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(共37张PPT)
二次函数与几何综合题
类型三 特殊三角形存在性问题
微技能
一阶
例1　如图，已知线段AB和直线l，请在直线l上找一点M，使△ABM是等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点M.(保留作图痕迹，不写作法)
例1题图
解：画图如解图所示．
例1题解图
例2　如图，已知点A(－3，0)，B(4，0)，C(0，4)，点P是线段BC上一动点，当以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．
例2题图
解：设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(4，0)，C(0，4)代入，
得 解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
设点P的坐标为(p，－p＋4)，
∵以A，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，
∴分两种情况讨论：
①当AC＝AP时，AC2＝AP2，
即32＋42＝[p－(－3)]2＋(－p＋4)2，解得p＝1(p＝0不合题意，舍去)，
∴点P的坐标为(1，3)；
②当AC＝PC时，AC2＝PC2，
即32＋42＝p2＋[4－(－p＋4)]2，解得p＝ (负值已舍去)，
∴点P的坐标为( ， )．
综上所述，点P的坐标为(1，3)或( ， )．
例2题图
问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使得△ABP为等腰三角形．
确定点的位置：
(1)以AB为腰：点P在分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上，AB直线上的点除外；
(2)以AB为底：点P在AB的垂直平分线上，AB直线上的点除外．
求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程解出坐标．
满分技法
例3　如图，线段AB在直线l上方，请在直线l上找一点P，使△PAB是直角三角形，请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹，不写作法)
例3题图
解：画图如解图所示．
例3题解图
例4　如图，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，－3)．在直线x＝1上有一点Q，使△QBC为直角三角形，求点Q的坐标
例4题图
解：∵点Q在直线x＝1上，
∴可设点Q的坐标为(1，t)．
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴BQ2＝(1－3)2＋t2＝t2＋4，
CQ2＝12＋(t＋3)2＝t2＋6t＋10，
BC2＝18，
当△QBC为直角三角形时，分三种情况讨论：
①当∠BQC＝90°时，则有BQ2＋CQ2＝BC2，
即t2＋4＋t2＋6t＋10＝18，
解得t＝ 或t＝ ，
此时点Q的坐标为(1， )或(1， )；
②当∠CBQ＝90°时，则有BC2＋BQ2＝CQ2，
即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，
解得t＝2，
此时点Q的坐标为(1，2)；
例4题图
③当∠BCQ＝90°时，则有BC2＋CQ2＝BQ2，
即18＋t2＋6t＋10＝t2＋4，
解得t＝－4，
此时点Q的坐标为(1，－4)．
综上所述，点Q的坐标为(1， )或(1， )，
或(1，2)或(1，－4)．
例4题图
满分技法
问题：已知线段AB，在平面内找一点P，使△ABP为直角三角形．
确定点的位置：
(1)以A为直角顶点，AB为直角边，点P在过点A与AB垂直的直线上；
(2)以B为直角顶点，AB为直角边，点P在过点B与AB垂直的直线上；
(3)以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB为直径的圆上．
求点P坐标的方法：分别表示出点A、B、P的坐标，再根据勾股定理表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2，②BP2＝AB2＋AP2，③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标．
设问突破
二阶
例5 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点 C，顶点为点D，连接BC，抛物线对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F.
一题多设问
例5题图①
(1)连接AC、CF，判断△CAF的形状，并说明理由；
【思维教练】观察题图可知△CAF应该是以AC、FC为腰的等腰三角形，已知CO⊥AF，只需再求得AO＝FO即可轻易得证．
解：(1)△CAF是等腰三角形，
理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝1，
∴点 F的坐标为(1，0)．
令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AO＝OF＝1.
∵CO⊥AF，
∴CO是线段 AF的垂直平分线，∴CA＝CF，
即△CAF是等腰三角形；
例5题图①
(2)若点P是抛物线上一点，当△BCP是以BC为底的等腰三角形时，求点P的坐标；
【思维教练】要使△BCP是以BC为底的等腰三角形，可作BC的垂直平分线，其与抛物线的交点即为所求点P.
例5题图②
(2)由抛物线的解析式得C(0，3)，
由(1)可知B(3，0)，
∴BC的中点坐标为( ， )，
直线BC的解析式为y＝－x＋3.
∵OC＝OB，
∴BC的垂直平分线l过原点．
又∵直线l过点( ， )，
∴BC的垂直平分线l的解析式为y＝x，
联立 解得 或
∴点P的坐标为( ， )或( ， )；
例5题图②
(3)若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在这样点P，使得△BCP是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使△BCP是等腰三角形，需分BC＝BP，BC＝CP，BP＝CP三种情况讨论，通常利用勾股定理表示出三边的平方，分三种情况利用三边的平方相等列方程求解．
例5题图③
(3)存在．
设P(1，m)，
BC2＝OB2＋OC2＝18，
BP2＝(3－1)2＋m2＝4＋m2，
CP2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.
分三种情况讨论：
①当BC＝BP时，BC2＝BP2，
即18＝4＋m2，解得m＝± ，
∴P1(1， )，P2(1，－ )；
②当BC＝CP时，BC2＝CP2，
即18＝m2－6m＋10，解得m＝3± ，
∴P3(1，3＋ )，P4(1，3－ )；
③当BP＝CP时，BP2＝CP2，
即4＋m2＝m2－6m＋10，解得m＝1，
例5题图③
∴P5(1，1)．
综上所述，点P的坐标为(1， )或(1，－ )，
或(1，3＋ )或(1，3－ )或(1，1)；
例5题图③
(4)设P(n，－n2＋2n＋3)，
分两种情况讨论：
①当∠PCB＝90°时，
如解图，过点P作PG⊥y轴于点G，
(4)若点P是抛物线上一点，当△BCP是以BC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；
【思维教练】要使△BCP是以BC为直角边的直角三角形，需分点B和点C分别为直角顶点两种情况讨论，结合△OBC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解．
例5题图④
例5题解图
例5题解图
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∴∠PCG＝180°－∠BCO－∠BCD＝45°，
∴△CPG为等腰直角三角形，
∴CG＝PG.
∵CG＝OG－OC＝－n2＋2n＋3－3＝－n2＋2n，PG＝n，
∴－n2＋2n＝n，解得n1＝0(舍去)，n2＝1，
∴P(1，4)；
②当∠PBC＝90°时，如解图，过点P作PH⊥x轴于点H，
则∠HBP＝90°－∠CBO＝45°，
∴△HBP为等腰直角三角形，
∴BH＝PH.
∵BH＝3－n，PH＝－(－n2＋2n＋3)＝n2－2n－3，
∴3－n＝n2－2n－3，解得n1＝3(舍去)，n2＝－2，
∴P(－2，－5)．
综上所述，点P的坐标为(1，4)或(－2，－5);
例5题解图
(5)存在．
要使△BCP为直角三角形，
需分三种情况讨论：
①当∠PCB＝90°时，如解图，
∵点D为抛物线顶点，
(5)若点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P使得△BCP是直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】分∠PCB＝90°、∠PBC＝90°、∠CPB＝90°三种情况讨论，利用直角三角形的性质求解．
例5题图⑤
例5题解图
∴D(1，4)，
∴CD2＝12＋(4－3)2＝2，
BD2＝(3－1)2＋42＝20，
BC2＝32＋32＝18，
∴BC2＋CD2＝BD2，
例5题解图
∴∠DCB＝90°，
∴当点P与点D重合时，∠PCB＝90°，
此时点P的坐标为(1，4)；
②当∠PBC＝90°时，如解图，
∵OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝45°，
∴∠BEP＝∠BCO＝45°，
∴BE＝BP.
∵EP⊥BF，
∴FP＝BF＝OB－OF＝2，
∴此时点P的坐标为(1，－2)；
例5题解图
③当∠CPB＝90°时，如解图，
设点P(1，h)，过点C作CM⊥DF于点M，
∴M(1，3)，
∴∠CPM＋∠BPE＝90°，∠BPE＋∠PBF＝90°，
∴∠CPM＝∠PBF.
又∵∠CMP＝∠PFB＝90°，
∴△CPM∽△PBF，
∴ ，即 ，
例5题解图
解得h1＝ ，h2＝ ，
∴点P的坐标为(1， )或(1， )；
综上所述，点P的坐标为(1，4)或(1，－2)或(1， )或(1， )；
(6)设点P是第一象限内抛物线上的动点，点Q是线段BC上一点，是否存在点P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出点P和点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据等腰直角三角形的性质分三种情况讨论：①∠PCQ＝90°，CP＝CQ；②∠CPQ＝90°，CP＝PQ；③∠CQP＝90°，CQ＝PQ，分别求解即可．
例5题图⑥
(6)存在．
∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°.
∵点Q在直线BC上，直线BC解析式为y＝－x＋3，
∴设点Q的坐标为(t，－t＋3)．
①当∠PCQ＝90°，CP＝CQ时，如解图，
∵CD2＝12＋(4－3)2＝2，
BD2＝(3－1)2＋42＝20，
BC2＝32＋32＝18，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴CD⊥BC，
∴点P与点D重合，即P(1，4)．
例5题解图
∵∠MCD＝180°－∠BCD－∠BCO＝45°，∠CPQ＝45°.
∴∠MCD＝∠CPQ.
∴PQ∥y轴，
∴点Q与点E重合，
当x＝1时，y＝－x＋3＝2，
∴Q(1，2)；
例5题解图
②当∠CPQ＝90°，CP＝PQ时，如解图，
∵∠QCP＝∠CBO＝45°，∠PQC＝∠OCB＝45°，
∴CP∥x轴，PQ∥y轴．
令y＝－x2＋2x＋3＝3，
解得x1＝0，x2＝2，
∴P(2，3)．
当x＝2时，y＝－x＋3＝1.
∴Q(2，1)；
例5题解图
③当∠CQP＝90°，CQ＝PQ时，
如解图，设抛物线的对称轴与CP交于点N.
∵∠QCP＝∠CBO＝45°，
∴CP∥x轴，
∴CN＝PN＝ CP，CE＝PE，
∴点Q与点E重合．令y＝－x2＋2x＋3＝3，
解得x1＝0，x2＝2，
∴P(2，3)，
∴CN＝ CP＝1.
例5题解图
当x＝1时，y＝－x＋3＝2.
∴点Q的坐标为(1，2)．
综上所述，满足题意的点P，Q坐标为
P(1，4)，Q(1，2)或P(2，3)，Q(2，1)或P(2，3)，Q(1，2)．
例5题解图
对接中考
已知二次函数y＝ax2＋bx－3a经过点A(－1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式；
(1)解：将点A(－1，0)，C(0，3)代入二次函数y＝ax2＋bx－3a中，
得 解得
∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
题图
(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
题解图
(2)证明：由二次函数解析式y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
得D点坐标为(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
由A点坐标(－1，0)可得B点的坐标为(3，0)，
如解图，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
由题意知，DE＝1，EC＝1，
在Rt△DEC中，CD2＝EC2＋DE2＝2，
在Rt△COB中，OC＝3，OB＝3，
∴BC2＝OC2＋OB2＝18.
在Rt△BDF中，BF＝2，DF＝4，
∴BD2＝BF2＋DF2＝20.
在△BCD中，∵BD2＝BC2＋CD2＝20，
∴△BCD是直角三角形；
题解图
(3)解：存在．
①当CD＝PD时，点C(0，3)关于对称轴的对称点P在抛物线上，
则点P坐标为(2，3)；
②当PC＝PD时，设点P的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，
如解图，过点P作PN⊥y轴于点N，交对称轴于点M，
则PN＝x，PM＝x－1，
CN＝|x2－2x|，DM＝|x2－2x＋1|
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题解图
题解图
在Rt△CNP中，PC2＝CN2＋PN2＝(x2－2x)2＋x2，
在Rt△DMP中，DP2＝DM2＋PM2＝(x2－2x＋1)2＋(x－1)2，
令PC2＝DP2得x2－3x＋1＝0，
解得x1＝ ， x2＝ (不合题意，舍去)，
∴点P坐标为( ， )，
③当CD＝CP时，DC＝ ，BC＝3 ＞2 ，
∴点P在点B左侧，即1＜x＜3，
∵CD＝CP，
∴2＝x2＋(x2－2x)2，即x4－4x3＋5x2－2＝0，化简得x＝1或x＝3，
此时点P不在抛物线上，
∴点P不存在．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(2，3)或( ， )．
题解图(共30张PPT)
二次函数与几何综合题
类型四 特殊四边形存在性问题
微技能
一阶
例1　如图，已知平面上不共线的三个点A、B、C，请在平面内找一点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出所有符合要求的点P.(保留作图痕迹，不写作法)
例1题图
P2
P1
P3
例2　在如图所示9×9的网格中，点A、B在格点上，请找出两组格点C、D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．
例2题图
解：分为两类：①以AB为边的平行四边形ABCD，举例如解图(答案不唯一)；
C
D
例2题图
②以AB为对角线的平行四边形ACBD ，举例如解图(答案不唯一)
C
D
例3　如图，已知A(－3，0)，B(0，－2)，C(0，－4)，在平面内是否存在一点P，使以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3题图
解：存在．如解图，分三种情况讨论：
①若四边形ACBP1为平行四边形，
则有AP1＝CB＝2，
此时点P1的坐标为(－3，2)；
②若四边形AP2CB为平行四边形，
则有AP2＝CB＝2，
例3题解图
例3题解图
此时点P2的坐标为(－3，－2)；
③若四边形ACP3B为平行四边形，
易得直线P1B解析式为y＝－ x－2，
直线P2C解析式为y＝－ x－4，
联立得 解得
即点P3的坐标为(3，－6)．
综上所述，点P的坐标为(－3，2)或(－3，－2)或(3，－6)．
例4　如图，在平面直角坐标系中，已知点A(4，2)，B(－1，－3)，点P为x轴上一点，点Q为y轴上一点．若要使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点P、Q的坐标．
例4题图
例4题解图
解：设P(xP，0)，Q(0，yQ)，
①当AB为平行四边形的一边时，如解图，
∵A(4，2)，B(－1，－3)，
则 或
∴ ＝－5， ＝5，
即点P1(－5，0)，P2(5，0)．
又由 或
得 ＝5， ＝－5，
∴Q1(0，5)，Q2(0，－5)；
②当AB为平行四边形的对角线时，如解图，
则 ， ，
∴ ＝3， ＝－1，
∴P3(3，0)，Q3(0，－1)．
例4题解图
综上所述，满足条件的P、Q的坐标为P(－5，0)，Q(0，5)或P(5，0)，Q(0，－5)或P(3，0)，Q(0，－1)．
例4题解图
满分技法
1. 求作平行四边形的方法：
(1)三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点；
(2)两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：
①情况一：若AB为平行四边形的边，如图①，平移AB，确定另外两点位置；
②情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图②，取AB中点，作过中点的直线确定另外两点的位置．
满分技法
满分技法
2. 求点坐标常用方法：
(1)线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A(x1，y1)，
点B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为( ， )；
(2)平行四边形顶点坐标公式：平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
设问突破
二阶
例5 如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC.
(1)若点P是平面内一点，是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】要使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①AC为平行四边形对角线；②BC为平行四边形对角线；③AB为平行四边形对角线．
例5题图①
一题多设问
解：(1)存在．
如解图，连接BC，
由题意，可知A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)，
∴AB＝4，BC＝ .
分三种情况讨论：
①当AC为平行四边形ABCP的对角线时，
PC＝AB＝4，∴P(－4，5)；
②当BC为平行四边形ACPB的对角线时，
PC＝AB＝4，∴P(4，5)；
例5题解图
③当AB为平行四边形ACBP的对角线时，
AP＝BC＝ ，P(－6，－5)．
综上所述，点P的坐标为(－4，5)或(4，5)或(－6，－5)；
例5题解图
(2)若点P是抛物线上一点，点Q是x轴上一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】由AC为定边，可分AC为平行四边形一边及AC为平行四边形的一条对角线分别确定点Q的坐标．
例5题图②
例5题解图
(2)存在．
如解图，分两种情况讨论：
①当AC为平行四边形的边时，
若点P在x轴上方，满足CP＝AQ，
∵C(0，5)，
∴当y＝5时，x2＋6x＋5＝5，
∴x1＝0，x2＝－6，即CP＝6，此时Q(－11，0)，
若点P在x轴下方，不存在；
②当AC为平行四边形对角线时，满足AQ＝PC＝6，此时Q(1，0)．
综上所述，点Q的坐标为(－11，0)或(1，0)；
例5题解图
(3)若点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴l上一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①AC为平行四边形的边；②AC为平行四边形的对角线．
例5题图③
(3)∵对于y＝x2＋6x＋5，函数的对称轴为x＝－3，
∴点Q的横坐标为－3.
分两种情况讨论：
①当AC为平行四边形的边时，
∵以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AC＝PQ，
∴xC－xA＝xP－xQ或xC－xA＝xQ－xP，
∴xP＝0－(－5)＋(－3)＝2或xP＝(－3)－0＋(－5)＝－8，
∴点P坐标为(2，21)或(－8，21)；
②当AC为平行四边形的对角线，
∵以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AC与PQ互相平分，
例5题图③
∴ ，即
解得xP＝－2，
∴点P的坐标为(－2，－3)．
综上所述，点P的坐标为(2，21)或(－8，21)或(－2，－3)；
例5题图③
(4)若点P是x轴上一点，点Q是平面任意一点，是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】先设出点P的坐标，需要分BC为矩形的边或BC为矩形的对角线两种情况，分别计算得出点P的坐标．
例5题图④
(4)存在．由题意可知，B(－1，0)、C(0，5)，设点P的坐标为(p，0)，
∴BP2＝(p＋1)2，CP2＝p2＋52，BC2＝12＋52＝26，
①当BC为矩形的边时，∠BCP＝90°，
∴BP2＝CP2＋BC2，
即(p＋1)2＝p2＋52＋26，解得p＝25，
∴点P的坐标为(25，0)；
②当BC为矩形的对角线时，∠BPC＝90°，
∴此时点P与原点重合，点P的坐标为(0，0)，
综上所述，点P的坐标为(25，0)或(0，0)；
例5题图④
(5)若点P是抛物线对称轴上一点，过点P作平行于AB的一条直线l′，点K在l′上，若以A、O、P、K为顶点的四边形是菱形，写出所有满足条件的点P、K的坐标．
【思维教练】由PK∥AO可知，若PK＝AO，则以A、O、P、K为顶点的四边形是平行四边形，再证OP＝AO或AP＝AO即可满足菱形的条件，根据点P在l上，设出点坐标，得到方程求解即可．
例5题图⑤
(5)如解图，设点P的坐标为(－3，g)，对称轴与x轴的交点为D，
由勾股定理得OP2＝OD2＋DP2＝9＋g2，AP2＝AD2＋PD2＝4＋g2，
∵PK∥AO，
①当OP＝AO且PK＝AO时，四边形OPKA是菱形，
∵OP＝AO＝5，
此时有9＋g2＝25，
解得g1＝4，g2＝－4，
∴点P的坐标为(－3，4)或(－3，－4)，
则相对应的点K的坐标为(－8，4)，(－8，－4)；
例5题解图
②当AP＝AO且PK＝AO时，四边形APKO是菱形，
此时有4＋g2＝25，
解得g1＝ ，g2＝－ ，
∴点P的坐标为(－3， )或(－3，－ )，
则相对应的点K的坐标为(2， )，(2，－ )．
综上所述，满足条件的点P、K的坐标为
P(－3，4)，K(－8，4)或P(－3，－4)，K(－8，－4)
或P(－3， )，K(2， )
或P(－3，－ )，K(2，－ )．
例5题解图
对接中考
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH.
(1)抛物线的解析式为__________________；
y＝－x2－2x＋3
(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
题解图
(2)如解图，连接OE.设E(m，－m2－2m＋3)．
∵A(－3，0)，C(0，3)，
∴OA＝OC＝3，AC＝3 .
∵AC∥直线m，
∴△ACH的面积是定值．
∵S四边形AECH＝S△AEC＋S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大．
S△AEC＝S△AEO＋S△ECO－S△AOC
＝ ×3×(－m2－2m＋3)＋ ×3×(－m)－ ×3×3
＝－ (m＋ )2＋ ，
∵－ ＜0，
∴m＝－ 时，△AEC的面积最大，
∴E(－ ， )；
题解图
(3)存在．如解图，∵点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，
∴观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为± ，
对于抛物线y＝－x2－2x＋3，
当y＝ 时，－x2－2x＋3＝ ，
解得x＝－ (舍去)或x＝－ ，
(3)在(2)的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F，E，P，Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
题解图
∴Q(－ ， )．
当y＝－ 时，－x2－2x＋3＝－ ，解得x＝ ，
∴Q( ，－ )或Q( ，－ )．
综上所述，点Q的坐标为(－ ， )
或( ，－ )或( ，－ )．
题解图(共25张PPT)
二次函数与几何综合题
类型一 线段问题
满分技法
微技能
一阶
例1　如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q.
例1题图
(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为____________，点H的坐标可表示为________；
(t，－t2＋2t＋3)
(t，－t＋3)
(t，0)
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为___________，点C的坐标为__________；
(－1，0)
(3，0)
(0，3)
例1题图
(3)设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示下面的距离：
①点P到x轴的距离为_____________；
②点P到y轴的距离为______________；
③点P到对称轴的距离为____________；
④点P到原点O的距离为__________________；
⑤PQ的长为___________；
⑥点P到直线BC的距离为______________.
－t2＋2t＋3
t
|t－1|
－t2＋3t　
例1题图
满分技法
1. 与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下);
2. 与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左);
3. 斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．
设问突破
二阶
例2　如图，已知二次函数y＝－ x2＋ x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为M，连接BC.
(1)若点P是抛物线在第一象限内一点，过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；
【思维教练】设出点P的横坐标，根据垂直于x轴的直线的坐标特征，表示出PQ的长度，利用二次函数性质求线段PQ的最大值．
例2题图①
解：(1)设点P的横坐标为p，则点P的坐标为(p，－ p2＋ p＋3)，
∵PQ∥y轴，
∴点Q的横坐标与点P相同．
在函数y＝－ x2＋ x＋3中，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)．
令y＝0，得－ x2＋ x＋3＝0，
解得x＝－2或x＝4，
∴A(－2，0)，B(4，0)，
例2题图①
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(4，0)，C(0，3)代入，
得 解得
∴直线BC的解析式为y＝－ x＋3.
∴点Q的坐标为(p，－ p＋3)，
∴PQ＝－ p2＋ p＋3－(－ p＋3)＝－ p2＋ p＝－ (p－2)2＋
例2题图①
∵－ ＜0，0＜p＜4，
∴当p＝2时，PQ有最大值，此时的最大值为 ；
例2题图①
(2)如解图，连接PC，PB，由(1)知，PQ＝－ (p－2)2＋ ，
∴S△PCB＝ PQ·OB
＝ ×[－ (p－2)2＋ ]×4
＝－ (p－2)2＋3，
(2)若点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥BC于点H，求线段PH的最大值；
【思维教练】方法一：利用△PCB的面积求出线段PH的最大值；方法二：利用相似三角形求出线段PH的最大值．
例2题解图
例2题图②
∵－ ＜0，0＜p＜4，
∴当p＝2时，S△PCB最大＝3.
∵S△PCB＝ BC·PH，且BC＝ ＝5，
∴ ×5×PH＝3，解得PH＝ ，
∴线段PH的最大值为 ；
例2题解图
(3)若点P是对称轴l上一点，是否存在点P，使得PC＋PA最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】将军饮马问题，将两定点同侧转化异侧问题，即可作点A关于对称轴l的对称点，恰好与点B重合，直线BC与对称轴l的交点即为要求的点P.
例2题图③
(3)存在．由(1)知A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点A关于对称轴l的对称点的坐标为(4，0)，
恰好与点B重合，
∴直线BC与对称轴的交点即为使得PC＋PA最小时点P的位置．
由(1)知，直线BC的解析式为y＝－ x＋3，
∴当x＝1时，y＝ ，
∴点P的坐标为(1， )；
例2题图③
(4)要使△BMP的周长最小，由于BM为定值，即使PM＋PB最小即可．
如解图，作点M关于y轴的对称点M′，
连接BM′交y轴与点P，此时点P满足
△BMP的周长最小．
(4)若点P是y轴上一点，当以B、M、P为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标；
【思维教练】将军饮马问题，当△BMP的周长最小时，由于BM是定值，即求PM＋BM的最小值.
例2题解图
　例2题图④
例2题解图
二次函数解析式可化为y＝－ (x－1)2＋ ，
∴M(1， )，
∴M′(－1， )．
∵B(4，0)，
∴设直线BM′的解析式为y＝kx＋b，
将M′(－1， )，B(4，0)代入，
例2题解图
得 解得
∴直线BM′的解析式为y＝－ x＋ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴此时点P的坐标为(0， )．
(5)对称轴l上是否存在点P，使点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】用(2)中的方法表示出点P到直线BC的长，再用勾股定理表示出PA的长，列关系式求解.
例2题解图
(5)存在．
如解图，设直线BC与对称轴l交于点E，
过点P作PQ⊥BC于点Q，
由(1)知，A(－2，0)，
直线BC的解析式为y＝－ x＋3，
例2题图⑤
由(4)知，M(1， )，
∴当x＝1时，y＝－ x＋3＝ ，
∴E(1， )．
由(1)知，A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，
∴CO＝3，BO＝4，
∴BC＝5.
在Rt△COB中，sin∠OCB＝ ，
例2题解图
例2题解图
∴sin∠PEQ＝
设点P的坐标为(1，t)，
∴ ，解得PQ＝
∵点P到直线BC的距离等于点P到点A的距离，
∴PQ＝PA，
∴ ，解得t＝－4.
∴点P的坐标为(1，－4)．
对接中考
已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，
得 解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3;
(2)如图①，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连接PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设 ＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
(2)如解图，过点P作PF∥y轴交BC于点F，
题图①
F
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，
得 解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设点P的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点F的坐标为(x，－x＋3)，
∵PF∥y轴，
∴△PFE∽△OCE，
∴
∴
∵－1＜0，
∴当x＝ 时，k取得最大值 ，
此时点P的坐标为( ， )；
题图①
F
(3)如图②，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D.求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值．
解图
(3)如解图，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q(1，0)，
∴OQ＝1，BQ＝OB－OQ＝3－1＝2.
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D(0，－3)．
题图
解图
∵B(3，0)，
∴OB＝OD＝3.
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝ ，BD＝ OB＝
∴△BDQ的周长＝BQ＋DQ＋BD＝2＋ ＋3 .
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°.
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ·cos∠DBO＝2·cos45°＝ ，
∴DT＝BD－BT＝3 － ＝2 ，
∴tan∠BDQ＝
解图(共28张PPT)
二次函数与几何综合题
类型五 与角度有关的问题
微技能
一阶
例1　如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(1，0)，点A在第一象
限，且AB⊥x轴于点B，若∠AOB＝30°，则点A的坐标为___________.
例1题图
(1， )
例2　如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，0)，点P为直线y＝1上一点，若∠APB＝90°，则点P的坐标为
________________________________．
例2题图
( ，1)或( ，1)
例3　如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2，3)，过点A作AB⊥x轴于点B，点C为直线AB上一点，
(1)当OC平分∠AOB时，点C的坐标为_____________；
(2)当∠ACO＝∠AOB时，点C的坐标为____________；
(3)当∠OCB＝2∠A时，点C的坐标为__________________．
例3题图
(0， )
(2， )或(2，－ )
满分技法
1. 若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解；
2. 若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函数求解；
3. 若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解直角三角形求解．
设问突破
二阶
例4 如图，抛物线y＝－ x2＋ x＋3 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为M，对称轴与x轴交于点E.
一题多设问
(1)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得∠CPB＝90°，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
例4题图①
【思维教练】要使得∠CPB＝90°，根据等角的余角相等，从而过点C作ME的垂线，构造相似三角形，列比例式并求解，或设出点P的坐标，利用坐标表示出线段长，利用勾股定理列等式求解．
例4题解图
解：(1)存在．由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝3.
A(－3，0)，B(9，0)，C(0，3 )，
如解图，过点C作CT⊥ME于点T，
设点P的坐标为(3，e)，
则CT＝3，BE＝6，PT＝|e－3 |，PE＝|e|，
∵∠CPB＝90°，
∴∠CPT＋∠EPB＝90°.
∵∠CTP＝90°，
∴∠TCP＋∠CPT＝90°，
例4题解图
∴∠EPB＝∠TCP.
∵∠CTP＝∠PEB＝90°，
∴△CTP∽△PEB，
∴ 即 ，
当e＜0或e＞3 时，
整理得e2－3 e－18＝0，解得e1＝ ，e2＝
当0＜e＜3 时，
整理得e2－3 e＋18＝0，方程无解，
综上所述，点P的坐标为(3， )或(3， )；
例4题解图
(2)已知点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得∠PCB＝∠PBC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】由∠PCB＝∠PBC可知，点P为线段BC的垂直平分线与抛物线的交点，作线段BC的垂直平分线SL，利用待定系数法求出SL的解析式，联立即可求得点P的坐标．
(2)存在．由(1)得，点B(9，0)，点C(0，3 )，
设BC的中点为S，
∴BC的中点S的坐标为( ， )，
如解图，过点S作SL⊥BC，交x轴于点L，交抛物线于点P，连接AC，此时点P即为所求，
∵OC＝3 ，OA＝3，OB＝9，
∴AC＝6，BC＝6 ，
则∠ACO＝∠CBO＝30°，BS＝ BC＝3 ，
∴ ＝6，
∴OL＝OB－BL＝9－6＝3，则点L的坐标为(3，0)，
设直线SL的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，
例4题解图
将点L，S的坐标代入，
得 解得
∴直线SL的解析式为y＝ x－3 ，
联立 解得 或
综上所述，点P的坐标为(6，3 )或(－9，－12 )；
例4题解图
(3)点P是抛物线上一个动点，连接MP，过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，若∠MPQ＝2∠PME，求点P的坐标；
【思维教练】由点P的位置不确定，可分点P在点Q下方和点P在点Q上方两种情况进行讨论，当点P在点Q下方时，∠PME＝∠MPQ，不符合题设条件，排除，当点P在点Q上方时，由已知易得PQ∥ME，∠MPQ＋∠PME＝180°，进行求解即可．
例4题图③
(3)∵ME∥y轴，PQ∥y轴，
∴ME∥PQ.
①如解图，当点P在点Q的下方时，∠PME＝∠MPQ，此时不符合题设条件；
②如解图，设ME交BC于点F，当点P在点Q的上方时，
∠PMF＋∠MPQ＝180°，
∵∠MPQ＝2∠PMF，
∴∠PMF＝60°.
当点P在点M的右侧时，
由(2)知，∠CBO＝30°，
∴∠BFE＝60°，
例4题解图
例4题解图
∴∠PMF＝∠BFE，
∴MP∥FQ.
易得直线BC的解析式为y＝－ x＋3 ，
∴设直线MP的解析式为y＝－ x＋p，
将x＝3代入抛物线方程，得M(3，4 )，
将点M(3，4 )代入，得－ ×3＋p＝4 ，
解得p＝5 ，
例4题解图
∴直线MP的解析式为y＝－ x＋5 ，
联立 解得 ， (舍去)
此时点P的坐标为(6，3 )；
③如解图，当点P在点M的左侧时，
延长MP交x轴于点K，
则∠MKE＝30°，∠KME＝60°，
例4题解图
∴KE＝ ME＝4 × ＝12，
∴KO＝KE－OE＝9，
∴点K的坐标为(－9，0)，
易得直线MK的解析式为y＝ x＋3 ，
∴直线MK与抛物线的交点为点C和点M，
即此时点P和点C、Q重合，∠MPQ不存在，
∴舍去．
综上所述，点P的坐标为(6，3 )；
例4题解图
(4)点P为y轴上一点，连接BP，是否存在点P使得∠OBC＋∠OBP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】根据∠OBC＋∠OBP＝45°可知作线段BC的垂线，构造等腰直角三角形可求出PD的长，再根据面积公式求出点P的坐标，最后根据对称性可求得另外一点坐标．
例4题图④
例4题解图
(4)存在．如解图，
作PD⊥BC交BC于点D，设P(0，n)，
由(2)可知点B的坐标为(9，0)，BC＝6 ，
∴PB＝
例4题解图
∵∠PBD＝45°，
∴PD＝ PB＝
∵S△BCP＝ BC·PD＝ OB·CP，
∴ ×6 × ＝ ×9×(3 －n)，
化简得n2－18 n－81＝0，
解得n1＝9 ＋18(舍去)，n2＝9 －18，
∴P(0，9 －18)；
如解图，作点P关于x轴的对称点P1，
则∠OBP＝∠OBP1，
∴∠OBP1＋∠OBC＝45°，OP1＝OP＝18－9 ，
∴P1(0，18－9 )．
例4题解图
综上所述，点P的坐标为(0，9 －18)或(0，18－9 )．
对接中考
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2－2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝－ x＋b经过点A，与y轴交于点B，连接OM.(1)求b的值及点M的坐标；
(1)解：∵y＝ x2－2x＝ (x－3)2－3，
∴顶点M的坐标为(3，－3)．
令y＝ x2－2x中y＝0，得x1＝0，x2＝6，
∴A(6，0)．
∵直线y＝－ x＋b经过点A，
∴－3＋b＝0，
∴b＝3；
(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx＋n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：∠ADM－∠ACM＝45°；
(2)证明：∵直线y＝mx＋n由直线y＝－ x＋3平移得到，
∴m＝－ .
∵直线y＝－ x＋n过点M(3，－3)，
∴－ ＋n＝－3，解得n＝－ .
∴平移后的直线CM的解析式为y＝－ x－ .
如解图，过点D作DH⊥CM于点H，
设直线DH的解析式为y＝2x＋k，将点D(2，0)代入，得4＋k＝0，
∴k＝－4，
∴直线DH的解析式为y＝2x－4.
联立 解得
∴H(1，－2)．
∵D(2，0)，H(1，－2)，
题解图
∴DH＝ .
∵M(3，－3)，D(2，0)，
∴DM＝ ，
∴sin∠DMH＝
∴∠DMH＝45°.
∵∠ACM＋∠DMH＝∠ADM，
∴∠ADM－∠ACM＝45°；
题解图
(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G.当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)解：存在．
如解图，过点G作GP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO＋∠AFE，
∴∠BAO＝∠AFE.
∵∠AEF＝∠GFP，tan∠BAO＝
∴tan∠GFP＝tan∠EFQ＝
题解图
题解图
∵GP∥EQ，
∴
设GP＝4K，EQ＝3K，
则OP＝GP＝4K，PF＝8K，FQ＝AQ＝6K，
∴OF＝AF＝12K＝3，
∴K＝ ，
∴OF＝3，FQ＝AQ＝ ，EQ＝ ，
∴OQ＝ ，
∴E( ， )，
∴当∠BEF＝2∠BAO时，存在点E，使得3GF＝4EF，
此时点E的坐标为( ， )．
题解图(共33张PPT)
二次函数与几何综合题
类型二 面积问题
微技能
一阶
例1 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点为A，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧)．
(1)如图①，过点A作AE⊥x轴于点E，求△ABE的面积；
例1题图①
解：(1)抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
∴点A的坐标为(－1，4)，
∴S△ABE＝ ×1×4＝2；
一题多设问
满分技法
直接公式法：适用于三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，直接运用三角形的面积公式S＝ AB·h求解．
(2)如图②，抛物线上有一点M(－2，3)，连接AM，AD，MD，求△AMD的面积；
【分割法】
例1题图②
(2)如解图，过点A作AF∥y轴交MD于点F，
F
令－x2－2x＋3＝0，
解得x1＝－3，x2＝1，
∴D(1，0)，
设直线MD的解析式为y＝kx＋b，
将点M(－2，3)，D(1，0)代入，
例1题图②
F
得 解得
∴直线MD的解析式为y＝－x＋1.
又∵点A(－1，4)，
∴当x＝－1时，y＝2，则点F的坐标为(－1，2)，
∴S△AMD＝ AF·|xD－xM|＝ ×(4－2)×[1－(－2)]＝3；
【补全法】
(2)如解图，过点A作GH∥x轴，分别过点M、D作MG⊥AG、
DH⊥AH，
例1题解图
∴S△AMD＝S梯形MGHD－S△AGM－S△AHD
＝ ×(1＋4)×3－ ×1×1－ ×2×4
＝3；
满分技法
1. 分割法：
S△ABC＝ ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
满分技法
2. 补全法：
S△ABC＝S四边形BCED－S△ADB－S△AEC
(3)如图③，连接AB，BD，AC，求四边形ABDC的面积．
例1题图③
(3)如解图，连接BC，过点A作AN∥y轴交BC于点N，
N
由(2)同理可得点N的坐标为(－1，2)，
∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD
＝ ×(4－2)×[0－(－3)]＋ ×[1－(－3)]×3
＝9.
满分技法
对于一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)的四边形，可连接一条对角线，将四边形分割成两个三角形来解决．其中一个三角形一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴)，另一个三角形的三边都不在坐标轴上(或三边都不平行于坐标轴)．
设问突破
二阶
例2　如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C.连接AC、BC.
(1)若点P是抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，求出点P的坐标；
例2题图①
【思维教练】要求直线CP将△ABC分成面积相等的两部分时点P的坐标，只需使直线CP经过线段AB的中点即可．
解：(1) 在抛物线y＝－x2－2x＋3中，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)，
令y＝0，得x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3或x＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)．
∵直线CP将△ABC分成面积相等的两部分，
∴直线CP经过点(－1，0)．
设直线CP的解析式为y＝kx＋b，
将C(0，3)、(－1，0)代入，
例2题图①
得 解得
∴直线CP的解析式为y＝3x＋3.
联立 解得 (舍去)或
∴点P的坐标为(－5，－12)；
例2题图①
(2)若点P是抛物线上一点，是否存在点P，使得S△PAB＝2S△ABC，若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求满足S△PAB＝2S△ABC的点P的横坐标，由于△PAB和△ABC同底，则可根据点C的纵坐标求出点P的纵坐标，从而代入抛物线的解析式中求值即可．
　例2题图②
(2)存在．
由题意可知△PAB和△ABC同底，
∵S△PAB＝2S△ABC，
∴△ABP的高是△ABC高的2倍，
∵抛物线顶点纵坐标为 ＝4＜2×3，
∴点P在x轴下方，
∴点P的纵坐标为－6，
当y＝－6时，－x2－2x＋3＝－6，
解得x1＝－1＋ ，x2＝－1－ ，
∴点P的横坐标为－1＋ 或－1－ ；
　例2题图②
(3)若点P是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点P，使得S△PBC＝ ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】假设点P存在，过点P作BC的垂线结合S△PBC＝ ，再利用相似三角形的性质求解即可．
例2题解图
(3)存在．
假设存在点P，使得S△PBC＝ ，如解图，
过点P作PK⊥BC，交BC的延长线于点K，
作PH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长
线于点F，连接PC，PB.
例2题图③
∵PH∥y轴，PK⊥BC，
∴∠F＝∠BCO，∠PKF＝∠BOC＝90°，
∴△PKF∽△BOC，
∴
∴BC·PK＝BO·PF.
又∵S△PBC＝ ，BO＝1，
∴ BC·PK＝ BO·PF＝ ，
∴PF＝9.
例2题解图
例2题解图
由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的表达式为y＝－3x＋3，
设P(p，－p2－2p＋3)，则F(p，－3p＋3)，
∴PF＝－3p＋3－(－p2－2p＋3)＝p2－p＝9.
解得p1＝ ，p2＝ (不合题意，舍去)，
当p＝ 时，y＝ ，
∴P( ， )．
∴存在点P，使得S△PBC＝ ，
此时点P的坐标为( ， )；
例2题解图
(4)若点P是线段AC上方抛物线上一点，是否存在点P，使得△PAC的面积取得最大值，若存在，求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】要求△PAC的面积最大值及此时点P的坐标，根据三角形三边均不与坐标轴平行，可设出点P的横坐标，利用“分割法”或“补全法”进行求解．
(4)存在．
如解图，设点P的坐标为
(p，－p2－2p＋3)，连接OP，
例2题解图
例2题图④
例2题解图
由题意可知，OA＝3，OC＝3，
∴S△PAC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC
＝ OA×|yP|＋ OC×|xP|－ OA×OC
＝ ×3×(－p2－2p＋3)＋ ×3×(－p)－ ×3×3
＝－ p2－ p
＝－ (p＋ )2＋ ，
∵－ ＜0，－3＜x＜0，
∴当p＝－ 时，S△PAC最大，S△PAC最大＝ ，
此时点P的坐标为(－ ， )；
例2题解图
(5)动点M从点A出发在线段AC上以每秒 个单位长度向点C做匀速运动，同时，动点N从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动，连接MN，设运动时间为t秒，求当t为何值时，四边形BCMN的面积最小，最小值为多少？
【思维教练】用含t的坐标表示出点M，N，从而表示出
各条线段的长，利用面积公式表示出S四边形BCMN，从而
用含t的二次函数解析式表示出四边形BCMN的面积，
即可求出最值．
例2题图⑤
(5)由题易得△OAC是等腰直角三角形．
由点M的运动可知AM＝t，由点N的运动可知BN＝t，
如解图，过点M作ME⊥x轴交x轴于点E，
例2题解图
∴AE＝ME＝ AM＝ · t＝t，
∴AN＝4－t.
∴S四边形BCMN＝S△ABC－S△AMN
＝ AB·OC－ AN·ME
＝ ×4×3－ ×(4－t)×t
＝ t2－2t＋6
＝ (t－2)2＋4.
例2题解图
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC＝ ，AB＝4，
例2题解图
∴0≤t≤3.
∵ ＞0，
∴当t＝2时，四边形BCMN的面积最小，S四边形BCMN最小＝4.
对接中考
已知二次函数y＝ax2－bx＋c且a＝b，若一次函数y＝kx＋4与二次函数的图象交于点A(2，0)．
(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
解：(1)将点A(2，0)代入y＝kx＋4，得k＝－2，
∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4.
又∵
∴c＝－2a.
∴y＝ax2－ax－2a＝a(x－2)(x＋1)，
∴二次函数与x轴交点为(－1，0)和(2，0)；
(2)当a＞c时，求证：直线y＝kx＋4与抛物线y＝ax2－bx＋c一定还有另一个异于点A的交点；
(2)证明：联立
得ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0，
∴b2－4ac＝(2－a)2＋4a(2a＋4)＝(3a＋2)2.
∵ a>c，即a>－2a，
∴a>0，
∴(3a＋2)2>0，
∴方程ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝0有两个不相等的实根，
∴y＝－2x＋4和y＝ax2－ax－2a有两个不同的交点．
又∵其中一个交点为A(2，0)，
∴一定还有另一个异于点A的交点；
(3)当c＜a≤c＋3时，求出直线y＝kx＋4与抛物线y＝ax2－bx＋c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx＋4的交点为N，设S＝ S△AMN－S△BMN，写出S关于a的函数，并判断S是否有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由．
(3)∵c∴直线y＝－2x＋4与抛物线交于A、B两点，
∴ax2＋(2－a)x－(2a＋4)＝(x－2)(ax＋a＋2)＝0，
∴x1＝－1－ ，x2＝2，
∴另一个交点B的坐标为(－1－ ，6＋ )．
又∵点M( ，－ )，N( ，3)，
∴ MN＝3＋ )，
∴S＝ S△AMN－S△BMN
＝ × ×(3＋ )× － ×(3＋ )( ＋ )
＝(3＋ )( － )
＝3a－ ＋ .
∴S有最大值，
由c＜a≤c＋3可知0＜a≤1，
而0＜a≤1时，S随a的增大而增大，
∴当a＝1时，S取最大值，最大值为

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