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概率论与数理统计
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差 相关系数 随机变量的矩
概率论与数理统计
x3: 协方差、相关系数和矩
1 协方差
2 相关系数
3 随机变量的矩
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
概率论与数理统计
前面介绍的期望和方差只是反应随机变量自身取值的情况, 而对
于多维随机变量, 我们不仅要知道其每个分量的数字特征, 还应 该有反映这些分量之间关系的数字特征, 这就是本节所介绍的协 方差、相关系数和矩等概念.
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
概率论与数理统计
由期望的性质知, 当随机变量X与Y独立时, E(XY) = E(X)E(Y), 故
E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0:
这意味着, 当E((X - E(X))(Y - E(Y))) 0时, X与Y不是相互独立 的关系, 而是存在着其他的某种关系.
设(X; Y)为二维随机变量, 若E((X - E(X))(Y - E(Y)))存在, 则 称E((X - E(X))(Y - E(Y)))为随机变量X与Y的协方差, 记
作Cov(X; Y), 即
Cov(X; Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))): (1)
协方差
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
由期望的性质知, 当随机变量X与Y独立时, E(XY) = E(X)E(Y), 故
E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0:
这意味着, 当E((X - E(X))(Y - E(Y))) 0时, X与Y不是相互独立 的关系, 而是存在着其他的某种关系.
设(X; Y)为二维随机变量, 若E((X - E(X))(Y - E(Y)))存在, 则 称E((X - E(X))(Y - E(Y)))为随机变量X与Y的协方差, 记
作Cov(X; Y), 即
Cov(X; Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))): (1)
协方差
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
由协方差的定义易得: 对任意两个随机变量X与Y都有
D(X 干 Y) = D(X) + D(Y) 干 2Cov(X; Y):
此外, 在计算Cov(X; Y)的值的时候, 通常用下式计算:
Cov(X; Y) = E(XY) - E(X)E(Y): (2)
协方差
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数; (5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y);
(6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数;
(5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y); (6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数;
(5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y); (6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数; (5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y);
(6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数; (5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y);
(6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数;
(5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y); (6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数; (5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y);
(6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
假设下列协方差均有意义, 则
(1) Cov(X; Y) = Cov(Y; X);
(2) Cov(X; X) = D(X);
(3) Cov(X; C) = 0, 其中C为任意常数;
(4) Cov(aX; bY) = abCov(X; Y), 其中a; b为任意常数; (5) Cov(X1 + X2 ; Y) = Cov(X1 ; Y) + Cov(X2 ; Y);
(6) 若X与Y相互独立, 则Cov(X; Y) = 0.
下面我们给出协方差的几个主要性质, 这些性质通过期望的性质 即可容易得到, 读者可自行推导.
协方差
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定理
概率论与数理统计
前面所介绍的协方差Cov(X; Y)在一定程度上反应了随机变量X
与Y 之间的关系, 但协方差Cov(X; Y)是具有量纲的量, 为消除量 纲对随机变量X与Y之间的关系的影响, 下面我们引入另一个用来 反应随机变量X与Y之间关系的量--相关系数.
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
概率论与数理统计
设随机变量X; Y的期望及方差都存在, 且D(X) > 0; D(Y) > 0, 称
Cov(X; Y)
“D(X)“D(Y)
为随机变量X与Y的相关系数, 记作ρXY , 即
ρXY = .
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
“D(X) “D(Y)
Cov(X; Y)
概率论与数理统计
X* ; Y* 分别称为X; Y的标准化随机变量. 显然X* ; Y* 无量纲. 根据 协方差的定义及定理即得
ρXY = = Cov(X* ; Y* ).
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
相关系数ρXY是一个无量纲的量. 事实上J 令
“D(X) ;
X - E(X)
Y - E(Y)
“D(Y)
概率论与数理统计
X* =
Y* =
.
设随机变量X与Y的相关系数为ρXY , 则:
(1) jρXY j 三 1;
(2) jρXY j = 1的充要条件是存在常数a; b, 使得P(Y = aX + b) = 1.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
相关系数具有如下重要的性质.
定理
概率论与数理统计
设随机变量X与Y的相关系数为ρXY , 则:
(1) jρXY j 三 1;
(2) jρXY j = 1的充要条件是存在常数a; b, 使得P(Y = aX + b) = 1.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
相关系数具有如下重要的性质.
定理
概率论与数理统计
设随机变量X与Y的相关系数为ρXY , 则:
(1) jρXY j 三 1;
(2) jρXY j = 1的充要条件是存在常数a; b, 使得P(Y = aX + b) = 1.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
相关系数具有如下重要的性质.
定理
概率论与数理统计
设随机变量X与Y的相关系数为ρXY , 则:
(1) jρXY j 三 1;
(2) jρXY j = 1的充要条件是存在常数a; b, 使得P(Y = aX + b) = 1.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
相关系数具有如下重要的性质.
定理
概率论与数理统计
定义
当ρXY = 0时, 称X与Y不相关; 当jρXY j = 1时, 称X与Y完全相关.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
概率论与数理统计
(1) 由前面定理可知, 若X与Y独立, 如果ρXY存在, 则ρXY = 0, 即随 机变量X与Y不相关; 反之未必成立, 反例同前.
(2) 由上述定理可知, 相关系数ρXY 事实上是刻画了随机变量X
与Y 之间的线性关系的强弱程度. 因此, 严格意义上来说, 相关系 数ρXY 应该称为线性相关系数. 故当ρXY = 0时, 随机变量X 与Y 之间没有线性关系, 但并不表示X 与Y 之间没有其他的关系, 反例 见如下例子.
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
概率论与数理统计
(1) 由前面定理可知, 若X与Y独立, 如果ρXY存在, 则ρXY = 0, 即随 机变量X与Y不相关; 反之未必成立, 反例同前.
(2) 由上述定理可知, 相关系数ρXY 事实上是刻画了随机变量X
与Y 之间的线性关系的强弱程度. 因此, 严格意义上来说, 相关系 数ρXY 应该称为线性相关系数. 故当ρXY = 0时, 随机变量X 与Y 之间没有线性关系, 但并不表示X 与Y 之间没有其他的关系, 反例 见如下例子.
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
概率论与数理统计
例
设随机变量Θ U(-π; π), 令X = sin Θ ; Y = cos Θ , 求ρXY .
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
解
f (θ) = ;
由题意知, 随机变量Θ的密度函数为
-π < θ < π;
其他.
概率论与数理统计
例
设随机变量Θ U(-π; π), 令X = sin Θ ; Y = cos Θ , 求ρXY .
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
解
f (θ) = ;
由题意知, 随机变量Θ的密度函数为
-π < θ < π;
其他.
概率论与数理统计
故
E(X) = E(sin Θ) = sin θdθ = 0;
E(Y) = E(cos Θ) = π cos θdθ = 0;
E(XY) = E(sin Θ cos θ) = sin θ cos θdθ = 0;
类似可得D(X) > 0; D(Y) > 0.
π
π
π
π
π
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
解
概率论与数理统计
又
Cov(X; Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0;
从而ρXY = 0, 即X与Y之间没有线性关系, 但X与Y满足关系 式X2 + Y2 = 1.
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
解
概率论与数理统计
例
设二维随机变量(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ), 求ρXY .
2
2
1
2
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
根据定义, 可以计算出ρXY = ρ(见习题).
解
概率论与数理统计
例
设二维随机变量(X; Y) N(μ1 ; μ2 ; σ ; σ ; ρ), 求ρXY .
2
2
1
2
相关系数
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
根据定义, 可以计算出ρXY = ρ(见习题).
解
概率论与数理统计
由上例知, 对二维正态随机变量(X, Y)来说, X与Y相互独立的充要 条件是ρ = 0. 再由以前的例子即得: 对二维正态随机变量(X, Y) 来说, X与Y独立与不相关是等价的.
相关系数
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
设X和Y是随机变量, k; l为任意给定的正整数.
(1) 若E(Xk )存在, 则称E(Xk )为随机变量X的k阶原点矩, 简称为k 阶矩;
(2) 若E((X - E(X))k )存在, 则称E((X - E(X))k )为随机变量X的k阶 中心矩;
(3) 若E(XkYl)存在, 则称E(XkYl)为随机变量X与Y的k + l阶混合原 点矩;
(4) 若E((X - E(X))k (Y - E(Y))l)存在, 则称其为随机变量X与Y 的k + l 阶混合中心矩.
最后我们介绍一个在数理统计等领域有广泛应用的数字特征: 随 机变量的矩.
随机变量的矩
x3 . 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
定义
概率论与数理统计
显然, 随机变量的1阶原点矩是数学期望, 二阶中心矩是方差, 1 + 1阶混合中心矩是协方差.
随机变量的矩
x3: 协方差、相关系数和矩 协方差
相关系数
随机变量的矩
注
概率论与数理统计

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