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概率论与数理统计
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
1 贝努利大数定律
2 切比雪夫大数定律 3 辛钦大数定律
x1:大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
设nA 为n重贝努利试验中事件A发生的频数, 每次试验中A发生的 概率为p, 则对于任意正数ε > 0, 有
P ( ' - p' < ε) = 1, (1)
或
P ( ' - p' ≥ ε) = 0.
n
n
贝努利大数定律
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
显然nA b(n, p), 从而E(nA ) = np, D(nA ) = np(1 - p), 故
E ( ) = p, D ( ) = .
对任意ε > 0, 由切比雪夫不等式有
P ( ' - p' < ε) ≥ 1 - .
在上式中令n! 1, 结合概率的规范性, 即得(1)式成立.
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
证明
概率论与数理统计
贝努利大数定律的结果表明J 对任意的正数ε J 当n充分大时J 事
件“频率与概率的偏差小于ε" 实际上几乎是必然发生的. 这也是人 们在实际应用中常用频率来代替概率的原因.
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
注
概率论与数理统计
设X1 , X2 , · · · , Xn , · · · 是一列随机变量, a是一个给定的常数. 若对 于任意的正数ε > 0, 有
n P(jXn — aj < ε) = 1,
则称随机变量序列fXng依概率收敛于a, 记作Xn a.
上 频率稳定于概率不是一般意义上数列的极限, 我们把这种收 敛称为依概率收敛, 定义如下.
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
定义
概率论与数理统计
设X1 , X2 , · · · , Xn , · · · 是一列随机变量, a是一个给定的常数. 若对 于任意的正数ε > 0, 有
n P(jXn — aj < ε) = 1,
则称随机变量序列fXng依概率收敛于a, 记作Xn a.
上 频率稳定于概率不是一般意义上数列的极限, 我们把这种收 敛称为依概率收敛, 定义如下.
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
定义
概率论与数理统计
显然, 贝努利大数定律的结果是
p = P(A):
贝努利大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
设X1 , X2 , · · · 是一列两两不相关的随机变量, 它们的期望E(Xi)及 方差D(Xi)都存在, i ≥ 1. 若存在常数C, 使得D(Xi) C, i ≥ 1, 则 对任意ε > 0有
n P Xi — E(Xi)' < ε) = 1. (2)
切比雪夫大数定律
事实上, 贝努利大数定律是下述定理的一个特殊情况.
切比雪夫大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
设X1 , X2 , · · · 是一列两两不相关的随机变量, 它们的期望E(Xi)及 方差D(Xi)都存在, i ≥ 1. 若存在常数C, 使得D(Xi) C, i ≥ 1, 则 对任意ε > 0有
n P Xi — E(Xi)' < ε) = 1. (2)
切比雪夫大数定律
事实上, 贝努利大数定律是下述定理的一个特殊情况.
切比雪夫大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
若将切比雪夫大数定律中随机变量序列的两两不相关这个条件改 为随机变量序列是相互独立的(指其中任意有限个随机变量之间 都相互独), 其他条件不变, 则结论(2)式仍成立.
切比雪夫大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
注
概率论与数理统计
辛钦大数定律
设X1 , X2 , · · · 是一列相互独立且同分布的随机变量, 它们的期
望E(Xi) 都存在, i ≥ 1. 若记E(X1) = μ , 则对任意ε > 0 有
n P Xi — μ ' < ε) = 1.
切比雪夫大数定律要求方差一致有界, 事实上, 这一矩条件还可 以减弱, 即如下的辛钦大数定律.
辛钦大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
(3)
辛钦大数定律
设X1 , X2 , · · · 是一列相互独立且同分布的随机变量, 它们的期
望E(Xi) 都存在, i ≥ 1. 若记E(X1) = μ , 则对任意ε > 0 有
n P Xi — μ ' < ε) = 1.
切比雪夫大数定律要求方差一致有界, 事实上, 这一矩条件还可 以减弱, 即如下的辛钦大数定律.
辛钦大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
概率论与数理统计
(3)
辛钦大数定律表明, n次观测值的算术平均值 Xi依概率收敛
于真实的均值E(X1), 这为估计期望值提供了一条可行的方法.
辛钦大数定律
贝努利大数定律 切比雪夫大数定律 辛钦大数定律
注
概率论与数理统计

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