资源简介

(共36张PPT)
第27课时　正方形
考点精讲
1
重难点分层练
2
内蒙古中考真题及拓展
3
正方形的
性质与判定
概念
性质
判定
面积公式
中点四边形
平行四边形、
矩形、菱形、
正方形的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
正方形
考点精讲
【对接教材】北师：九上第一章P20～P25；
　 人教：八下第十八章P58～P63.
1
考点
正方形的性质与判定
概念 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形
性质 1. 边：(1)四条边都______；(2)两组对边分别平行；
2. 角：四个角都是直角；
3. 对角线：对角线____________________，每条对角线平分一组对角；
4. 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线，对称中心是对角线的交点
相等
互相垂直平分且相等
判定 1. 有一组______相等的矩形是正方形；
2. 有一个角是_____________的菱形是正方形；
3. 对角线__________的矩形是正方形；
4. 对角线______的菱形是正方形
面积公式 S＝a2＝ l2(a为正方形的边长，l表示正方形对角线的长)
邻边
直角(或90°)
互相垂直
相等
2
考点
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
从边、角的角度看
从对角线的角度看
相等
直角(或90°)
直角(或90°)
相等
3
考点
中点四边形
概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
原图形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形
中点四边形形状 菱形 矩形 正方形
【满分技法】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半
重难点分层练
回顾必备知识
例1
一题多设问
如图，在平行四边形ABCD中，对角
线AC，BD相交于点O ，满足：①AO＝BO，②AC⊥BD，③AB＝BC，④∠ABC＝90°.从上述条件中，任意选取两个条件，证明平行四边形ABCD是正方形．
例1题图
【解法一】选择条件：______(填序号)；
证明：
【判定依据】用到的正方形的判定定理为 _________________________.
例1题图
①③
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是正方形；
对角线相等的菱形是正方形
【解法二】选择条件：______(填序号)；
证明：
【判定依据】用到的正方形的判定定理为__________________________
______.
②④
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是正方形．
有一个角为直角的菱形是正
方形
例1题图
例2
一题多设问
如图，正方形ABCD的对角线AC与
BD交于点O .
例2题图
(1)∠AOD的度数为______；
(2)若AB＝2，则AC＝______；
(3)若AC＝5 ，则正方形ABCD的面积为_____；
(4)若△OBC的面积为4，则正方形ABCD的周长为_____．
90°
25
16
提升关键能力
一题多设问
例3
在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上一点，点F是边CD上一点，连接AE、BF相交于点G，连接AF.
例3题图①
例3题图①
(1)如图①，连接EF，若CE＝CF＝1，则△AEF的面积为 ____，点E到AF的距离为____；
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
∵CE＝CF＝1，
∴BE＝DF＝3，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ABE－S△ADF－S△CEF
＝4×4－2× ×4×3－ ×1×1＝ ；
例3题图①
如解图①，过点E作EH⊥AF于点H，
H
∟
在Rt△ADF中，AF＝ ＝5，
∵S△AEF＝ AF·EH＝ ，
∴EH＝ ，
∴点E到AF的距离为 .
解： ， ；
(2)如图②，若CE＝DF.
①求证：△ABE≌△BCF；
例3题图②
(2)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCF＝90°.
∵CE＝DF，∴BE＝CF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)；
例3题图②
②若CE＝DF＝1，则GF的长为____；
【解法提示】由①得，△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE ＋ ∠BEA ＝ 90°，
∴∠GBE ＋ ∠GEB ＝ 90°，∴∠BGE ＝ 90°，
∵cos∠EBG ＝ ，
∴BG ＝ ·BE ＝ × 3 ＝ ，
∴GF ＝ BF － BG ＝ 5 － ＝ .
(3)如图③，若点E、F分别是BC、CD的中点，点P、Q分别是AE、BF的中点，连接PQ，求PQ的长；
例3题图③
(3)解：如解图②，连接BP并延长交AD于点K，连接KF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠PAK＝∠PEB，∠AKP＝∠EBP.
∵点P是AE的中点，
∴AP＝EP.
K
例3题图③
K
在△APK和EPB中，
∴△APK≌△EPB(AAS)，
∴AK＝EB，PK＝PB.
∵点E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE＝DF＝2，
∴AK＝DK＝2，
例3题图③
K
∴在Rt△KDF中，
KF＝ .
∵点Q是BF的中点，点P是BK的中点，
∴PQ是△BKF的中位线，
∴PQ＝ KF＝ ；
(4)如图④，若点E是BC的中点，CF＝3DF，求△AGF的面积；
例3题图④
(4)解：如解图③，过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，CF＝3DF，
∴BE＝2，CF＝3.
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴MF＝BC＝4，BM＝CF＝3，GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
∴ ，即 .
M
∟
N
∟
例3题图④
M
∟
N
∟
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4－3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴ ，
即 ，解得x＝ ，
∴NG＝4x=
∴S△AGF＝S△ABF－S△ABG＝
(5)如图⑤，连接EF，当△AEF是等边三角形时，求∠AEB的度数和CF的长；
例3题图⑤
(5)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
AB＝BC＝CD＝AD＝4.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
例3题图⑤
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠BAE＝∠DAF，∠AEB＝∠AFD，
∴∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝30°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°.
∴∠AEB＝90°－∠BAE＝75°.
如解图，在AD上取一点J，使∠JFA＝∠DAF＝15°，
J
∴AJ＝FJ，∠DJF＝30°，
∴DF＝ FJ＝ AJ，DJ＝ DF.
例3题图⑤
J
设DF＝x，则DJ＝ x，AJ＝FJ＝2x，
∵AJ＋DJ＝AD，
∴2x＋ x＝4，解得x＝8－4 ，
∴DF＝8－4 ，
∴CF＝CD－DF＝4－(8－4 )＝4 －4；
(6)如图⑥，∠EAF＝45°，连接EF.
①求证：EF＝BE＋DF；
例3题图⑥
(6)证明：①如解图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABO，
由旋转性质可知∠BAO＝∠DAF，AF＝AO，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
∴∠BAE＋∠BAO＝45°，∴∠EAF＝∠OAE.
∵∠ABO＝∠D＝90°，
∴点O、B、E共线．
O
例3题图⑥
O
在△AFE和△AOE中，
∴△AFE≌△AOE(SAS)，
∴EF＝EO，
即EF＝BE＋BO＝BE＋DF；
例3题图⑥
②连接BD交AE于点H，连接HF，求证：△AHF是等腰直角三角形．
②如解图，设BD与AF交于点I，
I
∵∠HAI＝∠IDF＝45°，∠AIH＝∠DIF，
∴△AHI∽△DFI，
∴ ，即 .
又∵∠AID＝∠FIH，
∴△ADI∽△HFI，∴∠HFI＝∠ADI＝45°，
∴∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴△AHF是等腰直角三角形．
内蒙古中考真题及拓展
与正方形有关的证明与计算
1. 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点的坐标为(2， )，则B点与D点的坐标分别为(　　)
A. (－2， )，(2，－ ) B. (－ ，2)，( ，－2)
C. (－ ，2)，(2，－ ) D. ( － )，( )
B
命题点
2. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是(　　)
第2题图
A.
B.
C.
D.
C
3. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝____°.
第3题图
4. 已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝ ，连接AE，与正方形另一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为_______．
22
5. 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为________．
第5题图
22.5°
6. 如图，正方形ABCD的边长为2 ，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH.以下结论：①CF⊥DE；② ；③GH＝ ；④AD＝AH，其中正确结论的序号是________．
第6题图
①②④
7. 如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点(不与B、C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
第7题图
(1)求证：AF－BF＝EF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AG，
∴∠DAE＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴BF＝AE，
∴AF－BF＝AF－AE＝EF；
第7题图
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．
第7题图
(2)解：不可能，理由如下：
如解图，连接AC，BE，DF，
若四边形BFDE是平行四边形，已知BF∥DE，
∴当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形．
由(1)知△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°.
∵点G不与B、C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾．
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
创新考法
8. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a. 两组对边分别相等
b. 一组对边平行且相等
c. 一组邻边相等
d. 一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d　②b→d→c　③a→b→c
则正确的是：(　　)
第8题图
A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③
C(共28张PPT)
第24课时　平行四边形与多边形
考点精讲
1
重难点分层练
2
3
内蒙古中考真题及拓展
多边形及
正多边形
的性质
多边形的性质
正多边形的性质
平行四边形
的性质与判定
概念
性质
判定
面积公式
平行四边
形与多边形
【对接教材】北师：七上第四章P122～P125，八下第六章P135～P149、
P153～P157；
人教：八上第十一章P19～P25，八下第十八章P41～P51.
考点精讲
1
考点
平行四边形的性质与判定
概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 1. 边：(1)两组对边分别________；(2)两组对边分别________；
2. 角：两组对角分别________；
3. 对角线：对角线__________；
4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点
判定 1. 两组对边_________的四边形是平行四边形(定义)；
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
平行
相等
相等
互相平分
分别平行
判定 3. 有一组对边____________的四边形是平行四边形；
4. 两组对角_________的四边形是平行四边形(人教独有)；
5. 对角线__________的四边形是平行四边形
面积公式 S＝ah(a表示一条边长，h表示此边上的高)
【知识拓展】(1)平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个三角形；(2)若一条直线经过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积 平行且相等
分别相等
互相平分
2
考点
多边形及正多边形的性质
1. 多边形的性质
内角和定理 n(n≥3)边形的内角和为_____________
外角和定理 多边形的外角和为________
对角线 过n(n＞3)边形一个顶点可引(n－3)条对角线，n边形共有__________条对角线
不稳定性 n(n＞3)边形具有不稳定性
360°
(n－2)·180°
边 正n(n≥3)边形各条边相等
内角 各个内角相等，正n(n≥3)边形的每一个内角的度数为__________
外角 各个外角相等，正n(n≥3)边形的每一个外角的度数为__________
对称性 1. 正多边形都是_____对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形；
2. 正n边形有____条对称轴
2. 正多边形的性质
轴
n
证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
1. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【自主作答】
第1题图
证明：如解图，连接AC，
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
又∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
回归教材
2. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
【自主作答】
第2题图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥DA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，即∠BAD＝∠BCD.
又∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D.
证明：平行四边形的对边相等，对角相等．
证明：如解图，连接AC，
1
4
2
3
重难点分层练
回顾必备知识
一题多设问
例1　
　 　　　　　　 如图， 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知条件：①OA＝OC，②AD∥BC，③∠BAC＝∠ACD，④AB＝CD.
例1题图
(1)若四边形ABCD中，AD＝BC，请从中选择一个条件_______________，使得四边形ABCD是平行四边形；(填序号，写出一个即可)
②(答案不唯一)
(2)从已知条件中任选两个条件，证明四边形ABCD是平行四边形；
【解法一】选择条件：________(填序号)；
证明：
①③
∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD.
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
在△AOB和△COD中，
【判定依据】____________________________________.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
例1题图
【解法二】选择条件：________(填序号)．
证明：
∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
②③
【判定依据】______________________________________.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
例1题图
例2　 如图①，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O.
一题多设问
(1)若∠ABC＝60°，则∠ADC＝_____°，
∠BAD＝_____°；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝7，则 ABCD的面积为________，△OBC的面积为______；
(3)若BC＝7，BD＝10，AC＝6，则AD＝____；△AOD的周长为_____．
图①
60
120
15
7
(4)如图②，点E为边BC的中点，连接OE.
①若AB＝6，则OE＝_____；
②若∠ABC＝60°，∠EOC＝40°，则∠DAC的度数为_____．
图②
3
80°
提升关键能力
一题多设问
例3 已知 ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为BC边上的一点．
(1)如图①，已知OE⊥AC，连接AE.
①若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为_____；
②若CE＝4，BE＝3，AB＝5，则AC的长为______；
例3题图①
14
(2)如图②，延长EO交AD于点F.
①求证：△AOF≌△COE；
例3题图②
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS)；
②若 ABCD的面积为24，CE＝2BE，则阴影部分的面积为_____．
2
(3)如图③，已知AE是∠BAD的平分线，延长AE交DC的延长线于点F.
①若∠ABC＝70°，则∠AEC＝______；
②连接DE，若DE⊥AF，∠AFD＝60°，AD＝4，求 ABCD的面积．
125°
解：如解图，过点A作AG⊥BC交BC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.
例3题图③
G
∟
1
2
3
4
又∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴AB＝BE，AD＝DF.
又∵∠1＝∠4＝60°，
∴△ABE和△ADF是等边三角形，
在△ADF中，∵DE⊥AF，AD＝4，
∴AE＝ AF＝ AD＝2，
∴在△ABE中，AG＝AE·sin60°＝2× ＝ ，
∴S ABCD＝AD·AG＝4× ＝4 .
例3题图③
例3题图③
G
∟
1
2
3
4
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
平行四边形的判定(包头2考，呼和浩特3考)
1. (2023呼和浩特8题3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(　　)
A. 5种 B. 4种
C. 3种 D. 1种
C
2. (2022岳阳)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是_____________________；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
第2题图
AF∥CE(答案不唯一)
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
拓展训练
2
命题点
平行四边形性质的相关计算(包头4考，呼和浩特3考，
赤峰3考)
3. (2023包头18题3分)如图，在 ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2的值为_____．
第3题图
16
4. (2021荆门)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝(　　)
A. 55° B. 65°
C. 75° D. 85°
第4题图
C
拓展训练
5. (2023青海省卷 )如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm, BC＝4 cm.则AD与BC之间的距离为______．
6. (2022广元)如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
(1)求证：BC＝CF；
第5题图
第6题图
6cm
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠FCE.
∵E为DC边的中点，∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴AD＝CF，∴BC＝CF
第6题图
(2)连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
第6题图
解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为边DC的中点，
∴AB∥DC，AB＝2EC，
∴∠GEC＝∠GBA，∠GCE＝∠GAB，
∴△CEG∽△ABG.
∵△GEC的面积为2，
∴ ＝( )2＝(2)2＝4.即S△ABG＝4S△CEG＝4×2＝8.
∵ ＝ ＝2，
∴S△BGC＝ S△ABG＝ ×8＝4，
∴S△ABC＝S△ABG＋S△BCG＝8＋4＝12，
∴S ABCD＝2S△ABC＝2×12＝24.
第6题图
3
命题点
多边形的性质及计算
7. (2023赤峰15题3分)一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则n＝________．
8. (2021赤峰17题3分)如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手张开的开口b＝20 mm，则边长a＝________mm.
第8题图
10
9. (2021福建)如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于(　　)
A. 108° B. 120° C. 126° D. 132°
10. (2021湖州)为庆祝中国共产党成立100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点)，则图中∠A的度数是______度．
第9题图
第10题图
C
36
拓展训练(共21张PPT)
第25课时　矩　形
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
【对接教材】北师：九上第一章P11～P19；　　
人教：八下第十八章P52～P55.
考点精讲
1
考点
矩形的性质与判定
概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质 1. 边：两组对边分别平行且相等；
2. 角：四个角都是________；
3. 对角线：对角线_______________；
4. 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有2条对称轴，其对称轴为两组对边的垂直平分线，对称中心为其对角线的交点
判定
1. 有一个角是______________的平行四边形是矩形(定义)；
2. 有三个角是______________的四边形是矩形；
3. 对角线________的平行四边形是矩形
直角
相等且互相平分
直角(或90°)
相等
直角(或90°)
面积公式 S＝ab(a、b分别表示长和宽)
【知识拓展】矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形 证明：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图，在 ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB.
求证： ABCD是矩形．
【自主作答】
题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
又∵BC＝CB，AC＝DB，
回归教材
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴∠ABC＝∠DCB＝ ×180°＝90°，
∴ ABCD是矩形(矩形的定义)．
题图
重难点分层练
回顾必备知识
例1　如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
(1)请添加一个条件_________________________________________
___________________________________________________(写出一个即可)，使四边形ABCD是矩形；
【判定依据】________________________________．
(2)若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件_________________
______________________(写出一个即可)，使四边形ABCD是矩形．
【判定依据】 ________________________________．
例1题图
∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°或∠ABC、
有三个角是直角的四边形是矩形．
AC＝BD(或AO=BO
对角线相等的平行四边形是矩形．
∠BCD、∠BAD、∠ADC四个角中任意三个等于90°
或CO=DO(答案不唯一))
例2　　　 如图①，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
一题多设问
(1)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，则∠ADO的度数为______；
(2)若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为____ ；
【解题依据】用到的矩形的性质是______________________________
_____________________．
36°
8
矩形时两条对角线把矩形分成四个
例2题图①
面积相等的等腰三角形
(3)若∠BOC＝120°，DC＝3，则AC的长为_____，矩形ABCD的周长为________；
(4)如图②，点E、F分别是OA、AD的中点，连接EF.若AB＝3，BC＝4，则EF的长为____．
例2题图②
6
提升关键能力
例3　在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC上一点．
(1)如图①，DE平分∠ADC，连接OE，若AB＝2，则△OEC的面积为_____；
图①
1
例3题图
(2)如图②，AE⊥BD交BD于点H.
①若AB＝6，BC＝8，则BE＝_____；
②若sin∠DAH＝ ，AD＝4，则AB的长为_____；
③若DH＝3BH，AD＝6，则AH的长为____；
图②
3
3
例3题图
(3)如图③，过点E作EM⊥BD，EN⊥AC，垂足分别为M、N，若AB＝6，BC＝8，求EM＋EN的值．
例3题图③
解：如解图，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，AC＝BD＝ ＝ ＝10，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48，S△BOC＝ S矩形ABCD＝12，OB＝OC＝5，
∴S△BOC＝S△BOE＋S△COE＝ OB·EM＋ OC·EN＝ OB(EM＋EN)＝
×5×(EM＋EN)＝12，
∴EM＋EN＝ ；
例3题图③
(4)如图④，∠AOB＝60°，延长EO交CD的延长线于点F.
①若EF⊥AC，求证：△ABC≌△COF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，OB＝OC.
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝OC.
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
例3题图④
例3题图④
∴△ABC≌△COF(ASA)；
∴∠ABC＝∠COF.
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠BAC.
在△ABC和△COF中，
②若AB2＝BE·BC，求 的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC＝OD，∠BCD＝90°.
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OCB＝∠BAO＝60°，
∴AB＝OB＝OC＝OD.
∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
例3题图④
例3题图④
∵AB2＝BE·BC，
∴OB2＝BE·BC，
∴ ＝ .
∵∠EBO＝∠OBC，
∴△EOB∽△OCB，
∴∠EOB＝∠OCB＝30°，
∵∠DOF＝∠EOB，∠COD＝∠AOB，
∴∠COF＝∠AOE＝∠AOB＋∠EOB＝90°，
∴ ＝ ＝tan∠OCF＝ .
内蒙古中考真题及拓展
命题点
与矩形有关的证明与计算(包头4考，呼和浩特2考)
1. (2023包头20题3分)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，
垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan∠DEC的值为________．
第1题图
2. (2021南充)如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为_____．
3. (2021甘肃省卷)如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4 cm，则BE＝_____cm.
第2题图
第3题图
3
6
拓展训练
4. (2021烟台)综合实践活动课上，小亮将一张面积为24 cm2，其中一边BC为8 cm的锐角三角形纸片(如图①)，经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE(如图②)，则矩形的周长为______cm.
第4题图
22
5. (2021内江)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直
平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为________．
第5题图
6. (2021宁波)如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连接BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为____，
sin∠AFE 的值为________．
第6题图
2(共34张PPT)
第26课时　菱　形
1
3
内蒙古中考真题及拓展
2
重难点分层练
考点精讲
考点精讲
【对接教材】北师：九上第一章P2～P10；　
人教：八下第十八章P55～P58.
菱形的性质与判定
概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质 1. 边：(1)四条边______；(2)两组对边分别平行；
2. 角：两组对角分别相等；
3. 对角线：对角线_______________，并且每一条对角线平分一组对角；4. 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点
相等
互相垂直且平分
考点
判定
1. 有一组______相等的平行四边形是菱形(定义)；
2. ____条边都相等的四边形是菱形；
3. 对角线__________的平行四边形是菱形
面积公式 S＝______(m、n分别表示菱形两条对角线的长)
【知识拓展】(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形面积也可表示为S＝ah(a表示菱形的边长，h表示这条边上的高)；(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形 邻边
四
互相垂直
证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证： ABCD是菱形．
【自主作答】
题图
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
教材改编
重难点分层练
回顾必备知识
例1 　　　　　 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，满足：①AB＝AD，②AC⊥BD，③BD平分∠ABC，④∠BAD＝∠BCD，⑤BC＝CD，⑥AB∥CD.
一题多设问
请从上述几个条件中，任意挑选三个条件，证明四边形ABCD是菱形．
【解法一】选择条件：________(填序号)；
　例1题图
①③④
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.
在△CBD和△ABD中，
∴△CBD≌△ABD(AAS)，∴CB＝AB，CD＝AD.
∵AB＝AD，∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形
【判定依据】用到的菱形的判定定理为 __________________________．
　例1题图
【判定依据】用到的菱形的判定定理为___________________________
__________．
对角线互相垂直的平行四边形
【解法二】选择条件：________(填序号)；
证明：
①②⑥
∵AB＝AD，AC⊥BC，
∴BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
　例1题图
是菱形
　
例2 　　　　　　 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是BC上一点，连接OE.
一题多设问
(1)若∠BAD＝150°，则∠ABD＝______；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，则BD的长为____ ；菱形ABCD的面积为_____，周长为____；
　例2题图
15°
16
(3)点E是BC的中点.
①若∠ABC＝50°，则∠AOE的度数为________；
②若BD＝6，AC＝8，则线段OE的长为________．
115°
提升关键能力
　
例3　　　　 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC上一点．
(1)如图①，连接OE，AC＝6，BD＝8.
①若OE＝CE，则OE的长为_____；
②若OE⊥BC，则OE的长为______；
一题多设问
图①
　例3题图
(2)如图②，AE⊥BC，连接OE.
①若∠ADB＝25°，则∠EAO的度数是_____；
②若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则AE的长为________，OE的长为____；
图②
25°
3
　例3题图
(3)如图③，已知CE＝4BE，点P是BD上一动点，连接PC、PE.若AC＝6，BD＝8，求△PEC周长的最小值；
例3题图③
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝ BD＝4，OC＝ AC＝3，
∴BC＝AB＝5.
∵CE＝4BE，
∴BE＝1，CE＝4，
∵EC为定值，
∴要使△PEC周长最小，则PE＋PC的值最小．
如解图，作点E关于BD的对称点E′，则点E′在AB边上，连接CE′与BD交于点P′，过点C作CF⊥AB于点F，则PC＋PE≥CE′，
例3题图③
∵AC＝6，BD＝8，
∴S△ABC＝ S菱形ABCD＝ × AC×BD＝24.
∵CF⊥AB，∴ AB×CF＝24，∴CF＝ ，
∴在Rt△CFB中，BF＝ ，
由对称的性质，可知BE′＝BE＝1，
∴E′F＝BF－BE′＝ －1＝ ，
F
E`
P`
∴在Rt△CFE′中，CE′＝ ，
∴△PEC周长的最小值为 ；
例3题图③
F
E`
P`
(4)如图④，点M、N分别是OB、OD上一点，且BM＝DN，连接AM、AN、CM、CN.
①求证：四边形AMCN是菱形；
例3题图④
(4)①∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴四边形AMCN是菱形；
②若∠ABC＝60°，AB＝6，AM＝BM，求AM的长；
②解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OD，AB＝CB.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵AB＝6，∴AC＝6，∴OA＝3，
∴在Rt△AOB中，OB＝ ＝3 .
∵AM＝BM，∴OM＝OB－BM＝3 －AM.
在Rt△AOM中，OA2＋OM2＝AM2，
∴32＋(3 －AM)2＝AM2，解得AM＝2 ；
例3题图④
【判定依据】判定菱形的依据是 _______________________________．
(5)如图⑤，点F是边CD上一点，AE、AF分别与BD交于点P、Q，且∠EAF＝60°.若AB＝6，∠BAD＝120°.
①求证：AE＝AF；
　例3题图⑤
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∵∠EAF＝60°.∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE＝AF;
　例3题图⑤
②若BP＝2QD，求BE长．
②解：如解图②，将△AQD顺时针旋转120°至△AQ′B，使AD与AB重合，连接BQ′，PQ′，设AC与BD交于点O，过点Q′作Q′I⊥BP于点I，
例3题图⑤
Q′
I
∟
则BQ′＝DQ，∠ABQ′＝∠ADQ，
∵AB＝AD＝6，∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°.∴∠PBQ′＝60°.
∵AO⊥BD，
∴AO＝AB·sin30°＝3，OB＝OD＝AB·cos30°＝3 ，
∴BD＝6 .
∵∠EAF＝60°，∠QAQ′＝120°，
∴∠PAQ＝∠PAQ′.
在△PAQ和△PAQ′中，
∴△PAQ≌△PAQ′(SAS)，∴PQ＝PQ′，
∵BP＝2QD，∴BP＝2BQ′.
在Rt△BIQ′中，∠Q′BI＝60°，
∴BI＝BQ′·cos60°＝ BQ′，Q′I＝BQ′·sin60°＝ BQ′，
∴IP＝BP－BI＝ BQ′，
∴在Rt△PIQ′中，PQ′＝ ＝ BQ′.
例3题图⑤
Q′
I
∟
设BQ′＝DQ＝x，
∴BP＝2x，PQ′＝PQ＝ x，
∴BD＝BP＋PQ＋DQ＝(2＋ ＋1)x＝6 ，
∴x＝3 －3，
∴DQ＝3 －3，PQ＝9－3 ，BP＝6 －6，
∴DP＝DQ＋PQ＝6，∴DP＝DA，
∴∠DPA＝∠DAP.
∵∠DPA＝∠BPE，∠DAP＝∠BEP，
∴∠BEP＝∠BPE，
∴BE＝BP＝6 －6.
例3题图⑤
Q′
I
∟
内蒙古中考真题及拓展
命题点
与菱形有关的证明与计算
1. 如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(　　)　　　 　　　　　 　　　　
A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5
第1题图
A
2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
第3题图
C
(1)证明：∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，∴∠AEB＝∠CFD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
第3题图
(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状．(无需说明理由)
【解法提示】如解图①，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，
同(1)可知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
图①
第3题解图
如解图②，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，
同理可知四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．综上所述，当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．
图②
第3题解图
(2)四边形BEDF分别是平行四边形与菱形．
拓展训练
4. 如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为(　　)
第4题图
A．(2，2) 　　　　　 B．( ，2)
C．(3， ) 　　　　　 D．(2， )
D
5. 如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
(1)证明：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∵EF，DE分别是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
第5题图
(2)加上条件________后，能使得四边形ADEF为菱形．请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这3个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
第5题图
(2)解：【解法一】选择③，证明如下：
∵EF＝ AB，DE＝ AC，且AB＝AC，
∴DE＝EF.
∵四边形ADEF为平行四边形，
∴四边形ADEF为菱形．
【解法二】选择②，证明如下：
∵DE∥AC，∴∠AED＝∠EAF.
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠EAF，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE.
∵四边形ADEF为平行四边形，
∴四边形ADEF为菱形．
第5题图
6. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM＝ BC，DN＝ DC.连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E.
第6题图
(1)求证：△ABM≌△ADN；
第6题图
(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵BM＝ BC，DN＝ DC，∴BM＝DN.
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△ADN(SAS)；
(2)若AD＝4，则ME的长是 ____．
【解法提示】∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠DAN＝∠CEN.
∵∠AND＝∠ENC，
∴△AND∽△ENC，
∴ .
第6题图
∵DN＝ DC，
∴ ，
∴ ，解得CE＝ .
∵BM＝ BC，
∴MC＝ BC＝1，
∴ME＝MC＋CE＝ .
第6题图

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