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正等轴测图
正等轴测图简称正等测，是指将物体的3个坐标面相对于轴测投影面倾斜放置，然后用正投影法向该投影面上投影所得到的投影图，此时投射方向垂直于投影面。
那么，正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数分别是什么？正等轴测图该怎样绘制？平面立体和曲面立体的正等轴测图的画法是否相同？
导 言
一、正等轴测图的轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
由正等轴测图的概念可知，正等测轴测图中的三个轴间角相等，均为120°，如图4-3所示。其中，OX轴表示长度，OY轴表示宽度，OZ轴表示高度，且规定OZ轴画成铅垂线。由于3个轴间角相等，因此它们的轴向伸缩系数也相等，即为p=q=r=0.82。
一、正等轴测图的轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
图4-3 正等轴测图
（a）
（b）
（c）
一、正等轴测图的轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
在画物体的轴测投影图时，通常需要根据物体上各点的直角坐标，乘以相应的轴向伸缩系数，得到轴测坐标值后才能进行画图。实际作图中，为了方便起见，通常采用简化的轴向伸缩系数，即p=q=r=1。
这样画出的正等轴测图，其形状保持不变，图形的立体感也不变，只是比实际物体放大了1/0.82≈1.22倍。
二、平面立体正等轴测图的画法
虽然各种轴测图的轴间角和轴向伸缩系数不同，但绘制轴测图时应遵守的原则和对形体的处理方法是相同的。画轴测图时，必须先选定轴测图的类型，确定轴间角的大小和轴向伸缩系数，然后再绘制轴测轴和轴测图。
绘制轴测图时，常用的方法有坐标法、端面法、叠加法和切割法。
二、平面立体正等轴测图的画法
坐标法是根据形体表面上各顶点的坐标，沿轴测轴方向度量并画出它们的轴测投影，然后依次连接各投影点得到立体表面轮廓线的方法。坐标法是画轴测图的最基本方法，也是其他各种轴测图画法的基础。
（一）坐标法
二、平面立体正等轴测图的画法
【例4-1】画出图4-4（a）所示三棱锥的正等轴测图。
作图步骤：
（1）在图4-4（a）中建立三棱锥的坐标系O-XYZ，从而可确定三棱锥上S，A，B，C顶点的坐标值。为作图方便起见，可使XOY坐标面与锥底面重合，OX轴通过B点，OY轴通过C点。
图4-4 绘制三棱锥的正等轴测图
二、平面立体正等轴测图的画法
（2）按轴间角120°画出正等轴测图的轴测轴，然后沿各轴测轴上量取每个顶点的坐标，以确定各顶点在轴测图中的位置，如图4-4（b）所示。
（3）连接各顶点，擦去不可见棱线，然后描深可见棱线，如图4-4（c）所示。
图4-4 绘制三棱锥的正等轴测图
二、平面立体正等轴测图的画法
对于棱柱类和棱锥类形体，其轴测图通常可先画出能反映其特征的一个端面或底面，然后以此为基础画出可见侧棱和底边棱线，这种画法称为端面法。利用端面法绘制棱台类形体的轴测图时，通常先画出其上底面或下底面，然后以此为基础画出可见侧棱，最后连接各侧棱的顶点，即可完成形体的轴测图。
（二）端面法
二、平面立体正等轴测图的画法
【例4-2】根据图4-5（a）所示正六棱柱的投影图，画出其正等轴测图。
作图步骤：
（1）画正六棱柱的顶面。先画出正等轴测图的轴测轴，然后根据上表面各顶点的x，y坐标，画出上表面的正等轴测图，如图4-5（b）所示。
图4-5 作平面上点的投影
二、平面立体正等轴测图的画法
（2）画正六棱柱的侧棱。从各顶点向下引Z1轴的平行线（不可见棱线可省略不画），其长度为六棱柱的实际高度，如图4-5（c）所示。
（3）画正六棱柱的底面。用直线段依次连接侧棱的各端点，画出正六棱柱的底面，最后检查图形，确认无误后擦去多余的线条并加深图线，即可得到正六棱柱的正等轴测图，如图4-5（d）所示。
图4-5 作平面上点的投影
二、平面立体正等轴测图的画法
如果要绘制的形体是由几个基本体叠加后形成的，则该形体的正等轴测图可使用叠加法绘制。
画图时，应按形体的形成过程先画出基础形体，然后按照各叠加体的位置关系逐个画出其轴测图。在画轴测图时，要判断各叠加体的轮廓是否被遮挡，对于不可见的轮廓线可省略不画。
（三）叠加法
二、平面立体正等轴测图的画法
【例4-3】根据图4-6（a）所示三面投影图，画出其正等轴测图。
分析：图4-6（a）所表达的物体可以看成是由一个四棱柱和一个四棱锥台上下叠加而成。画轴测图时，可由下向上（或由上向下）逐个画出每个形体的轴测图。
图4-6 用叠加法画正等测图
二、平面立体正等轴测图的画法
作图步骤：
（1）画基础形体四棱柱。先画出正等轴测轴，然后在OX轴和OY轴的两侧分别量取L1/2和b1/2，以绘制四棱柱的上表面，接着过顶点作3条可见的侧棱（侧棱长为h1），最后依次连接相应的侧棱端点即可，如图4-6（b）所示。
（2）画四棱锥台的底面。参照绘制基础形体的方法，在XOY坐标平面内绘制四棱锥台的底面，如图4-6（c）所示。
三、平面立体表面上点和线的投影
图4-6 用叠加法画正等测图
（b）画轴测轴和基础形体
（c）画叠加体的底面
二、平面立体正等轴测图的画法
作图步骤：
（3）画四棱锥台的顶面。分别在OX轴和OY轴上方h2位置处绘制一条与OX轴和OY轴平行的直线，然后以这两条直线的交点为中心，分别取四棱锥台顶面的长、宽尺寸并绘制顶面，如图4-6（d）所示。
（4）用直线连接四棱锥台顶面和底面上的对应点，然后擦去被遮挡部分的图线和不需要的图线，最后加深图线即可，如图4-6（e）所示。
图4-6 用叠加法画正等测图
（d）画叠加体的顶面
（e）连接顶点并加深图线
二、平面立体正等轴测图的画法
二、平面立体正等轴测图的画法
如果要绘制的形体是将基本形体切割后形成的，则该形体的正等轴测图可使用切割法绘制。画轴测图时，应先用坐标法画出完整的基础形体的轴测图，然后依次画出各切去部分的轴测图，具体作图方法如图4-7所示。
（四）切割法
图4-7 用切割法画正等轴测图
二、平面立体正等轴测图的画法
（a）确定坐标轴的位置
（b）画轴测轴和基础形体的轴测图
图4-7 用切割法画正等轴测图
二、平面立体正等轴测图的画法
（c）画斜面
（d）在斜面上切槽
（e）擦去多余图线并加深
三、曲面立体正等轴测图的画法
曲面立体与平面立体正等轴测图的画法基本相同，只是由于曲面立体上多有圆（圆弧）或圆角。因此，只要掌握了圆和圆角正等轴测图的画法，就能画出曲面立体的正等轴测图
三、曲面立体正等轴测图的画法
（一）圆的正等轴测图画法
圆的正等轴测投影一般为椭圆，3个投影面上圆的正等轴测投影（即椭圆）的形状如图4-8所示。
作圆的正等轴测投影时，通常先作出圆的外切正四边形的轴测投影，再在其中作出圆的轴测投影—椭圆。
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-8 3个投影面平行面上圆的投影
三、曲面立体正等轴测图的画法
【例4-4】作图4-9（a）所示水平圆的正等轴测图。
作图步骤：
在已知圆的正投影图中指定坐标原点和坐标轴，并作圆的外切正方形，如图4-9（a）所示。
（1）
画轴测轴及圆的外切正方形的轴测图（菱形），同时作出其两个方向的直径D1B1和A1C1，如图4-9（b）所示。
（2）
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-9 圆的正等轴测图的画法
三、曲面立体正等轴测图的画法
连接对角线，其中，短对角线的顶点为O5，O4，连C1O4和B1O4，分别交菱形的长对角线于O2，O3，如图4-9（c）所示。
（3）
分别以O5和O4为圆心，以R2为半径作上、下两段弧线，接着以O2和O3为圆心，以R1为半径作左、右两段弧线，这四段圆弧连成的近似椭圆即为所求，如图4-9（d）所示。
（4）
三、曲面立体正等轴测图的画法
上述这种先求出四个圆心的位置，然后再分别绘制四段圆弧的方法，称为四心圆弧法，常用于绘制圆的正等轴测图，即椭圆。
图4-9 圆的正等轴测图的画法
（c）
（d）
三、曲面立体正等轴测图的画法
（二）圆角的正等轴测图画法
圆角是圆的1/4，其正等轴测图的画法与圆的画法基本相同，但只需作出圆的外接正多边形的1/4，并找出所需切点和圆心，然后画出相应的圆弧即可。
【例4-5】作图4-10（a）所示带圆角矩形板的正等轴测图。
作图步骤：
（1）画出轴测轴和长方形板的正等轴测图，然后按圆角的半径R定出切点1，2，3，4，接着分别过各切点作其所在棱边的垂线，其交点分别为O1点和O2点，如图4-10（b）所示。
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-10 带圆角形体的正等
轴测图画法
三、曲面立体正等轴测图的画法
（2）分别以O1点和O2点为圆心，以1O1和3O2为半径画圆弧，即可得到顶面圆角；将圆心O1，O2及切点分别向下平移h个单位长度，按照同样的方法画出底面圆角，如图4-10（c）所示。
（3）画出左侧两段圆弧的公切线，然后擦去多余的图线，并将剩余图线描深，如图4-10（d）所示。
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-10 带圆角形体的正等
轴测图画法
三、曲面立体正等轴测图的画法
【例4-6】作图4-11所示圆木榫的正等轴测图。
分析：
该形体由圆柱体切割而成。绘制时，可先画出切割前圆柱的正等轴测图，然后根据切口宽度b和深度h画出槽口的轴测投影。为了作图方便和尽可能减少作图线，作图时应选顶圆的圆心为坐标原点
图4-11 圆木榫的正投影图
三、曲面立体正等轴测图的画法
作图步骤
（1）
画出轴测轴后，用四心圆弧法画出顶面的轴测投影（即椭圆），然后根据圆柱的高度h定出底面椭圆的圆心、各连接圆弧的圆心和切点，最后作出底面可见部分的圆弧，如图4-12（a）所示。
（2）
作出圆柱上、下面椭圆的最左和最右公切线；将下侧圆弧的圆心、右侧圆弧的圆心和切点向下移动h1，然后以O3和O4为圆心绘制两段圆弧，如图4-12（b）所示。
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-12 带圆角形体的正等轴测图画法
三、曲面立体正等轴测图的画法
（3）
在圆柱的顶面Y1轴测轴左右两侧的b/2处绘制Y1轴的平行线，使其与圆弧相交，然后过交点绘制竖直线，如图4-12（c）所示。
（4）
擦去多余的辅助线，检查并绘制遗漏的图线，最后加深图线，如图
4-12（d）所示。
三、曲面立体正等轴测图的画法
图4-12 带圆角形体的正等轴测图画法

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