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点的投影
任何物体都可以看成是由点、线、面等基本几何元素构成的，因此，要绘制物体的三面投影，就必须先掌握空间点、线、面的投影。由于直线可以看作是无数点的集合，因此熟练掌握点的投影规律，能为后面学习直线、平面、立体及组合休的投影打下坚实的基础。
那么，空间点的三面投影究竟是什么？点的三面投影都具有哪些特性和规律？
导言
一、点的三面投影
若将空间点A置于三投影面体系中，然后自点A分别向3个投影面作垂线（即投射线），交得的3个垂足a，a′，a''即为空间点A的H面投影、V面投影和W面投影，如图2-17所示。
图2-17 点的三面投影
（a）
（b）
（c）
一、点的三面投影
画投影图时，通常规定空间点用大写拉丁字母A，B，……表示，H面投影用相应的小写字母如a，b，……表示，V面投影用相应的小写字母加一撇如a'，b'，……表示，W面投影用相应的小写字母加两撇如a''，b''，……表示。
提 示
（一）点的投影规律
01
点A的水平投影a和正面投影a′的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。
由图2-17中点A的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律，具体如下：
02
点A的正面投影a′和侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
03
空间点到某一投影面的距离，等于另外两个投影面上的投影到与该投影面相交的投影轴的距离，即
A点到H面的距离Aa= a′aX =a″aY；
A点到V面的距离Aa′ =aaX =a″aZ；
A点到W面的距离Aa″ =aaY =a′aZ。
由上述可知，点的两面投影即可确定点的空间位置。因此，只要给出点的两面投影，就可以求出其第三面投影。
（一）点的投影规律
【例2-3】已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，如图2-18（a）所示，求其水平投影。
分析：根据点的投影规律可知，aa′⊥OX；过点a′作OX轴的垂线，所求点a必在的延
长线上。由a″aZ =aaX可确定点a的位置。
作图步骤：
（1）过点a′作OX轴的垂线并延长。
（2）过点a″作OYW轴的垂线交OYW轴于点aW。
（3）以O为圆心、OaW为半径作圆弧交OYH于点aH。
（4）过点aH作OX轴的平行线，与过点a′的竖直线相交，则交点即为所求的水平投影
点a，如图2-18（b）所示。
（一）点的投影规律
注 意
H面投影和W面投影之间的“宽相等”关系既可以利用图2-18（b）所示的圆弧来表达，也可以利用图2-18（c）所示的45°斜线来表达。
图2-18 求点的水平投影
（a）
（b）
（c）
（二）点的投影与坐标
空间点可用直角坐标“x，y，z”，来表示，如图2-17所示，由该图可以看出：
Aa″=a′aZ =aaY =x，x坐标即为空间点A到W面的距离；
Aa =a′aX =a″aY =z，z坐标即为空间点A到H面的距离；
Aa′ =aaX =a″aZ =y，y坐标即为空间点A到V面的距离。
分析：每面投影可表达点的两个坐标，因此要求作点的三面投影，可先求出其中的两面投影，再根据这两面投影求出第三面投影。
【例2-4】已知空间点A（15，10，20），求作它的三面投影图。
（二）点的投影与坐标
作图步骤：
（1）画出两条相互垂直的直线，然后在OX轴上向左量取15，得aX点，如图2-19（a）所示。
（2）过aX点作OX轴的垂线，在该垂线上向上量取20得a′点，向下量取10得a点，如图2-19（b）所示。
（3）过O点画出45°斜线，然后由a点和a′点作出a″点，如图2-19（c）所示。
（二）点的投影与坐标
图2-19 求空间点的三面投影
（a）
（b）
（c）
二、两点之间的相对位置关系
空间两点的相对位置是指两点间前后、左右、上下的位置关系，可在两点的三面投影图中反映出来。其中，H面投影反映两点的前后、左右关系，V面投影反映两点的上下、左右关系，W面投影反映两点的上下、前后关系，如图2-20所示。
二、两点之间的相对位置关系
图2-20 两点的相对位置
（a）
（b）
二、两点之间的相对位置关系
此外，空间两点的相对位置也可根据坐标值的大小来判定，具体表现为：
x坐标确定两点的左右关系，x坐标大者在左边，x坐标小者在右边。
z坐标确定两点的上下关系，z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。
y坐标确定两点的前后关系，y坐标大者在前边，y坐标小者在后边。
由图2-20（a）可以看出xA＞xB，yA＞yB，zB＞zA，故可知点A在点B的左、前、下方，其空间位置如图2-20（b）所示。
二、两点之间的相对位置关系
值得注意的是，如果空间两点位于某一投影面的同一投射线上，这两点在该投影面上的投影必定重合为一点，则这两点称为该投影面的重影点。三面投影图中，重影点中的可见点标注在前，不可见点应加圆括号，并注写在可见点的后面，如图2-21（b）中的a（b）。
二、两点之间的相对位置关系
图2-21 重影点及其可见性
（a）
（b）
二、两点之间的相对位置关系
注 意
重影点可见性的判断应遵循“前遮后（前可见后不可见）、上遮下（上可见下不可见）、左遮右（左可见右不可见）”的投影规律。
二、两点之间的相对位置关系
【例2-5】已知空间点A（10，12，9），B点在A点的左方5 mm、上方4 mm、后方
6 mm处，求作B点的三面投影。
分析：B点在A点的左方和上方，说明B点的X坐标和Z坐标大于A点的X坐标和Z坐标；B点在A点的后方，说明B点的Y坐标小于A点的Y坐标。由此可根据两点的坐标差求出B点的三面投影。
二、两点之间的相对位置关系
作图步骤：
3
1
2
根据A点的3个坐标值作出其三面投影，如图2-22（a）所示。
沿OX轴方向量取15（即10 5）并作OX轴的垂线，沿OY轴方向量取6（见图12-6）并作OY轴的垂线，两条垂线的交点b即为B点的H面投影，如图2-22（b）所示。
沿OZ轴方向量取13（即9 4）并作OZ轴的垂线，该垂线与过b点的竖直垂线的交点为b′点，最后根据b和b′点作出b″点，如图2-22（c）所示。
二、两点之间的相对位置关系
图2-22 求点的三面投影
（a）
（b）
（c）

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