资源简介

(共25张PPT)
微专题　辅助圆问题
模型一　定点定长作圆
满分技法
模型分析
已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，
则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆
(如图)(依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点
的距离等于定长的点的集合)．
推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型应用
1. 如图，已知△ABC，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，请你在图中画出点A的运动轨迹．
第1题图
解：点A的运动轨迹如解图所示．
2. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．
第2题图
解：点A′的运动轨迹如解图所示．
第2题解图
3. (2023南京改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.
(1)定点(圆心)为____点，定长(半径)为线段_______________的长，画出辅助圆草图；
第3题图
B
BD(或BA或BC)
(1)解：画出辅助圆草图如解图：
第3题解图
(2)设∠ABC＝α，求∠ADC的度数．(用含α的代数式表示)
第3题解图
(2)如解图，∵∠ABC＝α，
∴ 所对的圆周角的度数为 ，
根据圆内接四边形对角互补，
可得∠ADC＝180°－ .
模型二　点圆最值
模型分析
已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一动点，当D、O、E三点共线时，线段DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)．具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r)：
位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外
图示
位置关系 点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外
DE的最大值 d＋r 2r d＋r
此时点E的位置 连接DO并延长交⊙O于点E DE的最小值 r－d 0 d－r
此时点E的位置 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD交⊙O于点E
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，则线段CP的最小值为________．
4. 点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为________．
模型应用
第4题图
第5题图
模型三　线圆最值
模型分析
1. AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．
(1)如图①，点C在优弧 上，当CH⊥AB且CH
过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，
此时S△ABC最大；
(2)如图②，点C在劣弧 上，当CH⊥AB且圆心
O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最
大距离，此时S△ABC最大．
图①
图②
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．
图③
图④
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动顶点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．
模型应用
6. 如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，OM＝5，以M为圆心，2为半径作⊙M.则⊙M上的点到直线OA的最大距离为_____，最小距离为_____．
第6题图
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是____．
第7题图
8. (2023通辽)如图，AB是⊙O的弦，AB＝2 ，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分
面积的最大值是_________．
第8题图
模型四　定弦定角
模型分析
模型引入：△ABC中，AB的长度为定值(定弦)，顶点C为动点(定弦的同一侧)，且∠C的度数为定值(定角)，我们把这样的模型根据其特征称为定弦对定角模型．
模型探究：如图，点C为同一平面内线段AB外一动点，连接AC，BC，且∠ACB为定值，则点C的运动轨迹可分三种情况：
(1)如图①，当∠ACB＜90°时，点C的轨迹为优弧 (不包含A、B两点)；
(2)如图②，当∠ACB＝90°时，点C的轨迹为以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)；
图②
图①
∠ACB＝ ∠AOB
弦AB 为直径
(3)如图③，当∠ACB＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧 (不包含A、B两点)．
推广：在几何图形最值问题中，常通过定弦对定角模型来找动点的运动轨迹，解题时作出辅助圆是关键，然后结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
图③
∠AOB＋∠ACB＝180°
模型应用
9. 如图，已知AB＝6，∠ACB＝90°.
第9题图
(1)定弦为_____，定角为________，画出辅助圆草图及面积最大时点C的位置；
AB
∠ACB
以AB为直径构造辅助圆，如解图，当OC⊥AB时，△ABC的面积最大；
第9题解图
第9题图
(2)△ABC的面积的最大值为____．
9
【解法提示】∵AB＝6，OC⊥AB，
∴△ABC的面积的最大值为 ×6×3＝9.
10. 如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D. 连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，已知CD＝2.
第10题图
(1)定弦为______，定角为________，画出辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置；
CD
∠AOB
解：辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置如解图：
第10题解图
(2)OE的最大值为________．
【解法提示】如解图，在CD的左侧，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，
∵△CDF和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CDF＝∠CDE＝45°，∴∠EDF＝90°，∵CD＝2，∴DE＝2 ，DF＝ ，
由勾股定理得 .
∴OE＝OF＋EF＝ ，∴OE的最大值是 .
11. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP.
第11题图
(1)定弦为_____，定角为________，画出辅助圆草图及线段PB最小时点P的位置；
AC
∠APC
解：辅助圆草图及线段PB最小时点P的位置如解图；
第11题解图
(2)线段PB的最小值为________．
第11题解图
【解法提示】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2.
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC＋∠ACP＝∠PAC＋∠PAB＝∠CAB＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴以点O为圆心，AC为弦作⊙O，则点P的运动轨迹是劣弧 ，
当O、P、B三点共线时，PB有最小值，设OB交AC于点D，
如解图，此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝ AC＝1，
∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝ ∠ABC＝30°，
∴PD＝AD·tan30°＝ AD＝ ，
BD＝AD·tan60°＝ AD＝ ，
∴PB＝BD－PD＝ .
第11题解图
12. 正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上的一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值为_________．
　第12题图(共16张PPT)
微专题　三种方法求与圆有关的阴影部分面积
方法一　直接公式法
满分技法
方法解读
所求阴影部分的面积是规则图形，直接用面积公式计算，常见规则图形面积如下：
图形 面积公式
(n为扇形圆心角度数，r为半径)
图形 面积公式
(a为底边，h为底边上的高)
S＝ab
(a，b分别为两邻边长度)
1. (2023甘肃省卷)如图，从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为____dm2.
2. (2023重庆A卷)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F.若BD＝4，
∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为____．(结果保留π)
方法应用
第1题图
第2题图
2π
方法二　和差法
一、直接和差法
方法解读
方法解读 阴影部分面积可以利用规则图形面积的和差求解． 方法示例
计算方法 S阴影＝S△ABC－S扇形CAD S阴影＝S扇形AOB－S△AOB
方法应用
3. (2022苏州)如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝ ，过
的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为(　　)
第3题图
A. π－1 B. －1 C. π－ D. －
B
4. (2023牡丹江)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA，若OA＝2 ，则阴影部分的面积为_______．
第4题图
二、构造和差法
所求阴影部分面积需要添加辅助线构造扇形、三角形或特殊四边形，然后进行相加减．构造图形时一般先观察阴影部分图形：
方法解读
1. 若阴影部分图形有一部分是弧线，找出弧线所对应的圆心，连接弧线端点与圆心构造扇形；
2. 若阴影部分是由图形旋转构成，旋转中心即为圆心，连接端点与旋转中心构造扇形.
基本图形 第一步：连半径、构扇形 第二步：找和差，求解
S阴影＝S△OBD＋S扇形DOC
基本图形 第一步：连半径、构扇形 第二步：找和差，求解
S阴影＝S△ODC－S扇形DOE
S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE
－S扇形COD
S阴影＝S扇形BOB′－S△BOC－S扇形A′OC－S△A′OB′＝S扇形BOB′－S扇形A′OC－S菱形AOCB
方法应用
5. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2.则图中阴影部分的面积是(　　)
第5题图
A. B. C. D.
B
6. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为________．
第6题图
方法三　转化法
方法解读
所求阴影部分面积无法直接计算时，可通过平移、旋转、对称等方法，将所求阴影部分面积转化为规则图形的面积或规则图形面积的和差.
基本图形 第一步：转化 第二步：直接计算或构造和差计算
S阴影＝S扇形COD
CD∥AB
直接等面积转化法
基本图形 第一步：转化 第二步：直接计算或构造和差计算
AE＝BE
平移转化法
S阴影＝S正方形BCFE
点D为 的中点
对称转化法
S阴影＝S扇形ACB－S△ADC
对称转化法
S阴影＝S扇形CED
基本图形 第一步：转化 第二步：直接计算或构造和差计算
旋转转化法
S阴影＝S扇形BOE
旋转转化法
S阴影＝S扇形ABE－S扇形MBN
方法应用
7.
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝
35°，AB＝6，则阴影部分的面积为(　　)
第7题图
A. B. π C. D. 2π
C
8. (2023枣庄)如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧 、 ，则图中阴影部分的面积为(　　)
第8题图
A. π－1 B. π－3 C. π－2 D. 4－π
C
9. (2023凉山州)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为_____．
第9题图(共20张PPT)
微专题　折叠问题
方法解读
折叠问题常见类型：
折叠基本性质：
1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．
①线段相等：ED′＝______，EG＝______，
FD′＝______；
②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝
________；
③全等关系：四边形FD′EG≌_____________．
AD
AG
FD
∠D
∠DAG
四边形FDAG
2. 折痕可看作垂直平分线：GF⊥________(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)．
3. 折痕可看作角平分线：∠EGF＝________
(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
AE
∠AGF
折叠有关计算：
一、利用勾股定理求解
例1　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕EF折叠，点C恰好落在点A处，点D的对应点为D′，求AE的长．
例1题图
【思维教练】
标量 把已知线段和要求线段(x)标在图形上
集中 利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一个直角三角形中(Rt△AD′E)
求解 根据勾股定理列出方程求解 AD′2＋D′E2＝AE2
【自主解答】
解：设AE＝x，则D′E＝DE＝AD－AE＝5－x，AD′＝CD＝AB＝3，
在Rt△AD′E中，AD′2＋D′E2＝AE2，
∴32＋(5－x)2＝x2，解得x＝ ，
即AE的长是 .
例1题图
二、利用三角形相似求解
例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求EC的长．
例2题图
【思维教练】
标量 把已知线段和要求的线段(x)标在图形上
集中 利用线段的和差关系，把已知条件和要求的线段转移到一对相似三角形中(△AFB∽△FEC)
求解 根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 EF∶FA＝EC∶FB
【自主解答】
解：设EC＝x，则EF＝DE＝3－x，
∵AF＝AD＝BC＝5，AB＝3，∴BF＝4.
∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠EFC＋∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC.
又∵∠B＝∠C＝90°，∴△AFB∽△FEC，
∴EF∶FA＝EC∶FB，
即(3－x)∶5＝x∶4，解得x＝ ，
即EC的长是 .
例2题图
分类突破
类型一　折痕确定
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABD沿直线AD折叠，使点B的对应点E落在斜边AC上，则BD的长为________．
【解法一】利用勾股定理
第1题图
解：由折叠的性质可知，AE＝AB＝6，
BD＝DE，
∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝ ＝10，
∴CE＝AC－AE＝4.
设BD＝DE＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3，即BD的长为3.
第1题图
【解法二】利用相似
解：由折叠的性质可知，AE＝AB＝6，BD＝DE，
∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝ ＝10，
∴CE＝AC－AE＝4.
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得DE＝3，∴BD的长为3.
第1题图
【解法三】利用等面积法
解：由折叠的性质可知，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝ ＝10.
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴ BC·AB＝ BD·AB＋ AC·DE，
即 ×8×6＝ ×6BD＋ ×10DE＝ ×16BD，
解得BD＝3，即BD的长为3.
第1题图
3
则BD的长为________．
2. (2023江西)如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为___________．
第2题图
4a＋2b
3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，将△ABC沿AC折叠，点B
落在点E处，此时CE交AD于点F，则CF的长为________．
第3题图
类型二　折痕过一动点
4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为(　　)
A. 27° B. 32° C. 36° D. 40°
第4题图
B
5. (2023东营)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AE
＝5，则GE的长为________．
第5题图
6. (2023通辽改编)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等
分点时，BE的长为___________．
第6题图
类型三　折痕过两动点
7. (2023广西北部湾经济区)如图，矩形纸片ABCD, AD∶AB＝ ∶1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则 的值为(　　)
A. B.
C. D.
第7题图
A
8. (2023台州)如图，将长、宽分别为12 cm，3 cm的长方形纸片分别沿AB, AC折叠，点M, N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)面积为(　　)
A. (36－6 )cm2
B. (36－12 )cm2
C. 24 cm2
D. 36 cm2
第8题图
A(共23张PPT)
微专题　中点常见图形及辅助线做法
类型一 遇特殊三角形，考虑中线性质
方法解读
情形1：直角三角形＋斜边中点，考虑作斜边上的中线．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点．
【结论】CD＝ AB.
情形2：等腰三角形＋底边中点，考虑作底边上的中线．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点．
【结论】AD⊥BC；AD平分∠BAC.
1. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长为___．
第1题图
4
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2 ，D为BC的中点，AE＝ AB，则△EBD的面积为____．
第2题图
3. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN的长为___．
第3题图
3
4. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，E、F分别为AB、BC边上的两点，且DE⊥DF，连接EF，若AE＝4，FC＝3，则EF的长为___．
第4题图
5
类型二 遇三角形中点，考虑中位线性质
方法解读
情形1：图形中出现两个及以上的中点，考虑构造中位线．
如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点．
【结论】DE∥BC；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
情形2：图形中出现一个中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线．
如图，在△ABC中，点D为AB的中点．
【结论】AE＝CE；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
5. 如图，在△ABC中，D为AC中点，过点D作DE⊥AC交CB的延长线于点E，交AB于点F，若BF＝3，F为DE 中点，则AF的长度为___．
第5题图
9
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为______．
第6题图
7．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则 ＝____．
第7题图
8. 如图，在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为____．
第8题图
类型三 遇过中点的垂线，考虑垂直平分线性质
方法解读
遇过中点的垂线，考虑用垂直平分线的性质．
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E.
【结论】BE＝CE，∠BED＝∠CED.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8，点D为BC的中点，且DE⊥BC交AB于点E，则BE的长为(　　)　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　
A．4 B．8 C．16 D．32
第9题图
C
10. 如图，在周长为20的 ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为____．
第10题图
10
类型四　倍长中线构造全等三角形
方法解读
情形1：倍长中线
在△ABC中，AD是BC边的中线．
辅助线作法1：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE.
辅助线作法2：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
【结论】△ACD≌△EBD.
【用途】构造全等三角形，证明线段之间的数量关系．
情形2：倍长类中线
在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是AB上一点，连接DE.
辅助线作法1：延长ED到点F，使DF＝ED，连接CF.
辅助线作法2：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
【结论】△BDE≌△CDF.
【用途】构造全等三角形，证明线段之间的数量关系．
11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是_____．
第11题图
12. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，GE⊥EF，若AG＝2，BF＝3，则GF的长为____．
第12题图
5
13. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F，求证：AF＝EF.
证法一(倍长中线)：
第13题图
证明：证法一：如解图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG.
G
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB.
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴∠CAD＝∠G，BG＝AC，
又∵BE＝AC，
∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G.
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠CAD，即∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF.
第13题图
G
证法二(倍长类中线)：
证法二：如解图，延长ED到点H，使得DH＝DE，连接CH.
第13题图
H
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴BE＝CH，∠BED＝∠H，
又∵BE＝AC，
∴CH＝AC，
∴∠CAH＝∠H.
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠AEF＝∠CAH，即∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF.
第13题图
H(共19张PPT)
微专题 解直角三角形的实际应用
【测量目的】运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程．
【测量对象】学校内的旗杆高度．
【测量工具】测角仪、皮尺、无人机．
【小组交流】(1)小组探讨交流测量方法和设计测量方案；
(2)明确责任，测量、记录数据，计算求解人员．
【测量方案一】
如图①，在旗杆AB前的平地上选择一点C，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为48°，已知测角仪的高度为1 m，用皮尺测得BC之间的距离为11.5 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)
题图①
解：如解图①，过点D作DE⊥AB交AB于点E，
E
由题意可知DE＝BC＝11.5，BE＝DC＝1，
在Rt△ADE中，∠ADE＝48°，
∴tan48°＝ ，即1.11≈ ，
解得AE≈12.8，
∴AB＝AE＋BE＝12.8＋1＝13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
题图①
E
【测量方案二】
如图②，在旗杆AB前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为32°，在CB之间选择一点D(点C、D、B在同一条直线上)，测得旗杆顶部A的仰角为45°，用皮尺测得C、D之间的距离为8.45 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
题图②
解：设旗杆AB的高度为x，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴BD＝x.
在Rt△ABC中，∠ACB＝32°，
∴tan32°＝ ，
即0.62≈ ，解得x≈13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
题图②
模型总结
模型一　母子型
【模型展示】
在三角形外部作高：
【模型分析】通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
【测量方案三】
如图③，用皮尺测得看台顶端C到地面的垂直距离CD为4.28 m，看台所在斜坡CE的坡比为1∶2，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，在点E处测得旗杆顶端A的仰角为60°(点B、E、D在同一条直线上)，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据： ≈1.73)
题图③
题图③
解：如解图，过点C作CF⊥AB交AB于点F，
F
由题意可知CD＝4.28，tan∠CED＝ ，
∴ED＝8.56.
设BE＝x，
∴BD＝x＋8.56.
∵∠AEB＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝ x.
由题意可知四边形BDCF为矩形，
∴BF＝CD＝4.28，CF＝BD＝x＋8.56，
∴AF＝x－4.28.
在Rt△ACF中，∠ACF＝30°，
∴tan30°＝ ，即 ＝ ，解得x≈7.99，
∴AB＝ x≈1.73×7.99≈13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
题图③
F
【测量方案四】
如图④，无人机在距离地面4.6 m处的点C处测得旗杆底端B的俯角为53°，无人机垂直上升4.1 m到达点D处，测得旗杆顶端A的仰角为40°，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
题图④
解：如解图，过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F，
题图④
E
F
由题意可知，BE＝4.6，CD＝4.1，∠CBE＝53°，∠ADF＝40°，
∴EF＝CD＝4.1.
在Rt△BEC中，∠CBE＝53°，
tan53°＝ ，即1.33≈ ，解得CE≈6.12，
∴DF＝CE＝6.12.
在Rt△AFD中，∠ADF＝40°，
∴tan40°＝ ，
即0.84≈ ，解得AF≈5.14，
∴AB＝AF＋EF＋BE＝5.14＋4.1＋4.6≈13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
题图④
E
F
模型总结
模型二　背靠背型
【模型展示】
在三角形内部作高：
【模型分析】如图①，在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键．如图②，过较短的底边作梯形的高，构造矩形和直角三角形，其中CD＝EF是解题关键．
图①
图②
【测量方案五】
如图⑤，某一时刻，旗杆AB的影子有一部分落在距离旗杆5.3 m处的教学楼上，此时在点B处测得影子最高点C的仰角为33°，同一时刻，测得站在点F处身高为1.76 m的小华的影长FG＝0.9 m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
题图⑤
解：如解图④，过点C作CH⊥AB交AB于点H，
题图⑤
H
由题意可知BD＝5.3，EF＝1.76，FG＝0.9 ，
∴tan∠EGF＝ ＝ ≈1.96，
∴tan∠ACH＝1.96，
由题意易得四边形BDCH为矩形，
∴CH＝BD＝5.3，
在Rt△BCH中，∠BCH＝33°，
∴tan33°＝ ，即0.65≈ ，解得BH≈3.45.
在Rt△ACH中，tan∠ACH＝1.96，
∴tan∠ACH＝ ，即1.96＝ ，解得AH≈10.39，
∴AB＝AH＋BH＝10.39＋3.45＝13.84≈13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
H
题图⑤
【测量方案六】
如图⑥，小明在点C处测得旗杆顶端A的仰角为45°，再用一架无人机从点C处起飞，沿直线CD以1.9 m/s的速度匀速垂直上升，4 s后无人机飞行至点D，在此处测得旗杆底端B的俯角为29°，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)
题图⑥
解：由题意可知CD＝1.9×4＝7.6，
在Rt△DCB中，∠DBC＝29°，
∴tan29°＝ ，即0.55≈ ，解得CB≈13.82.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴tan45°＝ ，即1＝ ，解得AB≈13.8.
答：旗杆AB的高度约为13.8 m.
题图⑥
模型总结
模型三　拥抱型
【模型展示】
【模型分析】分别解两个直角三角形，图①中公共边BC是解题的关键．
图①
图②

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