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建筑形体的表面交线
经过切割或相交而构成的建筑形体的表面上，经常会出现一些交线，这些交线有些是平面与形体相交产生的，有些则是两个形体相交而形成的，如图3-20所示。
导言
图3-20 希腊某房屋建筑
那么，当平面切割平面立体或圆柱、圆锥和球等曲面立体时，其截交线的形状各有什么不同？这些截交线的投影该怎样画出？当平面立体和曲面立体两两相交时，其交线的形状会相同吗？这些交线的投影该怎样画出？
导言
一、切割型建筑形体
基本体被平面截切后的形体，称为截切体，如图3-21所示。其中，截切形体的平面称为截平面；截平面与形体表面的交线称为截交线；截交线所围成的平面图形称为截面。
图3-21 形体的截切
一、切割型建筑形体
若立体的形状，或截平面与立体表面的相对位置不相同，则产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交线都具有以下两个基本性质。
封闭性
因为任何基本体表面都是封闭的，而截交线又是截平面和基本体表面的交线，所以截交线所围成的图形一定是封闭的。
共有性
因为截交线既属于截平面，又属于基本体表面，所以截交线是截平面和基本体表面的共有线。
由此可见，求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面公共点的集合。
一、切割型建筑形体
（一）平面立体截交线的画法
平面立体的表面由若干个平面围成，因此平面立体的截交线是由直线段围成的封闭多边形，该多边形的各边是截平面与各平面的交线，顶点是棱边的投影或截平面与各棱边的交点。平面立体上截交线的作图方法可归纳为以下两种。
即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点，然后将各点依次连接起来即得截交线。连接各交点时应注意：
① 只有两点在同一投影面上时才能连接；
② 可见棱面上的两点用实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。
交点法
一、切割型建筑形体
即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线。
交线法
交点法和交线法不分先后，可配合使用，但一般情况下常用交点法求截交线的投影。
值得注意的是，求平面立体截交线的投影时，要先分析平面立体在未切割前的形状、它是怎样被切割的，以及截交线有何特别等问题，然后再进行作图。
一、切割型建筑形体
【例3-7】如图3-22所示为一正六棱柱被一正垂面P斜截时的立体示意图，画出六棱柱被截断后的下半部分的三面投影。
分析：
当正六棱柱被正垂面P斜切时，正垂面P与正六棱柱的6个侧面相交，其截交线在H面上的投影与棱柱的水平投影重合，在V面上的投影积聚为一直线，在W面上的投影是一个六边形。
图3-22 正六棱柱被斜截示意图
一、切割型建筑形体
（1）画切割体的H面和V面投影。先画出投影特征最明显的H面投影，即正六边形，然后画未切割前的V面投影，接着画截平面，即一条斜线，最后擦去被截掉部分的轮廓线，如图3-23（a）所示。
（2）画截交线的W面投影。先在V面和H面上分别找出正垂面与六棱柱截交线的各个交点，并用相应的数字或字母标注，然后根据点的两面投影，在W投影面上分别找出交点在该平面中的投影点1″，2″，3″，4″，5″，6″，如图3-23（b）所示，最后用直线依次连接这些投影点。
（3）在W投影面上补画切割体的其他棱线，然后对照立体示意图检查投影图，最后加深图线，结果如图3-23（c）所示。其中，最右侧的棱线被切割面挡住，其W面的投影不可见，因此该棱线用虚线画出或省略不画。
作图步骤：
一、切割型建筑形体
图3-23 正六棱柱切割体的画法
（a）
（b）
（c）
一、切割型建筑形体
【例3-8】已知正三棱锥被一正垂面斜切，且正面投影和水平投影的轮廓已知，如图3-24（a）所示，试补全该截断体的水平投影。
分析：
由于截平面与三棱锥的3个棱面相交，故截交线是一个三角形。由于截平面是正垂面，因此其正面投影积聚成一条直线，且该直线与三棱锥各侧棱投影的交点即为截交线各顶点的正面投影。在水平投影中找出这几个顶点的水平投影，然后用直接连接即为截交线的水平投影。
图3-24 正三棱锥截交线的作图步骤
一、切割型建筑形体
（1）在正面投影图上找到截交线各顶点的正面投影1'，2'，3'，然后在水平投影中对应棱线的投影上找出点Ⅰ和点Ⅲ的水平投影点1和点3，如图3-24（b）所示。
（2）由于点Ⅱ在侧平线SB上，故点Ⅱ的水平投影需借助辅助线求出，其作图方法如图3-24（c）所示。
（3）用直线连接水平投影中的点1、点2和点3，可得截交线的水平投影，然后用直线连接这3个点与三棱锥底面各顶点，最后擦去多余的线条并加深，结果如图3-24（d）所示。
作图步骤：
图3-24 正三棱锥截交线的作图步骤
一、切割型建筑形体
（二）曲面立体截交线的画法
用平面切割曲面立体时，截交线的形状取决于被截形体的表面形状及截平面与曲面立体的相对位置。截交线的形状一般是封闭的平面曲线，或平面曲线与直线段相连的平面图形，特殊情况下也可能是平面多边形。
1．圆柱的截交线
当截平面与圆柱轴线的相对位置不同时，其截交线有表3-1中的3种情况。
一、切割型建筑形体
表3-1 圆柱体的截交线
一、切割型建筑形体
【例3-9】已知圆柱体被正垂面P所截，如图3-25（a）所示，求作该切割体的
三面投影。
分 析
由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故截交线是椭圆。该椭圆在正面投影中积聚为一条直线，其H面投影落在圆柱面的同面投影上，在侧面投影中为椭圆的类似形，故在确定截交线的正面投影后，只需求出其侧面投影即可。
图3-25 圆柱截切体的三面投影
一、切割型建筑形体
作图步骤：
（1）根据圆柱体的投影规律，先画出未切割前圆柱体的三面投影，然后画正面投影中的截交线（一条斜线段）。
（2）求特殊点的投影。分别取椭圆长轴的两个端点Ⅰ，Ⅲ和短轴的两个端点Ⅱ，Ⅳ。其中，点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别是截交线上的最低、最左、最高和最右点。这些点都是转向轮廓线上的点，可利用积聚性先在正面投影中标出这些点，然后求出它们在侧面投影图中的投影1″，2″，3″，4″。
图3-25 圆柱截切体的三面投影
一、切割型建筑形体
（3）求一般点的投影。为了使侧面投影中的曲线更加精确，可在截交线上取一些一般位置点，如水平投影中的点5，6，7，8，然后求出这些点在正面投影中的投影5′，6′，7′，8′，最后求出它们的侧面投影5″，6″，7″，8″，如图3-25（b）所示。
（4）用光滑的曲线顺次连接侧面投影中的各投影点，然后擦去被切割部分的图线并加深，即可得到该圆柱截断体的投影图，结果如图3-25（c）所示。
图3-25 圆柱截切体的三面投影
一、切割型建筑形体
圆锥体被平面切割时，锥面与截平面的交线可分为表3-2所示的5种情况。
2．圆锥的截交线
表3-2 圆锥体的截交线
一、切割型建筑形体
【例3-10】已知圆锥被一正平面截切后的水平投影和侧面投影如图3-26（a）所示，补画该投影图中漏画的图线。
分析：
由于截平面为正平面，且与圆锥的轴线平行，所以截交线的空间形状为双曲线。该截交线的水平投影和侧面投影分别积聚为一直线，因此只需求出截交线的正面投影。
图3-26 补画第三面投影
一、切割型建筑形体
作图步骤：
(1)
(2)
(3)
求特殊点的投影。在水平投影和侧面投影上分别找出截交线的最上C、最下点A和B的投影，然后求出这3个特殊点的正面投影c′，a′和b′。
利用辅助圆法（也可用辅助素线法）求一般点的投影。在正面投影c′与a′，b′之间画一条与圆锥轴线垂直的水平线（即平面M在正面中的投影m′），该水平线与圆锥最左和最右素线的正面投影交于点3′和点4′；以3′4′为直径在水平投影中画一圆，它与截交线的积聚投影交于点1和点2；过点1和点2作垂线，与正面投影中的辅助水平投影线的交点即为1′和2′。
依次将点a′，1′，c′，2′，b′连接成光滑的曲线，最后描深该曲线即可。
一、切割型建筑形体
图3-26 补画第三面投影
一、切割型建筑形体
球体被平面切割，不论截平面处于什么位置，其空间交线总为圆。当截平面为投影面平行面时，截交线的投影为圆；当截平面为一般位置平面时，截交线的投影为椭圆，如表3-3所示。
3．球的截交线
一、切割型建筑形体
表3-3 圆球的截交线
一、切割型建筑形体
球体与圆柱和圆锥表面上截交线的画法相同，都是先根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状，然后确定截交线在各投影面上的投影，最后作出截交线上的特殊点和一般位置点的投影并连线。
如图3-27（a）所示为半球体被切割后的立体示意图，其截交线的画法如图3-27（b）所示。
一、切割型建筑形体
图3-27 球截交线画法
（a）
（b）
二、相交型建筑形体
建筑形体多是由两个或两个以上的基本形体相交组成的。两相交形体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线。相贯线是两形体表面的共有线。相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点。
（一）相贯线的形状
立体相交可分为3种情况：平面立体与平面立体相交，平面立体与曲面立体相交，曲面立体与曲面立体相交，如图3-28所示。
二、相交型建筑形体
图3-28 3种类型的相贯体
（a）两平面立体相贯
（b）平面立体与曲面立体相贯
（c）两曲面立体相贯
二、相交型建筑形体
相贯线一般为空间折线，特殊情况下为平面折线，每段折线都是两立体棱面的交线，每个折点都是一立体棱线与另一个立体的贯穿点，如图3-28（a）所示。
两平面立体相贯
平面立体与曲面立体相贯
相贯线一般是由若干平面曲线所组成的空间闭合曲线，每条平面曲线都是平面立体上某一棱面与曲面立体的截交线，如图3-28（b）所示。因此，求平面立体与曲面立体的相贯线可以归结为求截交线的问题。
两曲面立体相贯
相贯线一般为封闭的空间曲线，如图3-28（c）所示。相贯线上的点，为两个曲面立体表面的公有点。求相贯线时，先求出一系列的公有点，然后用圆滑的曲线依次连接所求各点。
二、相交型建筑形体
（二）相贯线的画法
求作相贯线投影的一般步骤是：
根据立体图或给出的投影，分析两立体的形状及其轴线的相对位置，以得出
相贯线的大致形状；
1
2
3
依次求出特殊位置点和一般位置点的投影；
将求出的各点用光滑的曲线顺次连接。
二、相交型建筑形体
【例3-11】已知两圆柱相贯，如图3-29（a）所示，求作该相贯体的三面投影。
分析：
由图3-29（a）所示的立体图可以看出，该相贯体为一个铅垂圆柱与水平圆柱相贯所得，故相a贯线为曲线。相贯线的水平投影与铅垂圆柱面的水平投影重合，侧面投影与侧垂圆柱的侧面投影重合，因此只需求作它的正面投影即可。
图3-29 绘制两圆柱相贯线的投影
二、相交型建筑形体
作图步骤：
（1）按照投影关系画出两圆柱的投影，正面投影中的相贯线先不画。
（2）求特殊点的投影。在相贯体上取特殊位置点A，B，C，D，其中，点A和点B是两圆柱正面投影的转向轮廓线的交点，其投影可在各投影图上直接找出；点C和点D是铅垂圆柱侧面投影的转向轮廓线和水平圆柱表面的交点，其投影可在侧面和水平投影上直接找到，正面投影中的点c'和点d'可根据点的投影规律作出，如图3-29（b）所示。
图3-29 绘制两圆柱相贯线的投影
二、相交型建筑形体
图3-29 绘制两圆柱相贯线的投影
（3）求一般点的投影。在铅垂圆柱的水平投影圆上取对称的两点e和f ，它们的侧面投影和水平投影都可根据点的投影规律求出。
（4）用光滑的曲线顺次连接正面投影上各点的投影，即可得到相贯线的正面投影，如图3-29（c）所示。
二、相交型建筑形体
图3-30 相贯线的简化画法
提示
为了简化作图，允许采用简化画法绘制相贯线的投影。例如，当两圆柱正交，且两条轴线平行于某个投影面时，相贯线在该投影面上的投影可用大圆柱半径所作的圆弧来代替，如图3-30所示。
二、相交型建筑形体
（三）相贯线的特殊情况
一般情况下，曲面立体的相贯线是空间曲线，但在一些特殊情况下，相贯线也可以是平面曲线或直线。
（1）两个曲面立体具有公共轴线时，相贯线为与轴线垂直的圆，如图3-31所示。
二、相交型建筑形体
图3-31 相贯线的几种特殊情况
（a）圆柱和圆锥台同轴相贯
（b）圆锥和圆球同轴相贯
二、相交型建筑形体
（2）回转曲面相交，且具有公共内切球时，其表面交线为平面曲线。例如，两等径圆柱正交时，交线为两个大小相等的椭圆，该椭圆的正面投影为通过两轴线交点的直线，如图3-32（a）所示。建筑工程中，常用的十字拱屋面就是由两个等径圆柱面正交所构成的，如图3-32（b）所示。
二、相交型建筑形体
图3-32 等径圆柱相贯
（a）
（b）
二、相交型建筑形体
（3）当相交的两圆柱轴线平行时，相贯线为两条平行于轴线的直线，如图3-33所示。
图3-33 两圆柱轴线平行相贯
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