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直线的投影
空间两点可确定一条直线，故直线的投影取决于该直线上两个点的投影。由此可得出作直线三面投影的基本方法，即分别作出直线上两个点的三面投影，然后将同面投影用直线连接起来即可。
那么，不同位置的空间直线，其投影各有什么特点？怎样判断空间某点是否在直线上？怎样确定空间两直线是否平行、相交或交叉？
导 言
一、各种位置直线的投影及投影特性
根据直线与投影面的相对位置不同，直线可分为一般位置直线、投影面垂直线和投影面平行线3种。
（一）一般位置直线
与3个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-23中的直线AB。
由图2-23可知，一般位置直线的投影特性为：
（1）3条投影线均小于空间线段的实长，且与3个投影轴都倾斜，即“三斜三短”；
（2）各面投影均不能反映该直线对各投影面的真实倾角。
一、各种位置直线的投影及投影特性
（二）投影面平行线
投影面平行线是指平行于某一投影面，同时倾斜于其余两个投影面的直线。其中，平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表2-1所示。
一、各种位置直线的投影及投影特性
图2-23 一般位置直线的投影
（a）
（b）
一、各种位置直线的投影及投影特性
表2-1 投影面平行线的投影
一、各种位置直线的投影及投影特性
（三）投影面垂直线
若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影
面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线；
垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。投影面垂直
线的投影特性如表2-2所示。
一、各种位置直线的投影及投影特性
表2-2 投影面垂直线的投影特性
一、各种位置直线的投影及投影特性
【例2-6】在如图2-24（a）所示的投影图上标出棱线AB，BC，BE，DE和AF的投影，并说明这5条棱线分别是什么位置直线。
图2-24 找出棱线的投影
（a）题目
（b）答案
一、各种位置直线的投影及投影特性
由此可知，AB的正面投影为一条斜线，另外两面投影均为与相应投影轴平行的直线段，故棱线AB为正平线；BC的三面投影都是斜线，故棱线BC为一般位置直线；BE的水平投影为点，其余两面投影均为与相应投影轴垂直的直线，故棱线BE为铅垂线；DE的水平投影为一条斜线，另外两面投影均为与相应投影轴平行的直线段，故棱线DE为水平线；AF的正面投影为一点，另外两面投影均为与相应投影轴垂直的直线段，故棱线AF为正垂线。
分析：根据立体图和点的投影规律，在投影图中分别标出A～F点的三面投影，如图2-24（b）所示。
二、直线上点的投影特性
从属性
是指若一个点在直线上，则该点的投影必在该直线的同面投影上；反之，若一个点的三面投影均在直线的同面投影上，则该点必在该直线上，如图2-25中的C点为直线AB上的一点。
直线上的点都具有从属性和定比性两个特性。
是指直线上的点分割线段之比在投影后保持不变。如图2-25（a）所示，已知C点分线段AB为AC和CB两部分，由于 Aa//Cc//Bb，因此= 。同理， = = ，即 = == 。
定比性
二、直线上点的投影特性
已知直线与点的投影，可利用定比性法和补投影法来判定点与直线的相对位置。其中，定比性法是通过点的定比性对其位置进行判断的方法；补投影法是通过补画已知直线和已知点的投影，来判断点与直线相对位置关系的方法。
图2-25 直线上点的投影
（a）
（b）
二、直线上点的投影特性
【例2-7】已知直线AB、点M和点N的正面投影a'b'，m'，n'及水平投影ab，m，n，
如图2-26（a）所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。
分析：判定点是否在直线上，可利用定比性法或补投影法。
作图步骤：
（1）根据直线AB的正面投影a'b'和水平投影ab，作出其侧面投影a''b''。
（2）分别作点M和点N的侧面投影，如图2-26（b）所示。由于点m''在直线a''b''上，而点n''不在直线a''b''上，因此可以判定，点M在直线AB上而点N不在直线AB上。
二、直线上点的投影特性
提 示
若采用定比性法作图时，应先过过点a作任一辅助线，并取ab1=a'b'，连接bb1，然后在ab1上量取am0=a'm'及n0b1=n'b'，最后过点m0和点n0分别作直线bb1的平行线，如图2-26（c）所示。由该图中可知，点M在直线AB上而点N不在直线AB上。
二、直线上点的投影特性
图2-26 点与直线相对位置的判别
（a）已知条件
（c）定比性法
（b）补投影法
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉3种情况。
（一）两直线平行
（1）若两直线平行，则它们的各同面投影一定相互平行。反之，若空间两直线各同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系；
（2）若两直线平行，则它们的长度之比等于它们各同面投影的长度之比。
如图2-27（a）所示，直线AB平行于直线CD，则ab//cd，a’b’//c’d’，且AB:CD =ab:cd =a'b':c'd'。
三、两直线的相对位置
值得注意的是，如果两直线为投影面平行线，则只有当反映实长的同面投影上的投影为平行线时，才能判定这两条直线平行。如图2-27（b）所示，虽然ab//cd，a'b' //c'd'，但由于AB和CD均为侧平线，且其侧面投影a''b''与c''d''相交，故两直线不平行。
三、两直线的相对位置
图2-27 两直线的投影规律
（a）平行
（b）不平行
三、两直线的相对位置
（二）两直线相交
两直线相交的投影规律为：如果空间两直线相交，则它们的各同面投影一定相交，并且交点的投影必符合直线上点的投影规律。反之，如果空间两直线的各组同面投影都相交，并且交点的投影符合直线上点的投影规律，则这两直线一定为相交关系，如图2-28中的直线AB和CD为空间两相交直线。
三、两直线的相对位置
图2-28 两直线相交
（a）
（b）
三、两直线的相对位置
注 意
①
如果两直线都为一般直线，那么只需任意两组同面投影相交，且交点符合直线上点的投影规律，就可以判定这两条直线相交，如图2-28中的直线AB和CD相交；
②
如果两直线中有一条为投影面平行线，则只有当该直线在反映其实长的投影面上的投影相交，且交点符合直线上点的投影规律时，才能判定这两条直线相交，如图2-29中的直线AB和CD不相交。
三、两直线的相对位置
图2-29 两直线不相交
三、两直线的相对位置
（三）两直线交叉
既不平行也不相交的空间两直线称为交叉直线，如图2-30所示的直线AB和CD。交叉两直线的投影有以下两种情况：
（1）交叉两直线的同面投影可能都相交，但“交点”不符合点的投影规律，即交点不是空间两直线真正的交点，而是重影点，如图2-30（b）中W面投影中的交点即为重影点。
（2）交叉两直线的同面投影可能相互平行，但它们在3个投影面上的同面投影不会全部相互平行，如图2-30（b）所示。
三、两直线的相对位置
图2-30 两直线交叉
（a）
（b）

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