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平面立体的投影
如图3-1所示，这些建筑物及其配件的形状虽然复杂多样，但一般都是由一些简单的几何体经过叠加、切割或相交等形式组成的。我们把这些简单的几何体称为基本几何体或基本体，把建筑物及其构配件的形体称为建筑形体。
导 言
图3-1 建筑形体的组成
由此可见，要想很好地了解建筑形体的投影，必须先掌握基本形体的投影。那么，这些基本形体的三面投影图该如何绘制呢？如果这些基本形体被不同位置的平面所截切，截切后形体的三面投影图又该如何画呢？
前 言
一、棱柱
棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体。若棱柱的棱线与底面倾斜，则该棱柱称为斜棱柱；若棱柱的棱线与底面垂直，则该棱柱称为直棱柱；若一个直棱柱的上、下底面均为正多边形，则该直棱柱称为正棱柱。
棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体，立体上相邻表面的交线称为棱线。不同棱柱的三面投影图，其画法大致相同。下面以图3-2所示的正六棱柱为例，来讲解棱柱三面投影图的投影特性及画法。
一、棱柱
（一）形体特征
正六棱柱是由上、下两底面和6个矩形侧面组成的。其中，上、下两底面相互平行；6个侧面均为全等的矩形，且与底面垂直；6条棱线相互平行，长度相等且与上、下两底面垂直。
（二）摆放位置
摆放形体时应考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况。为了作图方便，应尽量使形体的表面平行或垂直于投影图。对图3-2所示的正六棱柱，应将上下底面平行于H面、前后侧面平行于V面放置。
图3-2 正六棱柱的投影
一、棱柱
（三）投影分析
H面投影
V面投影
W面影投影
为正六边形，它是上、下底面的投影，且反映两底面实形；六边形的6个顶点是6条棱边（铅垂线）的积聚投影。
为3个矩形线框。其中，中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，且反映前、后侧面的实形；左侧矩形为左侧前、后侧面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后侧面的重合投影，它们均为类似形；上、下两底面的投影积聚为直线段。
为两个矩形线框，分别是左、右4个铅垂侧面的重合投影（不反映实形）。
通过上述分析可以总结出棱柱体的投影特性：① 反映底面实形的投影为多边形；
② 另外两面投影均为矩形，或矩形的组合图形。
一、棱柱
提 示
由图3-2所示投影图可以看出，基本体中柱体的投影特征可归纳为“矩矩为柱”。这句话的含义是：只要是柱体（包括圆柱和棱柱），则必有两面投影的外线框为矩形；反之，若某一形体的两面投影的外线框为矩形，则该形体一定是柱体，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种柱体。
一、棱柱
（1）画出正六棱柱的对称中心线、底面基线及45°辅助线，以确定各投影图的位置，如图3-3（a）所示。
（2）先画出反映主要形状特征的投影图，即画H面投影图中的正六边形，然后按照“长对正”的投影规律及正六棱柱的高度画出V面投影。正六边形可采用等分圆周的方法绘制，结果如图3-3（b）所示。
（3）根据“高平齐、宽相等”的投影规律画出W面投影，最后擦去多余的图线并加深，结果如图3-3（c）所示。
（四）正六棱柱的作图步骤
一、棱柱
图3-3 正六棱柱投影图的作图步骤
a
b
c
二、棱锥
棱锥是由一个多边形底面和若干个具有公共顶点（锥顶）的三角形棱面围成的平面体。若一个棱锥的底面为正多边形，且锥顶在底面的投影位于正多边形的中心，则该棱锥称为正棱锥。
图3-4 正三棱锥的投影
二、棱锥
正三棱锥又称四面体，由一个底面和3个棱面组成。其中，底面为正三角形；3个棱面为3个全等的等腰三角形。
（一）形体特征
下面以图3-4所示的正三棱柱为例，来讲解棱锥三面投影图的投影特性及画法。
二、棱锥
（二）投影分析
将三棱锥的底面平行于H面、某一侧面处于侧垂面位置放置在三投影面体系中，其投影特性如下。
H面投影
V面投影
W面投影
为等边三角形，它反映正三棱锥的底面实形，3个侧面的投影表现为类似形，顶点投影重合于等边三角形的垂心。
为两个三角形，即左、右两个侧棱面的类似形。
为一个三角形。其中，后侧棱面积聚为最后方的一直线段，左、右侧棱面的投影仍为三角形，且相互重合。
二、棱锥
通过上述分析可以得出以下结论：
① 反映底面实形的投影为多边形或三角形的组合图形；
② 另外两面投影为并列的三角形（内含反映侧表面的几个三角形）。
提示：
基本体中锥体的投影特征可归纳为“三三为锥”，即若形体有两面投影的外线框均为三角形，则该形体一定是锥体（包括棱锥和圆锥）；反之，凡是锥体，则必有两面投影的外线框为三角形，这时，可利用第三面投影来判别具体是何种锥体。
二、棱锥
（a）四棱锥
（b）五棱锥
（c）六棱锥
图3-5 几种常见棱锥的投影
三、平面立体表面上点和线的投影
（三）正三棱锥的作图步骤
确定各投影图的位置，然后在H面上画出反映底面实形的正三角形，该三角形可利用丁字尺和三角板绘制，如图3-6（a）所示。
（1）
在H面投影中作正三角形的垂心，以确定三棱锥顶点S在俯视图中的投影S，然后过该点连接H面投影中三角形的3个顶点，如图3-6（b）所示。
（2）
根据“长对正”的投影规律和正三棱锥的高，确定锥顶的V面投影，然后画出正三棱锥的V面投影和W面投影并加深图线，如图3-6（b）所示。
（3）
二、棱锥
（a）
（b）
图3-6 正三棱锥投影图的作图步骤
三、平面立体表面上点和线的投影
平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、线的作图问题，实质上就是平面上取点、线作图的应用。由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现投影的相互重叠，从而产生各表面投影的可见与不可见问题。因此，对于表面上点和线的投影，还应考虑其投影的可见性。
判断立体表面上点和线可见性的原则是：如果点、线所在表面的投影可见，则点、线的同面投影可见；否则，不可见。
三、平面立体表面上点和线的投影
当点位于立体表面的某条棱边上时，该点的投影必定在棱线的投影上。此时，可利用线上点的“从属性”求出该点的投影。
从属性法
当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，该点的投影必在该表面的积聚投影线上。此时，可利用平面的积聚性求出该点的投影。
积聚性法
（一）利用“从属性法”和“积聚性法”作图
三、平面立体表面上点和线的投影
【例3-1】立体表面上直线MN的正面投影m′n′如图3-7（a）所示，试作该直线的其他两面投影。
分析：
分析图3-7（a）所示的形体，可知其为四棱台（梯梯为台）。由于正面投影中的m′n′可见，因此可判定该直线位于四棱台的前棱面上。由于M点在棱边上，故可利用“从属性法”求出其他两面投影；N点所在的表面为侧垂面，其侧面投影具有积聚性，因此可先利用表面的积聚性求出n''点，然后再利用n''点和n′点求出n点。
图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影
三、平面立体表面上点和线的投影
作图步骤［参见图3-7（b）］：
（1）利用“从属性法”过m′点作水平直线和铅垂线，分别交四棱台的另外两面投影于m''和m。
（2）利用“积聚性法”过n′点作水平直线交四棱台的侧面投影于n''点，然后利用n''点和n′点求出水平投影n点。
（3）用直线依次连接水平投影和侧面投影中M点和N点的同面投影。由于侧面投影中的m''点和n''点位于前侧面的积聚投影线上，其投影与该积聚线重合，故可不用直线连接。
图3-7 利用“从属性法”和“积聚性法”求立体表面上点的投影
三、平面立体表面上点和线的投影
（二）利用“辅助线法”作图
当点所在的立体表面无积聚投影时，该点的投影必须利用作辅助线的方法求出，即先过已知点在立体表面上作一辅助直线（辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线），求出该直线的另外两面投影，然后依据点的“从属性”求出点的各面投影。
三、平面立体表面上点和线的投影
【例3-2】立体表面上M点和N点的投影m′和n如图3-8（a）所示，求作这两个点的
其他两面投影。
分析：
m′点为可见点，故M点位于SAB平面上。由于SAB平面为一般位置平面，故M点的其他两面投影需通过作辅助线求出。n点为可见点，故N点位于SBC平面上。由于SBC平面也为一般位置平面，故N点的其他两面投影也需要通过作辅助线求出。
图3-8 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影
三、平面立体表面上点和线的投影
（1）
（2）
（3）
（4）
过m′点作一条平行于底面的辅助线，该辅助线的投影交s′a′于点1′。由于点1′位于直线s′a′上，故可直接求出水平投影点1。
过1点作直线ab的平行线，则M点的水平投影一定在该平行线上。因此，过m′点作垂线交平行辅助线于一点，该点即为m点。
连接s点和n点并延长，交直线bc于点2；由于点2在底面ABC上，故可直接求出其正面投影点2′。
（4）连接s′和2′，则N点的正面投影一定在s′2′上。因此，过n点作垂线交s′2′于一点，该点即为n′点。
作图步骤［参见图3-8（b）］：
三、平面立体表面上点和线的投影
图3-8 利用“辅助线法”求立体表面上点的投影
(b)做图方法

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