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曲面立体的投影
表面由平面和曲面，或均由曲面围成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥和球是工程中常见的曲面立体，这些曲面立体多为回转体。回转体的曲面可以看作是由一条直线或曲线（母线）绕另一固定直线（轴线）旋转而成的曲面，如图3-9所示。
导 言
（a）圆柱体
（b）圆锥体
（c）球
图3-9 曲同立体
其中，母线上任一点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆，称为纬圆；处于曲面上任意位置的母线称为素线；回转面的可见部分与不可见部分的分界素线称为转向轮廓线。画回转体的投影就是画回转面的转向轮廓线的投影、底面的投影和轴线的投影。
导 言
一、圆柱
圆柱是由圆柱面和上、下两个圆形底面围成的，其圆柱面可以看作是由母线绕与其平行的轴线旋转而成的。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线。
（一）投影分析
将圆柱体的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-10所示，其三面投影图的投影特性如下。
一、圆柱
H面投影：反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。
W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。
V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。
一、圆柱
通过上述分析可总结出圆柱的投影特性为：
① 反映底面实形的投影为圆；
② 另两面投影均为矩形。
由图3-10所示投影图可以看出，圆柱的投影特征与柱体的投影特征相同，均为“矩矩为柱”。
一、圆柱
图3-10 圆柱的三面投影
一、圆柱
画出圆柱体的对称中心线、底面基线及45°辅助线，然后画出反映底面实形的H面投影，结果如图3-11（a）所示。
根据圆柱体的高和投影关系画出圆柱的V面和W面投影，最后加深图线，如图3-11（b）和（c）所示。
(1)
(2)
（二）作图步骤
一、圆柱
（a）
（b）
（c）
图3-11 圆柱投影图的作图步骤
二、圆锥
圆锥是由圆锥面和圆底面所围成的回转体。其中，圆锥面是由母线绕与其相交并且成一定角度的轴线回转而成的。母线与轴线的交点称为锥顶。圆锥面的所有素线都交于锥顶，并且对底面的倾角相等。母线上任意一点的运动轨迹形成的圆称为纬圆。
（一）投影分析
将圆锥的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，如图3-12所示，其三面投影特性如下。
图3-12 圆锥的三面投影
二、圆锥
通过上述分析可总结出圆锥的投影特性为：
① 反映底面实形的投影为圆；
② 另外两面投影均为等腰三角形，符合“三三为锥”的投影特征。
H面投影
为一水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。
V面和W面投影
均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左、最右素线（素线也是转向轮廓线）的投影；W面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最前、最后素线的投影。
二、圆锥
（二）作图步骤
画出圆锥体的对称中心线、底面基线及45°辅助线，然后画出反映底面实形的H面投影，结果如图3-13（a）所示。
（1）
根据“长对正”的投影规律和圆锥体的高作出V面投影，再根据“高平齐、宽相等”的投影规律作出W面投影，最后加深图线，如图3-13（b）和（c）所示。
（2）
二、圆锥
（a）
（b）
（c）
图3-13 圆锥投影图的作图步骤
三、球
圆球是以一圆周为母线绕其自身一直径旋转一周形成的。母线上任一点的运动轨迹都为圆。
球体的三面投影均为与该圆球直径相等的圆。其中，正面投影圆是可见的前半球面和不可见的后半球面的重影；水平投影圆是可见的上半球面与不可见的下半球面的重影；侧面投影圆是可见的左半球面和不可见的右半球面的重影，如图3-14所示。
三、球
图3-14 球的三面投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
与平面立体相同，求作曲面立体表面上点和直线的投影也有从属性法、积聚性法和辅助线法3种方法。
作曲面立体上点的投影，可按如下步骤进行：
判断点所在的位置；
①
②
③
④
判断点所在面的投影特性；
在具有积聚性的平面上标出点的投影；
根据点的两面投影，求出其第三面投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
（一）圆柱表面上点和线的投影
因为圆柱面具有积聚性，因此圆柱表面上点或线的投影可利用从属性法和积聚性法求出。
【例3-3】已知圆柱面上点M和点N的正面投影m'和（n'），如图3-15（a）所示，试求作这两个点的另外两面投影。
四、曲面立体表面上点和线的投影
（a）已知条件
（b）作图方法
图3-15 利用“辅助线法”求圆柱表面上点的投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
分析：
M点的正面投影可见，且在点画线的左侧，由此可判定M点在左、前半圆柱面上，其水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可见。
作图步骤：
（1）过m′点作素线的正立面投影（可只作一部分），即过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分于一点，则该点即为m点；由m′点和m点，即可求出m''点，m''点为可见点。
（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投影n，再求出侧面投影n''。由于侧面投影不可见，故为（n''）。
四、曲面立体表面上点和线的投影
【例3-4】已知圆柱面上线段AB的正面投影a′b′，如图3-16（a）所示，求其另外两面投影。
分 析：
由题意及图3-16（a）可知，线段AB是一段位于前半个圆柱面上的椭圆弧，且该段曲线在水平投影面上的投影为一段曲线。由于该圆柱面的侧面投影积聚为圆，故线段AB的侧面投影就是该圆上的一段圆弧。求作曲线的投影，需先求出曲线上一系列特殊位置点和中间位置点的投影，然后顺次连接成曲线。
图3-16 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
作图步骤
（1）先在圆柱的正面投影图上标出特殊点a′，b′，c′和中间点d′和e′，然后根据直线AB所在圆柱面的积聚性，分别过正面投影中的这5个点作水平线，并与圆柱的侧面投影交于a''，b''，c''，d''和e''点。
（2）根据“长对正、宽相等”的投影规律作了这5个点的水平投影a，b，c，d，e。
（3）用曲线依次光滑地连接a，d，c，e，b点并判别其可见性（以C点为界，ADC段在圆柱面的前、上方，故可见，应画成实线；CEB段在圆柱面的前、下方，故不可见，应画成虚线），即可得曲线弧AB的水平投影。
图3-16 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
（二）圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为辅助素线法和辅助纬圆法两种。
四、曲面立体表面上点和线的投影
【例3-5】已知圆锥面上点A的正面投影a′，如图3-17（a）所示，求其另外两面投影。
图3-17 利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影
素线法就是过给定点和锥顶在锥面上作一条素线为辅助线，利用点、线的从属关系，得出点的三面投影图的方法，即过A点作辅助素线SB，如图3-17（b）所示，先求出该素线的投影，再利用线上点的投影关系求出圆锥表面上点的投影。
四、曲面立体表面上点和线的投影
分 析：
根据a′点可判定A点位于圆锥左前方的圆锥面上。由于圆锥面无积聚性，因此圆锥面上点的投影可利用素线法或纬圆法求出。
方法一：辅助素线法
图3-17 利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影
（1）连接s′点与a′点并延长，使其与底圆的V面投影交于点b′，从而得到素线SB的V面投影s′b′。
（2）由s′b′可求出sb。
（3）因A点在素线SB上，故过a′点向下作垂线交sb于a点，由a′点和a点可求得点A的侧面投影a″点，如图3-17（c）所示。
四、曲面立体表面上点和线的投影
具体作图步骤如下：
图3-17 利用“辅助素线法”求圆锥表面上点的投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
方法二：纬圆法
假想过圆锥面上任一点作一个与圆锥底面平行的平面，该平面与圆锥面的交线为圆，则该点的三面投影必在交线圆的投影上。这个交线圆称为纬圆，用纬圆作辅助圆来确定曲面上点的投影位置的方法称为纬圆法，如图3-18所示，
（1）过a′点作一条水平线1′2′，1′2′即为过A点的水平纬圆的V面投影。
（2）以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。
（3）过a′点作垂直投影线交纬圆的左前方的圆锥面于a点，再由a′点和a点求得a″点。
四、曲面立体表面上点和线的投影
具体作图步骤如下：
图3-18 利用“纬圆法”求圆锥表面上点的投影
球面均无积聚性，因此除了转向轮廓线上的点可直接求出外，球面上的其他点均需用辅助纬圆法才能求出。
四、曲面立体表面上点和线的投影
（三）球面上点的投影
【例3-6】已知球面上M点的V面投影m′，如图3-19（a）所示，求其另外两面投影。
分析：
由m′点可知M点位于前半球的左下部位，它的另外两面投影可利用纬圆法求出。
图3-19 利用“辅助线法”求球面上点的投影
四、曲面立体表面上点和线的投影
作图步骤
（1）过m′点作水平纬圆的正立投影（为一直线），交圆于b′，c′两点。
（2）求出纬圆的水平投影圆，其直径为bc，则M点的水平投影必在该纬圆的左前侧，且该点的水平投影不可见。
（3）根据m′和m，求出其侧面投影m''。
图3-19 利用“辅助线法”求球面上点的投影

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