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点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a)所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
图2-10 立体上点的投影
为了统一表达，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。投影与投影之间的连线简称为连影线。
由于投影面相互垂直，所以连影线也相互垂直，八个顶点A、a、aY、a′、a″、aX、O、aZ构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点的三面投影图的投影特性如下。
（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；同时aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW。
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
例2-1 已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，点B的正面投影b′和水平投影b，如图2-11(a)所示，分别求其第三面投影。
图2-11 已知点的两面投影求第三投影
二、直线的投影
1.各种位置直线的投影特性
1）投影面平行线
投影面平行线与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。
（1）投影面平行线在其所平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另外两个投影面的夹角。
（2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴。
2）投影面垂直线
投影面垂直线与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。
（1）投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
（2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。
3）一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角 。
一般位置直线的投影特性是三个投影都是倾斜于投影轴的直线，其长度小于实长。
2.直线上的点
直线上的点的投影特性如下。
（1）直线上的点的投影必定在直线的同面投影上，如图2-14所示，直线AB上的点K的投影k、k′、k″分别在ab、a′b′、a″b″上。
（2）点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比，如图2-14所示，线段AK和KB的比例关系，等于同面投影中两线段的比例关系，即AK/KB=ak/kb=a′k′/k′b′=a″k″/k″b″。
图2-14 直线上的点的投影特性
3.两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种：两直线平行、两直线相交及两直线交叉。
1）两直线平行
如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定相互平行，且符合定比性。如图2-15所示，由于AB∥CD，则ab∥cd，a′b′∥c′d′， a″b″∥c″d″；且AB/CD=ab/cd=a′b/′c′d′=a″b″/c″d″。反之，如果两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定相互平行。
图2-15 两平行直线的投影
2）两直线相交
如果空间两直线相交，则它们的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。如图2-16所示，由于直线AB与直线CD相交于点K，则ab与cd交于k，a′b′与c′d′交于k′，a″b″与c″d″交于k″。反之，如果空间两直线的同面投影均相交，且交点符合空间点的投影规律，则这两条直线在空间一定相交。
图2-16 两相交直线的投影
3）两直线交叉
既不平行也不相交的直线称为两交叉直线，如图2-17所示。
图2-17 两交叉直线
交叉直线在空间是不相交的,但它们的投影却有可能相交。交叉直线的投影的交点仅仅是这两条直线对该投影面的重影点，如图2-18(a)所示，交叉直线AB与CD的正面投影相交,其交点1′(2′)分别是直线AB上的点Ⅰ和直线CD上的点Ⅱ的重影点。有时也会出现一对或两对投影平行的情况，如图2-18(b)所示。
图2-18 交叉两直线的投影
三、平面的投影
1.平面的表示方法
空间平面可用下列任意一组几何元素来表示。
（1）不在同一条直线上的三个点，如图2-19（a）所示。
（2）一条直线和不属于该直线上的一个点，如图2-19（b）所示。
（3）两条相交直线，如图2-19（c）所示。
（4）两条平行直线，如图2-19（d）所示。
（5）任意平面图形，如图2-19（e）所示。
图2-19 平面的表示方法
2.平面的投影特性
在三面投影体系中，平面和投影面的相对位置关系，可以分为三种：投影面垂直面、投影面平行面、倾斜于投影面的平面。投影面平行面和投影面垂直面称为特殊位置平面，倾斜于投影面的平面称为一般位置平面。
1）投影面垂直面的投影特性
（1）投影面垂直面在其所垂直的投影面上的投影，积聚成一直线；直线与投影轴的夹角，分别反映该平面与另外两个投影面的夹角。
（2）在另外两个投影面上的投影均为该平面的类似形。
2）投影面平行面的投影特性
（1）投影面平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形。
（2）投影面平行面在另外两个投影面上的投影，分别积聚为平行于相应投影轴的直线。
3）一般位置平面的投影特性
一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是缩小的类似形，如图2-20所示。
图2-20 一般位置平面的投影
3.平面上的点和直线
由初等几何可知，属于平面的点和直线要满足下列几何条件。
（1）若点位于平面内的一直线上，则此点在该平面内。
（2）若一直线通过平面内的两个点，或一直线通过平面上一已知点且平行于平面内的另一直线，则该直线必在平面内。
如图2-21所示，相交两直线AB、BC决定一平面P，点K、M分别在AB、BC上，所以直线KM在平面P内。又如点M是BC上的一个点，过点M作MN∥AB，则MN一定也在平面P上。
图2-21 平面上的点和直线
例2-2 已知△ABC上点K的水平投影k，求其正面投影k′，如图2-22(a)所示。
图2-22 求△ABC上点K的正面投影k′
例2-3 完成平面ABCDE的正面投影，如图2-23(a)所示。
图2-23 完成平面ABCDE的正面投影
例2-4 已知平面△ABC两面投影，求出平面上水平线BD和正平线BE的两面投影，如图2-24(a)所示。
图2-24 求作平面上水平线和正平线的两面投影

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