴对称变换后的图形 1. 确定对称中心；
2. 确定图形中的关键点；
3. 连接关键点和对称中心，并延长相同长度，找到对应点；
4. 连接各对应点，得到原图形经过中心对称变换后的图形
图形的折叠
2
考点
实质 折叠问题就是轴对称变换
性质 1. 位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；
2. 对称轴两边的两部分图形全等，对应边、角、周长、面积均相等；
3. 对称轴两边对应点的连线被折痕垂直平分
图形的平移
3
考点
概念 在平面内，将一个图形整体沿某一直线方向移动，图形的这种运动称为平移
要素 平移方向和______________
性质 1. 平移前后，对应线段________(或共线)且相等、对应角相等；
2. 各组对应点所连线段__________________；
3. 平移前后的图形________
作图 步骤 1. 根据题意，确定平移方向和平移距离；
2. 找出原图形的关键点；
3. 按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4. 按原图形依次连接各关键点的对应点，得到平移后的图形
平移距离
平行
平行(或共线)且相等
全等
图形的旋转
4
考点
概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
要素 旋转中心、________和旋转角度
性质 1. 对应点到旋转中心的距离________；
2. 任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都________旋转角；
3. 旋转前后的图形________
作图步骤 1. 确定旋转中心；
2. 确定图形中的关键点；
旋转方向
相等
等于
全等
作图步骤 3. 连接关键点和旋转中心，将连接而成的线段绕着旋转中心沿指定的方向旋转指定的角度；
4. 连接各关键点的对应点，得到原图形旋转后的图形
网格作图
5
考点
步骤 具体内容
步骤1 找出图形中的关键点
步骤2 把关键点进行平移、对称、旋转得到每个点的对应点
步骤3 按原图依次连接各关键点的对应点，从而得到所求图形
重难点分层练
一、与平移有关的证明与计算
回顾必备知识
例1 　 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝4，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，DE交AC于点G，
连接AD，若CE＝4.
一题多设问
例1题图
(1)AC与DF的数量关系为____________，位置关系为________，与∠BAC相等的角有_____________________________；
(2)AD的长为________，△ABC≌________；
(3)四边形ACFD的周长为________；
(4)线段AD、EF、BF之间的数量关系为_____________________．
例1题图
AC＝DF
AC∥DF
∠EDF、∠EGC和∠AGD
3
△DEF
14
AD＋EF＝BF
提升关键能力
例2 　 如图①，四边形ABCD为正方形，边长为8，AC为对角线．
一题多设问
(1)如图②，将△ABC沿AC方向平移得到△A′B′C′，当A′为AC的中点时．
①△A′B′C′的面积为________，
平移距离AA′的长度为________；
图①
例2题图
图②
【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，边长为8，∴AD＝CD＝AB＝BC＝8，∴AC＝8 ，S△A′B′C′＝S△ADC＝ ×8×8＝32；∵A′为AC的中点，∴AA′＝ AC＝4 .
32
②连接A′D、B′C，判断四边形A′B′CD的形状是________________；
平行四边形
图①
例2题图
图②
(2)如图③，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，A′B′交AC于点E.
①∠A′EC的度数为________；
例2题图③
【解法提示】∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠CAD＝45°，∵△ABC沿BC方向平移，∴A′B′∥CD，∴∠A′EA＝45°，∴∠A′EC＝135°.
135°
②若两个三角形重叠部分(图中阴影)的面积为12，求平移距离AA′的长度；
②∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DC.
由平移的性质可知AC∥A′C′，A′B′∥DC，
∴阴影部分为平行四边形，
∴S阴影＝A′E·A′D＝12.
设AA′＝x，则A′E＝A′A＝x，A′D＝8－x，
∴x(8－x)＝12，解得x1＝2，x2＝6，
∴平移距离AA′的长度为2或6；
例2题图③
③若AA′＝6，求 的值．
③∵AA′＝6，∴A′D＝2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°.
由平移的性质可知AD∥B′C′，A′B′∥CD，∠A′B′C′＝90°，
∴四边形A′B′CD为矩形，
∴B′C＝A′D＝2，∴ ＝ .
例2题图③
∵AD∥B′C′，
∴△AA′E∽△CB′E，
∴ ＝( )2＝ .
例2题图③
二、与旋转有关的证明与计算
回顾必备知识
例3　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△EDC.
(1)旋转角为________________________；
(2)在旋转过程中与∠ACE恒相等的角为________；
例3题图
∠BCD或∠ACE
∠BCD
(3)连接BD、AE，试判断△BDC和△ACE的形状____________________
________________；
(4)判断△BDC和△AEC是否相似？并说明理由．
△BDC和△ACE均为
等腰三角形
(4)△BDC和△AEC相似．理由如下：
∵∠BCD＝∠ACE，BC＝DC，EC＝AC，
∴ 且∠BCD＝∠ACE，
∴△BDC∽△AEC.
例3题图
提升关键能力
例4　 在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A，C，D的对应点分别为A1，C1，D1.
(1)如图①，当点D1落在BC的延长线上时，
求点A1到AB的距离；
一题多设问
例4题图①
则GB＝A1H，HB＝A1G，
由题意得A1D1＝AD＝15，∠BA1D1＝∠BAD＝90°，A1B＝AB＝9，
∴BD1＝ ＝3 .
∵ BD1·A1H＝ A1B·A1D1，
∴A1H＝ ＝ ，
∴在Rt△A1HB中，BH＝ ＝ ，
∴A1G＝ ，即点A1到AB的距离为 ；
(1)解：如解图，过点A1作A1G⊥AB交AB于点G，
过点A1作A1H⊥BC交BC于点H，
例4题图①
G
H
(2)如图②，当点A1落在矩形的对角线AC上时，连接CD1，求证△BA1C≌△D1CA1；
例4题图②
(2)证明：由旋转的性质可得，A1B＝AB，
∠BA1D1＝∠BAD＝∠CBA＝90°，A1D1＝AD＝BC，
∴∠BA1A＝∠A1AB.
又∵∠BAA1＋∠A1CB＝90°＝∠BA1A＋∠CA1D1，
∴∠A1CB＝∠CA1D1.
又∵CA1＝A1C，
∴△BA1C≌△D1CA1；
(3)如图③，当边A1D1经过点C时，连接AA1，求AA1的长；
例4题图③
(3)解：如解图，过点A1作A1E⊥AB交AB于点E，A1F⊥BC交BC于点F.
在Rt△A1BC中，
∵∠CA1B＝90°，BC＝15，A1B＝9，
∴CA1＝ ＝ ＝12.
∵ A1C·A1B＝ BC·A1F，
∴A1F＝ .
F
E
例4题图③
F
E
∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，
∴四边形A1EBF是矩形，
∴EB＝A1F＝ ，
∴A1E＝BF＝ ＝ ＝ ，
AE＝9－ ＝ .
在Rt△AA1E中，AA1＝
＝ ＝ ；
(4)如图④，当点A1落在BC边上时，设点O是对角线AC的中点，点O的对应点为O1，连接CO1，求CO1的值．
例4题图④
(4)解：如解图，过点O1作O1M⊥BC交BC于点M，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到矩形A1BC1D1，AB＝9，BC＝15，
∴BC1＝BC＝15，∠CBC1＝90°，
BA1＝AB＝9，
∴O1M∥BC1.
M
例4题图④
M
∵O是对角线AC的中点，
∴O1是A1C1的中点，
∴MO1＝ BC1＝ ，BM＝A1M＝ ×BA1＝ ，
∴CM＝BC－BM＝15－ ＝ .
在Rt△CO1M中，CO1＝
＝ ＝ .
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
对称图形的判断(呼和浩特2考，赤峰3考)
1. (2021赤峰3题3分)下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
C
2. (2022呼和浩特1题3分)下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是(　　)
D
3. (2023呼和浩特2题3分)甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称的是(　　)
B
创新考法
4. (2023江西)如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线)，小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置(摆放时无缝隙不重叠)，还能拼接成不同轴对称图形的个数为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
. . . . . . .
第4题图
B
2
命题点
对称图形性质的应用(包头2考，呼和浩特2021.15)
5. (2021包头11题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，△DBC和△ABC关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作CE⊥CD，垂足为C，与AD相交于点E.若AD＝8，BC＝6，则 的值为(　　)
A. B. C. D.
第5题图
D
6. (2021呼和浩特15题3分)已知菱形ABCD的面积为2 ，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点．连接AE，若AE平分∠BAC，则线段PE与PC的和的最小值为________，最大值为________．
拓展训练
7．(2021鄂尔多斯)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB＋EF长度的最小值为________．
第7题图
3
命题点
与折叠有关的计算
8. (2022呼和浩特10题3分)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′、D点的对称点为D′，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为(　　)
A. 6 ＋10 B. 6 ＋5
C. 3 ＋10 D. 3 ＋5
第8题图
D
拓展训练
9. (2023自贡)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是(　　)
A. B. C. 3 D.
第9题图
D
10. (2021鄂尔多斯)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为(　　)
A. B. C. D.
第10题图
B
11. (2021海南)如图，在矩形ABCD中，AB＝6, AD＝8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为______ ，
DD′的长为________．
第11题图
6
4
命题点
与平移有关的计算
12. (2022赤峰7题3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是(　　)
A. 15 B. 18 C. 20 D. 22
第12题图
A
拓展训练
13. (2021金华)如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2 cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为________cm.
2
5
命题点
与旋转有关的计算
14. (2020赤峰3题3分)下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是(　　)
C
15. (2023包头17题3分)如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是________．
第15题图
1
拓展训练
16. (2021桂林)如图，正方形OABC的边长为2，将正方
形OABC绕点O逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是________．
第16题图
17. (2021通辽)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形( OA，∠AOB＝∠MON＝90°.
(1)如图①，连接AM，BN，求证：AM＝BN；
第17题图
(1)证明：∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∠AOB＝∠MON＝90°，∴OA＝OB，OM＝ON.
又∵∠AOM＝∠MON＋∠AON，
∠BON＝∠AOB＋∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，∴AM＝BN；
(2)将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图②，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2＋BM2＝2OM2；
①证明：如解图①，连接BN，
第17题解图①
∵∠AOM＝∠AOB－∠BOM＝90°－∠BOM，
∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－∠BOM，
且OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴∠A＝∠OBN＝45°，AM＝BN，
∴∠ABN＝∠ABO＋∠OBN＝45°＋45°＝90°.
第17题图
∵△OMN为等腰直角三角形，
∴MN＝ OM.
在Rt△BMN中，由勾股定理得，
BM2＋BN2＝MN2＝( OM)2＝2OM2，
又∵AM＝BN，
∴AM2＋BM2＝2OM2；
第17题解图①
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，OM＝3，请直接写出线段AM的长．
【解法提示】分两种情况讨论，情况一：如解图②，设AO与NB交于点C，过点O作OH⊥AM于点H，则∠HNO＝45°，△NHO为等腰直角三角形，∴HO＝ ＝HM.
在Rt△AHO中，AH＝ ，
∴AM＝AH＋HM＝ ；
图②
情况二：如解图③，过点O作OH⊥AN于点H，则∠HNO＝45°，△NHO为等腰直角三角形，∴HO＝HM＝ ，
在Rt△AHO中，AH＝ ，
∴AM＝AH－HM＝ .
综上所述，线段AM的长为 或 .
图③
②解：线段AM的长为 或 .

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