资源简介 (共56张PPT)概率论与数理统计离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计1 离散型随机变量的数学期望2 连续型随机变量的数学期望3 随机变量函数的数学期望4 数学期望的性质概率论与数理统计x1:数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质考虑某牌号手表的日走时误差(单位: s), 现观察了100只手表, 得 到数据如下表离散型随机变量的数学期望误差(s) - 1 0 12手表的只数 10 78 84离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质例试求该牌号手表的平均日走时误差.概率论与数理统计记误差的平均值为x, 则有x = (- 1) 根 10 + 0 根1 + 1 根 8 + 2 根 4 = 0:06 秒/日:显然, 上式还可以表示为x = (- 1) 根 + 0 根 + 1 根 + 2 根 :0078离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解概率论与数理统计其中的 ; ; ; 分别是出现误差- 1; 0; 1; 2时的频率. 我们知道J 当试验的次数越来越大时J 频率越来越稳定到概率. 因此J 如果知道该手表日走时误差的概率分布时J 类似于上述计算J 即 可得到该牌号手表真实的平均日走时误差J 这就是随机变量的期 望.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计设离散型随机变量X的分布律为P(X = xi) = pi , i ≥ 1,若级数: xipi绝对收敛, 即: jxijpi < +1, 则称: xipi为随机变i 1 i 1 i 1量X的数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) =: xipi. i 1离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定义概率论与数理统计期望反应了随机变量取值的平均, 故期望又称为均值. 在上述定义中, 级数: xipi的绝对收敛保证了E(X)的值不因xipi在级数中排 i 1列次序的改变而变化.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质注概率论与数理统计例设随机变量X服从退化分布: P(X = C) = 1, C为常数, 求E(X).解根据定义知E(X) = C 根 1 = C, 即常数的均值还是它自己.常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计例设随机变量X服从退化分布: P(X = C) = 1, C为常数, 求E(X).解根据定义知E(X) = C 根 1 = C, 即常数的均值还是它自己.常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计由X b(n;p)知, X的分布律为P(X = k) = C pk qn-k ; k = 0; 1; · · · ; n. q = 1 — p. 故E(X) = kC pk qn-k = np C pk- 1 q(n- 1)- (k- 1)= np(p + q)n- 1 = np.特别地, 当n = 1时, 0 — 1分布的期望E(X) = p.11--nknknk常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X b(n;p), 求E(X).解例概率论与数理统计由X b(n;p)知, X的分布律为P(X = k) = C pk qn-k ; k = 0; 1; · · · ; n. q = 1 — p. 故E(X) = kC pk qn-k = np C pk- 1 q(n- 1)- (k- 1)= np(p + q)n- 1 = np.特别地, 当n = 1时, 0 — 1分布的期望E(X) = p.11--nknknk常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X b(n;p), 求E(X).解例概率论与数理统计由X π(λ)知, X的分布律为故= λe-λ eλ = λ .P(X = k) = e-λ ; k = 0; 1; · · · .E(X) = k e-λ = λe-λ (kλ— )!k-11!kkλ!kkλ常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X π(λ), 求E(X).解例概率论与数理统计由X π(λ)知, X的分布律为故= λe-λ eλ = λ .P(X = k) = e-λ ; k = 0; 1; · · · .E(X) = k e-λ = λe-λ (kλ— )!k-11!kkλ!kkλ常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X π(λ), 求E(X).解例概率论与数理统计由X Ge(p)知, X的分布律为P(X = k) = pqk- 1 ; k = 1; 2; · · · . q = 1 — p.故E(X) = kpqk- 1 = p (qk)\ = p( qk)\k= 1( q )\=q1= p常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X Ge(p), 求E(X).解例(1 — q)2k= 1 1k= 1 p概率论与数理统计p=.由X Ge(p)知, X的分布律为P(X = k) = pqk- 1 ; k = 1; 2; · · · . q = 1 — p.故E(X) = kpqk- 1 = p (qk)\ = p( qk)\k= 1( q )\=q1= p常用离散型随机变量的期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X Ge(p), 求E(X).解例(1 — q)2k= 1 1k= 1 p概率论与数理统计p=.设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 若积分 xf (x)dx绝对 收敛, 即l+ 1 jxjf (x)dx < +1, 则称l+ 1 xf (x)dx为随机变量X的 数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) = xf (x)dx.11l+1111l+设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 则当Δx > 0充分小时, 随 机变量X的取值落在区间(x, x + Δx]内的概率近似地等于f (x)Δx, 故类似于离散型随机变量的数学期望的定义, 我们给出如下关于 连续型随机变量数学期望的定义.连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定义概率论与数理统计设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 若积分 xf (x)dx绝对 收敛, 即l+ 1 jxjf (x)dx < +1, 则称l+ 1 xf (x)dx为随机变量X的 数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) = xf (x)dx.11l+1111l+设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 则当Δx > 0充分小时, 随 机变量X的取值落在区间(x, x + Δx]内的概率近似地等于f (x)Δx, 故类似于离散型随机变量的数学期望的定义, 我们给出如下关于 连续型随机变量数学期望的定义.连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定义概率论与数理统计上述定义中积分绝对收敛意义的理解与离散型随机变量期望定义 中级数绝对收敛的解释一致.连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计常用连续型随机变量的数学期望E(X) = l x dx = · = .ba离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X U(a; b), 求E(X).解例!f (x) =〈 (U(a; b)知, X的密度函数为由X故a < x < b; 其他.b — a ; 0;概率论与数理统计1常用连续型随机变量的数学期望E(X) = l x dx = · = .ba离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X U(a; b), 求E(X).解例!f (x) =〈 (U(a; b)知, X的密度函数为由X故a < x < b; 其他.b — a ; 0;概率论与数理统计1上 均匀分布的均值是该区间的中点, 这也是均匀分布的本质体 现.常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质注概率论与数理统计由X E(λ)知, X的密度函数为f (x) = { λe λx ; ;故E(X) = l x λe-λxdx = -xe-λx' + l e-λxdx = .1+011+00+;其他x > 00-常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X E(λ), 求E(X).解例概率论与数理统计由X E(λ)知, X的密度函数为f (x) = { λe λx ; ;故E(X) = l x λe-λxdx = -xe-λx' + l e-λxdx = .1+011+00+;其他x > 00-常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X E(λ), 求E(X).解例概率论与数理统计由X N(μ; σ2 )知, X的密度函数为f (x) = p2πσe- 2σ2 ; x E R.先考虑E(X)的存在性. 考虑如下积分的收敛性I = l |x| e-11+常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X N(μ; σ2 ), 求E(X).解例1 (x- μ)2概率论与数理统计由X N(μ; σ2 )知, X的密度函数为f (x) = p2πσe- 2σ2 ; x E R.先考虑E(X)的存在性. 考虑如下积分的收敛性I = l |x| e-11+常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质设随机变量X N(μ; σ2 ), 求E(X).解例1 (x- μ)2概率论与数理统计解I = l jμ + σsj e- ;l+ 1 j e- l+ 1 σjsj= jμj + σ < +1;112μj11+常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质做变量代换, 令s = 得p2π e 2 ds;因此, 期望E(X)存在.概率论与数理统计1 -s2p2π令t = 对上式积分做变量代换得E(X) = l (μ + σt) e- = μ l e- dt = μ:11+11+故E(X) = l x e-11+常用连续型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解概率论与数理统计根据期望的定义, 需要指出的是, 因为级数或积分的不绝对收敛, 有些随机变量的期望的确是不存在的.数学期望的存在性问题离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质说明概率论与数理统计(1) 设随机变量X的分布律为P(X = ( — 1)n+1 = ; n = 1; 2; · · · .试讨论随机变量X的期望E(X)是否存在.(2) 设随机变量X的密度函数为f (x) = ; x 2 R.称X服从 西(Cauchy)分布. 试讨论随机变量X的期望E(X)是否 存在.数学期望的存在性问题离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质例概率论与数理统计(1) 由于jxnjpn = · =因此E(X)不存在.(2) 由于l jxjf (x)dx = l jxj dx =因此E(X)不存在.11+11+数学期望的存在性问题离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解l dx = +1;1+01n2 π= +1;概率论与数理统计(1) 由于jxnjpn = · =因此E(X)不存在.(2) 由于l jxjf (x)dx = l jxj dx =因此E(X)不存在.11+11+数学期望的存在性问题离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解l dx = +1;1+01n2 π= +1;概率论与数理统计实际应用中, 我们有时候还要考虑随机变量函数的数学期望的问 题. 当然, 我们可以先求出新的随机变量的分布, 再根据期望的定 义求出新随机变量的期望. 但事实上, 有时可以不求出新的随机 变量的分布, 运用如下两个定理的结论, 即可方便地求出新的随 机变量的期望.随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质说明概率论与数理统计(1) 设离散型随机变量X的分布律为P(X = xi) = pi ; i 1;y = g(x)是实值连续函数, 若级数 g(xi)pi绝对收敛, 则随机变量Y = g(X) 的期望存在, 且i 1Σ随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理1E(Y) = E(g(X)) = g(xi)pi.i 1Σ概率论与数理统计(1)(2) 设连续型随机变量X的密度函数为f (x), y = g(x)是实值连续函数, 若广义积分 g(x)f (x)dx绝对收敛, 则随机变量Y = g(X)的期望存在, 且E(Y) = E(g(X)) = l g(x)f (x)dx. (2)11+11l+随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理1概率论与数理统计(1) 设二维离散型随机变量(X; Y)的分布律为P(X = xi ; Y = yj) = pij ; i 1; j 1;z = g(x; y)是二元实值连续函数, 若级数 g(xi ; yj)pij绝对收敛,则随机变量Z = g(X; Y)的期望存在, 且j 1Σi 1Σ随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质E(Z) = E(g(X; Y)) = g(xi ; yj)pij.j 1Σi 1Σ定理2概率论与数理统计(3)(2) 设二维连续型随机变量(X; Y) 的密度函数为f (x; y), z = g(x; y)是二元实值连续函数, 若广义积分l+ 1 l+ 1 g(x; y)f (x; y)dxdy 绝对收敛, 则随机变量Z = g(X; Y) 的期望存在, 且11E(Z) = E(g(X; Y)) = l+ 1 l+ 1 g(x; y)f (x; y)dxdy. (4)11随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理2概率论与数理统计随机变量函数的数学期望X - 1 0 12P 0.1 0.3 0.20.4离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质例求随机变量Y = X2的期望.(2) 设随机变量X π(λ)J 试求E(X2).(1) 设随机变量X的分布律为概率论与数理统计(1) 根据定理1知E(Y) = (- 1)2 根 0:1 + 02 根 0:3 + 12 根 0:2 + 22 根 0:4 = 1:9:随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解概率论与数理统计(2) 根据定理1知E(X2) = k2 e-λ = k e-λ= (k - 1) e-λ + e-λ = λ2 e-λ + λ= λ2 + λ:随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解概率论与数理统计(1) 设随机变量X U(0, π), 求随机变量Y = sin X的期望.(2) 设随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从参数为1 的指数分布, 求随机变量Z = X + Y 的期望.随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质例概率论与数理统计f (x) = ;根据定理1可得;随机变量函数的数学期望E(Y) = l sin x · f (x)dx = l sin x · dx = :π011+离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解(1) 由X U(0; π)知X的密度函数为0 < x < π; 其他.概率论与数理统计(2) 由题意知, X, Y的密度函数分别为fX (x) = { e , , fY (y) = {又X与Y相互独立, 故X和Y的联合概率密度为f (x, y) = fX (x) · fY (y) = { e , xy)-0(x其他x > 00-随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解> 0, y > 0 其他.y > 0, 其他.e-y , 0,概率论与数理统计E(X + Y) = l+ 1 l+ 1 (x + y)f (x; y)dxdyl+1 l+1 (x + y)e- (x+y)dxdyl+1 xe-xdxl+1 e-ydy + l+1 e-xdxl+1 ye-ydy 2:00000011随机变量函数的数学期望离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解E(Z) ====根据定理2可得概率论与数理统计(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且E(kX + b) = kE(X) + b.下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质说明定理概率论与数理统计(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且E(kX + b) = kE(X) + b.下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质说明定理概率论与数理统计(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且E(kX + b) = kE(X) + b.下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质说明定理概率论与数理统计(3) 设(X; Y)是二维随机变量, 且E(X); E(Y)均存在, 则E(X + Y) 也 存在, 且E(X + Y) = E(X) + E(Y):显然, 该性质可推广到对任意有限个随机变量的情况.设n(n ≥ 2)为任一正整数, X1 ; X2 ; · · · ; Xn为个随机变量, 若E(X1), E(X1), · · · , E(Xn) 均存在, 则E(X1 + X2 + · · · + Xn) 也存在, 且E(X1 + X2 + · · · + Xn) = E(X1) + E(X1) + · · · + E(Xn):数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理概率论与数理统计(3) 设(X; Y)是二维随机变量, 且E(X); E(Y)均存在, 则E(X + Y) 也 存在, 且E(X + Y) = E(X) + E(Y):显然, 该性质可推广到对任意有限个随机变量的情况.设n(n ≥ 2)为任一正整数, X1 ; X2 ; · · · ; Xn为个随机变量, 若E(X1), E(X1), · · · , E(Xn) 均存在, 则E(X1 + X2 + · · · + Xn) 也存在, 且E(X1 + X2 + · · · + Xn) = E(X1) + E(X1) + · · · + E(Xn):数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理概率论与数理统计(4) 设(X; Y)是二维随机变量, 随机变量X 与随机变量Y 相互独立,且E(X), E(Y) 均存在, 则E(XY) 也存在, 且E(XY) = E(X)E(Y).数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质定理概率论与数理统计定理中的(2); (3)表明期望对线性运算具有封闭性. 此外J (4)中随 机变量X与Y的独立性只是使得等式E(XY) = E(X)E(Y)成立的一 个充分条件J 而非必要条件J 反例如下.数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质注概率论与数理统计HH Y H X HH - 1 0 1- 1 1/8 1/8 1/83/80 1/8 0 1/81/41 1/8 1/8 1/83/83/8 1/4 3/8数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质反例设随机变量(X; Y)的分布律为概率论与数理统计由于P(X = — 1; Y = — 1) = · = P(X = — 1)P(Y = — 1);因此, 随机变量X与Y不相互独立. 但显然有E(X) = E(Y) = 0 及E(XY) = 0, 即等式E(XY) = E(X)E(Y)成立.数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质反例概率论与数理统计最后, 我们看一个具体的运用数学期望的性质来解决问题的例子, 巧妙地运用期望的性质, 起到事半功倍的效果, 请读者仔细体会, 若先求X的分布会怎么样 数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质概率论与数理统计将n 只球(1 n 号)随机地放进n 个盒子(1 n号)中去, 一个盒子 装一只球. 若一只球装入与球同号的盒子中, 称为一个配对. 记X 为总的配对数, 求E(X).数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质例概率论与数理统计数学期望的性质记Xi = { 第i号球否则,装入第;;01离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质解则P(Xi = 1) = ; P(Xi = 0) = 1— ; i = 1; 2; · · · ; n; 且X = Xi:i = 1; 2; · · · ; n:i号盒子,概率论与数理统计显然E(Xi) = ; i = 1; 2; · · · ; E(X) =数学期望的性质离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质n. 因此E(Xi) = = 1:解概率论与数理统计 展开更多...... 收起↑ 资源预览