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概率论与数理统计
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
1 二维离散型随机变量的条件分布
2 二维连续型随机变量的条件分布
x7: 条件分布
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
在第一章中我们知道, 条件概率也是概率. 因此, 在前面关于随机 变量的分布的讨论中, 若将其中的概率换为条件概率, 相应的结 论也成立, 这就是本节所介绍的条件分布. 由于在实际问题中, 有 些随机变量之间往往是相互影响的. 比如, 以随机变量X和Y分别 表示人的身高和体重, 则X和Y的取值之间存在一定的关系, 如果 弄清了X的条件分布随着Y值而变化的情况, 就能了解体重对身高 的影响. 这使得条件分布成为研究随机变量之间相依关系的一个 有力工具, 它在概率论与数理统计的许多分支中有着重要的应用.
二维离散型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
设(X; Y)是二维离散型随机变量, 具有分布律
P(X = xi ; Y = yj) = pij ; i; j 1:
相应的边缘分布律为
P(X = xi) = pij = pi · ; i 1; P(Y = yj) = pij = p ·j ; j 1:
二维离散型随机变量的条件分布
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
称(1)式为在Y = yj的条件下随机变量X 的条件分布律.
类似地, 对某给定的i, 若P(X = xi) = pi · > 0, 则由条件概率的定 义, 对任意j 1有,
对某给定的j, 若P(Y = yj) = p ·j > 0, 则由条件概率的定义, 对任 意i 1有,
二维离散型随机变量的条件分布
P(Y = yjjX = xi) = =
P(X = xijY = yj) = =
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
称(2)式为在X = xi的条件下随机变量Y 的条件分布律.
(2)
(1)
HH Y H X HH 0 1 2
0 0.2 0.1 0.1
0.4
1 0.1 0.2 0.3
0.6
0.3 0.3 0.4
试求: (1) 给定X = 1的条件下Y的条件分布律; (2) 给定Y = 0的 条件下X的条件分布律.
二维离散型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
例
设二维随机变量(X; Y)的分布律为
(1) 由(2)式可得
P(Y = 0jX = 1) = = P(Y = 1jX = 1) = = P(Y = 2jX = 1) = =
此, 给定X = 1的条件下Y的条件分布律为
二维离散型随机变量的条件分布
Y = k 0 1
2
P(Y = kjX = 1) 1/6 1/3
1/2
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
1
6 ; ;
1 2 :
(2) 由(1)式可得
P(X = 0jY = 0) = = P(X = 1jY = 0) = =
此, 给定Y = 0的条件下X的条件分布律为
二维离散型随机变量的条件分布
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
X = k 0
1
P(X = kjY = 0) 2/3
1/3
2
3 ; :
(1) (X; Y)的所有取值为(m; n); n = 2; 3; · · · ; m = 1; · · · ; n — 1, 且
P(X = m; Y = n)
= P(第m次和第n次击中; 其余n — 2次都没击中)
= p2 qn-2 ; n = 2; 3; · · · ; m = 1; 2; · · · ; n — 1. q = 1 — p.
一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), 射击直至 击中目标两次为止, 已知各次射击是相互独立的. 以X表示首次击 中目标所进行的射击的次数, 以Y表示总共进行的射击次数, 试求: (1) X与Y的联合分布律; (2) 条件分布律.
二维离散型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
例
(1) (X; Y)的所有取值为(m; n); n = 2; 3; · · · ; m = 1; · · · ; n — 1, 且
P(X = m; Y = n)
= P(第m次和第n次击中; 其余n — 2次都没击中)
= p2 qn-2 ; n = 2; 3; · · · ; m = 1; 2; · · · ; n — 1. q = 1 — p.
一射手进行射击, 每次击中目标的概率为p (0 < p < 1), 射击直至 击中目标两次为止, 已知各次射击是相互独立的. 以X表示首次击 中目标所进行的射击的次数, 以Y表示总共进行的射击次数, 试求: (1) X与Y的联合分布律; (2) 条件分布律.
二维离散型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
例
1
： P(X = m; Y = n)
n=m+1
1
： p2 qn-2 = pqm- 1 ; m = 1; 2; · · · ;
n=m+1
n- 1
： P(X = m; Y = n)
： p2 qn-2 = (n — 1)p2 qn-2 ; n = 2; 3; · · · :
m= 1
二维离散型随机变量的条件分布
P(X = m) =
=
P(Y = n) =
=
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
相应的边缘分布律为
m= 1 n- 1
(2) 当n = 2; 3; · · · 时,
P(X = mjY = n) = (n —p 1 n-2 = n —1 1 ; m = 1; 2; · · · ; n
当m = 1; 2; · · · 时,
2
q
2
p2
n-
)
q
P(Y = njX = m) = = pqn-m- 1 ; n = m + 1; m + 2; ·
二维离散型随机变量的条件分布
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
— 1:
· · :
该例中随机变量X服从几何分布J 这一点即使不用联合分布律也
能得到. 此外J 条件分布P(X = mjY = n) = 的意义在于: 在
已知第二次击中是在第n次射击的情况下J 第一次击中在前面
的n - 1中的任何一次都是等可能的; P(Y = njX = m) = pqn-m- 1 的意义在于: 在已知第一次击中是在第m次射击的情况下J 从
第m + 1 次开始又是一个几何分布的随机变量J 这正是几何分布 的无记忆性的体现.
二维离散型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
注
设二维连续型随机变量(X, Y)的密度函数为f (x, y), fX (x) 及fY (y) 分别是X与Y 的边缘概率密度. 对某y, 若fY (y) > 0, 称
P(X 三 xjY = y) = l dx (3)
为在Y = y 的条件下随机变量X的条件分布函数, 记作FX|Y(xjy). 比值 称为在Y = y 的条件下随机变量X的条件概率密度, 记 作fX|Y(xjy).
1
x
二维连续型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
定义
类似地可以定义, 对某x, 当fX (x) > 0时, 在X = x的条件下随机变
量Y的条件分布函数FYjX(yjx) = l dy及条件概率密 度fYjX(yjx) = .
1
y
二维连续型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
定义
f (x, y) = ,
求fXjY(xjy).
,
设随机变量(X, Y)在单位圆域{(x, y)jx2 + y2 三 1}上服从均匀分布, 即(X, Y)的密度函数为
二维连续型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
例
x2 + y2 三 1,
其他.
于是, 对任意- 1 < y < 1有
fXjY(xjy) = =〈
8
fY (y) = l+ 1f (x; y)dx =〈 ;
1
二维连续型随机变量的条件分布
x7: 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
解
由题意知, 随机变量Y的边缘概率密度函数为
^1 - y2 ;
其他.
- 1 y 1;
其他.
2 ^1 - y2 ;
0;
jxj
:
1
根据上述条件分布律或条件概率密度的定义知, 若随机变量X 与Y 相互独立, 则P(X = xijY = yj) = P(X = xi)
或fXjY(xjy) = fX (x), 即随机变量的取值之间没有影响.
二维连续型随机变量的条件分布
x7 . 条件分布 二维离散型随机变量的条件分布 二维连续型随机变量的条件分布
注

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