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轴测图的基本知识
一、轴测图的形成与分类
1.轴测图的形成
将物体连同其参考直角坐标系沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上，所得到的图形称为轴测图。其中单一投影面P称为轴测投影面，直角坐标轴在轴测投影面上的投影叫轴测轴，如图4-1所示。
2.轴测图的分类
根据投射线与轴测投影面的相对位置，轴测图可以分为两类。如图3-1（a）所示，当投射线与轴测投影面P垂直，且物体的三个参考坐标面都倾斜于轴测投影面P时，形成的轴测图称为正轴测图。如图3-1（b）所示，当投射线与轴测投影面P倾斜，且物体的一个参考坐标平面平行于轴测投影面时，形成的轴测图称为斜轴测图。
图4-1 轴测图的形成和分类
二、轴测轴、轴间角与轴向伸缩系数
1.轴测轴
空间形体上有三条相互垂直并交于原点O的坐标轴OX（反映长度）、OY（反映宽度）、OZ（反映高度），这三条坐标轴在绘制轴测图投影面上的投影称为轴测投影轴，简称为轴测轴。
2.轴间角
轴测投影中，任意两根轴测轴之间的夹角称为轴间角，如∠XOY、∠YOZ、∠ZOX。
3.轴向伸缩系数
轴测轴上的单位长度与相应空间坐标轴上的单位长度之比，称为轴向伸缩系数。用p、q、r分别表示X、Y、Z轴的轴向伸缩系数。
根据轴向伸缩系数的不同轴测投影图可分为正（斜）等轴测图、正（斜）二等轴测图和正（斜）三等轴测图三种。其中，正等轴测图和斜二等轴测图是工程上最常用的轴测图。
三、轴测图的投影特性
轴测图绘制采用的是平行投影法，也就具备了平行投影法的一切特性。
（1）物体上相互平行的线段，其轴测投影仍互相平行。同样，物体上与坐标轴平行的线段，在轴测投影中仍平行于相应的轴测轴。
（2）物体上平行于轴测投影面的平面，其轴测投影反映实形。而不平行于轴测投影面的平面，其轴测投影为类似形。
一、正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
图4-2所示正等轴测图的轴间角∠XOY=∠YOZ=∠ZOX=120°。在正等轴测图中，空间直角坐标系的三根轴与轴测投影面的倾角均为35.3°，三根轴的轴向伸缩系数p=q=r=cos 35.3°≈0.82。为了方便作图，通常采用简化的轴向伸缩系数，即取近似值1。
画物体的正等轴测图时，物体上平行于空间坐标轴的线段，在正等轴测图中仍然平行于相应的轴测轴，且沿三个方向的尺寸可按物体的实际大小量取，物体上互相平行的线段，在正等轴测图中仍然互相平行。
图4-2 正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
二、正等轴测图的画法
1.平面立体的正等轴测图画法
1）坐标法
根据物体各棱线交点的坐标值沿轴测轴测量，画出各交点的轴测投影，再连接各点，即可画出轴测投影图。这种作图方法称为坐标法。
例4-1 已知六棱柱的两个视图，如图4-3所示，画出它的正等轴测图。
图4-3 用坐标法作正等轴测图
作图过程如图4-3所示。
（1）先在视图上选定坐标。因图形具有对称性，故选上底面中点O为坐标原点。OX过顶点Ⅰ、Ⅳ，OY过Ⅱ-Ⅲ棱和Ⅴ-Ⅵ棱的中点。
（2）画出轴测轴，一般将Z轴画成竖直的。在X轴上，距O点D/2处确定两点Ⅰ、Ⅳ；在Y轴上，距O点S/2处确定两点A、B；过A、B两点分别作OX的平行线；在平行线上，过A、B两点分别量取L/2，得到Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅵ四个点；连接点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ，就得到了六棱柱底面的轴测图。再过点Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ，向下作Z轴的平行线，量取六棱柱的厚度，连线，得到六棱柱的下底面。轴测图上不可见的线不画出。擦去多余的线，描深。
2）切割法
画带缺口的立体正等轴测图时，先定出坐标原点，画出完整形体的轴测图，再根据形体缺口特点，将多余的部分切去，即可画出正等轴测图，如图4-4所示。
图4-4 用切割法作正等轴测图
3）叠加法
绘制叠加型组合体的轴测图通常采用叠加法。作图时，先将组合体分解成若干基本形体，然后按其相对位置逐个画出各基本形体的轴测图，进而完成整体的轴测图。
2.回转体的正等轴测图画法
在正等轴测图中绘制曲线，可先在三视图中依次测得曲线上各点的坐标，再在轴测图中将所测各点的三个坐标沿X、Y、Z三个轴侧轴上标出，依次找出各点在轴测图中的位置，再用圆滑曲线连接各点即可。
绘制平行于各坐标面的圆，同样可用上述方法。也可以用外切四边形法，如图4-5所示为三个坐标面上的圆的正等轴测图。
图4-5 不同坐标面上圆的正等轴测图投影
例4-2 根据图4-6（a）所示圆柱的两视图画出其正等轴测图。
作图步骤如下。
（1）在两视图上设置直角坐标轴，如图4-6（a）所示。
（2）确定轴测轴，画出上底面圆的外切正方形的正等测投影（菱形），如图4-6（b）所示。
（3）用四心近似法依次画出椭圆的四段圆弧。如图4-6（c）所示，分别以菱形的对角点1、2为圆心，在c、d和a、b之间画两段大圆弧。如图4-6（d）所示，分别以交点3、4为圆心，在a、d和b、c之间画两段小圆弧。
（4）根据圆柱的高H确定底圆的中心，用同样的方法画出下底面的椭圆，如图4-6（e）所示。
（5）作两个椭圆的公切线，擦去多余图线，加深图线，完成作图，如图4-6（f）所示。
图4-6 根据圆柱两视图画出其正等轴测图
例4-3 根据图4-7组合体的视图，画出其正等轴测图。
图4-7 组合体的正等轴测图的画法
（1）在视图中取坐标轴。
（2）绘制正等轴测轴，并画出底板和立板。
（3）画出立板上的半个外切四边形，绘制半个椭圆，并将这半个椭圆沿Y轴方向平移，平移距离为立板的厚度。
（4）绘制立板上的φ6孔的外切四边形，在轴测图中画出椭圆。
（5）在底板的前两个角上分别沿两个边量半径长度，并做垂线，以垂线的交点为圆心，交点至垂足的距离为半径画弧，并将此弧沿Z轴方向平移，平移距离为底板的厚度。
（6）用外切四边形法画出底板上的两个孔。
（7）擦去多余的线，描深。
一、斜二等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
对斜二等轴测图而言，物体相对投影面的摆放位置依然为“正放”，只是投射方向与投影面是倾斜的（平行投影法的斜投影法），以保证形体长、宽、高方向表面直观地反映到投影面上。
在斜二轴测图中，由于XOZ坐标面平行于轴测投影面P，所以轴间角∠XOZ=90°，轴向伸缩系数p=r=1。轴测轴OY的方向和轴向伸缩系数q随着投射方向的变化而变化。为了简化作图，国家标准规定，选取轴间角∠XOY=∠YOZ=135°，q=0.5，如图4-8所示。
图4-8 斜二等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数
二、斜二等轴测图的画法
下面以图4-9所示的组合体为例，说明斜二等轴测图的画法。
图4-9 组合体斜二等轴测图的画法
（1）取坐标轴。原点选在底面的圆心上。
（2）画轴测轴。轴间角∠XOY=90°、∠XOZ=135°、∠YOZ=135°；X轴、Y轴的伸缩系数是1，Z轴的伸缩系数是0.5。
（3）按原形绘制底面形状。
（4）将圆管内外圆沿Z轴平移圆管高度的一半，并画出轮廓线。
（5）将两侧凸出物沿Z轴平移其高度的一半，并画出轮廓线。
（6）擦去被遮挡的线和多余的线，描深。

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