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概率论与数理统计
x6: 随机变量的函数的分布 一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
1 一维离散型随机变量的函数的分布
2 一维连续型随机变量的函数的分布
3 二维随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布 二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
例
一维离散型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
X - 1 0 1
2
P 0.2 0.1 0.3
0.4
试求随机变量Y = 2X2 + 1的分布.
设随机变量X的分布律为
由题意知, 随机变量X的所有可能取值为- 1; 0; 1; 2, 因此, 随机变 量Y = 2X2 + 1的所有可能取值为1; 3; 9, 故Y是离散型随机变量. 接下来求Y的分布律, 事实上
P(Y = 1) = P(2X2 + 1 = 1) = P(X2 = 0) = P(X = 0) = 0. 1;
P(Y = 3) = P(2X2 + 1 = 3) = P(X2 = 1) = P(X = 1) + P(X = - 1) = 0.5;
P(Y = 9) = P(2X2 + 1 = 9) = P(X2 = 4) = P(X = 2) = 0.4.
故Y的分布律为
Y 1 3 9
一维离散型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
从上例中可以看出, 在考虑一维离散型随机变量用连续函数复合 构成的新的随机变量的分布的时候, 只需找出对应的等价事件即 可, 比如在上例中, {Y = 3} = {X = - 1} n {X = 1}.
一维离散型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
注
例
设随机变量X的密度为
,
试求随机变量Y = 2X + 1的分布.
,
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
0 < x < 2, 其他.
我们来求随机变量Y的分布函数
FY(y) = P(Y y) = P(2X + 1 y) = P（X
= l fX (x)dx = ly fX dx.
1
1
1
2
y-
= FX
一维连续型随机变量的函数的分布
6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
故由连续型随机变量的定义知, Y是连续型随机变量, 具有密度
f (y) = f
〈8 · ; 0 < < 2;
: 0; 其他.
= { y 1 ; < 5;
;
他
< y
其
1
=
X
Y
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
先考虑随机变量Y的分布函数FY(y) = P(Y y), 由于Y = X2 ≥ 0,
因此
当y 0时, 显然有FY(y) = P(Y y) = P(X2 y) = 0;
当y > 0时,
FY(y) = P(X2 y) = P(-py X py)
= (py) - (-py) = 2 (py) - 1.
类似于前例, 可以判断Y 是连续型随机变量.
例
设随机变量X N(0; 1), 试求随机变量Y = X2的分布.
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
先考虑随机变量Y的分布函数FY(y) = P(Y y), 由于Y = X2 ≥ 0,
因此
当y 0时, 显然有FY(y) = P(Y y) = P(X2 y) = 0;
当y > 0时,
FY(y) = P(X2 y) = P(-py X py)
= (py) - (-py) = 2 (py) - 1.
类似于前例, 可以判断Y 是连续型随机变量.
例
设随机变量X N(0; 1), 试求随机变量Y = X2的分布.
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
解
从而Y的密度函数为
f (y) =〈 2Ψ(py)2py ; y > 0; =〈
: 0; 其他. :
Y
称具有上 密度的随机变量Y为服从自由度为1的卡方分布, 记 作Y χ2 (1).
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
e-
2
1
0;
y-
8 1 8
y > 0; 其他.
y
2
;
解
从而Y的密度函数为
f (y) =〈 2Ψ(py)2py ; y > 0; =〈
: 0; 其他. :
Y
称具有上 密度的随机变量Y为服从自由度为1的卡方分布, 记 作Y χ2 (1).
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
e-
2
1
0;
y-
8 1 8
y > 0; 其他.
y
2
;
注
从上面两个连续型随机变量函数的例子可以看出, 一般情况下这 类问题的处理步骤是, 首先求出新的随机变量的分布函数, 若分 布函数的表达式满足连续型随机变量的定义, 则判断出新的随机 变量是连续型随机变量, 最后求出新的随机变量的密度函数. 因 此, 在上述例题中的问题的问法中, 都是求新的随机变量的分布, 因为此时还没有判断出新的随机变量的类型.
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
设随机变量X的密度函数为fX (x); x ∈ R, 函数g(x)处处可导且恒 有g、(x) > 0( 或恒有g、(x) < 0), 则Y = g(X)是连续型随机变量, 具 有密度
fY (y) = { fX (h(y | h、(y)| ; y < β;
其中h(y)是g(x)的反函数,
α = min{g(-∞ ); g(+∞ )}; β = max{g(-∞ ); g(+∞ )}.
;
他
<
其
α
0
))
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
一般地, 关于连续型随机变量的函数的分布, 有如下定理.
定理
设随机变量X的密度函数为fX (x); x ∈ R, 函数g(x)处处可导且恒 有g、(x) > 0( 或恒有g、(x) < 0), 则Y = g(X)是连续型随机变量, 具 有密度
fY (y) = { fX (h(y | h、(y)| ; y < β;
其中h(y)是g(x)的反函数,
α = min{g(-∞ ); g(+∞ )}; β = max{g(-∞ ); g(+∞ )}.
;
他
<
其
α
0
))
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
一般地, 关于连续型随机变量的函数的分布, 有如下定理.
定理
先考虑g、(x) > 0的情况. 此时函数g(x)严格单调递增, 故存在反函 数h(y), 且反函数h(y)在(α; β)内严格单调递增, 可导. 先求Y的分 布函数FY(y), 由于Y = g(X)在(α; β)内取值, 故
当y 三 α时, FY(y) = p(Y 三 y) = 0;
当y ≥ β时, FY(y) = p(Y 三 y) = 1;
当α < y < β时,
FY(y) = p(Y 三 y) = P(g(X) 三 y) = P(X 三 h(Y)) = FX(h(y)):
一维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
证明
因此, Y的密度函数为
f (y) = { fX (h(y h、(y),
再考虑g、(x) < 0的情况. 类似地有
f (y) = { -fX (h( )h、(y),
Y
0
y
Y
0
)
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
证明
结合(1)式和(2)式即得定理结论成立.
α < y < β, 其他.
α < y < β, 其他.
(1)
(2)
令g(x) = ax + b, 则g、(x) = a满足定理的条件, 此时
h(y) = y b ; h、(y) = ; α = -1; β = +1.
a
1
a
-
设随机变量X N(μ; σ2 ), 则Y = aX + b N(aμ + b; a2 σ2 ), 其
中a; b为常数且a 0.
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
例
令g(x) = ax + b, 则g、(x) = a满足定理的条件, 此时
h(y) = y b ; h、(y) = ; α = -1; β = +1.
a
-
设随机变量X N(μ; σ2 ), 则Y = aX + b N(aμ + b; a2 σ2 ), 其
中a; b为常数且a 0.
一维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
例
因此随机变量Y的密度为
fY (y) = fX (h(y))|h地 (y)| = exp〈 -
一维连续型随机变量的函数的分布
6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
根据正态分布的定义即得Y = aX + b N(aμ + b; a2 σ2 ).
= 1 e-
(y - (aμ+b))2 2a2 σ2 .
p2πσ|a|
注
一维连续型随机变量的函数的分布
当
a = , b = -
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
该例表明: 正态随机变量的线性函数仍服从正态分布. 特别地J
N(0, 1). 此即前面已有的结果.
时J 随机变量Y =
X - μ
σ
设(X; Y)是二维随机变量, z = g(x; y)是二元函数, 则随机变
量Z = g(X; Y)的分布是怎样的 与一维随机变量的函数的分布相 比, 这一类问题要复杂一些, 但基本方法仍适用. 我们仍分别考虑 离散型和连续型, 对几个具体的二元函数(和(差), 商(积), 最值)讨 论其分布.
二维随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
HH Y H X HH - 1 0
1
0 0.2 0.1
0.1
1 0.1 0.2
0.3
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
例
试求: (1) Z1 = X + Y的分布; (2) Z2 = max{X; Y}的分布.
设二维随机变量(X; Y)的分布律为
(1) 由X; Y的取值可知Z1 = X + Y的所有可能取值为: - 1; 0; 1; 2, 故Z1为离散型随机变量, 且
P(Z1 = - 1) = P(X = 0; Y = - 1) = 0:2;
P(Z1 = 0) = P(X = 0; Y = 0) + P(X = 1; Y = - 1) = 0:2; P(Z1 = 1) = P(X = 0; Y = 1) + P(X = 1; Y = 0) = 0:3;
P(Z1 = 2) = P(X = 1; Y = 1) = 0:3:
即Z1的分布律为
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
Z1 - 1 0 1
2
P 0:2 0:2 0:3
0:3
(2) 由X; Y的取值可知Z2 = max{X; Yg的所有可能取值为: 0; 1, 故Z2为离散型随机变量, 且
P(Z2 = 0) = P(X = 0; Y = - 1) + P(X = 0; Y = 0) = 0:2 + 0:1 = 0:3;
P(Z2 = 1) = P(X = 0; Y = 1) + P(X = 1; Y = - 1) +P(X = 1; Y = 0) + P(X = 1; Y = 1)
= 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:3 = 0:7:
即Z2的分布律为
Z2 0 1
P 0:3 0:7
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
事实上, 在上例的(2)中, 我们还可以用边缘分布来求Z2的分布律. 注意到
{Z2 = 1} = {X = 1} n {Y = 1};
因此
P(Z2 = 1) = P(X = 1) + P(Y = 1) - P(X = 1; Y = 1)
= 0.6 + 0.4 - 0.3 = 0.7.
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
注
设X与Y是相互独立的随机变量, 且X π(λ1 ), Y π(λ2 ),
则Z = X + Y π(λ1 + λ2 )(该性质称为泊松分布对参数具有可加
性).
由题意知, X, Y的所有可能取值均为0, 1, 2, · · · , 因此, Z的所有可 能取值也是0, 1, 2, · · · , 故Z为离散型随机变量.
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
证明
例
设X与Y是相互独立的随机变量, 且X π(λ1 ), Y π(λ2 ),
则Z = X + Y π(λ1 + λ2 )(该性质称为泊松分布对参数具有可加
性).
由题意知, X, Y的所有可能取值均为0, 1, 2, · · · , 因此, Z的所有可 能取值也是0, 1, 2, · · · , 故Z为离散型随机变量.
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
证明
例
对任意n ≥ 0有
P(Z = n) = P(X + Y = n)
= P ( fX = k; Y = n - kg)
= P(X = k; Y = n - k)
= P(X = k)P(Y = n - k)
= e-λ1 e-λ2
= λ 统(λ计1+n! e :λ2)-(λ1+λ2)
n
理
与
数
=
1
k
n
k
高
C
0
k
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
证明
且P(XY = 0) = 1.
(1) 求X与Y的联合分布律; (2) 问X与Y是否相互独立 为什么
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
例
X - 1 0
1
P 1/4 1/2
1/4 ;
Y 0
1
P 1/2
1/2
设随机变量X与Y的分布律分别为
注意到XY的所有可能取值为: - 1; 0; 1, 由P(XY = 0) = 1知
P(XY = - 1) = 0; P(XY = 1) = 0;
又{XY = - 1} = {X = - 1; Y = 1}; {XY = 1} = {X = 1; Y = 1}; 因此, 根据联合分布律与边缘分布律之间的关系, 易得X与Y的联 合分布律为
H 0 1
X H
H
- 1 1/4 0 1/4
0 0 1/2 1/2
1 1/4 0 1/4
1/2 1/2
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
HH Y
(2) 根据上述联合分布律及边缘分布律, 显然有
P(X = — 1; Y = 0) = · = P(X = — 1)P(Y = 0);
故X与Y不相互独立.
二维离散型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
设二维随机变量(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则Z = X + Y的分布函 数为
FZ(z) = P(Z z) = ll f (x; y)dxdy = l+ 1 llz yf (x; y)dx] dy:
x+y≤z
对任意y给定, 对积分 f (x; y)dx做变量代换, 令x = u - y得
lz-yf (x; y)dx = lz f (u - y;y)du;
y
lz
1
-
1
1
-
下面考虑二维连续型随机变量函数的分布, 先讨论和Z = X + Y的 情况.
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
设二维随机变量(X; Y)的密度函数为f (x; y), 则Z = X + Y的分布函 数为
FZ(z) = P(Z z) = ll f (x; y)dxdy = l+ 1 llz yf (x; y)dx] dy:
x+y≤z
对任意y给定, 对积分 f (x; y)dx做变量代换, 令x = u - y得
lz-yf (x; y)dx = lz f (u - y; y)du;
y
lz
1
-
1
1
-
下面考虑二维连续型随机变量函数的分布, 先讨论和Z = X + Y的 情况.
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
于是
(z) = l+ 1 llz f (u - y; y)du] dy = lz ll+ 1f (u - y; y)dy] du:
根据连续型随机变量的定义知, Z是连续型随机变量, 具有密度
fZ (z) = l+ 1f (z - y; y)dy: (3)
由X; Y的对称性, fZ (z)还可以写为
fZ (z) = l+ 1f (x; z -x)dx: (4)
1
1
1
1
1
1
FZ
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
特别地, 当X与Y相互独立时, (3)式和(4)式分别变为
fZ (z) = l+ 1fX (z - y)fY (y)dy.
及
fZ (z) = l+ 1fX (x)fY (z -x)dx.
(5)式和(6)式又称为fX 与fY 的卷积公式, 记作fX *fY .
1
1
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
(5)
(6)
设随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从标准正态分布N(0; 1), 试求 随机变量Z = X + Y 的密度.
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
例
由(6)式, 对任意z 2 R有
fZ (z) = l fX (x)fY (z — x)dx = e- · e- dx = e- + 1 e- (x- 2 dx:
令x — = 做变量代换得
1
1
1
+
1
1
+
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
fZ (z) =
即Z = X + Y
· e 4
N(0; 2).
l e- =
+1
e-
2π p2
1 - z2
-1
注
一般地, 设Xi N(μi; σ ); i = 1; 2; · · · ; n 相互独立, ki ; i = 1; 2; · · · ; n是一组不全为零的常数, 则有
N kiμi ; k σ ) .
i
2
i
2
i
2
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
kiXi
例
设随机变量X与Y相互独立, 密度函数分别为
fY (y) = { e , ,
求随机变量Z = X + Y的密度.
其他
y > 0
,
y
0
-
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
fX (x) = {
,
,
0
1
0 三 x 三 1, 其他;
由(6)式有
fZ (z) = l+ 1fX (x)fY (z -x)dx.
我们只需考虑上述积分中被积函数不为零的部分. 由fX (x) 与fY (y) 的定义知J 仅当
1
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
时J 上述积分的被积函数才不等于零.
{ ;
;
>
-
0
1
x
x
z
0
x 1; x < z;
{ 0
即
l zfX (x)fY (z -x)dx = l z e- (z-x)dx; 0 < z < 1; l 1fX (x)fY (z -x)dx = l 1 e- (z-x)dx; z ≥ 1;
0; 其他.
1 - e-z ; 0 < z < 1;
(e - 1)e-z ; z ≥ 1;
0; 其他.
0
0
0
0
因此
8 >
> > >
fZ (z) = 〈
>
>
>
>
( 8
〈 (
=
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
接下来我们考虑随机变量乘积的分布的问题.
例
0 三 x 三 2; 0 三 y 三 1;
其他.
f (x; y) = ;
;
试求随机变量Z = XY的密度函数fZ (z).
设二维随机变量(X; Y)的密度函数为
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
接下来我们考虑随机变量乘积的分布的问题.
例
0 三 x 三 2; 0 三 y 三 1;
其他.
f (x; y) = ;
;
试求随机变量Z = XY的密度函数fZ (z).
设二维随机变量(X; Y)的密度函数为
我们先求随机变量Z = XY的分布函数
FZ(z) = P(XY z) = ll f (x; y)dxdy:
xy z
由于密度函数f (x; y)在区域f(x; y)j0 x 2; 0 y 1g外为零, 因此, 当z 0 时, FZ(z) = 0; 当z ≥ 2时, FZ(z) = 1; 当0 < z < 2时
FZ(z) = l f (x; y)dxdy = 1-l (l x dy) dx = (1+ln 2-lnz):
z
2
z
z
/
1
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
故Z的密度函数为
f (z) = (ln 2 lnz); 0 2;
Z
其
< z
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
设(X; Y)是二维随机变量, 称M = max{X; Y}与N = min{X; Y}为 随机变量X 与Y 的最大值与最小值, 现在来求M及N的分布函 数FM(z) 与FN(z).
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
最后, 我们来考虑二维随机变量的最值的分布问题.
设(X; Y)是二维随机变量, 称M = max{X; Y}与N = min{X; Y}为 随机变量X 与Y 的最大值与最小值, 现在来求M及N的分布函 数FM(z) 与FN(z).
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
最后, 我们来考虑二维随机变量的最值的分布问题.
由于{M z} = {X z} \ {Y z}, 因此
FM(z) = P(M z) = P(X z; Y z).
若X与Y还是相互独立的, 则
FM(z) = P(X z)P(Y z) = FX(z)FY(z).
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
(7)
类似地, 由于{N > z} = {X > z} \ {Y > z} 可得N的分布函数为
FN(z) = P(N z) = 1 - P(N > z) = 1 - P(X > z; Y > z).
若X与Y还是相互独立的, 则
FN(z) = 1 - P(X > z)P(Y > z) = 1 - [1 - FX(z)][1 - FY(z)]. (8)
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
进一步地, 若X与Y还是同分布的, 具有相同的分布函数为F( · ), 则(7) 式与(8) 式分别变为
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
上述结果均可容易推广到n个随机变量的情况.
FM(z) = [F(z)]2 ;
FN(z) = 1 — [1 — F(z)]2 :
(9)
二维连续型随机变量的函数的分布
进一步地, 若X与Y还是同分布的, 具有相同的分布函数为F( · ), 则(7) 式与(8) 式分别变为
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
上述结果均可容易推广到n个随机变量的情况.
FM(z) = [F(z)]2 ;
FN(z) = 1 — [1 — F(z)]2 :
(9)
设某型号电子元件的使用寿命X(以小时记)近似服从N(50; 100)分 布, 现随机地选取4只, 试分别求这4只中没有一只寿命小于60小 时的概率及每只寿命都小于60小时的概率是多少
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
例
设选取的4只元件的寿命分别为X1 ; X2 ; X3 ; X4 , 则由题意知, Xi相互 独立且Xi N(50; 100); i = 1; 2; 3; 4. 记
M = max{X1 ; X2 ; X3 ; X4}; N = min{X1 ; X2 ; X3 ; X4}.
则这4只中没有一只寿命小于60小时的概率为
P(N > 60) = P(X1 > 60)P(X2 > 60)P(X3 > 60)P(X4 > 60) = [P(X > 60)]4 = [1 - P(X 60)]4 = [1 - (1)]4
= (1 - 0.8413)4 = 0.0006.
二维连续型随机变量的函数的分布
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二维连续型随机变量的函数的分布
x6 . 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解
另一方面, 这4只元件的使用寿命都小于60小时的概率为
P(M < 60) = P(X1 < 60)P(X2 < 60)P(X3 < 60)P(X4 < 60) = [P(X < 60)]4 = ( (1))4 = (0:8413)4 = 0:501:
二维连续型随机变量的函数的分布
二维离散型随机变量的函数的分布
二维连续型随机变量的函数的分布
x6: 随机变量的函数的分布
一维离散型随机变量的函数的分布 一维连续型随机变量的函数的分布 二维随机变量的函数的分布
解

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