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第三讲 换面法
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掌握换面法的基本原理和换面法作图方法和投影变换规律。
掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。
掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。
换面法概述
换面法的内容
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替原来的投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利解题的位置。
换面法的基本概念
′
′
′
′
′
′
换面法概述
一次换面 两次换面
换面法的基本原则：
1、新投影面必须垂直于一个原投影体系中不变的投影面。
2、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的特殊位置。
3、交替换面，一次换一个面。
换面规则
V
X
H
V1
X1
V
X
H
V1
X1
H1
换面法概述
一次换面
点的换面
点的一次变换（换H面）
1
X
1
H
V
1
X
a ′
V
H
a
X
1
H
1
V
a1
ax1
点的投影变换规律:
1、点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。
2、点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。
点的一次换面——换H面或V面
ax
ax1
a′
一次换面
点的换面
X
1
H
V
1
a1
X
2
H
1
V
1
两次换面
a′
XV
H
a
ax1
ax2
a1′
点的两次换面作图——换V面和H面（交替换面）
点的换面
H
X
A
B
a′
V
b′
a
b
α
V1
X1
a1′
b1′
α
a1′
b1′
α
X
1
V
1
H
b
a
b′
a′
X V
H
把一般位置直线变为投影面平行线
作图过程：
只需一次换面
直线的换面
X
H
a′
b ′
a
A
b
B
V
X1
H
1
a2 （b2）
a1′
b1′
V1
把一般位置直线变为投影面垂直线
X2
需要二次换面
直线的换面
V
1
a
b′
a′
X V
H
b
a1（b1）
X
1
H
V
1
a
1
′
b
1
′
作图过程：
直线的换面
一般位置直线
投影面平行线
投影面垂直线
直线的换面
规律：
一次换面
一次换面
二次换面
一般位置直线
投影面垂直线
平第面一的换节面法换作面图法
把一般位置平面变为投影面垂直面
只需一次换面
β
把一般位置平面变为投影面平行面
需要二次换面
平面的换面法作图
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
规律：
一次换面
一次换面
二次换面
一般位置直线
投影面平行面
平面的换面法作图
试过点A作直线与已知直线BC垂直相交
′
′
′
′
′
′
′
′
换面法的应用举例（一）
H
1
X
2
V
1
a1 （b1）
X
1
H
V
1
换第面一法的节应用换举面例法（一）
a
1
′
b
1
′
c
′
c
c
1
′
c
1
求点C到直线AB的距离
b′
a′
X V H
b
a
换面法第的一应节用举例换（面一法）
求两交叉直线ＡＢ、CＤ之间的距离及公垂线的投影
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
求△ABC和△ABD两平面的夹角。
′
′
′
′
′
′
′
′
θ
换面法的应用举例（二）
求点K到平面P的距离。
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
换面法的应用举例（二）
⑥ 求线面交点、面面交线
⑦ 求两平行平面间距离
⑧ 求平面对投影面倾角
⑨ 求二面角
换面法的应用举例（二）
总结
① 求线段实长、平面实形
② 求空间两平行线间距离
③ 求交叉二直线距离
④ 求点到直线距离
⑤ 求点到平面距离

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