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概率论与数理统计
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
1 离散型随机变量的数学期望
2 连续型随机变量的数学期望
3 随机变量函数的数学期望
4 数学期望的性质
概率论与数理统计
x1:数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
考虑某牌号手表的日走时误差(单位: s), 现观察了100只手表, 得 到数据如下表
离散型随机变量的数学期望
误差(s) - 1 0 1
2
手表的只数 10 78 8
4
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
例
试求该牌号手表的平均日走时误差.
概率论与数理统计
记误差的平均值为x, 则有
x = (- 1) 根 10 + 0 根1 + 1 根 8 + 2 根 4 = 0:06 秒/日:
显然, 上式还可以表示为
x = (- 1) 根 + 0 根 + 1 根 + 2 根 :
00
78
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
概率论与数理统计
其中的 ; ; ; 分别是出现误差- 1; 0; 1; 2时的频率. 我
们知道J 当试验的次数越来越大时J 频率越来越稳定到概率. 因此J 如果知道该手表日走时误差的概率分布时J 类似于上述计算J 即 可得到该牌号手表真实的平均日走时误差J 这就是随机变量的期 望.
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
设离散型随机变量X的分布律为
P(X = xi) = pi , i ≥ 1,
若级数： xipi绝对收敛, 即： jxijpi < +1, 则称： xipi为随机变
i 1 i 1 i 1
量X的数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) =： xipi. i 1
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定义
概率论与数理统计
期望反应了随机变量取值的平均, 故期望又称为均值. 在上述定
义中, 级数： xipi的绝对收敛保证了E(X)的值不因xipi在级数中排 i 1
列次序的改变而变化.
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
注
概率论与数理统计
例
设随机变量X服从退化分布: P(X = C) = 1, C为常数, 求E(X).
解
根据定义知E(X) = C 根 1 = C, 即常数的均值还是它自己.
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
例
设随机变量X服从退化分布: P(X = C) = 1, C为常数, 求E(X).
解
根据定义知E(X) = C 根 1 = C, 即常数的均值还是它自己.
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
由X b(n;p)知, X的分布律
为P(X = k) = C pk qn-k ; k = 0; 1; · · · ; n. q = 1 — p. 故
E(X) = kC pk qn-k = np C pk- 1 q(n- 1)- (k- 1)
= np(p + q)n- 1 = np.
特别地, 当n = 1时, 0 — 1分布的期望E(X) = p.
1
1
-
-
n
k
n
k
n
k
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X b(n;p), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X b(n;p)知, X的分布律
为P(X = k) = C pk qn-k ; k = 0; 1; · · · ; n. q = 1 — p. 故
E(X) = kC pk qn-k = np C pk- 1 q(n- 1)- (k- 1)
= np(p + q)n- 1 = np.
特别地, 当n = 1时, 0 — 1分布的期望E(X) = p.
1
1
-
-
n
k
n
k
n
k
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X b(n;p), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X π(λ)知, X的分布律为
故
= λe-λ eλ = λ .
P(X = k) = e-λ ; k = 0; 1; · · · .
E(X) = k e-λ = λe-λ (kλ— )!
k-
1
1
!
k
k
λ
!
k
k
λ
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X π(λ), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X π(λ)知, X的分布律为
故
= λe-λ eλ = λ .
P(X = k) = e-λ ; k = 0; 1; · · · .
E(X) = k e-λ = λe-λ (kλ— )!
k-
1
1
!
k
k
λ
!
k
k
λ
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X π(λ), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X Ge(p)知, X的分布律为
P(X = k) = pqk- 1 ; k = 1; 2; · · · . q = 1 — p.
故
E(X) = kpqk- 1 = p (qk)\ = p( qk)\
k= 1
( q )\
=
q
1
= p
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X Ge(p), 求E(X).
解
例
(1 — q)2
k= 1 1
k= 1 p
概率论与数理统计
p
=
.
由X Ge(p)知, X的分布律为
P(X = k) = pqk- 1 ; k = 1; 2; · · · . q = 1 — p.
故
E(X) = kpqk- 1 = p (qk)\ = p( qk)\
k= 1
( q )\
=
q
1
= p
常用离散型随机变量的期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X Ge(p), 求E(X).
解
例
(1 — q)2
k= 1 1
k= 1 p
概率论与数理统计
p
=
.
设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 若积分 xf (x)dx绝对 收敛, 即l+ 1 jxjf (x)dx < +1, 则称l+ 1 xf (x)dx为随机变量X的 数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) = xf (x)dx.
1
1
l+
1
1
1
1
l+
设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 则当Δx > 0充分小时, 随 机变量X的取值落在区间(x, x + Δx]内的概率近似地等于f (x)Δx, 故类似于离散型随机变量的数学期望的定义, 我们给出如下关于 连续型随机变量数学期望的定义.
连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定义
概率论与数理统计
设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 若积分 xf (x)dx绝对 收敛, 即l+ 1 jxjf (x)dx < +1, 则称l+ 1 xf (x)dx为随机变量X的 数学期望, 简称期望, 记作E(X), 即E(X) = xf (x)dx.
1
1
l+
1
1
1
1
l+
设连续型随机变量X的密度函数为f (x), 则当Δx > 0充分小时, 随 机变量X的取值落在区间(x, x + Δx]内的概率近似地等于f (x)Δx, 故类似于离散型随机变量的数学期望的定义, 我们给出如下关于 连续型随机变量数学期望的定义.
连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定义
概率论与数理统计
上述定义中积分绝对收敛意义的理解与离散型随机变量期望定义 中级数绝对收敛的解释一致.
连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
常用连续型随机变量的数学期望
E(X) = l x dx = · = .
b
a
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X U(a; b), 求E(X).
解
例
!
f (x) =〈 (
U(a; b)知, X的密度函数为
由X
故
a < x < b; 其他.
b — a ; 0;
概率论与数理统计
1
常用连续型随机变量的数学期望
E(X) = l x dx = · = .
b
a
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X U(a; b), 求E(X).
解
例
!
f (x) =〈 (
U(a; b)知, X的密度函数为
由X
故
a < x < b; 其他.
b — a ; 0;
概率论与数理统计
1
上 均匀分布的均值是该区间的中点, 这也是均匀分布的本质体 现.
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
注
概率论与数理统计
由X E(λ)知, X的密度函数为
f (x) = { λe λx ; ;
故
E(X) = l x λe-λxdx = -xe-λx' + l e-λxdx = .
1
+
0
1
1
+
0
0
+
;
其他
x > 0
0
-
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X E(λ), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X E(λ)知, X的密度函数为
f (x) = { λe λx ; ;
故
E(X) = l x λe-λxdx = -xe-λx' + l e-λxdx = .
1
+
0
1
1
+
0
0
+
;
其他
x > 0
0
-
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X E(λ), 求E(X).
解
例
概率论与数理统计
由X N(μ; σ2 )知, X的密度函数为
f (x) = p2πσe- 2σ2 ; x E R.
先考虑E(X)的存在性. 考虑如下积分的收敛性
I = l |x| e-
1
1
+
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X N(μ; σ2 ), 求E(X).
解
例
1 (x- μ)2
概率论与数理统计
由X N(μ; σ2 )知, X的密度函数为
f (x) = p2πσe- 2σ2 ; x E R.
先考虑E(X)的存在性. 考虑如下积分的收敛性
I = l |x| e-
1
1
+
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
设随机变量X N(μ; σ2 ), 求E(X).
解
例
1 (x- μ)2
概率论与数理统计
解
I = l jμ + σsj e- ;
l+ 1 j e- l+ 1 σjsj
= jμj + σ < +1;
1
1
2
μj
1
1
+
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
做变量代换, 令s = 得
p2π e 2 ds;
因此, 期望E(X)存在.
概率论与数理统计
1 -s2
p2π
令t = 对上式积分做变量代换得
E(X) = l (μ + σt) e- = μ l e- dt = μ:
1
1
+
1
1
+
故
E(X) = l x e-
1
1
+
常用连续型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
概率论与数理统计
根据期望的定义, 需要指出的是, 因为级数或积分的不绝对收敛, 有些随机变量的期望的确是不存在的.
数学期望的存在性问题
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
说明
概率论与数理统计
(1) 设随机变量X的分布律为
P（X = ( — 1)n+1 = ; n = 1; 2; · · · .
试讨论随机变量X的期望E(X)是否存在.
(2) 设随机变量X的密度函数为
f (x) = ; x 2 R.
称X服从 西(Cauchy)分布. 试讨论随机变量X的期望E(X)是否 存在.
数学期望的存在性问题
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
例
概率论与数理统计
(1) 由于
jxnjpn = · =
因此E(X)不存在.
(2) 由于
l jxjf (x)dx = l jxj dx =
因此E(X)不存在.
1
1
+
1
1
+
数学期望的存在性问题
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
l dx = +1;
1
+
0
1
n
2 π
= +1;
概率论与数理统计
(1) 由于
jxnjpn = · =
因此E(X)不存在.
(2) 由于
l jxjf (x)dx = l jxj dx =
因此E(X)不存在.
1
1
+
1
1
+
数学期望的存在性问题
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
l dx = +1;
1
+
0
1
n
2 π
= +1;
概率论与数理统计
实际应用中, 我们有时候还要考虑随机变量函数的数学期望的问 题. 当然, 我们可以先求出新的随机变量的分布, 再根据期望的定 义求出新随机变量的期望. 但事实上, 有时可以不求出新的随机 变量的分布, 运用如下两个定理的结论, 即可方便地求出新的随 机变量的期望.
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
说明
概率论与数理统计
(1) 设离散型随机变量X的分布律为
P(X = xi) = pi ; i 1;
y = g(x)是实值连续函数, 若级数 g(xi)pi绝对收敛, 则随机变
量Y = g(X) 的期望存在, 且
i 1
Σ
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理1
E(Y) = E(g(X)) = g(xi)pi.
i 1
Σ
概率论与数理统计
(1)
(2) 设连续型随机变量X的密度函数为f (x), y = g(x)是实值连续函
数, 若广义积分 g(x)f (x)dx绝对收敛, 则随机变量Y = g(X)的
期望存在, 且
E(Y) = E(g(X)) = l g(x)f (x)dx. (2)
1
1
+
1
1
l+
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理1
概率论与数理统计
(1) 设二维离散型随机变量(X; Y)的分布律为
P(X = xi ; Y = yj) = pij ; i 1; j 1;
z = g(x; y)是二元实值连续函数, 若级数 g(xi ; yj)pij绝对收敛,
则随机变量Z = g(X; Y)的期望存在, 且
j 1
Σ
i 1
Σ
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
E(Z) = E(g(X; Y)) = g(xi ; yj)pij.
j 1
Σ
i 1
Σ
定理2
概率论与数理统计
(3)
(2) 设二维连续型随机变量(X; Y) 的密度函数为f (x; y), z = g(x; y)
是二元实值连续函数, 若广义积分l+ 1 l+ 1 g(x; y)f (x; y)dxdy 绝
对收敛, 则随机变量Z = g(X; Y) 的期望存在, 且
1
1
E(Z) = E(g(X; Y)) = l+ 1 l+ 1 g(x; y)f (x; y)dxdy. (4)
1
1
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理2
概率论与数理统计
随机变量函数的数学期望
X - 1 0 1
2
P 0.1 0.3 0.2
0.4
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
例
求随机变量Y = X2的期望.
(2) 设随机变量X π(λ)J 试求E(X2).
(1) 设随机变量X的分布律为
概率论与数理统计
(1) 根据定理1知
E(Y) = (- 1)2 根 0:1 + 02 根 0:3 + 12 根 0:2 + 22 根 0:4 = 1:9:
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
概率论与数理统计
(2) 根据定理1知
E(X2) = k2 e-λ = k e-λ
= (k - 1) e-λ + e-λ = λ2 e-λ + λ
= λ2 + λ:
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
概率论与数理统计
(1) 设随机变量X U(0, π), 求随机变量Y = sin X的期望.
(2) 设随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从参数为1 的指数分布, 求随机变量Z = X + Y 的期望.
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
例
概率论与数理统计
f (x) = ;
根据定理1可得
;
随机变量函数的数学期望
E(Y) = l sin x · f (x)dx = l sin x · dx = :
π
0
1
1
+
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
(1) 由X U(0; π)知X的密度函数为
0 < x < π; 其他.
概率论与数理统计
(2) 由题意知, X, Y的密度函数分别为
fX (x) = { e , , fY (y) = {
又X与Y相互独立, 故X和Y的联合概率密度为
f (x, y) = fX (x) · fY (y) = { e , x
y)
-
0
(x
其他
x > 0
0
-
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
> 0, y > 0 其他.
y > 0, 其他.
e-y , 0,
概率论与数理统计
E(X + Y) = l+ 1 l+ 1 (x + y)f (x; y)dxdy
l+1 l+1 (x + y)e- (x+y)dxdy
l+1 xe-xdxl+1 e-ydy + l+1 e-xdxl+1 ye-ydy 2:
0
0
0
0
0
0
1
1
随机变量函数的数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
E(Z) =
=
=
=
根据定理2可得
概率论与数理统计
(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.
(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且
E(kX + b) = kE(X) + b.
下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
说明
定理
概率论与数理统计
(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.
(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且
E(kX + b) = kE(X) + b.
下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
说明
定理
概率论与数理统计
(1) 设a; b为常数, 若a 三 X 三 b, 则E(X)存在, 且a 三 E(X) 三 b. 特 别地, 当a = b = C时, E(C) = C.
(2) 设随机变量X的期望E(X)存在, k; b为常数, 则E(kX + b)也存 在, 且
E(kX + b) = kE(X) + b.
下面我们列出数学期望的几条重要的性质, 熟练地掌握并运用这 些性质, 在处理有关问题时会方便很多.
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
说明
定理
概率论与数理统计
(3) 设(X; Y)是二维随机变量, 且E(X); E(Y)均存在, 则E(X + Y) 也 存在, 且
E(X + Y) = E(X) + E(Y):
显然, 该性质可推广到对任意有限个随机变量的情况.
设n(n ≥ 2)为任一正整数, X1 ; X2 ; · · · ; Xn为个随机变量, 若E(X1), E(X1), · · · , E(Xn) 均存在, 则E(X1 + X2 + · · · + Xn) 也存在, 且
E(X1 + X2 + · · · + Xn) = E(X1) + E(X1) + · · · + E(Xn):
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理
概率论与数理统计
(3) 设(X; Y)是二维随机变量, 且E(X); E(Y)均存在, 则E(X + Y) 也 存在, 且
E(X + Y) = E(X) + E(Y):
显然, 该性质可推广到对任意有限个随机变量的情况.
设n(n ≥ 2)为任一正整数, X1 ; X2 ; · · · ; Xn为个随机变量, 若E(X1), E(X1), · · · , E(Xn) 均存在, 则E(X1 + X2 + · · · + Xn) 也存在, 且
E(X1 + X2 + · · · + Xn) = E(X1) + E(X1) + · · · + E(Xn):
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理
概率论与数理统计
(4) 设(X; Y)是二维随机变量, 随机变量X 与随机变量Y 相互独立,
且E(X), E(Y) 均存在, 则E(XY) 也存在, 且
E(XY) = E(X)E(Y).
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
定理
概率论与数理统计
定理中的(2); (3)表明期望对线性运算具有封闭性. 此外J (4)中随 机变量X与Y的独立性只是使得等式E(XY) = E(X)E(Y)成立的一 个充分条件J 而非必要条件J 反例如下.
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
注
概率论与数理统计
HH Y H X HH - 1 0 1
- 1 1/8 1/8 1/8
3/8
0 1/8 0 1/8
1/4
1 1/8 1/8 1/8
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数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
反例
设随机变量(X; Y)的分布律为
概率论与数理统计
由于
P(X = — 1; Y = — 1) = · = P(X = — 1)P(Y = — 1);
因此, 随机变量X与Y不相互独立. 但显然有E(X) = E(Y) = 0 及E(XY) = 0, 即等式E(XY) = E(X)E(Y)成立.
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
反例
概率论与数理统计
最后, 我们看一个具体的运用数学期望的性质来解决问题的例子, 巧妙地运用期望的性质, 起到事半功倍的效果, 请读者仔细体会, 若先求X的分布会怎么样
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
概率论与数理统计
将n 只球(1 n 号)随机地放进n 个盒子(1 n号)中去, 一个盒子 装一只球. 若一只球装入与球同号的盒子中, 称为一个配对. 记X 为总的配对数, 求E(X).
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
例
概率论与数理统计
数学期望的性质
记
Xi = { 第i号球
否则,
装入第
;
;
0
1
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
解
则P(Xi = 1) = ; P(Xi = 0) = 1
— ; i = 1; 2; · · · ; n; 且
X = Xi:
i = 1; 2; · · · ; n:
i号盒子,
概率论与数理统计
显然E(Xi) = ; i = 1; 2; · · · ; E(X) =
数学期望的性质
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质
n. 因此
E(Xi) = = 1:
解
概率论与数理统计

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