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(共32张PPT)
第11课时 一次函数的图象与性质
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
一次函数图
象的平移
正比例函
数的图象
与性质
经过的象限
解析式
图象特征
增减性
图象
方法
步骤
一次函数解
析式的确定
一次函数与方程(组)、
一元一次不等式的关系
一次函数的
图象与性质
经过的象限
图象特征
增减性
与y轴的交点位置
解析式
图象
一次函数的
图象与性质
考点精讲
【对接教材】北师：八上第四章P79～P88、P123～P125，
八下第二章P50～P53；
人教：八下第十九章P86～P105.
1
考点
正比例函数的图象与性质
解析式 y＝kx(k为常数，且k≠0)，图象是经过原点(0，0)的一条直线 图象特征 正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，0)和(1，k)的一条直线，且关于原点中心对称 增减性 k>0，从左向右看图象呈上升趋势，y随x的增大而______ k<0，从左向右看图象呈下降趋势，y随x的增大而________
图象(草图)
经过的象限 一、三 二、四
增大
减小
2
考点
一次函数的图象与性质
解析式 y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0) 图象特征 一次函数 y＝kx＋b(k≠0)是经过点(0，b)和(－ ，0)的一条直线 增减性 k＞0，从左向右看图象呈上升趋势“/”，y随x的增大而________ k<0，从左向右看图象呈下降趋势“\”，y随x的增大而________ 与y轴的交点位置 b>0 交点在正半轴上 b<0 交点在负半轴上 b>0 交点在正半轴上 b<0 交点在负半轴上
增大
减小
图象 (草图) _____________ _____________
经过 的象限 ____________ 一、三、四 ______________ 二、三、四
【满分技法】 1. b的值决定直线与y轴交点的位置； 2. |k|越大，直线离y轴越近，|k|＝tanα(α为直线与水平直线所夹的锐角) 一、二、三
一、二、四
3
考点
一次函数图象的平移
平移前解析式 平移方式 平移后解析式 规律
y＝kx＋b (平移前后k不变) 向左平移2个单位 _________________ 左加
向右平移1个单位 _________________ 右减
向上平移2个单位 __________________ 上加
向下平移1个单位 __________________ 下减
y＝k(x＋2)＋b
y＝k(x－1)＋b
y＝kx＋b＋2
y＝kx＋b－1
4
考点
一次函数解析式的确定
方法 待定系数法
步骤 1. 一设：设出一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)；
2. 二列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中得到关于k、b的二元一次方程组；
3. 三解：解这个二元一次方程组，得到k、b的值；
4. 四还原：将所求k、b的值代入所设的函数解析式中
【满分技法】对于正比例函数y＝kx(k≠0)，找出函数图象上的一点(非原点)，求出k即可确定解析式 5
考点
一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系
与一元一次方程的关系 方程ax＋b＝0(a≠0)的解是一次函数y＝ax＋b(a≠0)的函数值为零时自变量的取值，还是直线y＝ax＋b(a≠0)与x轴交点的横坐标
与二元一次方程组的关系(如图1) 二元一次方程组 ，
的解 一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2
图象交点的横纵坐标
图1
与一元一次不等式的关系 1. 如图2，不等式kx＋b>0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分(y>0)所对应的x的取值范围；
2. 如图2，不等式kx＋b<0的解集 函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分(y<0)所对应的x的取值范围；
图2
与一元一次不等式的关系 3. 如图3，不等式kx＋m＞ax＋b的解集就是函数y1＝kx＋m的图象在y2＝ax＋b的图象上方部分所对应的x的取值范围，即x＞xp；
4. 如图3，不等式kx＋m＜ax＋b的解集就是函数y1＝kx＋m的图象在y2＝ax＋b的图象下方部分所对应的x的取值范围，即x＜xp
图3
重难点分层练
例1 已知一次函数y＝(m－2)x＋1－m，解答下列问题：
(1)若y是关于x的正比例函数，则m的值为____；
(2)若m＞2，则一次函数y＝(m－2)x＋1－m的图象可能是(　　)
一题多设问
1
B
回顾必备知识
(3)若y随x的增大而减小，则m的值可以是__________________________；
(4)若该函数图象经过点(－2，－4)．
①该一次函数的表达式为____________，函数图象不经过第______象限；
②与x轴的交点A的坐标为________，与y轴的交点B的坐标为_________，△AOB的面积为________；
③若E(3，m)，F( ，n)是一次函数图象上两点，则m________n(填
“＞”“＜”或“＝”)；
－1(答案不唯一，m＜2即可)
y＝x－2
二
(2，0)
(0，－2)
2
＞
④结合函数图象，当(m－2)x＋1－m＜0时，x的取值范围为________．
(5)若一次函数的图象向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度得到直线y＝3x，则m的值为________．
x＜2
5
例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)根据函数图象，写出kx＋b>3x的解集为____________；
一题多设问
例2题图
x＜1
提升关键能力
(2)求一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为(1，3)．
将A(－2，6)、C(1，3)代入y＝kx＋b中，
得 解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋4；
例2题图
(3)若点M为x轴上一点，当CM＋AM的值最小时，求点M的坐标；
例2题解图
(3)如解图，作点C关于x轴的对称点C′，
由(2)知，点C的坐标为(1，3)，
∴C′(1，－3)，CM＝C′M.
连接AC′，则AC′与x轴的交点即为CM＋AM的值最小时点M的位置．
设AC′所在直线的解析式为y＝k1x＋b1，
将A(－2，6)、C′(1，－3)代入，
得 解得
∴AC′所在直线的解析式为y＝－3x.
当y＝0时，x＝0，
∴M(0，0)；
例2题解图
(4)若点N在y轴负半轴上，且满足S△CON＝ S△BOC，求点N的坐标；
(4)令y＝0，即－x＋4＝0，解得x＝4，
∴点B的坐标为(4，0)．
设点N的坐标为(0，n)(n＜0)，
∵S△CON＝ S△BOC，
∴ |n|×1＝ × ×4×3，解得n＝4或－4.
∵n＜0，∴n＝－4，
∴点N的坐标为(0，－4)；
例2题图
(5)正比例函数y＝3x的图象平移m个单位后交一次函数y＝kx＋b的图象于点E，若AE＝2BE，求m的值．
(5)解：由题意可知，正比例函数y＝3x平移m个单位后的解析式为
y＝3x＋m，
∵AE＝2BE，
∴分两种情况讨论：
①当点E在A、B之间时，易知点E的横坐标为2，
将x＝2代入y＝－x＋4，得y＝2，
∴E(2，2)．
例2题图
将E(2，2)代入y＝3x＋m，得2＝3×2＋m，解得m＝－4；
②当点E不在A、B之间时，易知点E的横坐标为10，
将x＝10代入y＝－x＋4，得y＝－6，
∴E(10，－6)．
将E(10，－6)代入y＝3x＋m，得－6＝3×10＋m，解得m＝－36.
综上所述，m的值为－4或－36.
例2题图
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
一次函数的图象与性质
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3，0)，M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx＋b上，则b的最大值是(　　)
A. B.
C. －1 D. 0
第1题图
A
拓展训练
2. 已知函数y＝bx－k的图象如图所示，则y＝－kx－b的大致图象是
(　　)
B
3. 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在一次函数y＝－ x＋b的图象上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　)
A. y1 ＞ y2 B. y1 ＜y2
C. y1 ＝ y2 D. y1 ＝ －y2
4．已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过(－1，1)，请写出一个符合条件的函数解析式________________________________
____________．
A
y＝－2x(答案不唯一，k<0且
k≠－1即可)
2
命题点
一次函数的解析式的确定
5. 在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为(　　)
A. y＝－ x＋4 B. y＝－ x＋4
C. y＝－ x＋4 D. y＝4
A
拓展训练
6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为(　　)
A. －5 B. 5
C. －6 D. 6
A
7. 如图，与图中直线y＝－x＋1关于x轴对称的直线的函数表达式是____________．
第7题图
y＝x－1
8. 如图，直线l1：y＝x＋3与过点A(3，0)的直线l2交于点C(1，m)，与x轴交于点B.
(1)求直线l2的解析式；
第8题图
解：(1)把x＝1代入y＝x＋3得y＝4，
∴C(1，4)．
设直线l2的解析式为y＝kx＋b，
∴ 解得
∴直线l2的解析式为y＝－2x＋6；
(2)点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
(2)在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－3，
∴B(－3，0)，
∴AB＝3－(－3)＝6.
设M(a，a＋3)，由MN∥y轴，得N(a，－2a＋6)，
MN＝|a＋3－(－2a＋6)|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝－1，
∴点M的坐标为(3，6)或(－1，2)．
第8题图
3
命题点
拓展训练
一次函数与方程、不等式的关系
9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x－1与直线y＝kx＋b(k≠0)相交于点P(2，3)．根据图象可知，关于x的不等式2x－1>kx＋b的解集是(　　)
A. x<2 B. x<3
C. x>2 D. x>3
第9题图
C
10. 若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线
y＝－ x＋b－1上，则常数b＝(　　)
A. B. 2
C. －1 D. 1
B
11．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝ x＋ 与
直线l2：y＝kx＋3相交于点A，则方程组 的解为________．
第11题图(共34张PPT)
第10课时 平面直角坐标系与函数
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
平面直角坐
标系与函数
根据条件建立合适的
坐标系并简单应用
平面直角坐
标系中点的
坐标特征
点的平移
坐标轴上
各象限角平分线上
平行于坐标
轴的直线上
各象限内
点的对称
点到坐标轴及
原点的距离
平行于坐标轴的直
线上两点的距离
平面直角坐
标系中的距离
概念
表示方法
图象的画法
函数及其
相关概念
函数自变量
的取值范围
表达式的形式
含有二次根式
含有分式
含有分式
与二次根式
考点精讲
【对接教材】北师：八上第三章P53～P73，
八上第四章P75～P78；
人教：七下第七章P63～P86，
八下第十九章P71～P85.
1
考点
平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内 点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限 x＜0，y____0；
点P(x，y)在第四象限 x____0，y＜0
坐标轴上 x轴上的点的________坐标为0；
y轴上的点的________坐标为0；
原点坐标为________
注：坐标轴上的点不属于任何象限
＜
＞
(－，－)
(＋，－)
纵
横
(0，0)
各象限角平分线上 点A1(x，y)在第一、三象限角平分线上，则横纵坐标________；
点A2(x，y)在第二、四象限角平分线上，则横纵坐标____________；
平行于坐标轴的直线上 平行于x轴的直线上点的________坐标相等；
平行于y轴的直线上点的________坐标相等
点的对称 P(a，b) P1___________；
P(a，b) P2___________；
P(a，b) P3___________；
口诀：关于坐标轴对称，关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号
关于y轴对称
关于x轴对称
关于原点对称
相等
互为相反数
纵
横
(a，－b)
(－a，b)
(－a，－b)
点的平移 Q(x，y) Q1____________；
Q(x，y) Q2____________；
Q(x，y) Q3____________；
Q(x，y) Q4_____________；
口诀：左减右加，上加下减
向左平移a(a>0)个单位
向右平移a(a>0)个单位
向上平移b(b>0)个单位
向下平移b(b>0)个单位
(x－a，y)
(x＋a，y)
(x，y＋b)
(x，y－b)
2
考点
平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴 及原点的距离 1. 点P(a，b)到x轴的距离是________；
2. 点P(a，b)到y轴的距离是________；
3. 点P(a，b)到原点的距离是_______________；
平行于坐标轴的 直线上两点的距离 P(x，y)，Q(x1，y1)为坐标系中任意两点：
1. 若PQ∥x轴 y＝y1，PQ＝|x－x1|；
2. 若PQ∥y轴 x＝x1，PQ＝|y－y1|
【知识拓展】P(x，y)，Q(x1，y1)为坐标系中任意两点： (1)中点坐标公式：PQ的中点坐标为( ， )； (2)两点间距离公式：PQ＝ |b|
|a|
3
考点
根据条件建立合适的坐标系并简单应用
根据条件建立合适的坐标系 第一步：根据题中两点的横、纵坐标的大小关系确定x轴、y轴的大致方向；
第二步：根据一个已知点的坐标，确定x轴、y轴的具体位置；
第三步：将另一个已知点的坐标放到这个坐标系中进行验证，如果成立，则所建立的坐标系正确
应用 用坐标表示地理位置：物体的位置是相对的，描述一个物体的位置时，必须以某一个物体为参照物，来叙述它与参照物的方向和距离，建立平面直角坐标系是关键，用点的坐标表示位置是基本方法
4
考点
函数及其相关概念
概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是________，y是x的函数；函数值：在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值
表示方法 解析式法、列表法、______________
图象的画法 1. 列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
2. 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
3. 连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用___________连接起来
自变量
图象法
平滑的曲线
5
考点
函数自变量的取值范围
表达式的形式 自变量的取值范围
含有分式 ______________________
含有二次根式 ________________________
含有分式与二次根式 分母不为0，且被开方数大于或等于0
分母不为0
被开方数大于或等于0
重难点分层练
回顾必备知识
例1 在平面直角坐标系中，已知点P(m－3，4－2m)，请解答下列问题：
(1)若点P在第三象限，则m的取值范围是___________；
(2)当m＝4时．
①点P关于x轴对称的点的坐标为__________，关于y轴对称的点的坐标为____________，关于原点成中心对称的点的坐标为__________；
一题多设问
2＜m＜3
(1，4)
(－1，－4)
(－1，4)
②把点P向右平移3个单位得到的点的坐标为__________，再向下平移4个单位得到的点的坐标为___________；
(3)若点P是第二象限内一点，且到x轴的距离为4，则点P的坐标为______________，点P到原点的距离为________；
(4)若点A(1，－6)，直线PA∥x轴，则点P的坐标为____________.
(4，－4)
(4，－8)
(－3，4)
5
(2，－6)
例2　一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地．快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时．甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y(千米)与快车行驶时间t(小时)之间的函数图象是(　　)
提升关键能力
C
【分层分析】
【第一步】理清坐标轴表示的含义：在平面直角坐标系中，x轴表示的是______________，y轴表示的是__________________；
【第二步】分段研究运动过程：两车之间的距离需要分三段研究：
(1)刚开始出发时，时间x＝0，距离y＝________千米，随后相向而行，到相遇时，距离y＝0，时间x＝________小时，即出发到相遇时，y随x的增大而______，相遇时快车行驶的路程为________千米，特快车行驶的路程为________千米；
快车行驶时间
两车之间的距离
1000
4
减小
400
600
(2)两车相遇后，向反方向行驶，即相遇后，y随x的增大而________；特快车还要经过________小时到达甲地，快车还要经过________小时到达乙地；
(3)当特快车到达目的地时，快车还在行驶，此时总的速度将减慢，即特快车到达甲地后，y随x变化的速度变缓慢．
增大
6
根据实际问题判断函数图象的方法：
1. 弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；
2. 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
3. 找拐点：图象上的拐点既是前一段函数的终点，又是后一段函数的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
4. 判断图象趋势：函数值随自变量变化越大，倾斜度越大，函数值随自变量变化越小，倾斜度越小．
满分技法
例3 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径，点Q以相同的速度沿A→C的路径，运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是(　　)
C
【分层分析】
【第一步】理清坐标轴表示的意义：在平面直角坐标系中，x轴表示的是________________，y轴表示的是________________；
【第二步】分段研究运动过程：由AB＝3，AC＝5可知，BC＝_____，△APQ的面积需要分三段研究：
(1)当点P在AB上运动，点Q在AC上运动时，x的取值范围是0≤x≤3，如解图①，过点Q作QH⊥AB于点H，则y＝ AP·QH＝_____，
此时y是关于x的________函数，函数图象开口________；
点P的运动路程
△APQ的面积
4
二次
向上
例3题解图
(2)当点P在BC上运动，点Q在AC上运动时，x的取值范围是3＜x≤5，如
解图②，过点P作PH⊥AC于点H，则y＝ AQ·PH＝_____________，此
时y是关于x的________函数，函数图象开口________；
二次
向下
例3题解图
(3)当点P在BC上运动，点Q静止于点C处时，x的取值范围是5＜x≤7，如
解图③，y＝ AB·PQ＝___________，此时y是关于x的_____函数，故y
关于x的函数图象如选项_____所示．
一次
C
例3题解图
分析判断几何动点问题的函数图象题目，一般有两种类型：
1. 观察型(函数的图象有明显的增减性差异)：根据题目描述，只需确定函数值在每段函数图象上随着自变量的增减情况或变化的快慢即可得解：
(1)当函数值随着自变量增大而增大时，函数图象呈上升趋势，反之则呈下降趋势；
(2)当函数值随着自变量增大而不变时，函数图象与x轴平行．
2. 计算型：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的解析式，最后由每段函数的解析式确定函数图象的形状．
满分技法
平面直角坐标系中点的坐标特征(呼和浩特2考)
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
1. (2021贵港)在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
拓展训练
C
2. (2021海南)如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0, 2), 点B的坐标为(2, 0)，则点C的坐标是(　　)
A. (2，2)　　 B. (1，2)
C. (1，1)　　 D. (2，1)
第2题图
D
3. (2021宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－1, 2)向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是___________．
第3题图
(1，－2)
函数自变量的取值范围(包头4考，赤峰2021.15)
2
命题点
4. (2023包头5题3分)在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
(　　)
A. x>－1 B. x≥－1
C. x>－1且x≠2 D. x≥－1且x≠2
D
5. (2022包头13题3分)函数y＝ 中，自变量x的取值范围是_______．
6. (2021赤峰15题3分)在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是
_________________．
x≠3
x≥－1且x≠
7. 函数y＝ 中，自变量x的取值范围是______________．
拓展训练
x＜
函数图象的分析与判断(赤峰4考)
3
命题点
8. (2023赤峰7题3分)如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)，能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是(　　)
第8题图
D
9. (2021赤峰14题3分)甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起
点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是(　　)
①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
第9题图
B
10. (2022赤峰14题3分)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是(　　)
第10题图
A
11. (2021菏泽)如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x＋1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图②所示，那么矩形ABCD的面积为(　　)
A. B. 2
C. 8 D. 10
第11题图
拓展训练
C
12. (2021河南)如图①，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为(　　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
第12题图
C
13．(2021 资阳)一对变量满足如图所示的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀
速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积
为y升；
第13题图
创新考法
③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，点P从点A出发，沿AC→CD→DA路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，△ABP的面积为y.
其中，符合图中函数关系的情境个数为(　　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
A
第13题图(共48张PPT)
第14课时 二次函数的图象与性质
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
二次函数
图象与性质
二次函数图象的平移
根据二次函数解
析式判断函数性质
根据二次函数解
析式判断函数图象
二次函数的
图象与性质
二次函数
的概念
概念
特殊形式
解析式的三种形式
确定二次函数
解析式的步骤
二次函数解
析式的确定
考点精讲
【对接教材】北师：九下第二章P29～P45；　　
人教：九上第二十二章P28～P42.
1
考点
二次函数的概念
概念 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数
特殊形式 特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式
2
考点
二次函数的图象与性质
1. 根据二次函数解析式判断函数性质
对称轴 1. 直接利用公式x＝______求解；
2. 转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线_________
注:还可利用x＝ (其中x1、x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解
顶点 坐标 1. 直接利用顶点坐标___________________求解；
2. 将一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为________；
3. 将对称轴x＝x0代入函数解析式求解
x＝h
( ， )
(h，k)
增减性 a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______
最值 a>0时，y有最小值_________ a<0时，y有最_____值
减小
增大
减小
增大
大
2. 根据二次函数解析式判断函数图象
a的正负 (决定开口方向) a＞0 开口________
a＜0 开口________
a，b (决定对称轴位置) b＝0 对称轴为y轴
a、b同号 对称轴在y轴______侧
a、b异号 对称轴在y轴______侧
c(决定与y轴 交点的位置) c＝0 抛物线过原点
c>0 抛物线与y轴交于________
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
向上
向下
左
右
正半轴
b2－4ac (决定抛物线与x轴交点个数) b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有________个交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
两
二次函数解析式的确定
3
考点
1. 解析式的三种形式
一般式 ________________________
顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标是__________
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(h，k)
2. 确定二次函数解析式的步骤
方法 待定系数法
具体方法 1. 对于二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入二次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标；
2. 对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的解析式：
(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；
(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；
(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；
(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；
具体方法 (5)已知顶点(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；
(6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴及与x轴的一个交点(x1，0)，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2，0)，可设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)；
(7)已知二次函数图象上任意三点坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c；
3. 联立一次方程(组)，求得系数或常数项；
4. 将所得系数或常数项代入解析式即可
【满分技法】 若已知抛物线与x轴相交的其中一个交点是A(x1，0)，且其对称轴是直线x＝h，则另一个交点B的横坐标为x2＝2h－x1 4
考点
二次函数图象的平移
平移前解析式 平移n个单位(n＞0) 平移后解析式 简记
y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 向左平移n个单位 y＝a(x－h )2＋k 左“＋”右“－”
向右平移n个单位 y＝a(x－h )2＋k 向上平移n个单位 y＝a(x－h)2＋k 上“＋”下“－”
向下平移n个单位 y＝a(x－h)2＋k 【满分技法】在一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移单位，上下平移给等号右边整体加减平移单位
＋n
－n
＋n
－n
重难点分层练
一、二次函数图象与性质
例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的几组对应值如下表：
一题多设问
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
回顾必备知识
根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)观察表格可得抛物线与x轴的交点坐标为___________________；与y轴的交点坐标为________；抛物线的对称轴为直线____________；顶点坐标为____________；
(0，3)
(－3，0)、(1，0)
x＝－1
(－1，4)
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
(2)根据描点法画出该函数的大致图象；
例1题图
(3)抛物线的开口向________；
(4)抛物线的表达式为_____________________，化为顶点式为_____________________；
(5)抛物线上的点A( ， )关于抛物线对称轴
对称的点B的坐标为_______________；
下
y＝－x2－2x＋3
y＝－(x＋1)2＋4
(－ ， )
例1题图
(6)若点C为抛物线上一点，且到对称轴的距离为1，则点C的坐标为__________________________；
(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三点在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为_________________；
(8)当－1≤x≤3时，y的最小值为________，
y的最大值为________．
y3＜y1＜y2
－12
4
(－2，3)或(0，3)
例1题图
二、二次函数解析式的确定
形式一　解析式未给出
例2 (1)已知抛物线以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求抛物线的解析式；
解：(1) ∵抛物线以A(－1，4)为顶点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
将点B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，
解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3
(2)若抛物线经过(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三点，求抛物线的解析式；
(2)∵抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1)，
将点(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；
(3)若抛物线过原点，且经过点(－1，－4)、(2，2)，求抛物线的解析式.
(3)∵抛物线过原点，
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
将点(－1，－4)、(2，2)分别代入，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x.
形式二　解析式已给出
例3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1.
(1)当抛物线经过(1，－2)和(3，－2)两点时，求抛物线的解析式；
一题多设问
解：(1)将点(1，－2)，(3，－2)代入y＝ax2＋bx＋1，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋1；
(2)当抛物线的顶点坐标为(2，－1)时，求抛物线的解析式；
(2)由题意得
解得 或 (不合题意，舍去)
∴抛物线的解析式为y＝ x2－2x＋1；
(3)当抛物线的对称轴为直线x＝－1，且经过点(2，0)时，求抛物线的解析式；
(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴－ ＝－1，
∴b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋1.
将点(2，0)代入，得4a＋4a＋1＝0，解得a＝－ ，
∴抛物线的解析式为y＝－ x2－ x＋1；
(4)若抛物线经过A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三点中的两点，求抛物线的解析式．
(4)由题意可知，抛物线经过点(0，1)，
∵过点(0，1)和A(2，3)的直线解析式为y＝x＋1，且点B(4，5)也在该直线上，
∴抛物线经过A(2，3)，B(4，5)两点中的一点．
∵B(4，5)，C(4，3)两点的横坐标相同，
∴抛物线经过B(4，5)，C(4，3)两点中的一点，
∴抛物线经过A(2，3)，C(4，3)两点．
将A(2，3)，C(4，3)两点代入，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x＋1.
形式三　二次函数图象的平移确定解析式
例4 已知抛物线y＝－x2＋4x－3.
(1)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式；
解：(1)由题意可知，平移后的抛物线的解析式为
y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，
即y＝－x2＋2x＋2；
(2)将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线过点(0，1)，求平移后的抛物线的解析式．
(2)抛物线y＝－x2＋4x－3可化为y＝－(x－2)2＋1，
设抛物线沿x轴平移h个单位长度，
则平移后的解析式为y＝－(x－2＋h)2＋1，
∵平移后的抛物线过点(0，1)，
∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋1.
例5 已知抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m.
(1)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，则m的值为___________；
(2)若x＜3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为________；
(3)若抛物线经过第一、二、三象限，则m的取值范围为___________；
一题多设问
－1
m≤－3
≤m＜1
提升关键能力
(4)若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且yB＞yC，求m的取值范围；
(4)∵点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m上，
∵yB＝4＋4m＋2m2－m，yC＝25＋10m＋2m2－m，
∵yB＞yC，
∴4＋4m＋2m2－m＞25＋10m＋2m2－m，
解得m<－ ，
即m的取值范围为m<－ ；
(5)当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值；
(5)①当－m≤1，即m≥－1时，
当x＝1时y有最小值6，
∴1＋2m＋2m2－m＝6，即2m2＋m－5＝0，
解得m＝ 或m＝ (不合题意，舍去)；
②当1<－m<3，即－3≤m＜－1，
当x＝－m时，y有最小值6，
∴当m2－m＝6，即m2－m－6＝0，
解得m＝－2或m＝3(不合题意，舍去)；
③当－m≥3，即m≤－3，
当x＝3时，y有最小值6，
∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，
解得m＝－ (不合题意，舍去)或m＝－1(不合题意，舍去)．
综上所述，m的值为 或－2；
(6)该抛物线的顶点随m的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物线的顶点坐标；
(6)抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m的顶点为(－m，m2－m)，
顶点移动到最低处，即顶点纵坐标最小，
∵m2－m＝(m－ )2－ ，
∴当m＝ 时，纵坐标最小，即顶点移到最低处，
当m＝ 时，－m＝－ ，m2－m＝－ ，
∴当顶点移到最低处时，该抛物线的顶点坐标为(－ ，－ )；
(7)当m＝2时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方法及平移后的抛物线的解析式．
(7)当m＝2时，该抛物线解析式为y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，
将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，可使其顶点恰好落在原点，平移后的抛物线的解析式为y＝x2.
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
二次函数的图象与性质
1. (2021呼和浩特3题3分)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
D
2. (2023包头10题3分)已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图象不经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
3. (2023赤峰12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
以下结论正确的是(　　)
A. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B. 当x<3时，y随x增大而增大
C. 方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D. 当y>0时，x的取值范围是0x … －1 0 1 2 3 …
y … 3 0 －1 m 3 …
C
4. (2023呼和浩特10题3分)已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(m，0)，(n，0)，且过A(0，b)，B(3，a)两点(b，a是实数)，若0A. 0＜ab＜ B. 0＜ab＜
C. 0＜ab＜ D. 0＜ab＜
C
5. (2023包头20题3分)已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D(4，y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BE＋DE的值最小时，△ACE的面积为________．
4
二次函数图象的平移(包头2022.19，呼和浩特2022.7)
2
命题点
6. (2022呼和浩特7题3分)关于二次函数y＝ x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是(　　)
A. 若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4，5)，
则a＝－5
B. 当x＝12时，y有最小值a－9
C. x＝2对应的函数值比最小值大7
D. 当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
C
7. (2022包头19题3分)在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
4
8. (2023山西)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1, 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　　)
A. y＝3(x＋1)2＋3
B. y＝3(x－5)2＋3
C. y＝3(x－5)2－1
D. y＝3(x＋1)2－1
创新考法
C
9．(2023丽水)如图，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－5)，B(5，0)．
(1)求b，c的值；
第9题图
解：(1)把点A(0，－5)，B(5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c中，
得 解得
∴b，c的值分别为－4，－5；
(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M.
①求点M的坐标；
(2)①设AB所在直线的函数解析式为y＝kx＋n(k≠0)，
把A(0，－5)，B(5，0)分别代入y＝kx＋n，
得 解得
∴AB所在直线的函数解析式为y＝x－5.
由(1)得，抛物线L的解析式为y＝x2－4x－5，
第9题图
∴抛物线L的对称轴是直线x＝2，
当x＝2时，y＝x－5＝－3.
∴点M的坐标是(2，－3)；
第9题图
②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1，过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N，P是抛物线L1上一点，横坐标为－1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE＋MN＝10，求m的值．
②由(1)得抛物线L的解析式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，
∴设抛物线L1的解析式是y＝(x－2＋m)2－9.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标是(2，m2－9)．
∵点P的横坐标为－1，
第9题图
∴点P的坐标是(－1，m2－6m)．
设PE交抛物线L1于另一点Q，
∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2－m，PE∥x轴，
∴根据抛物线的对称性可知，点Q的坐标是(5－2m，m2－6m)，
此时，分三种情况讨论．
(ⅰ)如解图，当点N在点M及下方，即0PQ＝5－2m－(－1)＝6－2m，
MN＝－3－(m2－9)＝6－m2，
由平移性质得，QE＝m，
第9题解图
(ⅱ)如解图，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，
即 ∵PE＋MN＝10，
∴6－m＋m2－6＝10，
∴PE＝6－2m＋m＝6－m.
∵PE＋MN＝10，∴6－m＋6－m2＝10，
解得m1＝－2(舍去)，m2＝1；
第9题解图
解得m1＝ (舍去)，m2＝ (舍去)；
(ⅲ)如解图，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，
即m>3时，PE＝m，MN＝m2－6，
∵PE＋MN＝10，
∴m＋m2－6＝10，
解得m1＝ (舍去)，m2＝ .
综上所述，m的值是1或 .
第9题解图(共28张PPT)
第12课时 一次函数的
实际应用
内蒙古中考真题及拓展
2
重难点分层练
1
重难点分层练
回顾必备知识
例1　某小区为了绿化环境，计划购买A，B两种树苗共42棵，若A种树苗每棵的价格为40元，B种树苗每棵的价格为10元，设购买A种树苗x棵，总费用为W元，则W与x的函数关系式为______________．
W＝30x＋420 　
例2　 欣欣在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x(日) 1 2 3 4
成绩y(个) 40 42 44 46
欣欣的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为_____________．
y＝2x＋38 　
例3　一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内，弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则y关于x的函数表达式为______________．
例3题图
y＝0.5x＋6 　
例4　某文具店计划购进一批新款书包，恰逢厂家促销，给出以下优惠方案：当购买的数量不超过30个时，每个书包的单价为40元，当购买数量超过30个时，超出部分按8折优惠，设该文具店最终购进书包x个，则
购进这批书包的费用y与x的函数解析式为________________________，
并画出函数图象．
例4题解图
提升关键能力
例5　某店销售A、B两种树木，售出20棵A种树木和10棵B种树木共收入2320元①，售出10棵A种树木和20棵B种树木共收入2240元②.
(1)求A、B两种树木的销售单价各是多少元？
【分层分析】设A种树木的销售单价为x元，B种树木的销售单价为y元，则根据题干①可列方程___________________________，
根据题干②可列方程_____________________________，
求解方程组即可．
20x＋10y＝2320
10x＋20y＝2240
解：(1)设A种树木的销售单价为x元，B种树木的销售单价为y元，
根据题意，得 解得
答：A种树木的销售单价为80元，B种树木的销售单价为72元；
【分层分析】设购进A种树木的数量为m棵，则根据题干③可知购进B种树木的数量为_____________棵，根据题干④可得m的取值范围为______________，设该店的获利为p元，利用p＝(售价－进价)×销售量列函数解析式，再根据函数的增减性及m的取值范围求解即可．
(2)若A种树木每棵的进价为65元，B种树木每棵的进价为62元．该店计划购进A，B两种树木共300棵进行销售③，且B种树木的数量不少于A种树木的2倍④，如果你是该店的负责人，请你设计一种进货方案，使销售完这300棵树木，本店的获利最大，并求出最大获利为多少元？
(300－m)
300－m≥2m
(2)设该店购进A种树木m棵，获利为p元，则购进B种树木(300－m)棵，
由题意，得p＝(80－65)m＋(72－62)(300－m)＝5m＋3000，
∵5＞0，∴p随m的增大而增大，
∴当m取最大值时，p有最大值．
由题意知300－m≥2m，解得m≤100,
∴当m＝100时，p取得最大值，p最大＝5×100＋3000＝3500(元)，
∴300－m＝200(棵)．
答：当购进A种树木100棵，B种树木200棵时，销售完这300棵树木，本店的获利最大，最大获利为3500元．
(3)某公园为了净化空气，美化环境，计划在该店购买A、B两种树木共100棵⑤，预算总费用不超过7600元⑥，则A种树木最多可购买多少棵？
【分层分析】设购买A种树木的数量为a棵，则根据题干⑤可知购买B种树木的数量为_______棵，根据题干⑥可列出不等式____________________，求解即可．
(100－a)
80a＋72(100－a)≤7600
(3)设购买A种树木的数量为a棵，则购买B种树木的数量为(100－a)棵，
由题意，得80a＋72(100－a)≤7600，
解得a≤50，
答：A种树木最多可购买50棵；
(4)植树节来临之际，该店让利顾客，对于A、B两种树木，推出以下优惠方案：购买A种树木超过5棵时，超出部分可以享受八折优惠，不超过的部分按原价售出⑦，B种树木全部按九折出售⑧．某校决定在A，B两种树木中购买其中一种，请你帮助该校判断选择购买哪种树木更省钱．
【分层分析】设购买树木n棵，则A种树木所需费用为yA元，B种树木所需费用为yB元，则根据题干⑦可得当0＜n≤5时，yA＝________；当n＞5时，yA＝_____________，根据题干⑧可得yB＝________，分三种情况进行讨论即可．
80n
64n＋80
64.8n
(4)设购买树木n棵，A种树木所需费用为yA元，B种树木所需费用为yB元，
根据题意得，
yA＝
yB＝64.8n，
当n≤5时，yA＞yB，
当n＞5且yA＝yB时，即64n＋80＝64.8n，解得n＝100；
当yA＜yB时，即64n＋80＜64.8n，解得n＞100；
当yA>yB时，即64n＋80＞64.8n，解得n＜100.
∴当购买树木数量100棵时，两种树木所需费用相同；当购买树木数量大于100棵时，购买A种树木更省钱；当购买树木数量小于100棵时，购买B种树木更省钱．
内蒙古中考真题及拓展
命题点
一次函数的实际应用
1. (2021呼和浩特21题7分)下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3.
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数)．根据
上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式
一和方式二如何计费．
(2)观察你的列表．你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
(1)根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的__________，y表示问题中的_________．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
主叫时间
计费
解:(1)方式一：
方式二：
(2)在给出的正方形网格纸上画出(1)中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．(注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定)
第1题图
270
150
58
方式一
350
88
方式二
(2)由图象可知：当主叫时间在270 min以内选方式一，270 min时两种方式都可以，超过270 min选方式二．
第1题图
270
150
58
方式一
350
88
方式二
2. (2023包头23题10分)某商店销售A，B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
解：(1)设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，根据题意，
得 解得
答：A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元；
(2)该商店计划购进A，B两种商品共60件，且A，B两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
(2)设购进A种商品m件，则购进B种商品(60－m)件，
根据题意，得110m＋140(60－m)≤7800，
解得m≥20.
令总利润为w，
则w＝[140m＋180(60－m)]－[110m＋140(60－m)]＝－10m＋2400，
∵－10<0，m≥20，
∴当m＝20时，w有最大值，
∴60－m＝40(件)，
答：当购进A种商品20件，B种商品40件时，这两种商品全部售出后总获利最多．
3. (2023大庆)如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
拓展训练
第3题图
(1)图②中折线EDC表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为______cm.
乙
甲
16
(2)注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？(请写出必要的计算过程)
(2)设甲槽中水的深度y1＝k1x＋b1(k1≠0)，把A(0，14)，B(7，0)代入，
得 解得
∴甲槽中水的深度y1＝－2x＋14.
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，
设乙槽DE段水的深度y2＝k2x＋b2(k2≠0)，
把E(0，4)，D(4，16)代入，
第3题图
得 解得
∴乙槽中水的深度y2＝3x＋4(0≤x≤4)，
∴甲、乙两个水槽中水的深度相同时，有－2x＋14＝3x＋4，解得x＝2，
故注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同．
第3题图
4. (2021贵阳)为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间(小时) 1
制作一件产品所获利润(元) 20 3 10
(1)若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
解：(1)设展板数量为x，宣传册数量为5x，横幅数量为y，则有
解得
答：制作展板的数量为10个，宣传册的数量为50本，横幅的数量为10条；
(2)若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．
(2)设制作三种产品总量为w，展板数量为m件，则宣传册数量为5m本，横幅数量为(w－6m)条，
由题意，得20m＋3×5m＋10(w－6m)＝700，
整理，得w＝ m＋70，
∴w是m的一次函数．
∵k＝ >0，
∴w随m的增大而增大．
∵三种产品均有制作，且w，m均为正整数，
∴当m＝2时，w有最小值，w最小＝75.
答：制作三种产品总量的最小值为75.(共32张PPT)
第15课时 二次函数的图象与系数a、b、c的关系
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
二次函数的图
象与系数a、
b、c的关系
根据二次函数图
象判断相关结论
根据二次函数图象
判断a、b、c的
关系式与0的关系
与一元二次
方程的关系
与一次函
数的关系
二次函数与一
元二次方程、一
次函数的关系
二次函数的图
象与系数a、
b、c的关系
考点精讲
【对接教材】北师：九下第二章P51～P55；　
人教：九上第二十二章P43～P48.
1
考点
二次函数的图象与系数a、b、c的关系
1. 根据二次函数图象判断相关结论
图象(草图)
结论 a＞0； b______0； c______0； b2－4ac______0 a______0；
b______0；
c______0；
b2－4ac______0
＝
＝
＝
＞
＞
＝
＞
图象(草图)
结论 a＜0； b______0； c______0； b2－4ac______0 a______0；
b______0；
c______0；
b2－4ac＞0
＞
＜
＜
＜
＞
＝
2. 根据二次函数图象判断a、b、c的关系式与0的关系
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
2a＋b 对称轴x＝－ 与直线x＝1的位置关系 对称轴x＝－ 在直线x＝1左侧 2a＋b＞0 2a＋b＜0
对称轴x＝－ 与直线x＝1重合 2a＋b＝0 对称轴x＝－ 在直线x＝1右侧 2a＋b＜0 2a－b＞0
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
2a－b 对称轴x＝－ 与直线x＝－1的位置关系 对称轴x＝－ 在直线 x＝－1左侧 2a－b＜0 2a－b＞0
对称轴x＝－ 与直线 x＝－1重合 2a－b＝0 对称轴x＝－ 在直线 x＝－1右侧 2a－b＞0 2a－b＜0
结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
a＋b＋c 抛物线与直线x＝1的交点的位置 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上方 a＋b＋c>0 抛物线与直线x＝1的交点在x轴上 a＋b＋c＝0 抛物线与直线x＝1的交点在x轴下方 a＋b＋c<0 结论形式 联系知识 观察图象 结论判定 a＞0 a＜0
a－b＋c 抛物线与直线x＝－1的交点的位置 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上方 a－b＋c>0 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上 a－b＋c＝0 抛物线与直线x＝－1的交点在x轴下方 a－b＋c<0 2
考点
二次函数与一元二次方程、一次函数的关系
与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标值．
1. 抛物线与x轴有两个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有两个_________的实数根 b2－4ac＞0；
2. 抛物线与x轴有且只有一个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 b2－4ac________0；
3. 抛物线与x轴无交点 方程ax2＋bx＋c＝0_______________
b2－4ac________0
不相等
＝
无实数根　
＜
与一次函数的关系 一次函数y＝kx＋n(k≠0)的图象l与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象G的交点个数，由方程组 的解的数目确定，方程组有两组不同的解 l与G有两个交点；方程组只有一组解 l与G只有一个交点；方程组无解 l与G没有交点
重难点分层练
例1 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 对称轴为直线 x＝－1，与 x轴的一个交点为 B(1，0).
结合图中信息，填空(填“＞”、“＜”或“＝”)．
一题多设问
例1题图
(1)a________0； 2a－b________0；
b________0； c________0；
abc________0；
＞
＝
＞
＜
＜
回顾必备知识
(2)b2－4ac________0；
(3)a－b＋c________0；
(4)4a－2b＋c________0；
(5)9a－3b＋c________0；
(6)3a＋c________0；
(7)b2－c2________0.
＞
＜
＜
＝
＝
＜
例1题图
例2 已知抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m(m是常数).
(1)若抛物线经过点(0，4)，则其与x轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由；
一题多设问
解：(1)有交点，理由如下：
∵抛物线经过点(0，4)，
∴1－3m＝4，解得m＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.
提升关键能力
令y＝0，即－x2＋3x＋4＝0, 解得x1＝－1，x2＝4，
∴该抛物线与x轴有交点，交点坐标为(－1，0)，(4，0)；
(2)若抛物线与 x轴交于A、B两点，求m的取值范围；
(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴m≠0，b2－4ac＝(1－2m)2－4m(1－3m)＝(4m－1)2＞0，
解得m≠ ，
∴m的取值范围为m≠ 且m≠0;
(3)若抛物线与y轴的负半轴交于一点，且该点到x轴的距离为2，P为抛物线上一点，若其到x轴的距离为3，求点P的坐标；
(3)由题意知抛物线与y轴交于点(0，－2)，
∴1－3m＝－2，解得m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.
∵点P到x轴的距离为3，
∴点P的纵坐标为3或 －3,
当 －3＝x2－x－2时，方程无解，
当3＝x2－x－2时， 解得x1＝ ，x2＝ ，
∴点P坐标为( ，3)或( ，3);
(4)若该抛物线与直线y＝－2只有一个交点，求m的值；
(4)∵该抛物线与直线y＝－2只有一个交点，
∴交点坐标即为顶点坐标，
即
化 简 得16m2－16m ＋1＝0，
解得m＝
即m的值为 或
(5)若该抛物线与直线y＝2x＋3有两个交点，其横坐标分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，求m的值．
(5)∵该抛物线与直线y＝2x＋3有两个交点，
∴令mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝2x＋3，
化简得mx2＋(－1－2m)x－2－3m＝0，
∵x1＋x2＝3，
∴ ＝3，
解得m＝1.
(6)已知点E(－1，0)、F(4，9)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求m的取值范围．
(6)抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m中，
当x＝－1时，y＝m－1＋2m＋1－3m＝0，
∴抛物线恒过点E(－1，0)，
①当m＞0时，要使抛物线与线段EF只有一个交点，
则当x＝4时，F(4，9)在抛物线上方，即16m＋4－8m＋1－3m＜9，
解得m＜ ，
∴m的取值范围为0＜m＜ ；
②同理当m＜0时，则有16m＋4－8m＋1－3m＞9，
解得m＞ ，
此时，不符合题意，
综上所述，m的取值范围为0＜m＜
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
二次函数与系数a、b、c的关系
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0，上述结论中正确的是________．(填上所有正确
结论的序号)．
第1题图
②③④
拓展训练
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2－4ac>0；③方程ax2＋bx＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；④7a＋c<0.其中正确的有(　　)
A. ①④ B. ②③
C. ③④ D. ②④
x … －3 －2 －1 1 2 …
y … 1.875 3 m 1.875 0 …
B
3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－10；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④当x＝m(11.其中正确的有________．(填写正确的序号)
第3题图
②④⑤
2
命题点
二次函数与一元二次方程
4.已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为(　　)
A. 0 B. －1
C. － D. －
D
拓展训练
5. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．
1
6．如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.
(1)求m和b的值；
第6题图
解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)，
∴4＋2m＝0，解得m＝－2.
∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)，
∴－2＋b＝0，解得b＝2；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；
(2)联立
得x2－2x＝－x＋2，
∴x2－x－2＝0，
解得x1＝2(舍去)，x2＝－1，
∴点B的坐标为(－1，3)．
结合图象可知，不等式x2＋mx＞－x＋b的解集为x＜－1或x＞2；
第6题图
(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
(3)－1≤xM＜2或xM＝3.
第6题图
7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－2，1)，(2，－3)两点．
(1)求b的值；
解：(1)将点(－2，1)，(2，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，
得
②－①得b＝－1；
②，
①，
(2)当c＞－1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是________；
(3)设(m，0)是该函数的图象与x轴的一个公共点．当－11
(3)a<0或a> .(共33张PPT)
第16课时 二次函数的实际应用
内蒙古中考真题及拓展
2
重难点分层练
1
重难点分层练
回顾必备知识
例1　竖直上抛物体时，物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面3 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，则h与t的函数关系式为__________________．
h＝－5t2＋20t＋3
例2　如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为600 m(篱笆的厚度忽略不计)，设AB的长为x，矩形土地ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式为
___________________．
例2题图
y＝－ x2＋300x
例3　某超市购进一批单价为70元的生活用品，如果按每件100元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每降低1元，其销售量相应增加1件，设每天所获利润为W元，当降价x元(x≥8)时，则此时销售量为_____________件，利润W与x之间的函数关系式为______________________.
(20＋x)
W＝－x2＋10x＋600
满分技法
利润＝售价－进价；
总利润＝单件利润×销售量．
定价＝原售价＋涨价；
销售量＝原销量－少卖的数量．
提升关键能力
例4　某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间有如下表所示关系：
x … 10 20 30 40 50 …
y … 17.5 15 12.5 10 7.5 …
(1)根据表中的数据，在图中描出实数对(x，y)所对应的点，并画出y关于x的函数图象；
例4题图
(2)根据画出的函数图象，求y与x之间的函数关系式；
【分层分析】设一次函数解析式，从表格中任选两点坐标，利用待定系数法求解即可．
(2)选择点的坐标为(20，15)和(30，12.5)，
设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(20，15)，(30，12.5)代入，
得 解得
∴y＝－ x＋20，代入其他点均符合此函数关系式，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－ x＋20；
(3)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式；
【分层分析】根据销售收入＝销售价×销售量，列出P与x之间的函数关系式．
(3)根据题意，
得P＝(1－20%)xy＝ (－ x＋20)x＝－ x2＋16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝－ x2＋16x；
(4)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？(销售利润＝销售收入－总支出)．
【分层分析】设销售利润为W，根据“销售利润＝销售收入－总支出”列关系式，其中销售收入为P，总支出为__________，所以W与x之间的函数关系式为_________________，化为顶点式根据二次函数的性质求解.
6.2x＋m
W＝P－(6.2x＋m)
(4)设销售利润为W(万元)
根据题意，得W＝P－(6.2x＋m)＝－ x2＋16x－6.2x－(50＋0.2x)，
整理，得W＝－ x2＋ x－50＝－ (x－24)2＋65.2，
∵－ ＜0，
∴当x＝24时，W有最大值，W最大＝65.2万元．
答：原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
例5　红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
【分层分析】当40≤x≤50时，y＝_____，当月销售单价大于50时，月销售单价涨价________元，销售量减少___________万件，
则y＝___________________，再根据销售量y≥0求出x的取值范围．
5
x－50
0.1(x－50)
5－0.1(x－50)
解：(1)由题知，当40≤x≤50时，y＝5，
当50＜x≤100时，y＝5－0.1(x－50)＝10－0.1x，
∴y与x之间的函数关系式为
(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
【分层分析】设月销售利润为W，根据“利润＝(售价－成本)×销售量，分别列出W关于x的关系式，利用函数的性质求解即可．
(2)设月销售利润为W万元，由题意，得
当40≤x≤50时，W＝(x－40)×5＝5x－200，
∵5＞0，
∴当x＝50时，W有最大值，W最大＝50(万元)；
当50＜x≤100时，
W＝(x－40)y
＝(x－40)(10－0.1x)
＝－0.1x2＋14x－400
＝－0.1(x－70)2＋90，
∵－0.1＜0，
∴当x＝70时，W有最大值，W最大＝90(万元)，
∵50＜90，
∴当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
(3)若该公司月销售利润要达到80万元，并让利于民，则月销售单价应为多少元？
【分层分析】要使该公司月销售利润达到80万元，则可列方程为_________________________，并根据让利于民得到合适的销售单价．
－0.1x2＋14x－400＝80
(3)∵该公司月销售利润要达到80万元，
∴50＜x≤100.
根据题意，得－0.1x2＋14x－400＝80，
解得x1＝60，x2＝80，
∵让利于民，
∴x＝60.
答：若该公司月销售利润要达到80万元，并让利于民，则月销售单价应为60元；
(4)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
【分层分析】列出含有未知数a的月销售利润与月销售单价的关系式，再根据月销售单价不高于70元/件和二次函数的性质得到a的值．
(4)根据题意，
得W＝(x－40－a)(10－0.1x)＝－0.1x2＋(14＋0.1a)x－400－10a，
此函数的对称轴为直线x＝－ ＝70＋0.5a＞70，
∵50＜x≤70，
∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，
即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4.
内蒙古中考真题及拓展
命题点
二次函数的实际应用
1.某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 .据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？
解：(1)设出租公司对外出租的货车共有x辆，
根据题意，得
解得x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意．
∴1500÷(20－10)＝150(元)，
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元；
(2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
(2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时，货车出租公司的日租金总收入为w元．根据题意，得
w＝[a＋150×(1＋ )]×(20－ )
＝－ a2＋10a＋4000
＝－ (a－100)2＋4500
∵－ ＜0，
∴当a＝100时，w有最大值．
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
2. 已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1(1)某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
解：(1)依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论，
令y＝60(－3t＋ ＋1)，当t＝1时，y＝180，
∵当0.1∴－3t＋ 的值随t的增大而减小，
∴y＝60(－3t＋ ＋1)随t的增大而减小，
∴当t＝1时，y取最小值，最小值是180；
(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克；
(2)由题意，得60(－3t＋ ＋1)×2＝1800，
整理，得－3t2－14t＋5＝0，
解得t＝ 或t＝－5(舍去)．
∴以 小时/千克的速度匀速生产产品可2小时获得利润1800元，
∴1天(按8小时计算)可生产该产品8÷ ＝24(千克)；
(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此时最大利润．
(3)生产680千克该产品获得的利润为y＝680t×60(－3t＋ ＋1)，
整理，得y＝－122400(t－ )2＋207400，
∵－122400＜0，
∴当t＝ 时，y最大，且最大值为207400元.
答：要使生产680千克该商品获得的利润最大，则该厂应该选取 小时/千克的生产速度，此时最大利润为207400元．
拓展训练
3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
第3题图
解：(1)设拱桥所在的抛物线解析式为y1＝a1x2，
由题意得F(6，－1.5)，
∴－1.5＝36a1，解得a1＝－ ，
∴拱桥所在的抛物线解析式为y1＝－ x2.
∵AB＝CD＝24，
∴OD＝12.
∵桥拱顶部离水面的距离为BD的长，
∴当x＝12时，y1＝－ ×122＝－6，
∴桥拱顶部O离水面的距离为6 m.
第3题图
第3题图
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
(2)①由题意得右边钢缆所在抛物线的顶点为(6，1)，
∴设右边钢缆所在抛物线的函数表达式为
y2＝a2(x－6)2＋1.
∵H(0，4)在右边钢缆所在抛物线上，
∴4＝a2(0－6)2＋1，
解得a2＝ ，
∴右边钢缆所在的抛物线表达式为y2＝ (x－6)2＋1；
(左边钢缆所在的抛物线表达式为y＝ (x＋6)2＋1)
第3题图
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
②设彩带长度为h m，
则h＝y2－y1＝ (x－6)2＋1－(－ x2)＝ x2－x＋4＝ (x－4)2＋2，
∵ ＞0，
∴当x＝4时，h有最小值，h最小＝2.
答：彩带长度的最小值是2 m.
第3题图(共38张PPT)
第13课时 反比例函数
内蒙古中考真题及拓展
3
考点精讲
1
重难点分层练
2
解析式
k
增减性
图象特征
图象
定义
所在象限
反比例函数
的图象与性质
反比例函数
解析式的确定
待定系数法
利用k的
几何意义
反比例函数
比例系数k的
几何意义
k的几何意义
基本图形面积
反比例函数
考点精讲
【对接教材】北师：九上第六章P148～P162；　　
人教：九下第二十六章P1～P22.
1
考点
反比例函数的图象与性质
定义 一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数 解析式 y＝ (k为常数，k≠0) k k______0 k______0
图象 (草图)
所在象限 第________象限(x，y同号) 第________象限(x，y异号)
>
<
一、三
二、四
增减性 在每一个象限内，y随x的增大而 _______ 在每一个象限内，y随x的增大而_______
图象 特征 1. 图象无限接近于坐标轴，但不与坐标轴相交； 2. 关于直线y＝x，y＝－x成轴对称；关于原点成中心对称．注：因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称 【满分技法】 反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积为常数，即xy＝k，用来判断某个点是否在已知函数图象上或判断两个点是否在同一个函数图象上 减小
增大
2
考点
反比例函数比例系数k的几何意义
k的几 何意义 如图，过双曲线y＝ (k为常数，k≠0)上任一点
P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得矩形
PMON的面积S＝|xy|＝________
基本图 形面积 一点一垂直(及变形)：S阴影＝________
|k|
基本图形面积 一点两垂直(及变形)：S阴影＝________
两点一垂直(及变形)：S阴影＝________　
|k|
|k|
基本图形面积 S阴影＝________　 　S阴影＝________
两点两垂线：S阴影＝________
2|k|
【满分技法】
遇到与反比例函数有关的面积问题时，尽可能构造与坐标轴平行(垂直)的边，将不易求的面积转化为与k有关的面积进行计算
3
考点
反比例函数解析式的确定
待定系数法 1. 设所求反比例函数的解析式为y＝ (k≠0)；
2. 找出图象上的一点P(a，b)；
3. 将P(a，b)代入解析式得k＝ab；
4. 确定反比例函数的解析式为y＝
利用k的 几何意义 题中已知图象面积时，考虑用k的几何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而确定k的值，即可得到解析式y＝
重难点分层练
例1 已知反比例函数y＝ (k是常数)．
(1)若反比例函数的图象经过一、三象限，则k的取值范围是________；
(2)若点P(a，b)在反比例函数的图象上，则点Q(－a，b)________(填“在”或“不在”)该反比例函数图象上；
(3)当x>0时，y随x的增大而增大，写出符合要求的一个反比例函数的解
析式___________________________________；
一题多设问
k＞0
不在
(答案不唯一，k＜0即可)
回顾必备知识
(4)已知点M(1，－3)关于x轴的对称点M′在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为____________；
(5)当k<0时，若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________________；
(6)若点A(－2，1)，B(3，2)，C(－6，n)分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则n的值为________；
(7)若该反比例函数图象上有一点E，过点E作EF⊥x轴于点F，已知S△OEF＝4，则k＝________．
y1＞y3＞y2
－1
8或－8　
例2 如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝
(m为常数且m≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.
(1)一次函数的解析式为_______________，
反比例函数的解析式为_____________；
一题多设问
例2题图
y＝－2x＋6
提升关键能力
(2)点E的坐标为___________，观察图象，不等式kx＋b≤ 的解集为_____________________；
(3)连接DE，则△CDE的面积为________；
(5，－4)
例2题图
－2≤x＜0或x≥5
35
(4)若点P是x轴上的点，且S△CPE＝7S△AOB，求点P的坐标；
(4)设点P的坐标为(p，0)，
∵S△CPE＝7S△AOB，
∴ ×|3－p|×[10－(－4)]＝7× ×3×6，
解得p＝－6或p＝12，
∴点P的坐标为(－6，0)或(12，0)；
例2题图
(5)作直线BD，将直线BD向上平移n(n＞0)个单位后，与反比例函数
y＝ 有唯一交点，求n的值；
(5)设直线BD的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
将B(0，6)，D(－2，0)代入，
得 解得
∴直线BD的解析式为y＝3x＋6，
设直线BD向上平移后的解析式为y＝3x＋6＋n，
例2题图
∵平移后与反比例函数y＝－ 有唯一交点，
∴方程3x＋6＋n＝－ 有唯一解，
即关于x的方程3x2＋(n＋6)x＋20＝0有两个相等的实数根，
∴(n＋6)2－4×3×20＝0，
解得n＝－6＋4 ，n＝－6－4 (舍去)，
∴n＝－6＋4 ；
例2题图
(6)设M是线段CE上一点，过点M作直线MN∥x轴，交反比例函数y＝
的图象于点N，若MN＝OA，求点M的坐标．
(6)设点M(－ ＋3，a)，则点N(－ ，a)，
∵点M在线段CE上，∴－4≤a≤10.
∵OA＝3，∴MN＝OA＝3.
当点M在点N左侧时，－ －(－ ＋3)＝3，
解得a＝6＋2 或a＝6－2 .
∵a＝6＋2 ＞10，不符合题意，舍去，
例2题图
∴当a＝6－2 时，－ ＋3＝ ，
此时点M的坐标为( ，6－2 )；
当点M在点N右侧时，－ ＋3－(－ )＝3，
解得a＝2 或a＝－2 .
∵a＝－2 ＜－4，不符合题意，舍去，
∴当a＝2 时，－ ＋3＝－ ＋3，
此时点M的坐标为(－ ＋3，2 )．
综上所述，点M的坐标为( ，6－2 )或(－ ＋3，2 )．
例2题图
满分技法
反比例函数与一次函数结合中的常见设问：
1. 求解析式：利用待定系数法求解；
2. 求交点坐标：将一次函数与反比例函数解析式联立，解方程组；
3. 求自变量的取值范围：如图，当y1＞y2时，一次函数的图象位于
反比例函数图象的上方，x的取值范围为x＞xA或
xB＜x＜0；同理，当y1＜y2时，一次函数的图象位
于反比例函数图象的下方，x的取值范围为0＜x＜xA
或x＜xB.
4. 求面积：
(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；
(2)当三边均不在坐标轴上时，过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线，将所求三角形分成两个一边在坐标轴上(或平行于
坐标轴)的三角形来求解．
满分技法
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
反比例函数的图象与性质
1. 如图，点P是反比例函数y＝ (k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于2，则k的值等于(　　)
A. －4 B. 4
C. －2 D. 2
第1题图
A　
第2题图
2. 如图，点B在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，点C在反比例函数y＝－ (x＞0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A，则△ABC的面积为(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
B　
拓展训练
3.对于反比例函数y＝－ ，下列说法错误的是(　　)
A. 图象经过点(1，－5)
B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
C　
4. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝ (k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，则m的值为________．
5. 已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝
(m是常数)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是____________．
－2　
－1＜a＜0
2
命题点
反比例函数与几何图形结合
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为(4，2)，反比例函数y＝ (x＞0)的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF.
下列结论：①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD∶DF＝2∶3
其中正确的结论有(　　)
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第6题图
A　
第7题图
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝ 经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为(　　)
A. －8 B. －2
C. －8 D. －6
拓展训练
A　
3
命题点
反比例函数与一次函数结合
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC∶S△CDA＝4∶1.若双曲线y＝
(x>0)经过点C，则k的值为(　　)
A. B.
C. D.
第8题图
A　
9.正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，若A点坐标为( ，－2 )，则k1＋k2＝________．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(－1，0)，B(0，2)，将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝
(x<0)的图象经过点C，则k＝________．
第10题图
－8
11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB(OC＞OB)的对角线长为5，周长为14，若反比例函数y＝ 的图象经过矩形顶点A.
(1)求反比例函数解析式；若点(－a，y1)和(a＋1，y2)在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
第11题图
解：(1)设A点坐标为(x，y)，
∵矩形OCAB的对角线长为5，
∴x2＋y2＝52，
∴(x＋y)2－2xy＝25.
又∵矩形OCAB的周长为14，
∴x＋y＝7，
∴xy＝12，∴m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ .
∵点(－a，y1)和(a＋1，y2)在反比例函数的图象上，
∴－a≠0且a＋1≠0，
∴a≠－1且a≠0，
∴当a＜－1时，－a＞0，a＋1＜0，则点(－a，y1)和(a＋1，y2)分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，此时y1＞y2；
第11题图
当－1＜a＜0时，－a＞0，a＋1＞0，
若－a＞a＋1，即－1＜a＜－ 时，y1＜y2，
若－a＝a＋1，即a＝－ 时，y1＝y2，
若－a＜a＋1，即－ ＜a＜0时，y1＞y2；
当a＞0时，－a＜0，a＋1＞0，
则点(－a，y1)和(a＋1，y2)分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，此时y1＜y2.
综上所述，当a<－1时，y1>y2；当－1第11题图
当－ y2；
当a>0时，y1第11题图
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象过点A并与x轴交于点(－1，0)，求出一次函数解析式，并直接写出kx＋b－ ＜0成立时，对应x的取值范围．
(2)由题意可知点A的坐标为(3，4)，
∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A和点(－1，0)，
将点A(3，4)和点(－1，0)代入，
得 解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋1.
当kx＋b－ ＜0成立时，对应x的取值范围为x＜－4或0＜x＜3.
第11题图
12. 已知自变量x与因变量y1的对应关系如下表呈现的规律.
x … －2 －1 0 1 2 …
y1 … 12 11 10 9 8 …
(1)直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；
解：(1)y1＝－x＋10，M(10，0)，N(0，10)；
(2)设反比列函数y2＝ (k>0)的图象与(1)求得的函数的图象交于A，B两点，O为坐标原点且S△AOB＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点(a，y2)与(a，y1)分别在反比例函数与(1)求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．
(2)设点A(m，10－m)，B(n，10－n)，
如解图，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为C和D，
∵点A和点B都在反比例函数图象上，
第12题解图
∴S△AOB＝S△AOM －S△OBM＝ ×10×(10－m)－ ×10×(10－n)＝30，
化简得n－m＝6.
联立 得x2－10x＋k＝0，
∴m＋n＝10，mn＝k.
联立 解得
∴k＝mn＝16，
∴反比例函数的解析式为y2＝ .
第12题解图
当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；
当2＜a＜8或a＜0时，y2＜y1；
当a＝2或8时，y2＝y1.
第12题解图

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