资源简介

(共40张PPT)
概率论与数理统计
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
x2: 方差
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
1 方差的定义
2 方差的性质
概率论与数理统计
前一节, 我们介绍了随机变量的第一个数字特征: 数学期望. 实际 问题中,在涉及到随机变量之间的比较的时候, 有时用期望就够
了, 但还有一些情况就不一定了, 我们先看一个例子.
背景
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
有甲、 乙两种牌号的手表, 记它们的日走时误差(单位: s)分别记 为X 和Y, 具有如下分布律
X - 1 0 1
背景
P 0:1 0:8 0:1
Y -2 - 1 0 1 2
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
P 0:1 0:2 0:4 0:2 0:1
概率论与数理统计
显然E(X) = E(Y) = 0J 因此J 从平均的日走时误差已经不能比较 这两种手表的好坏了. 但从他们的分布律可以初步判断: 甲种牌 号的手表比乙种的要好些. 可以从两方面来看这个问题J 首先J 乙 中牌号的误差值更大J 达到了 2秒J 而甲只有 1秒; 另一方面J 甲 走的不准的概率只有20%J 而乙有60%. 简单地说J 乙种牌号的手 表的日走时误差偏离平均值的程度更大一些. 用来刻画随机变量 的取值偏离平均值的程度的量就是本节所要考虑的随机变量的另 一个重要的数字特征: 方差J 下面首先给出方差的定义.
背景
分析
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
设X是随机变量, 若E(X - E(X))2存在, 则称E(X - E(X))2 为X的方 差, 记作D(X)或Var(X), 即
D(X) = Var(X) = E(X - E(X))2 :
称“D(X)为X的标准差或均方差.
方差的定义
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定义
概率论与数理统计
设X是随机变量, 若E(X - E(X))2存在, 则称E(X - E(X))2 为X的方 差, 记作D(X)或Var(X), 即
D(X) = Var(X) = E(X - E(X))2 :
称“D(X)为X的标准差或均方差.
方差的定义
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定义
概率论与数理统计
(1) 从方差的定义可知, 随机变量X的方差或标准差反映了随机变 量X的取值偏离其期望的程度, 或简 为反映随机变量X的取值的 分散程度, 方差D(X)越小, 则随机变量的取值越集中在期望的附 近.
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
注
概率论与数理统计
(2) 设函数g(x) = (x - E(X))2 , 则方差实际上是E(g(X)), 根据上一 节关于随机变量函数的数学期望的定理 , 即可计算出相应分布 的方差. 但更多的时候, 是按照下列公式来计算方差的, 即
D(X) = E(X2) - (E(X))2 .
事实上, 由数学期望的性质即得
D(X) = E(X - E(X))2 = E(X2 - 2XE(X) + (E(X))2 )
= E(X2) - 2E(X)E(X) + (E(X))2 = E(X2) - (E(X))2 .
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
注
概率论与数理统计
(2) 设函数g(x) = (x - E(X))2 , 则方差实际上是E(g(X)), 根据上一 节关于随机变量函数的数学期望的定理 , 即可计算出相应分布 的方差. 但更多的时候, 是按照下列公式来计算方差的, 即
D(X) = E(X2) - (E(X))2 .
事实上, 由数学期望的性质即得
D(X) = E(X - E(X))2 = E(X2 - 2XE(X) + (E(X))2 )
= E(X2) - 2E(X)E(X) + (E(X))2 = E(X2) - (E(X))2 .
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
注
概率论与数理统计
由于E(X) = p, 又
E(X2) = 12 · p + 02 · (1 — p) = p;
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = p — p2 = p(1 — p):
例
设随机变量X b(1; p), 即X服从0 — 1分布, 求D(X).
下面我们看一些具体的求随机变量方差的例子.
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
由于E(X) = p, 又
E(X2) = 12 · p + 02 · (1 — p) = p;
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = p — p2 = p(1 — p):
例
设随机变量X b(1; p), 即X服从0 — 1分布, 求D(X).
下面我们看一些具体的求随机变量方差的例子.
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
由于E(X) = p, 又
E(X2) = 12 · p + 02 · (1 — p) = p;
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = p — p2 = p(1 — p):
例
设随机变量X b(1; p), 即X服从0 — 1分布, 求D(X).
下面我们看一些具体的求随机变量方差的例子.
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
由于
E(X) = λ; E(X2) = λ2 + λ;
故
D(X) = E(X2) - (E(X))2 = λ2 + λ - λ2 = λ:
设随机变量X π(λ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
由于
E(X) = λ; E(X2) = λ2 + λ;
故
D(X) = E(X2) - (E(X))2 = λ2 + λ - λ2 = λ:
设随机变量X π(λ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
由于E(X) = , 又
E(X2) = l x2 · dx = ;
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = — 2 = :
b
a
设随机变量X U(a; b), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
由于E(X) = , 又
E(X2) = l x2 · dx = ;
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = — 2 = :
b
a
设随机变量X U(a; b), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
由于E(X) = , 又
E(X2) = l x2 · λe-λxdx = —x2 e-λx' + 2 l xe-λxdx = ;
1
0
1
+
0
0
1
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = — = :
设随机变量X E(λ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
由于E(X) = , 又
E(X2) = l x2 · λe-λxdx = —x2 e-λx' + 2 l xe-λxdx = ;
1
0
1
+
0
0
1
因此
D(X) = E(X2) — (E(X))2 = — = :
设随机变量X E(λ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
我们根据方差的定义来求D(X), 由于E(X) = μ , 因此
D(X) = E(X — μ)2 = l (x — μ)2 · e- ; 在上式中, 令t = 作变量代换得
1
1
+
设随机变量X N(μ; σ2 ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
我们根据方差的定义来求D(X), 由于E(X) = μ , 因此
D(X) = E(X — μ)2 = l (x — μ)2 · e- ; 在上式中, 令t = 作变量代换得
1
1
+
设随机变量X N(μ; σ2 ), 求D(X).
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
D(X) = E(X — μ)2 = l σ2 t2 · e- · σdt = + 1 t2 e- dt
= —t · e- + l e- ]
= + 1 e- = σ2 :
1
1
1
+
+
1
1
1
1
1
+
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
(1) 设C是常数, 则D(C) = 0.
(2) 设随机变量X的方差D(X)存在, a; b为常数, 则D(aX + b)存在, 且
D(aX + b) = a2D(X):
接下来我们给出方差的一些重要的性质.
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定理
概率论与数理统计
(1) 设C是常数, 则D(C) = 0.
(2) 设随机变量X的方差D(X)存在, a; b为常数, 则D(aX + b)存在, 且
D(aX + b) = a2D(X):
接下来我们给出方差的一些重要的性质.
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定理
概率论与数理统计
(1) 设C是常数, 则D(C) = 0.
(2) 设随机变量X的方差D(X)存在, a; b为常数, 则D(aX + b)存在, 且
D(aX + b) = a2D(X):
接下来我们给出方差的一些重要的性质.
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定理
概率论与数理统计
(3) 设随机变量X及Y的方差D(X)与D(Y)都存在, 则D(X 干 Y)存在, 且 D(X 干 Y) = D(X) + D(Y) 干 2E((X — E(X))(Y — E(Y))): 特别 地, 当X与Y相互独立时
D(X 干 Y) = D(X) + D(Y):
进一步地, 该性质可推广到任意有限个随机变量的情况.
设n(n ≥ 2)为任一正整数, X1 ; X2 ; · · · ; Xn为n个相互独立的随机变 量, 若D(X1), D(X1), · · · , D(Xn) 均存在, 则D(X1 + X2 + · · · + Xn) 也存在, 且
D(X1 + X2 + · · · + Xn) = D(X1) + D(X1) + · · · + D(Xn):
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定理
概率论与数理统计
(4) D(X) = 0的充要条件是存在常数C, 使得
P(X = C) = 1:
显然, 当C存在时, C = E(X).
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
定理
概率论与数理统计
随机变量X与Y的独立性也只是使得等式D(X Y) = D(X) + D(Y) 成立的一个充分条件, 但非必要条件, 反例同前.
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
注
概率论与数理统计
设随机变量X与Y相互独立, 且X N(- 1; 5), Y N(0; 4), 试求:
(1) U = 2X + Y - 1, V = Y - X的分布;
(2) P(Y > X + 1); P(X + Y 2).
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
(1) 由随机变量X与Y相互独立知, X与Y的任意线性组合均服从正 态分布, 从而, U; V均服从正态分布. 根据正态分布的参数的意 义, 我们只需分别求出U; V的期望和方差. 事实上
E(U) = 2E(X) + E(Y) - 1 = -3; D(U) = 4D(X) + D(Y) = 24; E(V) = E(Y) - E(X) = 1; D(V) = D(Y) + D(X) = 9;
因此
U N(-3; 24); V N(1; 9):
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
(2) 注意到Y - X N(1; 9); X + Y N(- 1; 9), 因此
P(Y > X + 1) = P(Y - X > 1) = 1 - P(Y - X 1)
= 1 - Φ(0) = 0:5;
P(X + Y 2) = Φ = Φ(1) = 0:8413:
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
设随机变量X b(n;p), 求D(X).
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
下面, 我们给出一个运用方差的性质来求方差的一个典型的问题.
概率论与数理统计
设随机变量X b(n;p), 求D(X).
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
例
下面, 我们给出一个运用方差的性质来求方差的一个典型的问题.
概率论与数理统计
n
则X1 ; X2 ; · · · ; Xn相互独立, 服从同一分布b(1; p), 且X = ： Xi. 又, i= 1
D(Xi) = p(1 — p); i = 1; 2; · · · ; n;
由二项分布的定义知, X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数, 其中A在每次试验中发生的概率均为p. 记
解
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
事件A在第i次试验中发生, 事件A在第i次试验中不发生.
= {
Xi
;
;
0
1
i = 1; 2; · · · ; n.
概率论与数理统计
因此, 根据方差的性质
D(X) = D Xi ) = D(Xi) = np(1 - p):
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计
"2
或
P(jX - E(X)j < ") ≥ 1 - D(X) :
切比雪夫(Chebyshev)不等式
最后, 0绍一个重要的不等式.
切比雪夫(Chebyshev)不等式
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
设随机变量X的期望E(X)及方差D(X)均存在, 则对任意" > 0有
P(jX - E(X)j ≥ ") D(X) :
(1)
(2)
概率论与数理统计
"2
"2
或
P(jX - E(X)j < ") ≥ 1 - D(X) :
切比雪夫(Chebyshev)不等式
最后, 0绍一个重要的不等式.
切比雪夫(Chebyshev)不等式
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
设随机变量X的期望E(X)及方差D(X)均存在, 则对任意" > 0有
P(jX - E(X)j ≥ ") D(X) :
(1)
(2)
概率论与数理统计
"2
切比雪夫不等式的意义在于, 只需根据随机变量的两个数字特征: 期望和方差, 即可对随机变量的取值偏离均值超过"做一个估计, 却不涉及到X的分布. 但需指出的是, 正是因为不涉及X的分布, 用 切比雪夫估计出的值是比较粗糙的, 比如, 设X N(μ; σ2 ), 根
据3σ 准则, P(|X μ| ≥ 3σ) ≈ 0.003;
但由切比雪夫不等式
因此切比雪夫不等式只是在一些对精度要求不太高的情况下使用 起来比较方便.
切比雪夫(Chebyshev)不等式
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
注
P(|X μ| ≥ 3σ) ≤ = ;
概率论与数理统计
一加法器同时收到20个噪声电压Vk , k = 1, 2, · · · , 20, 设它们是相 互独立的随机变量, 且都在区间(0, 10)上服从均匀分布,
20
记V = ： Vk , 试用切比雪夫不等式估计P(80 < V < 120)的值. k= 1
切比雪夫(Chebyshev)不等式
x2 . 方差 方差的定义 方差的性质
例
概率论与数理统计
易知, E(Vk) = 5; D(Vk) = 100/12; k = 1; 2; · · · ; 20, 因此
E(V) = 20 X 5 = 100; D(V) = 20 X = :
故由切比雪夫不等式
P(80 < V < 120) = P(j V — 100j < 20) ≥ 1 — 5 3 = :
12
7
0
0
2
0
切比雪夫(Chebyshev)不等式
解
x2: 方差 方差的定义 方差的性质
概率论与数理统计

展开更多......

收起↑