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(共18张PPT)
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
第2课时　数的开方及二次根式
相关概念
性质
二次根式的
相关概念
与性质
二次根式
的估值
加减运算
乘法
除法
分母有理化
二次根式
的运算
平方根、
算术平方根、
立方根
平方根
算术平方根
立方根
数的开方
及二次根式
考点精讲
【对接教材】北师：八上第二章P26～P37，P41～P48；
人教：七下第六章P40～P52，八下第十六章P1～P20.
1
考点
平方根、算术平方根、立方根
平方根 正数a的平方根为± ，正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根
算术平方根 正数a的算术平方根为 ；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根
立方根 实数a(a为任意实数)的立方根为
1. 4的平方根是____；
9的算术平方根是___；
64的立方根是___；
-8的立方根是____.
±2
3
4
-2
针对训练
2
考点
二次根式的相关概念与性质
相关概念 1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，它具有双重非负性，即a≥0， ≥0；
2. 有意义的条件：_____________________；
3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件：
(1)被开方数不含_____(分母中不含根号)；
(2)被开方数中不含___________的因数或因式
被开方数大于或等于0
分母
能开得尽方
性质 1. 双重非负性： ≥0且a≥0; 　　
2. ( )2=___(a≥0)；
3. =|a|=
4. =______(a≥0，b≥0)；
5. =____(a≥0，b>0)
a(a≥0)
___(a<0);
a
-a
2. 若 有意义，则实数x的取值范围为_____．
3. 判断正误：
(1)( )2＝±3 (　　)
(2) =-3 (　　)
(3) (　　)
(4) (　　)
x≥2
×
×
√
√
针对训练
3
考点
二次根式的运算
加减运算 先将各二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，有括号时，要先去括号
乘法 =_____(a≥0，b≥0)
除法 =____(a≥0，b>0)
分母有理化 =____(a>0)；
=________(a≥0，b≥0且a≠b)
4. 计算：
(1) =_____； (2) =____；
(3) =_____； (4) =_____；
(5) =____．
针对训练
4
考点
二次根式的估值
二次根式的估值 1. 先对根式平方，如( )2=7；
2. 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如 4和 9；
3. 对以上两个整数开方，如 =2， =3；
4. 确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如2< <3
【满分技法】牢记常见的无理数的近似值： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， π≈3.142， ≈0.618 5. 估计 +1的值在(　　)
A. 2和3之间　　　　　　　　　　　　　B. 3和4之间
C. 4和5之间　　　　　　　　　　　　　D. 5和6之间
6. 最接近的整数是(　　)
A. 0　　　　　　　　B. 1　　　　　　　　C. 2　　　　　　　　D. 3
7. 的整数部分是___，小数部分是______.
B
D
1
针对训练
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
平方根、算术平方根、立方根
2
1. 一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+b的立方根为___．
拓展训练
4
2. 16的算术平方根是___．
3. 8的立方根是___．
2
2
命题点
二次根式的相关概念及性质
x<2
拓展训练
4. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
一，x≥3即可)
5. 要使式子 有意义，则x可取的一个数是___________
_____________．
4(答案不唯
3
命题点
二次根式的运算
C
6. 的计算结果是(　　)
A. 5 　　　　　　B. 　 　　　　　　 C. 　 　　　　　　D. 4+
7. 计算：( )( )2=_______．
拓展训练
8. 下列运算正确的是(　　)
A. 　　　　　　　　　　　　　 B.
C. 　　　　　　　　　　　　　 D.
C
9. 计算 的结果是____.
4
命题点
二次根式的估值
10. 估计 的值应在(　　)
A.4和5之间 　　　　　　　　　　 B.5和6之间
C.6和7之间 　　　　　　　　　　D.7和8之间
A
拓展训练
11. 设6- 的整数部分为a，小数部分为b，则(2a+ )b的值是(　　)
A. 6 　　　　　　 B. 2 　　　　　　C. 12 　　　　　　 D. 9
A
12. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是 -1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是___．
1(共19张PPT)
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
第1课时　实数的分类及相关概念
实数的
相关概念
数轴
相反数
绝对值
倒数
定义
确定n的方法
科学记数法
近似数
和精确度
定义
举例
实数的分类及
正负数的意义
按定义分
按大小分
正负数的意义
实数的分类
及相关概念
考点精讲
【对接教材】北师：七上第二章P22～P33、P63～P64；
人教：七上第一章P2～P11、P44～P46，
七下第六章P53～P55，
八上第十五章P145～P146.
1
考点
实数的分类及正负数的意义
按定义分 1. 有理数：有限小数或无限循环小数，包含整数和_____；
2. 无理数：无限不循环小数
按大小分 分为正数、0、负数．其中0既不是正数也不是负数
正负数的意义 正负数可以用于表示一组具有相反意义的量．如规定“盈(＋)”则“亏(－)”，“胜(＋)”则“负(－)”，“收入(＋)”则“支出(－)”，“零上(＋)”则“零下(－)”，“上升(＋)”则“下降(－)”等
分数
【满分技法】常见的四种无理数类型：(1)开方开不尽的数，如 ， ， 等；(2)π及化简后含π的数，如π， 等；(3)有规律但不循环的无限小数，如0.010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)等；(4)化简后含有根式的三角函数值，如cos 45°，tan 60°等
1. 某仓库运进面粉7吨记为+7吨，那么运出面粉8吨应记为___吨．
2. 在实数 、tan45°、 、 、cos30°、π、-0.10、0、 、-|-3|、0.202 002…
(相邻两个2之间依次增加1个0)中，是无理数的有______________________________
_____________________________，是负数的有______________________.
-8
(相邻两个2之间依次增加1个0)
、cos30°、π、 、0.202 002…
、-0.10、-|-3|
针对训练
2
考点
实数的相关概念
数轴 1. 三要素：
2. 性质：_____和数轴上的点是一一对应的
相反数 1. 非零实数a的相反数为-a.特别地，0的相反数是___；
2. 实数a、b互为相反数 a+b=___；
3. 几何意义：在数轴上，互为相反数(除0外)的两个数所表示的点位于原点两侧，且到原点的距离_____
实数
0
0
相等
绝对值
1. |a|= ，绝对值具有非负性；
2. 几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离；离原点越远的数的绝对值越大
倒数 1. 非零实数a的倒数为___；
2. 实数a，b互为倒数 ab(a≠0，b≠0)=___；
3. 0没有倒数，倒数等于它本身的数是_____
a(a>0)
0(a=0)
___(a<0)
-a
1
±1
3. 如图，数轴上有A、B、C三个点．
第3题图
(1)点A表示的数是____；
(2)点B与点C之间的距离为___．
4. －4的相反数是___，绝对值是___，倒数是____.
-2
3
4
4
针对训练
3
考点
科学记数法
定义 把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是整数
确定n的方法 1. 当原数的绝对值≥10时，n为_______，n的值等于原数的整数位数减1或原数变为a时小数点向左移动的位数；
2. 当0<原数的绝对值<1时，n为_______，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前面的零)或原数变为a时小数点向右移动的位数
【满分技法】对于含计数(量)单位的数用科学记数法表示时，可先把计数(量)单位转换为数字，然后用科学记数法来表示．常见的计数单位有：1千=103，1万=104，1亿=108等；常见的计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m等 正整数
负整数
5. 将下列各数用科学记数法表示：
(1)592 000=__________； (2)0.000 007 5=__________；
(3)13.9万=__________； (4)270亿=__________；
(5)52 nm=__________m； (6)360千米=_________米．
5.92×105
7.5×10－6
1.39×105
2.7×1010
5.2×10－8
3.6×105
针对训练
4
考点
近似数和精确度
定义 1. 近似数：把一个数四舍五入后得到的数；
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位
举例 1. 近似数：如2.7的近似数是3；
2. 精确度：如2.134 56精确到0.1(十分位)为____，精确到0.01(百分位)为_____，精确到0.001(千分位)为______
2.1
2.13
2.135
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
正负数的意义 (呼和浩特2考)
1. (2022呼和浩特1题3分)如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是(　　)
第1题图
A
2. (2021 乐山)如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2元，支出5元记作(　　)
A. 5元 　　　　　B. -5元 　　　　　 C. -3元　　　　　 D. 7元
拓展训练
B
2
命题点
相反数、绝对值、倒数、数轴 (包头3考，赤峰2考)
3. (2021赤峰1题3分)－2021的相反数是(　　)
A. -2021 　　　　B. 2021 　　　　C. 　　　　D.
B
4. (2023包头3题3分)点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为(　　)
A. -2或1 　　　　B. -2或2 　　　　C. -2 　　　　D. 1
A
拓展训练
5. (2021 哈尔滨) 的绝对值是(　　)
A. -7 　　　　　B. 7 　　　　　C. 　　　　　D.
D
6. (2021通辽)|-2|的倒数是(　　)
A. 2 　　　　　　 B. 　　　　　　C. -2 　　　　　　D.
B
7. (2021滨州)在数轴上，点A表示-2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是(　　)
A. -6 　　　　　　 B. -4 　　　　　　C. 2 　　　　　　 D. 4
C
3
命题点
科学记数法 (包头4考，呼和浩特2017.2，赤峰5考)
8. (2021赤峰2题3分)截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离火星约830万公里．数据8 300 000用科学记数法表示为(　　)
A. 8.3×105 　　　　　　　　　 　 B. 8.3×106
C. 83×105 　　　　　　　　　 　 D. 0.83×107
B
9. (2023包头2题3分)2023年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至2022年末，全国农村贫困人口减少至551万人，累计减少9 348万人．将9 348万用科学记数法表示为(　　)
A. 0.934 8×108 　　　　　　　　 B. 9.348×107
C. 9.348×108 　　　　　　　　　 D. 93.48×106
B
10. (2021包头1题3分)据交通运输部报道，截至2023年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于(　　)
A. 6 　　　　　　B. 5 　　　　　　 C. 4 　　　　　　 D. 3
B
11. (2023赤峰2题3分)2023年6月23日9时43分，我国成功发射了“北斗”系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.000 000 009 9秒．数据“0.000 000 009 9”用科学记数法表示为(　　)
A. 99×10－10 　　　　　　　　　 B. 9.9×10－10
C. 9.9×10－9 　　　　　　　　　 D. 0.99×10－8
C
12. (2022包头13题3分)2018年我国国内生产总值(GDP)是900 309亿元，首次突破90万亿元大关，90万亿用科学记数法表示为_______．
9×1013(共24张PPT)
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
第3课时　实数的大小比较及运算
实数的
大小比较
数轴比较法
类别比较法
差值比较法
平方比较法
实数
的运算
四则运算法则
实数的混合运算
常考运算及法则
实数的大小
比较及运算
考点精讲
【对接教材】北师：七上第二章P34～P62、P65～P71；
人教：七上第一章P12～P13、P16～P44，
七下第九章P121.
1
考点
实数的大小比较
数轴比较法 数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数___
类别比较法 1. 正数>0>负数；
2. 两个负数比较大小，_______大的反而小．如|-3|>|-2|，则-3<-2
差值比较法 1. a-b>0 a>b；
2. a-b=0 a___b；
3. a-b<0 a___b
大
绝对值
=
<
平方比较法 >b>0 a>b2(主要应用于无理数的估值或无理数的大小比较)
【满分技法】(1)给出一组数据(正、负数均有)求最大的数直接在正数中寻找，求最小的数直接在负数中寻找；(2)进行大小排序时，先排序正数，再排序负数，根据正数>0>负数进行最终排序，也可将数在数轴上表示出来，从左到右，数轴上的点表示的数越来越大 -2
1. 在实数-2， ，0，3中，最小的实数是___，最大的实数是___.
2. (人教七上P52复习题第10题)a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，-a，b，-b按照从小到大的顺序排列为__________．
3
-b第1题图
针对训练
2
考点
实数的运算
加法 同号两数相加，取相同的符号，并把它们的_______相加；异号两数相加：(1)绝对值相等时和为___；
(2)绝对值不相等时，取绝对值较____的加数的符号，并用较大的绝对值______较小的绝对值；
(3)一个数同0相加，仍得这个数，即a+0=a
减法 减去一个数等于加上这个数的_______
1. 四则运算法则
绝对值
0
大
减去
相反数
乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘仍得零
除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a·___(b≠0)．两数相
除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于零的数都得零
2. 常考运算及法则
-1的奇偶次幂 -1的奇数次幂为-1，如(-1)2021=-1
-1的偶数次幂为1，如(-1)2020=1
零次幂 a0=____(a≠0)，注：遇到0次幂就写1
负整数指数幂 a-p=____(a≠0，p为正整数)，特别地，a-1= ，a-2= (口诀：倒底数，
反指数)
1
乘方
去绝对值符号
|a-b|= ，
【满分技法】对于绝对值符号里有两项时，应先比较绝对值符号中两数的大小，再根据绝对值的性质去绝对值符号
____(a>b)
0 (a=b)
____(aa-b
b-a
特殊角的三角函数值 sin30°=cos60°=___，sin45°=cos45°=____，sin60°=cos30°=____，tan30°=____，tan45°=___，tan60°=____
常见开方数 =____， =____， =_____， =____， =_____，
=_____， =_____， =____， =____， =____
2
3
4
-2
-3
4
3. 实数的混合运算
解题步骤 (1)将包含每个小项的值计算出来；
(2)根据实数的运算顺序计算：有括号时先计算括号里面的；先乘除，后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行运算；
(3)计算结果化为最简
3. 计算：
-5+3=____； -6-(-2)=___； -4×7=____；
-27÷(-3)=___； 18×( )÷(-4)=___； (-3)0=____；
(3- )0=___ ； (π-3.14)0=___； -3-1=_____；
( )-1=___； ( )-1=____； 3-2=___；
( )-2=____； |-5|=____ ； |3- |=______；
|4-2 |=_______； -| -3|=_______．
-2
-4
-28
9
3
1
1
1
3
-2
16
5
针对训练
4. 计算：(-1)2021+|1- |-2cos45°-( )-2.
解：原式=-1+ -1-2× -4
= - -6
=-6.
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
实数的大小比较 (包头2考，呼和浩特2021.1，赤峰3考)
D
1. (2022赤峰1题3分)在-4、- 、0、4这四个数中，最小的数是(　　)
A. 4 　　　　　　 B. 0　　　　　　 C. - 　　　　　　D. -4
2. (2020赤峰1题3分)实数|-5|，-3，0， 中，最小的数是(　　)
A. |-5| 　　　　　　B. -3　　　　　　 C. 0 　　　　　　 D.
B
3. (2021呼和浩特1题3分)几种气体的液化温度(标准大气压)如下表，其中液化温度最低的气体是(　　)
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度℃ -183 -253 -195.8 －268
A. 氦气 　　　　　 B. 氮气　　　　　 C. 氢气　　　　　 D. 氧气
A
4. (2021包头2题3分)下列运算结果中，绝对值最大的是(　　)
A. 1+(-4) 　　　　　　　　　　　 B. (-1)4
C. (-5)-1 　　　　　　　　　　　 D.
A
C
5. (2021赤峰7题3分)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果a+b=0，那么下列结论正确的是(　　)
第5题图
A. |a|>|c| B. a+c<0
C. abc<0 D. =1
拓展训练
D
6. (2021抚顺)下列各数中，比-1大的数是(　　)
A. -3 　　　　　　 B. -2 　　　　　　 C. -1 　　　　　　D. 0
B
7．在实数-1，- ，0， 中，最小的实数是(　　)
A. -1 　　　　　　B. - 　　　　　　C. 0 　　　　　　D.
2
命题点
实数的运算 (包头3考，呼和浩特8考，赤峰5考)
D
8. (2022包头1题3分)计算：|- |＋( )－1的结果是(　　)
A. 0 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 6
9. (2020呼和浩特2题3分)2020年3月抗击新冠肺炎疫情居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，-3，+2，则这5天他共背诵汉语成语(　　)
A. 38个 　　　　　B. 36个　　　　　 C. 34个　　　　　 D. 30个
A
10. (2021呼和浩特17(1)题5分)计算：
解：原式=3－2 ÷ ＋1
=3－2＋1
=2.
11. (2020呼和浩特17(1)题5分)计算：
解：原式= －1－2 ＋2＋ －
=- .
12. (2023呼和浩特17(1)题5分)计算：
解：原式= ×(－ )＋6－(1－ )2
=－2＋6－(4－2 )
=－2＋6－4＋2
=2 .
拓展训练
13. (2021呼伦贝尔、兴安盟)计算：
解：原式=－ －2× ＋ －1－
=－ － ＋ －1－
=－ － .
14. (2021玉林)计算：
解：原式=4＋1－1－6×
=4－3
=1.
15. 计算：
解：原式=9＋ －1＋(－1)－3
=4＋ .
16. 计算：
解：原式=1＋ －1＋3 －
=3 .
17. 计算：
解：原式=2＋2 ＋ －
=1＋2 .(共34张PPT)
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
第4课时　整式与因式分解
列代数式
及其求值
列代数式
规律探索
代数式求值
非负数
整式的运算
加减运算
乘除运算
幂的运算
因式分解
定义
一般步骤
基本方法
整式的
相关概念
单项式
整式
多项式
整式与
因式分解
考点精讲
【对接教材】北师：七上第三章P77～P104，七下第一章P1～P36，
八下第四章P91～P106；
人教：七上第二章P53～P76，八上第十四章P94～P125.
1
考点
列代数式及其求值
定义 把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
实际应用 关键是找出问题中的数量关系式，如路程=速度×时间，售价=标价×折扣等；其次要抓住一些关键词语，如：多、少、大、小、增长、下降等
1. 列代数式
2. 规律探索
数式规律探索 1. 标序号：将所给出的代数式按顺序标上序号；
2. 找规律：
(1)若所给的代数式不含分母，则分别找到代数式的系数，次数与序号的关系；
(2)若所给的代数式含有分母，则分别找出分子和分母与序号的关系；
(3)若所给的代数式既有含分母的形式也有不含分母的形式，则先将不含分母的形式化成含分母的形式，再分别找分子和分母与序号的关系；
3. 验证：代入序号验证所求代数式是否正确
图形固定累加规律探索 1. 找关系：找后一个图与前一个图中所求图形或元素个数之间的关系，一般是通过作差的形式观察是否有固定的数量关系；
2. 找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形都多b，则第n个图中所求图形或元素的个数为a＋b(n－1)；
3. 验证：代入序号验证所求的代数式是否正确
图形递变规律探索 1. 线段(面积)递推
(1)根据题意得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)；
(2)通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证；
(3)根据第二步中的关系式，得到第m次变换后的图形的边长(周长或面积)；2. 点坐标递推将点坐标转化成线段，再利用线段递推的方法求解
3. 代数式求值
直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法 当单个字母的值不能或不易求时，可把已知条件作为一个整体，代入到所求的代数式中，步骤如下：
(1)观察已知代数式和所求代数式的关系，如倍数关系，因式分解、配方等；
(2)用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等对所求代数式与已知代数式进行整体变形，使它们成倍分关系；
(3)把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
4. 非负数
常见的非负数 常见的非负数有 (a≥0)，|a|，a2
常见运算 若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，
如：若|a|+b2+ =0，则a=b=c=___
0
1. 原量a增加10%为_________；比原量a的n倍多m为______．
2. 原价a元打八折为_____元．
3.售价为m元的商品，若价格提高15%，则售价为__________元；若价格降低8%，则售价为_________元．
4. x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为________元．
a(1+10%)
an+m
0.8a
m(1+15%)
m(1-8%)
(ax+by)
针对训练
5. 若每天完成的工作量为a，则要完成工作量m所需天数为___．
6. 按一定规律排列的单项式：a，－2a，4a，－8a，16a，－32a，…，第n个单项式是________．
7. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为____．
第7题图
(-2)n-1a
20
8. 已知m=-2，n=4，则m+2n=___.
9. 已知2a+b=2，则4a+2b-1=___.
10. 已知a+b=2，ab=-3，则a2b+ab2=____，a2+b2=____.
11. 若 +(4-2y)2=0，则x+y=___．
12. 若|3x-6|与 互为相反数，则xy=____.
6
3
-6
10
1
32
2
考点
整式的相关概念
单项式 1. 概念：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如：2a2b，15，a；
2. 系数：单项式中的数字因数；
3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和．如：
多项式 1. 概念：几个单项式的和，如：y－2.5，x2＋2x＋18；
2. 次数：一个多项式中____________的次数，如：a＋b2的次数是2
整式 单项式与多项式统称为整式
次数最高项
13. 下列单项式中，与3a2b为同类项的是(　　)
A. －a2b　　　　 B. ab2
C. 3ab D. 3
14. 单项式 a4b的系数是___，次数是____．
15.若-2amb2与3a3bn的和为单项式，则mn的值为___．
A
5
9
针对训练
3
考点
整式的运算
1. 加减运算(实质是合并同类项)
同类项 __________________________________________；几个常数项也是同类项
合并同类项 (1)字母连同它的______不变；
(2)合并各同类项的系数的和作为新的______
去括号法则 (1)如果括号外的因数是正数，去括号后，原括号内各项的符号与原来的符号相同，如a＋(b＋c)＝________；
(2)如果括号外的因数是负数，去括号后，原括号内各项的符号与原来的符号相反，如a－(b＋c)＝_____(口诀：“－”变“＋”不变)
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
指数
系数
a＋b＋c
a-b-c
2. 幂的运算(a≠0，b≠0，m，n为正整数)
同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即am·an=______
同底数幂相除 ___________________，即am÷an=_____
幂的乘方 ___________________，即(am)n=_____
积的乘方 ___________________________________________，即(ab)n=_____
am＋n
底数不变，指数相减
am-n
底数不变，指数相乘
amn
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
anbn
3. 乘除运算
单项式乘单项式 将系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
单项式乘多项式 先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，如m(a+b+c)=
___________
多项式乘多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
乘法公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=______；完全平方公式：(a+b)2=_________
单项式除以单项式 将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
ma+mb+mc
a2－b2
a2±2ab+b2
16. 下列运算正确的是______．(填序号)
①2x－3x＝－1； ②2x2＋3x2＝5x4；
③2x3－x3＝2x3； ④2a＋3b＝5ab；
⑤－2ab＋ba＝－ab； ⑥8a＋2b＋(－5a＋b)＝3a＋3b；
⑦(m－2n)2＝m2－4n.
17. 计算：
(1)x2·x5＝___； (2)x6÷x2＝___；
(3)(x2)4＝____； (4)(－xy3)2＝_____.
⑤⑥
x7
x4
x8
x2y6
针对训练
18. 计算：
(1)2x2·3xy＝_____； (2)x(x－2y)＝________；
(3)(x＋3)(x－2)＝_________； (4)(x＋y)(x－y)＝______；
(5)(x－3)2＝_________.
6x3y
x2－2xy
x2＋x－6
x2－y2
x2－6x＋9
4
考点
因式分解
定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做这个多项式分解因式
基本方法 1. 提公因式法：ma+mb+mc=___________；
2. 公式法：(1)a2－b2 ____________；
(2)a2±2ab＋b2 ________
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
一般步骤 1. 一提：有公因式的先提公因式；
2. 二套：提取公因式后，用公式法：
(1)当多项式为两项时，考虑用________公式；
(2)当多项式为三项时，考虑用_________公式；
3. 三检查：检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，且最后结果是积的形式
平方差
完全平方
19. 因式分解：
(1)ab+2b=________； (2)6x2-9x=__________；
(3)a2-9=____________； (4)x2+2x+1=________；
(5)4x2-9y2=________________； (6)2x2-2=____________；
(7)x3-2x2+x=________．
b(a＋2)
3x(2x－3)
(a＋3)(a－3)
(x＋1)2
(2x＋3y)(2x－3y)
2(x＋1)(x－1)
x(x－1)2
针对训练
用图形面积验证乘法公式
有一块边长为a厘米的正方形木板，因为实际需要，需要将正方形边长增加或减少b厘米，木工师傅设计三种方案，如图：
小云发现这三种方案都能验证乘法公式，对于方案一，小云是这样验证的：
a2－b2＝(a－b)(a＋b)．
回归教材
请你根据方案二、方案三，写出完全平方公式的验证过程．
方案二：　　　　　　　　　　　　
方案三：
解：边长为(a+b)的正方形的面积=边长为a的正方形的面积＋边长为b的正方形的面积＋两个长为a，宽为b的长方形的面积：即(a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；
解：边长为(a-b)的正方形的面积=边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积－两个长为a-b，宽为b的长方形的面积：即(a-b)2=a2-b2-2(a-b)·b=a2-2ab+b2.
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
规律探索 (赤峰4考)
C
1. (2023赤峰14题3分)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：
①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；
②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2 019次操作时，余下纸片的面积为(　　)
第1题图
A. 22023 　　　　B. 　　　　 C. 　　　　 D.
2. (2022赤峰18题3分)一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去，
…，最后落点为OA2023的中点A2022，则点A2022表示的数为_____．
第2题图
A
拓展训练
3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是(　　)
A. n2an＋1　　　　B. n2an－1　　　　C. nnan＋1　　　　D. (n＋1)2an
4. (2021鄂尔多斯)将一些相同的“ ”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“ ”的个数，则第30个“龟图”中有_____个“ ”．
第4题图
875
2
命题点
代数式求值 (包头2考，赤峰2考)
5. (2021包头6题3分)若x＝ ＋1，则代数式x2－2x＋2的值为(　　)
A. 7 　　　　　　B. 4 　　　　　　 C. 3 　　　　　　D. 3－2
C
6. (2021赤峰11题3分)点P(a，b)在函数y=4x+3的图象上，则代数式8a-2b+1的值为(　　)
A. 5 　　　　　　B. －5 　　　　　　C. 7　　　　　　 D. －6
B
拓展训练
7. (2021十堰)已知xy=2，x－3y=3，则2x3y－12x2y2＋18xy3=____．
36
3
命题点
整式的运算 (包头2022.4，呼和浩特3考，赤峰5考)
8. (2022赤峰5题3分)下列计算正确的是(　　)
A. a2＋a3＝a5 B. 3 －2 ＝1
C. (x2)3＝x5 D. m5÷m3＝m2
D
9. (2021呼和浩特4题3分)下列计算正确的是(　　)
A. 3a2＋4a2＝7a4 B. ＝1
C. －18＋12÷( )＝4 D.
D
10. (2021赤峰5题3分)下列计算正确的是(　　)
A. a－(b＋c)＝a－b＋c
B. a3＋a3＝2a6
C. (x＋1)2＝x2＋1
D. 2a2·(－2ab2)3＝－16a5b6
D
11. (2022包头4题3分)下列计算结果正确的是(　　)
A. (a3)2＝a5 B. (－bc)4÷(－bc)2＝－b2c2
C. 1＋ ＝ D. a÷b· ＝
D
拓展训练
12. (2021衡阳)下列计算结果为a6的是(　　)
A. a2·a3 B. a12÷a2
C. (a3)2 D. ( a3)2
C
4
命题点
因式分解 (包头2021.13，呼和浩特3考，赤峰3考)
13. (2021呼和浩特11题3分)因式分解：x3y－4xy＝_____________．
xy(x＋2)(x－2)
14. (2023呼和浩特11题3分)因式分解：x2y－4y3＝_______________．
y(x＋2y)(x－2y)
15. (2021包头13题3分)因式分解： +ax+a=_________.
16. (2023赤峰15题3分)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝________.
x(x－y)2
拓展训练
17. (2021呼伦贝尔、兴安盟)下列等式从左到右变形，属于因式分解的是(　　)
A. 2a－1＝a(2－ )　　 B. (a＋b)(a－b)＝a2－b2
C. x2－2x＋1＝(x－1)2　 D. x2＋6x＋8＝x(x＋6)＋8
C(共28张PPT)
考点精讲
1
内蒙古中考真题及拓展
2
第5课时　分 式
分式的相关
概念及性质
相关概念
基本性质
乘除运算
分式化简求值的一般步骤
加减运算
分式
的运算
分 式
考点精讲
【对接教材】北师：八下第五章P108～P124；　
人教：八上第十五章P126～P148.
1
考点
分式的相关概念及性质
相关概念 1. 分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，A叫做分子，
B叫做分母；
2. 最简分式： __________________________；
3. 分式 有意义的条件是______；
4. 分式 的值为零的条件是___________
基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个_________的整式，分式的值_____，
即 (用于通分)＝ (用于约分)(C≠0)，其中A、B、C是整式
分子分母没有公因式的分式
B≠0
A＝0且B≠0
不等于零
不变
1. 代数式 有意义的条件为_____．
2. 代数式 值为零的条件为_____.
x≠3
x=-5
针对训练
2
考点
分式的运算
乘法运算 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
____=
除法运算 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
____=
【满分技法】约分的关键是确定公因式：(1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂的积(数字因式取最大公约数)作为公因式 1. 乘除运算
2. 加减运算
同分母 分母不变，分子相加减： _____
异分母 先通分，变为同分母的分式，再加减： _______
【满分技法】通分的关键是寻找最简公分母：(1)分母能因式分解的先因式分解；(2)取各分母中所有因式的最高次幂的积(数字因式取最小公倍数)作为公分母 3. 分式化简求值的一般步骤
步骤 (1)有括号先计算括号内的；
(2)分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解；
(3)进行乘除运算(除法可变为乘法)；
(4)约分；
(5)进行加减法运算时，如果是异分母的先通分，变为同分母分式，此时分母不变，分子合并同类项，最终化成最简分式；
(6)代入数字求代数式的值
【易错警示】(1)化简求值类题一定要做到“先”化简，“再”求值；(2)通分时若有常数项，要记得给常数项乘最简公分母；(3)含有括号的，要先计算括号里面的分式运算；(4)分式化简求值时要注意符号的变化，分式的分子要作为一个整体，在添括号或去括号的时候，若括号前为负号则去括号后括号内每一项都要变号；(5)注意化简结果应为最简分式或整式；(6)必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为0
4ab
3. 写出下列分式中分子、分母的公因式：
(1) 的公因式是_____；
(2) 的公因式是_____；
(3) 的公因式是_____．
x-1
a+b
针对训练
4. 写出下列分式的最简公分母：
(1) 和 的最简公分母是____________；
(2) 与 的最简公分母是_____；
(3) 和 的最简公分母是______．
x－2或2－x
2a2b2
x2－4
5. 化简：(1) _____； (2) ___；
(3) _____； (4) ________；
(5) ______.
m(m+2)
内蒙古中考真题及拓展
1
命题点
分式的概念及性质
拓展训练
1. (2021桂林)若分式 的值等于0, 则x的值是(　　)　 　　　　　 　　　　　 　　
A. 2 　　　　　　B. －2 　　　　　　 C. 3　　　　　　 D. －3
A
2. (2021铜仁)要使分式 有意义，则x的取值范围是_______．
x≠－1
2
命题点
分式的化简及求值 (包头5考，呼和浩特6考，赤峰5考)
答题模板
先化简，再求值：
其中x=-5.
解：原式= 通分
=______ 合并同类项
答题模板
= ______ 分解因式
= ______ 除法变乘法
= 约分
当x=－5时，原式=_______=____．
3. (2021包头14题3分)化简： ___.
1
4. (2023包头15题3分)化简：
解：原式
5. (2023呼和浩特17(2)题5分)先化简，再求值： 其中x＝3 ，y＝ .
解：原式
6. (2022赤峰19题10分)先化简，再求值： 其中m满足：m2－m－1＝0.
解：原式
∵m2－m－1＝0，
∴m2＝m＋1. ∴原式＝ ＝1.
7. (2021赤峰19题10分)先化简，再求值：
解：原式
8. (2023赤峰19题10分)先化简，再求值：
解：原式
拓展训练
9. (2021巴中改编)先化简，再求值： 请从－4≤a<1中选一个合适的整数作为a的值代入求值．
解：原式
∵-4≤a<1中的整数有-4，-3，-2，-1，0,要使分式有意义,则a≠0，-3，-4，
∴a=-2或a=-1，
当a=-2时，原式= =-1.(当a=-1时，原式=-3)
10．(2021鄂尔多斯)先化简： 再从-2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
解：原式
要使分式有意义，则x≠－2，0，2，
∴x＝1，当x＝1时，原式
11．(2021通辽)先化简，再求值： 其中x满足x2－x－2＝0.
解：原式
∵x2－x－2＝0，∴x＝2或x＝－1.
∵当x＝－1时，分式无意义，
∴x＝2.∴当x＝2时，原式＝2×(2＋1)＝6.
12. (2021潍坊)先化简，再求值 ： 其中(x，y)是函数y＝2x与y＝ 的图象的交点坐标．
解：原式
=2x＋3y－(2y＋3x)
=2x＋3y－2y－3x
=y－x，
∵(x，y)是函数y＝2x与y＝ 的图象的交点，
∴联立 ，解得 或 ，即交点坐标为(-1，-2)或(1，2)．
∵当x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2时，x－y，x＋y，xy均不等于0，
∴当x＝－1，y＝－2时，原式＝－2－(－1)＝－1，
当x＝1，y＝2时，原式＝2－1＝1.
创新考法
13. 下面是小红化简分式： 的过程，请仔细阅读：
(1)以上化简步骤中，第____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________________________________________________；
(2)第____步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________
___________________________；
一
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变
二
去括号时，括号前面
为负号，括号内的式子未变号
(3)请你写出该分式化简的正确过程，再代入x＝2时进行求值．
解：原式

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