资源简介 (共37张PPT)第21课时 全等三角形考点精讲1重难点分层练2内蒙古中考真题及拓展3考点精讲【对接教材】北师：七下第四章P92～P104、P108～P109，八下第一章P19～P20；人教：八上第十二章P30～P56.全等三角形的性质及判定考点1. 性质概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质 1. 全等三角形的对应边_____，对应角_____；2. 全等三角形的周长_____，面积_____；3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都_____.相等相等相等相等相等2. 判定图形 方法SSS (边边边) __________________________SAS (边角边) _____________________________________ASA (角边角) ______________________________________三边相等的两个三角形全等两边和它们的夹角相等的两个三角形全等两角和它们的夹边相等的两个三角形全等图形 方法AAS (角角边) _____________________________________________HL (斜边、 直角边) _________________________________________两个角和其中一个角的对边相等的两个三角形全等斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等【满分技法】全等三角形的判定思路：(1)已知两组边对应相等找夹角→SAS找直角→HL或SAS找第三边→SSS(2)已知一组边和一组角对应相等边为角的对边→找另外一个角→AAS找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS(3)已知两组角对应相等边为角的邻边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS针对训练1. 如图，△ABC≌△AEF，则下列结论中正确的是( )①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC.A. ①② B. ①③④C. ①②③④ D. ①③第1题图B针对训练2. 已知：如图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，补充条件．求证：△ABC≌△DEF.(1)若要以“SAS”为依据，需补充条件_________；(2)若要以“ASA”为依据，需补充条件_______________________；(3)若要以“AAS”为依据，需补充条件_________；(4)若要以“SSS”为依据，需补充条件___________________；(5)若∠B＝∠DEF＝90°，要以“HL”为依据，需补充条件_________．第2题图AB＝DE∠ACB＝∠F(或AC∥DF)∠A＝∠DAB＝DE，AC＝DFAC＝DF题图证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．已知：如图，在 Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.【自主作答】证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝ ，B′C＝ ，又∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．回归教材重难点分层练模型一 平移型模型分析模型展示模型特点 沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF) 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等 第1题图模型应用1. 已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD＝CF，BC∥EF，且BC＝EF，求证：AB＝DE.证明：∵AD＝CF，∴AD＋DC＝DC＋CF，即AC＝DF.∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，第1题图∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AB＝DE.模型二 翻折(对称)型模型分析模 型 展 示 有 公 共 边有 公 共 顶 点模型 特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合解题 思路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等模型应用2. (2023菏泽)如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.第2题图证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.在△AMD和△CND中，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，∴BM＝BN.第2题图模型分析模型三 共顶点旋转型模型 展示 模型特点 绕该顶点旋转可得两三角形重合解题思路 证明三角形全等的关键：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等模型应用3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点H，AD＝BD，求证：BH＝AC.第3题图证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠DAC＋∠C＝90°，∠DBH＋∠C＝90°，∴∠DAC＝∠DBH，∴△BDH≌△ADC(ASA)，∴BH＝AC.在△BDH和△ADC中，第3题图4. 如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.(1)求证：AE＝BD；第4题图(1)证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)求∠AFD的度数．第4题图(2)解：如解图，设BC与AE交于点N，N∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°.由(1)知△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B.∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.模型分析模型四 不共顶点旋转型模型 展示模型特点 绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合 解题思路 证明三角形全等的关键：(1)利用线段和差关系可得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等 模型应用5. 如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE.第5题图证明：∵AE＝BF，∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE.∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE.在△ACF和△BDE中，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴CF＝DE.第5题图模型分析模型五 半角模型情况一：含60°半角模型 展示 如图，等腰三角形BDC中，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°.结论 ①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF解题 方法 延长AC至点G，使CG＝BE，证明△BDE≌△CDG，再证明△DEF≌△DGF，从而得到线段的数量关系(也可将△BDE进行旋转，使BD与CD重合，此时需证明点F、C、G三点共线)情况二：含45°半角模型 展示 等腰直角三角形中含半角：如图①，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.结论 ①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2图①模型 展示 正方形含半角：如图②，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.结论 ①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF解题 方法 将阴影部分进行旋转或延长一边，与半角构成直角三角形，证明三角形全等，从而得到线段的数量关系(旋转时需证明三点共线)图②模型应用6. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，点F是边CD上的点，连接AE、AF、EF，且∠EAF＝45°，若△CEF的周长为4，则正方形ABCD的边长为___．第6题图2全等三角形的性质及判定 (包头6考，呼和浩特7考)内蒙古中考真题及拓展命题点1. (2022呼和浩特12题3分)下面三个命题①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为_____．①②拓展训练第2题图2. (2023兰州)如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC＝DF.第3题图3. (2023福建)如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC＝∠DFB＝90°.在△DEC和△DFB中，∴△DEC≌△DFB(SAS)，∴∠B＝∠C.第4题图4. (2023北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；解：(1)∠BAE＝∠CAD，BM＝BE＋MD.证明：由旋转得，∠DAE＝α，AE＝AD，∵∠BAC＝α，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD.在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD.∵M是BC的中点，∴BM＝CM＝CD＋MD＝BE＋MD；第4题图(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．(2)NE＝ND.证明：如解图，连接AM、AN，∟N∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，即∠AMB＝∠AMC＝90°，∴∠AMN＋∠BMN＝90°.∵MN⊥AB，∴∠ABC＋∠BMN＝90°，第4题图∴∠AMN＝∠ABC.∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠ABC＝∠C，∠AED＝∠ADE，∵∠BAC＝∠DAE＝α∴∠ABC＝∠ADE，∴∠AMN＝∠ADN，∴A、D、M、N四点共圆，∴∠AND＝∠AMD＝90°.即AN⊥ED，∵AD＝AE，∴NE＝ND.∟N第4题图创新考法5. (2023铜仁)如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论．(只要求写出一种正确的选法，若多选的只按第一种选法评分，后面的选法不给分)第5题图(1)你选的条件为____、____，结论为____；①③②(2)证明你的结论．(2)证明：在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD(AAS)，∴AC＝BD.第5题图(共46张PPT)第20课时 等腰三角形与直角三角形考点精讲1重难点分层练2内蒙古中考真题及拓展3等腰三角形的性质与判定性质判定面积公式等边三角形的性质与判定性质判定面积公式性质判定面积公式直角三角形的性质与判定等腰直角三角形的性质与判定性质判定面积公式等腰三角形与直角三角形考点精讲【对接教材】北师：八上第一章P1～P19，八下第一章P2～P21；人教：八上第十三章P75～P84，八下第十七章P21～P39.1考点等腰三角形的性质与判定性质 1. 两腰_____；2. 两个底角_____(简写成“等边对等角”)；3. 等腰三角形的______________、______________、______________相互重合(简称“三线合一”)；4. 是轴对称图形，有___条对称轴，其对称轴为底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线．判定 1. 有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)；2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)相等相等顶角的平分线底边上的中线底边上的高线1面积公式 S＝ ah，其中a是底边长，h是底边上的高【满分技法】涉及等腰三角形的边、角问题不明确时，常常分情况进行讨论，看某条边是底边还是腰，看角是底角还是顶角 2考点等边三角形的性质与判定性质 1. 具有等腰三角形的所有性质；2. 三边_____；3. 三个内角都相等，且每个角都等于_____；4. 是轴对称图形，有___条对称轴，其对称轴为每一条边上的高(或每一条边上中线或顶角的平分线)所在的直线判定 1. 三边都相等的三角形是等边三角形(定义)；2. 三个角都相等的三角形是等边三角形；3. 有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形面积公式 S＝ ah＝ a2，其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，h＝ a相等60°360°3考点直角三角形的性质与判定性质 1. 两锐角之和等于_____；2. 斜边上的中线等于___________；3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于_____________；4. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有____________；5. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于____(在解答过程中需要证明)90°斜边的一半斜a2＋b230°边的一半＝c2判定 1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 有两个角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，若满足____________________________________________，那么这个三角形为直角三角形；4. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形(解答题使用时需证明)面积 公式 S＝ ab＝ ch(其中a，b为两条直角边，h是斜边c上的高)a2＋b2＝c2(答案不唯一，a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2)4考点等腰直角三角形的性质与判定性质 1. 具有直角三角形的所有性质；2. 两直角边相等，即AC＝BC；3. 两锐角相等且都等于_____判定 1. 顶角为_____的等腰三角形是等腰直角三角形；2. 有两个角为_____的三角形是等腰直角三角形；3. 有一个角为45°的_____三角形是等腰直角三角形；4. _________相等的直角三角形是等腰直角三角形面积 公式 S＝ a2＝ ch＝ c2＝ ah(a为直角边的长，h为斜边c上的高)45°90°45°直角两直角边第1题图证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”)．1. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线．求证：AD平分∠BAC，AD⊥BC.【自主作答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴BD＝DC.在△ABD和△ACD中，回归教材∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA.∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.第1题图证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2. 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝ AB.【自主作答】第2题图证明：如解图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，D∴ ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴ ∠ACD＝90°， ∠B＝60°.∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴BC＝ BD＝ AB.第2题解图D例1 如图①，已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，DE.重难点分层练一题多设问例1题图一、等腰三角形的相关证明与计算回顾必备知识(1)若∠BAC＝50°，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠B的度数为____，∠EDC的度数为____；65°20°【解题依据】第一空用到的等腰三角形的性质为_________________________．等腰三角形的两底角相等例1题图(2)在△ABC中，若一边长为10，一边长为16，则△ABC的周长为______；(3)若AB＝10，BC＝16，则△ABC的面积为____，AB边上高为____；36或4248例1题图(4)如图②，AD为BC边上的中线，DE⊥AC，BC＝10.①若∠BAD＝30°，则△ABC的面积为______，∠CDE的度数为____，CE的长为____；【判定依据】此处用到的三角形判定依据为_______________________________________．②若AB＝13，则点D到AB的距离为___．例1题图30°有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例2 已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，点E是AC上一点，连接BE交AD于点G.(1)如图①，BE是AC边上的高．①若∠BAC＝40°，则∠AGE的度数为____；一题多设问图①例2题图【解法提示】∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAD＝20°.∵BE是AC边上的高，∴∠BEA＝90°，∴∠AGE＝70°；70°提升关键能力②若AB＝13，BC＝10，则BE的长为____；图①例2题图【解法提示】由题意得，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，∴BD＝CD＝5，∴AD＝ ＝12，∵BE是边AC的高，∴S△ABC＝ BC·AD＝ AC·BE，∴BE＝ .为_____；(2)如图②，若BE是AC边上的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，则GE的长例2题图②【解法提示】∵在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，∴BD＝CD＝ BC＝5，∴在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝12.如解图①，过点E作EF∥BC，则EF⊥AD，∵点E为AC的中点，∴点F为AD的中点，即EF为△ACD的中位线，∴FD＝ AD＝6，EF＝ CD＝ .∵EF∥BC，∟F∴△EGF∽△BGD，∴ ，∴GF＝ FD＝2，∴在Rt△GEF中，GE＝ ＝ ＝ .GE的长为例2题图②∟F(3)如图③，BE是∠ABC的平分线．①若∠BAC＝36°，写出图中所有的等腰三角形，并说明理由；例2题图③①△ABC，△ABE，△CBE，理由如下：由题意可知△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∴∠BAE＝∠ABE，即△ABE是等腰三角形．在△BCE中，∠BEC＝180°－∠ACB－∠EBC＝72°，∴∠BCE＝∠BEC，即△BCE是等腰三角形；②当AB＝13，BC＝10，求AG的长．②如解图，过点G作GH⊥AB交AB于点H，∟H∵等腰△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，BC＝10，∴BD＝CD＝ BC＝5，∴在Rt△ABD中，AD＝ ＝12，∴S△ABD＝ ×5×12＝30.∵S△ABD＝S△ABG＋S△DBG，∴30＝ ×13HG＋ ×5DG.例2题图③∵BE是∠ABC的平分线，∴HG＝DG，∴30＝ ×13×DG＋ ×5×DG，解得DG＝ ，∴AG＝AD－DG＝12－ ＝ ；∟H例2题图③(4)如图④，若∠BAC＝60°，AB＝6，CE＝2AE，求S△ABE和DG的长．(4)如解图，过点E作EF⊥AB于点F，作EH∥BC交AB于点H，交AD于点M，∟FHM∵CE＝2AE，AC＝AB＝6，∴AE＝2.∵EF⊥AB，∠BAC＝60°，∴EF＝AE·sin60°＝ ，AF＝AE·cos60°＝1，∴S△ABE＝ AB·EF＝ ×6× ＝3 ，例2题图④由题意知，△ABC为等边三角形，AE＝2，CE＝4，BD＝CD＝3，∴AD＝ ＝ ，∵EH∥BC，∴△AHE∽△ABC ，∴ ，∴AM＝ ，∴MD＝ ，∴EM＝ ＝1.∵EM∥BD，∴△EMG∽△BDG ，∴ .∵MG＋DG＝ ，∴MG＝ ，DG＝ .∟FHM例2题图④二、直角三角形的相关证明与计算例3 △ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点D为AB上的一点，连接CD.(1)若∠A＝40°，则∠B＝____°；一题多设问例3题图①50回顾必备知识(2)如图①，当点D为AB的中点，∠B＝30°时．①若AB＝10 ，则CD＝___，AC＝___；【解题依据】第一空用到的直角三角形的性质为_____________________________________；第二空用到的直角三角形的性质为__________________________________________________.②若△ACD的面积为9 ，则AC＝___，△BCD的周长为________；55直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半6例3题图①(3)如图②，当CD⊥AB时，①若AC＝3，AB＝5，则CD＝___，S△ABC＝___；②若AC＝2 ，AB＝4 ，则∠ACD＝____；③若∠B＝45°，AC＝2，则BD＝ ___；(4)若BC＋AB＝8，AC＝4，则BC的长为___．630°3例3题图②例4 在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是BC上一点，点E是AB上一点．(1)如图①，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，DE⊥AB于点E，AB＝4，则DE的长为______；一题多设问例4题图(2)如图②，若AD平分∠CAB，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BD＝2，CD＝1，则ME的长为_____；提升关键能力(3)如图③，若点D是BC的中点，AC＝6，BC＝8，点E是边AB上的动点，要使△BED为直角三角形，则BE的长为________；(4)如图④，∠B＝45°，AC＝4，DB＝1，点E为AB上一动点，则CE＋DE的最小值为____．图③图④例4题图5或等腰三角形的相关计算 (包头5考，呼和浩特4考，赤峰2考)内蒙古中考真题及拓展1命题点1. (2022包头、巴彦淖尔10题3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4.且a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是( ) A. 34 B. 30C. 30或34 D. 30或36A拓展训练2. (2023陕西)如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6 cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为( ) A. 6 cm B. 7 cmC. 6 cm D. 8 cm第2题图D3. (2023绍兴)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是___________.第3题图15°或75°4. (2023江西)如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD.第4题图证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC＝80°，∴∠EBA＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°.又∵∠A＝40°，∴∠EBA＝∠A，∴BE＝AE，△AEB为等腰三角形．又∵ED⊥AB，∴AD＝BD.直角三角形的相关证明与计算 (包头6考，呼和浩特6考，赤峰2考)2命题点第5题图5. (2022包头8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为( )A. B. C. D.A6. (2022包头20题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点(不与点B，C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE.下列结论：①若BF＝CF，则CE2＋AD2＝DE2；②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝ ；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝ .其中正确的是_______．(填写所有正确结论的序号)第6题图①②④7. (2022呼和浩特18题6分)如图，在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；第7题图(1)解：∠C>∠A＋∠B；(2)求证：△ABC的内角和等于180°；第7题图(2)证明：如解图所示，过点B作DE∥AC，DE则∠A＝∠ABD，∠C＝∠CBE.∵∠ABD＋∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，即△ABC的内角和等于180°；(3)若 ，求证：△ABC是直角三角形．第7题图(3)证明：原式可变形为 ，∴(a＋c)2－b2＝2ac，∴a2＋2ac＋c2－b2＝2ac，∴a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．拓展训练8. (2023雅安)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝6，则BF的长为( )A. 6 B. 4C. 3 D. 5第8题图A9. (2023苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝____°.第9题图5410. (2023随州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，OD平分∠AOC交AC于点G，OD＝OA，BD分别与AC，OC交于点E，F，连接AD，CD，则 的值为___；若CE＝CF，则 的值为___.第10题图11. (2023福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．(1)求证：∠ADE＝∠DFC；第11题图证明：(1)∵在等腰Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠ADF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DFC＋∠ADF＝∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；(2)求证：CD＝BF.第11题图(2)如解图，连接AE，由平移的性质得AB∥EF，AB＝EF，∴四边形AEFB是平行四边形，∴BF＝AE，∠EAD＝∠ACB＝90°.∵∠DCF＝180°－∠ACB＝90°，∴∠EAD＝∠DCF.∵△EDF是等腰直角三角形，∴DE＝DF.由(1)得∠ADE＝∠DFC，∴△AED≌△CDF，∴AE＝CD，∴CD＝BF.第11题图(共27张PPT)第23课时 解直角三角形及其应用考点精讲1内蒙古中考真题及拓展2解直角三角形及其应用锐角三角函数正弦余弦正切特殊角的三角函数值30°45°60°直角三角形的边角关系三边关系两锐角关系边角关系解直角三角形的实际应用仰角、俯角坡度、坡角方向角考点精讲【对接教材】北师：九下第一章P1～P27； 人教：九下第二十八章P60～P85.1考点锐角三角函数图示 正弦 ∠A的正弦：sinA＝ ＝____余弦 ∠A的余弦：cosA＝ ＝____正切 ∠A的正切：tanA＝ ＝____(在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角)针对训练1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosB的值为( ) A. B.C. D.C2考点特殊角的三角函数值三角函数 30° 45° 60° 示意图sinα ____cosα ____ tanα ___ 1针对训练2. 在△ABC中，∠A,∠B满足|cosA－ |＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是( ) A.45° B. 60°C. 75° D. 105°D3考点直角三角形的边角关系三边 关系 a2＋___＝c2两锐角 关系 ∠A＋∠B＝_____ 边角 关系 sinA＝cosB＝___； cosA＝sinB＝___； tanA＝___；tanB＝___ 90°b2针对训练3. 在Rt△ABC中，AC＝5，∠C＝90°，cosB＝ ，则AB＝____，BC＝___，sinA＝____．13124考点解直角三角形的实际应用仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡 比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角；i＝tanα＝方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)×度，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)针对训练第4题图4. 已知，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上．(1)如图①，A处在巡逻艇C的___________方向上；(2)如图②，一艘客船在B处，巡逻艇C在其南偏西30°的方向上．①此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数为_____；②若BC＝4海里，则货船沿AC方向航行过程中距离客船B的最短距离为___海里.北偏东60°30°2解直角三角形的实际应用 (包头2考，呼和浩特5考，赤峰4考)内蒙古中考真题及拓展第1题图命题点一、解一个直角三角形1. (2023赤峰17题3分)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前的高度约为____ m．(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)8.1二、解两个直角三角形类型一 母子型2. (2021呼和浩特20题8分)如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN.综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度．(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)第2题图第2题图解：如解图，分别过点C、D作CP⊥MN，DQ⊥MN，垂足为P、Q，PQ设河宽为x米，由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x，BP＝x－20，在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴tan55°＝ ，∴tan55°·x＝x＋40，∴(tan55°－1)·x＝40，∴ ，∴该段河的宽度为 米．3. (2021赤峰16题3分)某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C观测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为_____米．(结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)类型二 背靠背型第3题图4384. (2023呼和浩特20题7分)如图①，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地，已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成如图②所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)第4题图解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝ AC＝230 km，CD＝ AC＝230 km.∵丙地位于乙地北偏东66°方向，∴在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝ km.∴AB＝AD＋BD＝(230＋ )km.答：甲乙两地之间直达高速线路的长AB为(230＋ )km.D第4题图5. (2021包头22题8分)某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为 km，CD长为 ( ＋ )km，BD长为 km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A、B、C、D在同一水平面内)．(1)求A、D两点之间的距离；第5题图E解：(1)如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∴∠AEC＝90°.∵在Rt△ACE中，sin∠ACE＝ ，∠ACD＝60°，AC＝ ，第5题图E∴AE＝ ·sin60°＝ .∵cos∠ACE＝ ，∴CE＝ ·cos60°＝ .∵CD＝ ( )，∴DE＝CD－CE＝ ，∵在Rt△AED中，AD＝ ，∴AD＝ ，∴A、D两点之间的距离为 km；(2)求隧道AB的长度．第5题图E(2)∵∠AED＝90°，AE＝DE＝ ，∴∠ADE＝45°.∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝∠CDB－∠ADE＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，AB＝ ＝ ＝3.∴隧道AB的长度为3 km.6. (2022包头22题8分)如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地．(1)求A地与电视塔P的距离；第6题图解：(1)由题意知∠A＝45°，∠NBC＝15°，∠NBP＝75°，如解图，过点B作BE⊥AP于点E，则∠ABE＝90°－45°＝45°，E∴AE＝BE.∵AB＝3 ，∴AE＝BE＝3.在Rt△BEP中，∠EBP＝180°－∠ABE－∠NBP＝180°－45°－75°＝60°，∴PE＝BE·tan60°＝3 ，∴AP＝AE＋PE＝3＋3 .答：A地与电视塔P的距离为(3＋3 ) km；第6题图E(2)求C地与电视塔P的距离．(2)∵BE＝3，∠BEP＝90°，∠EBP＝60°，∴BP＝ ＝6.又∵∠CBP＝∠NBP－∠NBC＝75°－15°＝60°，BC＝6，∴△BCP是等边三角形，∴CP＝BP＝6.答：C地与电视塔P的距离为6 km.第6题图E7. (2021甘肃省卷)如图①是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图②，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上)．第7题图创新考法数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数)．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.根据上述方案及数据，请你完成求解过程．第7题图第7题图解：∵CD⊥AB, 设CD＝x m,在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ≈ ，在Rt△CBD中，BD＝ ＝ ≈ ，∵AD＋BD＝AB，∴ ＋ ＝58，解得x≈33.4.答：宝塔CD的高度约为33.4 m.(共29张PPT)第19课时 三角形及其性质考点精讲1内蒙古中考真题及拓展2三角形的分类按边分按角分三角形的性质三边关系内角和定理内外角关系边角关系三角形中的重要线段中线高线角平分线中位线垂直平分线三角形及其性质考点精讲【对接教材】北师：七下第四章P81～P91，八上第七章P178～P183，八下第六章P150～P152；人教：八上第十一章P2～P18，八下第十八章P47～P49.1考点三角形的分类按边分 1. 三条边都不相等的三角形2. 等腰三角形：底边和腰不相等的三角形或___________按角分 1. 锐角三角形：三个角都是锐角2. ___________：有一个角为90°3. 钝角三角形：有一个角是钝角等边三角形直角三角形针对训练1. 已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形B2考点三角形的性质三边关系 _________________________，__________________________内角和定理 ____________________________内外角关系 1. 三角形的任意一个外角_____与它不相邻的两个内角的和；2. 三角形的任意一个外角_____任何一个与它不相邻的内角边角关系 在同一个三角形中，等边对_____，大边对大角．【满分技法】判断给定的三条线段能否组成三角形，只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可 三角形两边之和大于第三边三角形两边之差小于第三边三角形三个内角的和等于180°等于大于等角针对训练第3题图2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 2，2，4 B. 5，6，12C. 5，7，2 D. 6，9，113. 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝70°，∠B＝35°，则∠ACD的度数是______．D105°3考点三角形中的重要线段重要线段 图形 性质中线 点D是BC的中点 1. BD＝____＝___BC，2. S△ABD＝S△ADC＝ S△ABC3. 重心：三角形三条中线的交点，到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍高线 AD是△ABC的高线 1. AD⊥____，即∠ADB＝∠ADC＝90°2. 垂心：三角形的三条高线或所在直线的交点CDBC重要线段 图形 性质角平分线 AD平分∠BAC 1. ∠1＝____＝ ∠BAC2. 内心：三角形的三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等，内心即三角形内切圆的圆心(尺规作图可用)中位线 DE是△ABC的中位线 1. ____∥BC且DE＝___BC2. 三角形的中位线将三角形分成面积比为1∶3的两部分∠2DE【知识延伸】重要线段 图形 性质垂直 平分线 DE是边BC的垂直平分线 1. DE⊥BC，且BE＝EC，BD＝CD.2. 外心：三角形三条垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等针对训练4. 如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．第4题图(1)若∠B＝30°，∠C＝80°，则∠BAD＝_____，∠DAF＝_____.(2)若BE＝2，AF＝3，则BC＝___，S△AEC＝___.35°25°435. 如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，连接DE.第5题图(1)若AB＝8，则DE＝___；(2)若∠A＝85°，∠C＝25°，则∠EDC＝_____.470°第1题图证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．1. 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B.【自主作答】证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∠ACD＋∠ACB＝180°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB.∴∠ACD＝∠A＋∠B.回归教材第2题图证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．2. 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝ BC.【自主作答】证明：方法一：如解图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.F∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，CF＝AD.又∵AD＝BD，∴CF＝BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC.又∵DE＝ DF，∴DE∥BC，DE＝ BC.第2题图F方法二：如解图，延长DE到点F，使FE＝DE，连接CF，第2题图F在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE，∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，∴CF∥AB.∵BD＝AD，∴CF＝BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝ BC.三角形的基本性质 (呼和浩特3考，赤峰2022.13)内蒙古中考真题及拓展1命题点1. (2022赤峰13题3分)如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( ) A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°第1题图B拓展训练2. (2021本溪)一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是( )A. 80° B. 95° C. 100° D. 110°第2题图3. (2021柳州)若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是___．(写出一个即可)B6三角形中的重要线段2命题点第4题图4. (2023赤峰8题3分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5B5.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以上作法正确的是( )拓展训练A第6题图6. (2023陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为( )A. B. C. D.D第7题图7. (2021青海省卷)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为____．208. (2021锦州)如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD.则AB的长为________．第8题图9. (2021聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF值为____________．第9题图12∶15∶1010．(2021温州)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.(1)求证：DE∥BC；第10题图(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠EBC＝∠DEB，∴DE∥BC；(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．第10题图(2)解：∵∠A＝65°，∠AED＝45°，∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝70°.由(1)知DE∥BC，∴∠ABC＝∠ADE＝70°.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝ ∠ABC＝35°.11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE.求证：(1)点D在BE的垂直平分线上；第11题图证明：(1)如解图，连接DE.∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE.∴DE＝ AC＝CE＝AE.∵BD＝CE，∴DE＝BD，∴点D在BE的垂直平分线上；第11题图(2)∠BEC＝3∠ABE.(2)∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB.∴∠ADE＝2∠ABE＝2∠DEB.∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE.∴∠BEC＝∠ABE＋∠A＝3∠ABE.第11题图(共43张PPT)第22课时 相似三角形(含位似)考点精讲1重难点分层练2内蒙古中考真题及拓展3比例线段及性质比例线段比例的性质黄金分割平行线分段成比例相似三角形的性质及判定概念性质判定方法相似多边形及其性质概念性质图形的位似概念性质相似三角形考点精讲【对接教材】北师：九上第四章P75～P123； 人教：九下第二十七章P23～P59.比例线段及性质1. 比例线段概念 在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比_____另外两条线段的比，即 ＝ ，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段1考点等于2. 比例的性质基本 性质 ＝ ad＝____(abcd≠0)合比 性质 如果 ＝ ，那么 ＝______(b，d≠0)等比 性质 ＝ ＝…＝ (b，d，…，n≠0) ＝____(b＋d＋…＋n≠0)bc3. 黄金分割图示 图1概念 如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即 ＝≈0.618， ≈0.382【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点 4. 平行线分线段成比例图示 图2 图3 图4基本 事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，如图2，当l3∥l4∥l5时，有 ， 等推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．如图3，在△ADE和△ABC中，∵DE∥BC，∴ ， ；如图4,在△ADE和△ABC中,∵DE∥BC，∴针对训练1. 如果2x＝3y(且xy≠0)，则下列比例式中正确的是( )A. B.C. D.C2. 如果 ＝ ＝ (b＋d≠0)，则 ＝___．43. 一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起来美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么主持人到较近的一端应为____米(精确到0.1米)．3.84. 如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为 ___．第4题图65. 如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为___．6. 如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD＝___．第5题图第6题图46相似三角形的性质与判定2考点概念 如果两个三角形的两角对应相等，或三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形性质 1. 相似三角形的对应角_____，对应边_______；2. 相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于_______；3. 相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_____________判定 方法 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；2. 三边_______的两个三角形相似；3. 两边成比例且夹角_____的两个三角形相似；4. _____相等的两个三角形相似相等成比例相似比相似比相似比的平方成比例相等两角【满分技法】相似三角形的判定思路：(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角(2)有一对等角，找(3)有两边对应成比例，找另一对等角该角的两边对应成比例夹角相等第三边也对应成比例一对直角针对训练7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，则DE∶BC＝_____，△ADE的周长与△ABC的周长之比为_____，△ADE的面积与△ABC的面积之比为_______．第7题图2∶52∶54∶258. 如图，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，有以下四个条件，①∠B＝∠D，②∠C＝∠E，③ ，④ ，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件可能是________(填正确条件的序号)．第8题图①②③相似多边形及其性质3考点概念 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_____，边_______，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做_______性质 1. 相似多边形对应角_____，对应边_______；2. 相似多边形的周长比等于_______，面积比等于______________相等成比例相似比相等成比例相似比相似比的平方针对训练第9题图9. 如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4∶1，则AE∶ED的值为_____．3∶1图形的位似4考点概念 如图，两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，其中对应点连线的交点O叫做位似中心 性质 1. 两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质；2. 对应点的连线都经过同一点；3. 对应边互相平行或在同一条直线上；4. 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比【满分技法】位似图形与相似图形的区别：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形. 针对训练第10题图10. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，若AB＝4，则DE＝___.611. 如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2，4)，点E的坐标为(－1，2)，则点P的坐标为________.第11题图(－2，0)第1题图证明：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．1. 已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E.求证： .【自主作答】证明：如解图，过点E作EF∥AB，交BC于点F.F∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，回归教材， ，∵DE＝BF，∴ ，∴ .第1题图F证明：三边成比例的两个三角形相似．2. 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′.【自主作答】第2题图证明：如解图，在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，DE∴△A′DE∽△A′B′C′，∴ ，又∵ ，A′D＝AB，∴ ， ，∴DE＝BC，A′E＝AC，∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.第2题图DE重难点分层练模型一 A字型模型分析正A字型 斜A字型模型特点 有一个公共角(∠A) 模型展示 DE∥BC DE与BC不平行正A字型 斜A字型解题 思路 (1)由DE∥BC，直接得到两个三角形相似； (2)寻找公共角的对应边成比例，如条件 (1)寻找另一组对应角相等，如条件∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B；(2)寻找公共角的对应边成比例，如条件结论 △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB第1题图模型应用1. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D为BC边上的一点，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，若AB＝4，DE＝1，则△ABC的面积为____．第2题图2. 如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，AD·BC＝ .(1)若∠AED＝∠C，则DE的长为___；(2)若∠AED＝∠B，则DE·AC的值为___．模型二 8字型模型分析正8字型 斜8字型模型 特点 有一组等角(对顶角∠AOB＝∠COD) 模型 展示 AB∥CD AB与CD不平行正8字型 斜8字型解题 思路 (1)由AB∥CD，直接得到两个三角形相似； (2)寻找对顶角的对应边成比例，如条件 (1)寻找另一组对应角相等，如条件∠A＝∠C或∠B＝∠D；(2)寻找公共角的对应边成比例，如条件结论 △AOB∽△DOC △AOB∽△COD模型应用第3题图3. 如图，线段AE、BD交于点C，连接AB、DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB的长为____．4. 如图，在 ABCD中，点E是边AD上一点，且AD＝3ED，EC交对角线BD于点F，则 等于___．第4题图5. (2023阜新)如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为_____．第5题图2∶1相似三角形的相关计算 (包头5考，呼和浩特7考，赤峰5考)内蒙古中考真题及拓展命题点1. (2022赤峰12题3分)如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第1题图C第2题图2. (2023包头17题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为___．拓展训练第3题图3. (2023临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝ ，则AC的长为( ) A. B. C. D.B4. (2023百色)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．第4题图5. (2023烟台)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE ＝0.4米，那么CD为___米．第5题图36. (2023黄冈)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；第6题图(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．第6题图(2)解：由(1)知△ABC∽△DEC，∵S△ABC：S△DEC＝4∶9，∴ ，∴ .∵BC＝6，∴EC＝9.7. (2023广元节选)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点(含端点A、B)，过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF.(1)求证：△ABF∽△CBE；第7题图(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB＝ BC，∠ABC＝∠BAC＝45°.∵BE垂直于射线CD,∴∠BEF＝90°，又∵EF＝BE，∴FB＝ EB，∠FBE＝∠EFB＝45°.∴∠ABE＋∠FBE＝∠ABC＋∠ABE，即∠ABF＝∠CBE .又∵ ，∴△ABF∽△CBE；第7题图(2)如图②，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN.求∠PMN的度数及 的值．第7题图(2)解：∵点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，∴PM∥CN，MN∥AF，PM＝ CE，MN＝ AF，∴∠MPN＝∠CNP，∠CNM＝∠EFA，∴∠MPN＋∠MNP＝∠CNP＋∠MNP＝∠CNM＝∠EFA.∵△ABF∽△CBE，第7题图∴∠AFB＝∠CEB＝90°，∵∠EFB＝45°，∴∠EFA＝∠AFB－∠BFE＝90°－45°＝45°，∴∠MPN＋∠MNP＝45°.∴∠PMN＝180°－45°＝135°.∵ ，∴ .(共34张PPT)第18课时 线段、角、相交线与平行线考点精讲1内蒙古中考真题及拓展2直线和线段两个基本事实两点间距离线段的和与差线段的中点角的度量及换算余角、补角、角平分线角及角平分线相交线三线八角垂线平行线平行公理及推论平行线的判定与性质平行线之间的距离命题命题真命题假命题互逆命题线段、角、相交线与平行线考点精讲【对接教材】北师：七上第四章P106～P121，七下第二章P38～P54，八上第七章P162～P177，八下第一章P22～P32；人教：七上第四章P125～P141，七下第五章P2～P27，八上第十二章P48～P52，第十三章P60～P61.1考点直线和线段两个基本事实 1. 直线的基本事实：__________________2. 线段的基本事实：两点之间，_____最短两点间距离 连接两点间的线段的长度线段的和与差 如图1，B是线段AC上的一点，则有AB＝AC－____；BC＝AC－____；AC＝____＋BC线段的中点 如图2，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，即AM＝____＝ AB图2图1两点确定一条直线线段BCABABBM针对训练1. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是_________________．第1题图2. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若BD＝2，则AC＝__．第2题图两点确定一条直线12考点角及角平分线1. 角的度量及换算量角器的 使用方法 量角器的中心和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，做到两重合后看角的另一边所在线落在量角器刻度线对应的度数度、分、 秒的换算 角的度、分、秒是60进制的，1°＝60′，1′＝60″余角 概念：___________________________________________________性质：同角(等角)的余角_____补角 概念：如果两个角的和等于___________，就说这两个角互为补角性质：_____________________角平分线 性质： __________________________________逆性质：角的内部到角两边距离相等的点在____________2. 余角、补角、角平分线如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角相等180°(平角)同角(等角)的补角相等角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上针对训练3. 已知∠α＝29°，则∠α的余角为_____，补角为______．4. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB.(1)若∠AOB＝40°，则∠OCM的度数为_____；(2)若OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为___．第4题图61°151°70°33考点相交线1. 三线八角图示对顶角 性质：对顶角_____如图，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与____邻补角 性质：互为邻补角的两个角之和等于______如图，∠1和∠3都与∠2、∠4互为邻补角；∠5和∠7都与∠6、∠8互为邻补角相等∠8180°图示同位角 如图，∠1与____，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7内错角 如图，∠2与____，∠3与∠5同旁内角 如图，∠2与∠5，∠3与____∠5∠8∠82. 垂线点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离垂线 的性质 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短，简称：垂线段最短．线段垂直 平分线 性质：__________________________________________________；逆性质：到线段两端点_________的点在这条线段的垂直平分线上垂线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等距离相等针对训练5. 如图，与∠1是同位角的是____，与∠1是内错角的是____，与∠1是同旁内角的是____．第5题图6. 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝115°，则∠COE的度数为____．第6题图∠4∠2∠525°7. 如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在点___，其依据是____________．第7题图A垂线段最短4考点平行线平行 公理 及推论 1. 基本事实(平行公理): 经过直线外一点，有且只有___条直线与这条直线平行2. 推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也________【拓展延伸】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行平行线 的判定 与性质 1. 同位角_____ 两直线平行；2. 内错角相等 两直线_____；3. 同旁内角_____ 两直线平行平行线之间的距离 1. 概念：两条平行线中，一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长度2. 性质：两条平行线之间的距离处处相等一互相平行相等平行互补针对训练8. 如图，直线AB，CD被EF所截，已知∠1＝∠2，求证：AB∥CD.证明：∵∠2＝∠3(依据___________)，∠1＝∠2，∴∠___＝∠___，∴AB∥CD(依据________________________)．第8题图对顶角相等13同位角相等，两直线平行9. 将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是_____.第9题图50°5考点命 题命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题称为互逆命题证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．1. 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD＝PE.【自主作答】第1题图证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，在△PDO和△PEO中，回归教材∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD＝PE.第1题图证明：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．2. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上．求证：PA＝PB.【自主作答】第2题图证明：∵直线l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB.又∵AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA＝PB.直线和线段内蒙古中考真题及拓展1命题点1. (2021包头3题3分)已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2.若D是线段AC的中点，则线段AD的长为( )A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或3C拓展训练2. (2023台州)小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45 km，50 km, 51 km (如图)．能解释这一现象的数学知识是( )A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形两边之和大于第三边D. 两点确定一条直线第2题图A平行线的性质及判定 (包头3考，呼和浩特2考，赤峰3考)2命题点3. (2021呼和浩特2题3分)如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )A. 40° B. 50°C. 60° D. 70°第3题图D4. (2021赤峰6题3分)如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE.若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )A. 85° B. 75°C. 65° D. 30°第4题图B5. (2022包头5题3分)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为( )A. 50° B. 55°C. 70° D. 75°第5题图B6. (2021包头8题3分)如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( )A. 80° B. 70°C. 60° D. 50°第6题图B7. (2021随州)如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2为( )A. 15° B. 25° C. 35° D. 45°第7题图拓展训练A8. (2021潍坊)如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线l与水平地面的夹角α的度数是( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°第8题图B9. (2021兰州)将一副三角板如图摆放，则____∥____，理由是_________________________．第9题图BCDE内错角相等，两直线平行命题 (包头5考，呼和浩特4考)3命题点10. (2021包头9题3分)下列命题正确的是( )A. 在函数y＝－ 中，当x＞0时，y随x的增大而减小B. 若a＜0，则1＋a＞1－aC. 垂直于半径的直线是圆的切线D. 各边相等的圆内接四边形是正方形D11. (2022包头10题3分)下列命题正确的是( )A. 若分式 的值为0，则x的值为±2B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小C. 若b＞a＞0，则D. 若c≥2，则一元二次方程x2＋2x＋3＝c有实数根D12. (2022呼和浩特8题3分)命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A＋B，β＝C＋A，γ＝C＋B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为( )A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3个B13. (2023包头9题3分)下列命题：①若x2＋kx＋ 是完全平方式，则k＝1；②若A(2，6)，B(0，4)，P(1，m)三点在同一条直线上，则m＝5；③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．其中真命题个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B14. (2021呼和浩特9题3分)以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少．其中真命题的个数有( )A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个B 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第18课时 线段、角、相交线与平行线（课件）.pptx 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第19课时 三角形及其性质（课件）.pptx 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第20课时 等腰三角形与直角三角形（课件）.pptx 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第21课时 全等三角形（课件）.pptx 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第22课时 相似三角形(含位似)（课件）.pptx 2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第23课时 解直角三角形及其应用（课件）.pptx
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