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基本知识
投影的基本知识
线 的 投 影
主要内容：各种位置直线的投影特征；
直线上的点的投影；
两直线的相对位置；
教学目标：掌握各种位置直线的投影特征；
掌握两直线的相对位置；
重点难点：特殊位置直线的投影的绘制
两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的位置具有不同的投影特性。
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB 真实性
直线垂直于投影面
投影重合为一点
ab=0 积聚性
a≡b≡m
B
A
M
●
●
●
●
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab＜AB 类似性
一、各种位置直线的投影特征
A
B
●
●
a
b
α
●
●
a
b
A
B
●
●
●
●
投影面平行线
平行于某一投影面而
与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
直线在三个投影面中的投影特性
投影特性：
三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
(1) 一般位置直线
(2) 投影面平行线
1. 水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB;
水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。
即 a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴；
3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β；与OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。
水平线的投影特征：
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
投影面平行线
1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
（1）水平线
（3）侧平线
（2）正平线
γ
投 影 特 性：
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角:γ
实长
实长
实长
β
γ
α
α
β
b
a
a
a
b
b
(3)投影面垂直线
H面投影积聚成一点；
V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分别垂直于H面的两根轴，即： a′b′⊥ox轴a″b″ ⊥oz轴 。
对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。
铅垂线投影特征:
投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
投影特性:
1.在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。
●
c (d )
c
d
d
c
●
a
b
a(b)
a
b
●
e
f
e
f
e (f )
积聚为点
积聚为点
积聚为点
1、从属性：点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在此直线上。
若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。
直线上点的投影具有以下两个特性：
A
B
V
H
二、直线上点的投影
C
b
c
a
c
b
a
e
e
D点不在直线AB上
D
C点 在直线AB上
2、定比性：直线上一点，把直线分成两段，这两段线段的长度之比等于他们相应的投影之比，这种比例关系称为定比性。
直线上有一点K，则K点的三面投影必定在AB的相应投影上，并且满足，AK: KB=ak: kb=a'k': k'b'=a"k": k"b"
二、直线上点的投影
二、直线上点的投影
例：试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。
解： 1）过a任意做一直线，在其上取等长的三个单位，连接3b。 2）过1做3b的平行线1c交ab与c，过c做ox轴的垂直线，交a'b'
与c'，c、c'即为点C的两投影。
应用：判断点K是否在线段AB上。
a
b
●
k
因k 不在a b 上，
故点K不在AB上。
a
b
k
a
b
k
●
●
另一判断法是应用定比定理
因a k :k b ≠ ak:kb
故点K不在AB上。
⒈ 两直线平行
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。
3.2.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
a
b
c
d
a
b
c
d
判定：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
结论：AB//CD
①
X
如果两直线为投影面平行线，则需根据他们在所平行的那个投影面上的投影是否平行才能判定。
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
H
V
X
A
B
C
D
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
b
a
c
d
2.两直线相交
判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
k
k
交点是两直线的共有点
k
k
K
1
2
●
●
d
b
a
a
b
c
d
c
1 (2 )
3(4 )
3.两直线交叉
若空间两直线交叉， 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。
●
●
1 、2 是Ｖ面的重影点，
3、4是H面的重影点。
3
4
●
●
AB与CD两直线相交吗
结论：AB与CD两直线不相交

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