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(共39张PPT)
平面的投影
a'
b'
c'
c
a
b
b'
c'
a'
c
a
b
a'
b'
c'
c
a
b
不在同一直线上的三点
一直线和该直线外一点
相交两直线
1.用几何元素表示平面
2页
2024/5/3
b'
c'
a'
c
a
b
b'
c'
a'
d'
c
a
b
d
平行两直线
任意平面图形
平面的投影
平面与投影面的交线，称为平面的迹线。
Z
X
Y
O
H
V
W
px
py
pz
pH
pV
pw
P
X
Z
YH
YW
O
pH
pV
pw
px
py
pz
py
2.用迹线表示平面
PH---水平迹线
PV---正面迹线
PW---侧面迹线
平面的投影
用迹线表示平面
平面的投影
平面的投影
在三面投影体系中，根据平面与投影面的相对位置不同，将平面分为三类：
一般位置平面
投影面平行面
投影面垂直面
统称为特殊位置直线
3.各种位置平面的投影
铅垂面
正垂面
侧垂面
垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面叫投影面垂直面
（1）投影面的垂直面
平面的投影
X
O
V
H
W
1）铅垂面
P
A
B
C
a
c
b
平面的投影
铅垂面的投影图
投影特性
(1) abc 积聚为一条线
(2) a b c 、 a b c 为 ABC 的类似形
(3) abc 与OX、OY 的夹角反映 、 角的真实大小
a'
b'
a"
b"
b
a


b"
c
c"
c'
X
Z
YW
O
YH
平面的投影
X
O
V
H
W
2）正垂面
P
A
B
C
a
c
b
D
d
平面的投影
正垂面的投影图
X
Z
YW
O
YH
c
d
a'
b'
a"
b"
b
a

b"
c"
c'

d"
d'
投影特性
（1) a b c d 积聚为一条线
(2) abcd、 a b c d 为ABCD的类似形
(3) a b c d 与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
平面的投影
3）侧垂面
X
O
V
H
W
P
A
B
C
a"
b"
c"
上一页
下一页
1. 投影面垂直面
2.4.2 各种位置平面的投影特性
平面的投影
侧垂面的投影图
c"
b"
β

a'
b'
b
a
c
c'
a"
O
X
Z
YW
YH
投影特性
（1) a b c 积聚为一条直线
(2) abc、 a b c 为 ABC 的类似形
(3) a b c 与OZ、OY 的夹角反映α、β角的大小
平面的投影
投影面垂直面的投影特性
平面在它所垂直的投影面上积聚成倾斜于投影轴的直线段；该线段与投影轴的夹角，即平面对另外两个投影面的倾角。
另外两个投影面上投影为平面图形的类似形。
平面的投影
水平面
正平面
侧平面
平行于一个投影面的平面叫投影面平行面
三、平面的投影
（2）投影面的平行面
X
O
V
H
W
P
1）水平面
A
B
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
c'
C
平面的投影
水平面的投影图
投影特性： (1) a b c 、a b c 积聚为一条直线，具有积聚性
(2) 水平投影 abc 反映 ABC 实形
c
a
b'
b"
b
a
a"
c
c"
X
Z
YW
O
YH
平面的投影
X
O
V
H
W
c'
b'
P
2）正平面
a"
b"
c"
b
c
a
C
B
A
平面的投影
正平面的投影图
c"
a"
b"
b'
a'
c'
b
c
a
X
Z
YW
O
YH
投影特性：
(1) abc 、a b c 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 正平面投影 a b c 反映 ABC 实形
平面的投影
X
O
V
H
W
3）侧平面
b"
c'
b
a
c
a'
b'
c"
C
A
B
a"
平面的投影
投影特性：
(1) abc 、a b c 积聚为一条直线，具有积聚性
(2) 侧平面投影 a b c 反映 ABC 实形
侧平面的投影图
a'
b'
b"
b
a"
c'
c"
c
a
X
Z
YW
O
YH
平面的投影
投影面平行面的投影特性
平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。
平面的其它两个投影都积聚成直线，且分别平行于与该平面平行的两投影轴。
平面的投影
H
V
W
X
Z
Y
O
（3）一般位置平面：对三个投影面都倾斜（既不 平行又不垂直）的平面，简称一般面
平面的投影
A
B
C
H
V
W
X
Z
Y
O
A
B
C
平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。
a'
b'
c'
a
b
c
c"
a"
b"
先画出各顶点的投影,后将各点同面投影依次连接，即为平面的投影。
平面的投影
x
z
yH
yw
o
c"
b"
a"
c
b
a
a'
c'
b'
（3）一般位置的平面
平面的投影
投影特性
一般位置平面的投影特性：
（1）三面投影都不反应空间平面图形的实形，是原平面图形的类似形，面积比实形小；
（2）三面投影都不反应该平面与投影面的倾角
c"
b"
a"
x
yH
yw
o
c
b
a
a'
c'
b'
（3）一般位置的平面
平面的投影
平面的投影
1）直线与平面平行
2）平面与平面平行
（4）直线与平面、平面与平面相对位置关系
平面的投影
点在平面上的条件是：
若点在平面上的任一已知直线上，则点则在该平面上。
点M在AB上，点N在BC上。
●
●
M
N
A
B
●
M
若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。
平面的投影
直线在平面上的条件是：
属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面内的投影面平行线。
平面内平行于H面的直线称为平面内的水平线；
平面内平行于V面的直线称为平面内的正平线；
平面内平行于W面的直线称为平面内的侧平线。
投影特性？
平面的投影
1）直线与平面平行
平面的投影
若空间一直线平行于属于平面的任一直线，则该直线与该平面平行。
CD平行于属于平面P的直线AB，
则CD与平面P平行。
1）直线与平面平行
例1 已知直线DE∥△ABC，试完成直线DE的水平投影。
解：因为直线DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到一条直线与DE平行。该直线的投影也必然与DE的同面投影平行。
平面的投影
若属于一平面的相交两直线与属于另一平面的相交两直线对应平行，则两平面平行。
平面P中的L1与平面Q中的L3平行，
平面P中的L2与平面Q中的L4平行，
可得平面P与平面Q平行。
平面的投影
2）平面与平面平行
例2 过点K作平面与△ABC平行。
解：要作一平面与△ABC平行，只要过点K作两条相交直线与属于三角形的两条相交直线（边）对应平行就可以了。
过点K作直线KF∥AC，
过点K作直线KE∥AB，
故平面KEF与△ABC平行。
平面的投影
（5）直线与平面、平面与平面相交
1）直线与平面相交
2）平面与平面相交
平面的投影
1）直线与平面相交
直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点 ，且交点又是直线投影可见与不可见的分界点。
平面的投影
平面的投影
例3-11 求直线AB与△ CDE的交点。
直线AB为铅垂线，
其水平投影积聚为一点a(b) ，
交点K的水平投影k与a(b)重影。
(2) 判别可见性；方法是找重影点
(1) 求交点K；
重影点
点Ⅱ与点Ⅲ在V面上是重影点，
其中点Ⅱ在CE上，点Ⅲ在AK上，
通过H面投影判断Ⅱ在Ⅲ之前，从而CE在AK之前。
平面与平面相交的交线是两平面共有线，交线既在第一平面上又在第二平面上，且交线又是两平面可见与不可见的分界线。
2）平面与平面相交
平面的投影
例3-13 求作相交两平面△ABC与△ DEF的交线。
△ DEF为水平面 ，其正面投影有积聚性，交线KL的正面投影k’ l’与d’e’f’ 重合 。
(2) 判别可见性。（利用重影点）
(1) 求交线；
重影点

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