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(共20张PPT)
数 学
9.2 正态分布
第9章 随机变量及其分布
拓展模块一（下册）
高等教育出版社
第9章 随机变量及其分布 9.2 正态分布
学习目标
知识目标 了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方法．
能力目标 通过学习利用正态分布解决生活中的实际问题．
情感目标 感受数学来源于生活，并服务于生活.
核心素养 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养．
创设情境，生成问题
活动 1
在日常生活和生产实践中,经常还会遇到这样一类随机变量，它们受众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服从或近似服从正态分布.
调动思维，探究新知
活动 2
如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入 口处放入一个直径小于两颗钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以0.5的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内.试作小球落入空槽内的频率分布直方图.
调动思维，探究新知
活动 2
调动思维，探究新知
活动 2
把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图.
如果把上述小球落入的区间从左往右编号1,2,…,10,那么区间的编号ξ可以看做离散型随机变量.
调动思维，探究新知
活动 2
若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲线,称为正态曲线.相应 于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量.
调动思维，探究新知
活动 2
研究表明，正态曲线的方程为
其中σ和μ是两个参数.习惯上,与正态曲线f(x)对应的正态分布记为 N(μ, σ ).有时，也说随机变量ξ服从参数为σ和μ的正态分布，记作ξ ~ N(μ, σ ). 在生产实践和科学研究中，经常会遇到类似的随机现象. 如，测量的误差、某地区人群的身高、某月的平均气温等.
调动思维，探究新知
活动 2
图中画出的是μ=0时某些正态曲线.
可以看出，正态曲线具有以下基本性质：
(1)曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；
(2)曲线在x=μ时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
(3)当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
调动思维，探究新知
活动 2
调动思维，探究新知
活动 2
参数μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1). 当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于x的概率记作Φ(x)，即Φ(x)=P(ξ 调动思维，探究新知
活动 2
可以证明Φ(x)有如下性质：
Φ(-x)=1-Φ(x).
当随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ )时，有以下计算公式.
巩固知识，典例练习
活动 3
典例1 若ξ ~N(0,1)，查表计算：
(1) P(ξ <2.8) ；
(2) P(ξ ≥2)；
(3) P(ξ <-1).
解：(1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974 ；
(2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ；
(3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587.
巩固知识，典例练习
活动 3
典例2 若ξ ~N(0,2 )，查表计算：
(1) P(ξ <3) ；
(2) P(ξ ≥-2).
解：
温馨提示
研究表明，服从正态分布 N(μ,σ )的随机变量 ξ 在区间(μ-σ, μ+σ)， (μ-2σ, μ+2σ)， (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别是 0.6826，0.9544，0.9974，如图所示.
可以看出，服从正态分布的随机变量 ξ 几乎总是取之于区间(μ-3σ, μ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，也就是说 ξ 在此区间以外取值是小概率事件，这种情况在一次试验中是几乎不可能发生的，在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ )的随机变量 ξ 只取区间 (μ-3σ, μ+3σ)内的值，这就是正态分布的 3σ 原则.
巩固知识，典例练习
活动 3
典例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布 N(120, 100).
(1)求考生成绩ξ位于区间(110, 130).内的概率；
(2)若此次考试共有2000名考生，试估计成绩在区间(100,140)内的考生人数.
解：根据题意， ξ ~N(120,100)，μ=120， σ =10.
(1) P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.6826；
(2) P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考生成绩在区间(100,140)内的概率为 0.954 4.
于是，成绩在区间(100,140)内的考生大约有
2000×0.954 4 =1909(人).
巩固练习，提升素养
活动 5
1.设ξ ~N(1,9)，求P ξ (ξ≥13)和P(ξ <4).
2.某校高三男生共1000人. 他们的身高X (cm)近似服从正态分布 N(176,16), 身高在区间(172,180)内的男生人数大约有多少？
3. 某批灯有10000 个，其寿命服从正态分布N(1000,100 )
(单位：小时)，试估计寿命在下列范围内的灯的个数.
(1) (900，1100) ；
(2) (800，1200).
课堂小结
/作业布置/
9.2
(1) 读书部分： 教材章节9.2；
(2) 书面作业： P148习题9.2的1，2，3.
问题是数学的心脏
感 谢 观 看

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